Основы теории погрешностей

 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Таким образом, получен условный график изменения  погрешностей с тильдой при L-округлении. Анализируя данный график, можно сделать вывод, что при увеличении номера числового интервала уровни изменения погрешности с тильдой принимают одинаковый вид. Это означает, что при использовании у слагаемых чисел одинакового количества знаков после знака дробности каждый числовой интервал в плане изменения погрешности с тильдой, как впрочем, и точности с тильдой равноценен. Все довольно просто: слагаемые числа меньших числовых интервалов обладают малой величиной, но бóльшими значениями погрешностей, и наоборот, слагаемые числа бóльших числовых интервалов обладают большой величиной, но малыми значениями погрешностей. При использовании же у слагаемых чисел одинакового количества знаков от начала числа, как при умножении и делении, такой четкой картины не наблюдается, т.к. в этом случае слагаемые числа каждого числового интервала могут обладать любыми погрешностями при неизменном втором факторе, что естественно, не может привести к равновесию погрешностей и точностей с тильдой. Примерно похожая картина наблюдается и при использовании других методов округления, а также при сложении отрицательных чисел, поэтому можно сделать вывод, что: 

   При сложении n чисел следует оставлять k точных знаков после знака дробности.

   Приведенное доказательство, конечно же, является довольно условным, но тем не менее основные принципы, заложенные в нем, присутствуют как при сложении двух чисел, так и при сложении большего количества чисел. Для полноты картины необходимо привести пример вычисления чисел, показывающий стремление к равновесию погрешностей с тильдой при использовании k знаков после знака дробности, применив округление чисел по погрешности (пример 10). Для этой цели использовались числа разного порядка, у которых погрешности имеют круглые значения (10 %, 1 %, 0.1 % и т.п.), причем при одинаковом количестве точных знаков погрешности чисел равны. Такие числа состоят из знаков одинаковой величины.  

 

   Из  приведенного примера видно, что  погрешности с тильдой слагаемых чисел отличаются друг от друга не более чем на один порядок, хотя третье число больше первого на четыре порядка. Это доказывает правильность использования при сложении k знаков после знака дробности. При использовании в этом примере k знаков от начала числа приводит к большему отличию погрешностей с тильдой (пример 11).  

Примечание: за основу взяты данные, представленные в примере 10. 

   Использование k знаков от начала числа, как при умножении и делении, привело к очень большому разбросу между величинами погрешностей с тильдой, поэтому ни о каком их стремлении к равновесию и речи быть не может, например, погрешность с тильдой третьего числа больше аналогичного показателя первого числа более чем в 90000 раз. К тому же следует учитывать тот факт, что погрешность окончательного результата в этом случае в несколько десятков раз превышает погрешность при использовании k знаков после знака дробности, полученную в примере 10, что в какой-то мере доказывает менее продуктивное использование у чисел k знаков от начала числа при сложении. Иначе и быть не может, ведь ясно и без доказательств, что неправильно использовать неодинаковое количество знаков после знака дробности у слагаемых чисел, т.к. это приводит к нерациональному накоплению (читай: сложению) знаков, например, одно число округлено до десятков, второе – до единиц, третье – до тысячных долей единицы, т.е. третье число вносит в копилку величины окончательного результата даже тысячные доли единицы, а первое и второе числа вносят соответственно только десятки и единицы – это коренным образом неверно.

   Что же касается вычитания, то для него также можно привести доказательство использования в расчетах k знаков после знака дробности, но в этом нет особого смысла, т.к. оно будет построено на тех же самых принципах, что и для сложения, лишь с незначительными изменениями. Поэтому при вычитании чисел нужно руководствоваться следующим условием: 

   При вычитании n чисел следует оставлять k точных знаков после знака дробности. 
 

   Исследования  показывают, что при сложении и вычитании при использовании у чисел k знаков после знака дробности приводит к более равномерному распределению погрешностей и точностей с тильдой, чем при использовании других способов округления чисел.

   Основными видами вычислений чисел, как известно, являются умножение, деление, сложение и вычитание, которые подробно были рассмотрены в данной статье. Но, тем не менее, существует множество других, менее распространенных видов вычислений, таких как степенная функция, логарифмическая функция, различные тригонометрические функции, интеграл, производная и другие, которые подробно рассмотрены в (1).

   На  практике же в большинстве случаев  существуют различные сочетания этих простейших вычислений, и лишь в редких случаях встречаются расчеты только с каким-нибудь одним видом, например, умножение нескольких чисел. Поэтому необходимо изучить поведение чисел и их числовых характеристик в различных расчетах, ведь для каждого вида простейших вычислений существуют свои формулы и свои способы образования приближенных чисел, использование которых приводит  к некоторой несовместимости между простейшими вычислениями. Для преодоления всех шероховатостей нужно разработать правила вычисления чисел в сложных расчетах или, иными словами, попытаться все виды вычислений объединить в одно целое.

   К любому расчету можно подойти  разными путями. Например, используя принцип от простого к сложному, можно разделить любой пример на несколько простейших вычислений и сгруппировать их по степени значимости, как это обычно делается в элементарной математике, а затем последовательно определять числовые характеристики (Блочный принцип). Можно рассматривать примеры и в обратном направлении, только в этом случае придется все формулы определения числовых характеристик простейших вычислений объединить в одну общую формулу, по которой и будут найдены числовые характеристики окончательного результата (Формульный принцип). Ну и, конечно же, можно использовать комбинацию этих вариантов (Блочно-формульный принцип).

   В различных видах простейших вычислений используются два способа оставления знаков у чисел, иначе говоря, сокращения чисел по знакам:

1. Оставление k точных знаков от начала чисел (умножение, деление),
2. Оставление k точных знаков после знака дробности (сложение, вычитание).

 

     Использование первого способа  при смешанном вычислении подразумевает использование у всех чисел одинакового количества знаков от начала чисел, в т.ч. при сложении и вычитании. Так же обстоит дело и со вторым способом, только в этом случае у всех чисел используется одинаковое количество знаков после знака дробности, даже при умножении и делении. Естественно, в обоих случаях нарушаются правила оставления знаков: в первом случае – при сложении и вычитании, во втором – при умножении и делении. У каждого из данных способов существуют свои достоинства и недостатки.

   Достоинства первого способа над вторым:

1. Используются основные числовые характеристики какого-то одного числового уровня,
2. Легче поддается проектированию погрешностей вследствие использования какого-то одного значения погрешности или точности,
3. Как правило, обладает большей точностью.

   Достоинства второго способа над первым:

1. Более привычен, т.к. в данный момент используется повсеместно,
2. Более простой.

 

   Если  какой-либо расчет состоит из одинаковых по характеру видов простейших вычислений, например, только из умножения и деления, то нужно использовать первый способ, или только из сложения и вычитания – то второй способ, но как быть, если в расчете встречаются различные по характеру виды простейших вычислений? В этом случае возникает необходимость в использовании сразу двух способов, что естественно, неприемлемо по причине их разной структуры. Для разработки универсального способа оба способа придется модифицировать таким образом, чтобы при переходе от одного вида простейших вычислений к другому не возникало нестыковок между ними.

   Как известно, по правилам элементарной математики сначала выполняют умножение и деление, т.е. оставляют k знаков от начала числа, затем выполняют сложение и вычитание, при этом нужно оставлять k знаков после знака дробности. Но после выполнения первых основных действий образуются числа с разным количеством знаков после знака дробности, поэтому перед выполнением сложения или вычитания необходимо выполнить выравнивание этих знаков по следующему правилу: 

   Числа округляют до того количества знаков после  знака дробности, которое имеет самое наибольшее по модулю число.  

   Таким образом, рассмотрен переход от умножения  и деления к сложению и вычитанию, а вот проблем нестыковки при обратном переходе в пределах одного расчета с использованием одного числового уровня как таковых нет, ведь в любом случае будет получаться одно и тоже количество знаков от начала чисел, что наглядно показано в примере 12.  
 
 

     
 
 
 
 
 
 
 
 

Примечание: в примере использовалось C-округление.  

   В результате умножения и деления  были получены числа для формул А_пр и В_пр. В формуле В_пр хоть и использовались числа меньшей величины, чем в формуле А_пр, тем не менее, всегда хотя бы одно число (самое наибольшее) будет иметь неизменное количество знаков как до операции выравнивания знаков, так и после нее, т.к. оно не подлежит округлению. Поэтому нестыковки оставления знаков у чисел при переходе от сложения и вычитания к умножению и делению не существует. Но бывают такие случаи, когда по каким-то причинам отдельные части расчета подсчитаны с различной точностью, т.е. с использованием различного количества знаков от начала числа.

   В этом случае нужно пользоваться следующим правилом выравнивания знаков: