Основы теории погрешностей

   Числа округляют до того количества знаков от начала числа, которое имеет число с наименьшим количеством знаков от начала числа, т.е. обладающее самой малой точностью.  

   Например, первая часть расчета (А_пр) подсчитана с использованием четвертого числового уровня, вторая (В_пр) – с использованием третьего числового уровня, а третья (С_пр) – шестого (пример 13). 

 

Примечание: в примере использовалось C-округление.  

   Для исследования точности универсального способа воспользуемся примером 14. 
 
 

Примечание: в примере использовалось L-округление.  

   Сначала были выполнены действия в скобках, при этом некоторые числа были сокращены, но числа в результате все равно имели по три знака от начала числа. Затем поочередно выполнены деление и умножение, а потом опять сложение, перед которым у меньших слагаемых чисел вновь были отброшены лишние знаки. Выполнив последнее действие, было получено приближенное значение окончательного результата, при округлении которого главенствующую роль опять играет определенное количество знаков от начала числа, как и перед началом вычислений. Определив погрешность окончательного результата, можно с некоторым удивлением констатировать, что при меньшем количестве знаков у всех чисел (23 против 27) погрешность при использовании универсального способа получилась равной погрешности, полученной при использовании первого способа. Общее же количество знаков с учетом промежуточных результатов равно 37, что на пять знаков меньше, чем при использовании первого способа, и на восемь, чем при использовании второго способа. Естественно, вывод напрашивается сам собой: при сокращении количества используемых знаков у чисел, что приводит к упрощению вычислений, точность универсального способа обычно сопоставима с точностью первого способа, и как правило выше точности второго способа, что дает право использовать его повсеместно при смешанном вычислении.

   Универсальный способ представляет собой не что  иное, как немного модернизированный  первый способ, являющийся основным, а  второй способ выполняет второстепенную роль. Главным плюсом этого способа является то, что его точность сопоставима по величине с точностью первого способа, хотя знаков у чисел используется меньше. Этот эффект заключается в том, что сокращение знаков у чисел при сложении и вычитании производится при использовании универсального способа перед вычислением, в то время как при использовании первого способа оно осуществляется после вычислений, т.е. когда округляется промежуточный результат. Например, в примере 14 при использовании универсального способа перед выполнением первого действия приближенное число 0.888 было округлено до значения 0.8, т.е. отброшена часть числа, равная 0.088, а при использовании 1 способа та же часть числа была отброшена у промежуточного результата 34.188, после чего было образовано число 34.1. Поэтому погрешность окончательного результата при использовании универсального способа немного или совсем не увеличивается при уменьшении количества знаков у чисел.  

   Итак, подводя итоги, можно выделить основные положения универсального способа:

1. Первоначально у всех чисел нужно оставлять k знаков от начала чисел,
2. При сложении и вычитании числа выравнивают по следующему правилу: числа округляют до того количества знаков после знака дробности, которое имеет самое наибольшее по модулю число,
3. Окончательный результат записывается из условия использования в нем k знаков от начала числа.

 
 

   На  основе вышесказанного можно сделать  вывод, что:

• При умножении и делении нужно пользоваться первым способом,
• При сложении и вычитании нужно пользоваться вторым способом,
• При смешанном вычислении нужно пользоваться универсальным способом.

 

   При выполнении любого расчета, в котором, как правило, используются приближенные числа, возникает естественный вопрос: в каком математическом виде записывать полученный результат? Как уже было ранее отмечено, основа для определения количества оставляемых знаков у полученного результата – это оставление определенного количества знаков от начала числа. Поэтому и виды записи результата должны базироваться на этой основе. Из всего возможного многообразия видов записи можно выделить три основных:

1. Запись посредством приближенного значения числа вместе с одной или несколькими числовыми характеристиками,
2. Запись посредством точного значения числа,
3. Запись посредством приближенного значения числа, которое состоит только из точных знаков.

 

   На  практике очень часто приходится сравнивать определенные числа, методика сравнения которых описана в  элементарной математике. Но в ней  речь идет о сравнении точных значений чисел, у которых погрешность равна нулю. А как же производить сравнение приближенных чисел, обладающих определенными погрешностями. Конечно, основным критерием сравнения является величина числа, а уже потом в дело вступают другие критерии, среди которых можно выделить следующие:

1. Сравнение по величинам точных знаков,
2. Сравнение по интервалу изменения числа.

   Сравнение чисел по первому критерию подразумевает  сначала определение количества точных знаков, а затем и само сравнение. Как известно, любое число состоит из цифр тысяч, сотен, десятков и т.п., на основе чего можно сказать, что та или иная цифра принадлежит к определенному порядку. Поэтому сравнение чисел по точным знакам осуществляется в несколько этапов:

• Определение количества точных знаков,
• Сравнение первых от начала числа цифр по их порядку,
• Сравнение первых от начала числа цифр по их величине, если они одинакового порядка,
• Сравнение вторых от начала числа цифр по их величине, если первые цифры по величине равны,
• Сравнение остальных от начала числа цифр по их величине, если первые две цифры по величине равны,
• В случае равенства всех точных знаков у чисел последние считаются равными.

Примечания:

1. Сравнение осуществляется только по тому количеству точных знаков, которое имеется у числа с меньшим количеством точных знаков,
2. Приближенные знаки в сравнении не участвуют, т.к. на их месте на самом деле могут стоять совершенно другие точные знаки.

 

   Проще говоря, числа сравниваются только по точным знакам, а приближенные знаки отбрасываются, ведь мы не знаем всех точных знаков у того или иного числа. В случае равенства всех точных знаков у чисел последние считаются как бы равными, хотя на самом деле в случае знания всех точных знаков это может быть и не так. Можно еще сказать, что данные числа равны с той или иной точностью. Сравнение нескольких чисел по величинам точных знаков представлено в примере 15.  

Примечание: подчеркнутые знаки являются точными, а не подчеркнутые – приближенными.  

   В первом случае первое число хотя и  обладает всего одним точным знаком, тем не менее точно известно, что  оно больше или равно 1000, поэтому оно и больше второго числа. Во втором случае сравнивались только два точных знака, т.к. это количество точных знаков является наименьшим среди двух сравниваемых чисел. Неизвестно, какая будет величина третьего и четвертого знаков у первого числа при более точном вычислении, ведь оно может быть как меньше второго (например 78.07 < 78.19), так и больше (например 78.63 > 78.19), поэтому эти числа номинально равны. Это равенство носит вероятностный характер. Логически рассудив, можно сделать вывод, что вероятность того, что первое число (78.365876) больше второго (78.19865), гораздо выше. Причем эту вероятность можно вычислить: 

• Вероятность того, что 78.365876 < 78.19865 равна:

 
 

• Вероятность того, что 78.365876 > 78.19865 равна:

 

   Возможность определения вероятности обусловлена  наличием у второго числа четырех точных знаков. Если бы у второго числа было два точных знака, то обе вероятности имели бы величину 50 %, т.е. превышение чисел друг над другом равновероятно. Поэтому числа считаются номинально равными, если вероятность превышения какого-либо числа над другим не равна 100 %.

   Сравнение чисел по интервалу изменения  числа подразумевает определение максимального и минимального значения числа либо на основе обычного определения числовых характеристик, либо на основе их проектирования, т.е. выявление интервала возможного нахождения точного значения числа. А далее по этому интервалу, который желательно нанести на координатную прямую, делается сравнение чисел по следующим правилам: 

   Любое число считается  больше другого только в том случае, если его минимальное значение больше максимального значения другого числа, т.е. интервал  его изменения находится правее по координатной прямой, чем интервал изменения другого числа.  

   X_0min > X_imax                         i = 1…n,  

где     n – количество сравниваемых чисел с базовым числом X₀.

 
 

   Любые числа считаются  равными, если минимальное  значение одного числа меньше либо равно максимальному значению другого числа, т.е. интервалы их изменения накладываются друг на друга.  

X_0min ≤ X_imax

 
 
 

Условные обозначения:

   X – координатная прямая,

   X_0пр – приближенное значение базового числа,

   X_0max – максимальное значение базового числа,

   X_0min – минимальное значение базового числа,

   X_iпр – приближенное значение i-го числа,

   X_imax – максимальное значение i-го числа,