Основы теории погрешностей

 
 
 

   Точность  окончательного результата определяется обычным  образом, когда из единицы вычитается его погрешность:

 
 
 
 
 
 

В процентном виде

   

     

     
 
 

   Отклонение  окончательного результата – это сумма  отклонений  слагаемых  чисел:

 
 

Примечания:

1. Данные формулы применимы для сложения положительных чисел,
2. При сложении отрицательных чисел величины слагаемых в формулах подставляются со своим собственным знаком, т.е. со знаком «−».

 

Вычитание:

   Погрешность окончательного результата – это разность произведения точного значения и фактической погрешности уменьшаемого и вычитаемых чисел, деленная на точное значение окончательного результата:

     
 

 

 
 

   Точность  окончательного результата определяется обычным  образом, когда из единицы вычитается его погрешность:

 

 

     
 

В процентном виде

   

     

     
 

   Отклонение  окончательного результата – это разность отклонений  уменьшаемого и вычитаемых чисел:

Отклонение  

где     d_zф – фактическая погрешность окончательного результата,

          Т_zф – фактическая точность окончательного результата,

          Z – точное значение величины окончательного результата,

          D_zф – фактическое отклонение точного значения величины окончательного результата от приближенного,

          d_xi – i-я погрешность слагаемых и вычитаемых чисел,

          Т_xi – i-я точность слагаемых и вычитаемых чисел,

          X_i – точное значение величины i-го числа,

          D_xi – отклонение i-го числа,

          n – количество чисел, участвующих в сложении и вычитании, n ® ∞,

          d_x0 – погрешность уменьшаемого числа,

          Т_x0 – точность уменьшаемого числа,

          X₀ – точное значение величины уменьшаемого числа,

          D_x0 – отклонение уменьшаемого числа. 

   Практическое применение формул (22)¸(25) показано в примере 8.  

Примечание: в данном примере использовалось L-округление. 

   Пример 8 выявил ряд довольно интересных деталей. Во-первых, практическим путем доказана состоятельность формул (22)¸(25). Во-вторых, значения фактических и теоретических величин числовых характеристик равны, т.е. отклонение между ними равно нулю:

     

   Это означает, что никакого закона сложения погрешностей, свойственного умножению и делению, при сложении, как впрочем и при вычитании, не существует.

    Выше были сформулированы два способа сокращения чисел – сокращение по знакам и сокращение по погрешности и точности. Применительно к сложению и вычитанию второй способ имеет немного другую формулировку: сокращение чисел по погрешности с тильдой (     ), которая определяется следующим образом:

     

   Точность  с тильдой (      ) определяется стандартным способом:

     
 

   Второй  способ сокращения чисел очень сложен и его следует использовать с применением вычислительной техники. Сложность заключается в незнании точного значения окончательного результата.

   Если  подставить формулу (30) в формулы (22), (23) и (24), то получим следующие результаты: 

Сложение:

Погрешность 

Точность 

 
 
 

Точность в  процентном виде

     

 
 

где           – i-я погрешность числа с тильдой,

               – i-я точность числа с тильдой. 

   Если  же подставить формулу (30) в формулы (26), (27) и (28), то получим следующие результаты: 

Вычитание:

Погрешность 

 

Точность 
 
 

Точность  в процентном виде

     
 

 
 
 

   Как можно заметить, представленные формулы идентичны формулам определения основных числовых характеристик при умножении и делении, только при сложении и вычитании используются погрешность и точность с тильдой.

   Исходя  из данных рассуждений, необходимо сформулировать закон равновесия погрешностей и точностей с тильдой при сложении и вычитании для округления чисел по второму способу сокращения чисел:  

   Величины  погрешностей (точностей) чисел с тильдой, при сложении и вычитании должны быть равны между собой.

 

   

                                                                  

   При сокращении чисел по знакам происходит разброс в величинах погрешностей и точностей с тильдой, образующие определенный уровень. 

   Закон равновесия погрешностей и точностей с  тильдой при сложении и вычитании для сокращения чисел по знакам выглядит следующим образом:  

   Величины  погрешностей (точностей) чисел с тильдой  при сложении и вычитании должны быть равны по числовому уровню их изменения.

 

где           – i-й уровень изменения погрешности с тильдой,

                – i-й уровень изменения точности с тильдой. 

i = 0...n                n → ∞ 

   При этом погрешности и точности с  тильдой различных чисел при  сложении и вычитании всегда стремятся к равновесию:

     

     
 

   Исследования  показывают, что при сложении и  вычитании для соблюдения условий (40) и (41) в расчетах необходимо оставлять k знаков после знака дробности, но это еще нужно доказать теоретически. В доказательство возьмем сложение двух положительных чисел. Будем исходить из условия использования у них k знаков после знака дробности.  

Z = X₁ + X₂ 

   В качестве объекта исследования возьмем число X₁, а второе число X₂ будет иметь постоянную величину, тем самым добьемся ненужного увеличения объема исследований.  

               При       0 £ X₁ < n       и      X₂ = const        X₂ £ Z < n 

   Как уже было отмечено, на погрешность  и точность с тильдой оказывают влияние два фактора: погрешность  и точность слагаемых чисел и в данном случае параметр X₁/Z. Эти факторы отобразим графическим путем. Сначала построим условный график изменения погрешностей при использовании L-округления. Использование определенного количества знаков после знака дробности особой роли не играет, поэтому примем первоначально один знак. Погрешность в каждом числовом интервале будет меняться от 0 до какого-то максимального значения. Например, в первом числовом интервале максимальная погрешность будет равна 50 % (число 0.1999…), во втором – 9.0909.. (число 1.0999…), но в целом существуют интервалы погрешностей, которые отражены на условном графике, представленном на рис. 1.

     
 
 
 
 
 
 
 

   Второй  фактор, влияющий на погрешность с  тильдой, представляет собой вес (X₁/Z) слагаемого числа в общей величине окончательного результата. При стремлении числа X₁ к бесконечности и постоянной величине числа X₂ этот вес возрастает и стремится к единице:

     
 

   Графическая иллюстрация второго фактора приведена на рис. 2.

     
 
 
 
 
 
 
 
 

   На  данном графике показано влияние  слагаемого числа на окончательный результат, причем n не обязательно равно бесконечности, оно может равняться любому натуральному числу, естественно, с учетом графических ограничений (в данном конкретном случае n > 8). Условность графика заключается не только в использовании нестандартной координатной сетки, но и в условности построения линий влияния, т.к. даже при использовании первого числового интервала параметр X₁/Z может достигать единицы.

   Таким образом, рассмотрены два фактора, влияющие на погрешность с тильдой, которые впрочем, входят в формулу  ее определения путем перемножения погрешностей слагаемых чисел и параметров X₁/Z. Это означает, что для получения ответа на поставленный вопрос необходимо построить результирующий график путем перемножения графиков, представленных на рис. 1 и рис. 2. Для простоты расчетов и более адекватного понимания всей сути процессов, происходящих при сложении, график на рис. 2 немного упростим, приняв n = 8, тем самым, представив оба графика к одной координатной сетке. Результирующий график также будет иметь некоторые прямые для каждого числового интервала, которые изменяются от 0 до какого-то максимального значения, вычисленного в примере 9 (рис. 3).