Основы теории катастроф

    Дальневосточный  Государственный  Гуманитарный  Университет

 

 

 

 

            РЕФЕРАТ

        Основы теории катастроф

 

                                             Выполнила:

                                Студентка II курса спец.МО гр.1722 Соломенная В.

                                                                                                      Проверила:

                                                                      Горбанева Лариса Валерьевна

 

 

 

 

 

                                         г.Хабаровск 

                                                    2011 год

                                            Содержание:

 

       Введение…………………………………………………………………………………………………..3

1. Элементарные катастрофы………………………………………………………………………..4
2. Потенциальные функции с одной активной переменной………………………..5-8
3. Потенциальные функции с двумя активными переменными………………….9-11

Заключение………………………………………………………………………………………………..12

Список  литературы…………………………………………………………………………………….13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                             2

Введение

 

Теория катастроф -- раздел прикладной математики, ветвь теории бифуркаций, важный инструмент для исследования динамических систем; также -- специальный раздел более общей теории сингулярностей в геометрии.

 

Первые результаты, связанные с  качественным изучением поведения  решений систем дифференциальных уравнений, были получены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым  почти 100 лет тому назад. Значительный вклад в развитие их идей внесли А. А. Андронов и Л. С. Понтрягин, которые  ввели понятие грубости, т. е. структурной  устойчивости системы. Но только с 50-х  годов, после работ Р. Тома, началось интенсивное развитие, как самой  теории катастроф, так и ее многочисленных приложений.

 

В. Арнольд указывает, что основателем  теории катастроф как раз является Рене Том, которого он, однако критикует  за отсутствие доказательств и четких формулировок. В самом начале 1970-х  эта теория сделалась необычайно модной, а затем подверглась критике. Теория катастроф имеет два источника: теория особенностей гладких отображений  Уитни и теория бифуркации в динамических системах Пуанкаре и Андронова. По использованию  понятийного аппарата (аттрактор, турбулентность) теория катастроф смыкается с  синергетикой, теорией хаоса и  нелинейной динамикой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                     3

1. Элементарные катастрофы

 

Теория катастроф анализирует  критические точки (репетиции) потенциальной  функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна  нулю, но и равны нулю же производные  более высокого порядка. Динамика развития таких точек может быть изучена  при помощи разложения потенциальной  функции в рядах Тейлора посредством  малых изменений входных параметров.

 

Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют  структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности, с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Если потенциальная функция зависит от трёх или меньшего числа активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то в этом случае существует всего семь обобщённых структур описанных геометрий бифуркаций, которым можно приписать стандартные формы разложений в ряды Тейлора, в которые можно разложить репетиции при помощи диффеоморфизма (гладкой трансформации, обращение которой также гладко). Сегодня эти семь фундаментальных типов известны под именами, которые им дал Рене Том.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                   4

2. Потенциальные функции с одной  активной переменной

 

Катастрофа типа «Свёртка»

 

Стабильная и нестабильная части  экстремума, исчезающего при бифуркации типа «свёртка»

 

V = x3 + ax

 

При отрицательных значениях параметра  a, потенциальная функция имеет два экстремума -- один стабильный (устойчивое равновесие) и один нестабильный (неустойчивое равновесие). Если параметр a медленно изменяется, система может находиться в точке стабильного минимума. Но если a = 0, стабильные и нестабильный экстремумы встречаются и аннигилируют. Это -- точка бифуркации. При a > 0 не существует стабильного решения.

 

Если физическая система проходит через точку бифуркации типа «свёртка», и поэтому параметр a достигает значения 0, стабильность решения при a < 0 внезапно теряется, и система может осуществить внезапный переход в новое, весьма отличное от предыдущего состояние. Это бифуркационное значение параметра a иногда называется «точкой фиксации».

 

Катастрофа с точкой возврата

 

V = x4 + ax2 + bx

 

Диаграмма катастрофы с точкой возврата, на которой показаны кривые (коричневые, красные) по переменной x, удовлетворяющие выражению для параметров (a,b). кривые показаны для непрерывно изменяющегося параметра b при различных значениях параметра a. Вне геометрического места точек возврата (синяя область) для каждой точки (a,b) в фазовом пространстве существует только одно экстремальное значение переменной x. Внутри точек возврата существует два различных значения x, которые дают локальные минимумы функции V(x) для каждой пары (a,b). При этом указанные значения разделены локальным максимумом

 

Бифуркация типа «вилка» при  a = 0 на пространстве b = 0 Форма точек возврата в

                                                                                                    5

фазовом пространстве (a,b) около точки катастрофы , показывающая геометрическое место бифуркаций типа «свёртка», которое разделяет область с двумя стабильными решениями и область с одним решением Геометрия точек возврата весьма обычна, когда производится изучение того, что происходит с бифуркациями типа «свёртка» при добавлении в управляющее пространство нового параметра b. Изменяя параметры, можно найти, что имеется кривая (синяя) точек в пространстве (a,b), на которой теряется стабильность, то есть на этой кривой стабильное решение может внезапно «перепрыгнуть» на альтернативное значение (также стабильное).

 

Но в геометрии точек возврата кривая бифуркаций заворачивает назад, создавая вторую ветвь, на которой уже  это второе решение теряет стабильность, а потому может совершить «прыжок» назад на исходное множество решений. При повторном увеличении значения параметра b и последующем уменьшении его, можно наблюдать гистерезис в поведении петель, поскольку система следует по одному решению, «перепрыгивает» на другое, следует по нему и «перепрыгивает» назад на исходное.

 

Однако это возможно только в  области в параметрическом пространстве при a < 0. Если значение параметра a увеличивается, петли гистерезиса становятся меньше и меньше, пока значение a не достигнет 0. В этой точке петли исчезают ( катастрофа с точкой возврата), и появляется только одно стабильное решение.

 

Также можно рассмотреть процесс  изменения параметра a при неизменном значении b. В симметричном случае при b = 0 можно наблюдать бифуркацию типа «вилы» при уменьшающемся значении параметра a одно стабильное решение внезапно разделяется на два стабильных решения и одно нестабильное. В это время физическая система проходит в область a < 0 через точку возврата (a = 0,b = 0) (это -- пример спонтанного нарушения симметрии). Вдали от точки возврата не существует внезапных изменений в физической системе, поскольку при прохождении по кривой бифуркации свёртки происходит только то, что становится доступным второе альтернативное решение.

 

Одно из наиболее интересных предложений  по использованию катастрофы с точкой возврата заключается в том, что  этот тип катастрофы можно использовать для моделирования поведения  собаки, которая в ответ на внешнее  воздействие может 

                                                                                              6

испугаться или обозлиться. Предложение  заключается в том, что при  умеренном воздействии (a > 0) собака будет проявлять плавное изменение отклика с испуга на злость в зависимости от того, как было проведено воздействие. Но более высокий уровень воздействия -- это стресс, соответствующий переходу в область a < 0. В этом случае если собака изначально испугалась, она останется испуганной при увеличении уровня воздействия на неё, пока в конечном итоге она не достигнет точки возврата, где произойдёт спонтанный переход в режим злобы. При переходе в этот режим собака будет оставаться озлобленной даже в случае постепенного снижения воздействия на неё.

 

Другой пример прикладного применения катастрофы с точкой возврата заключается  в моделировании поведения электрона  при перемещении с одного энергетического  уровня на другой, что часто наблюдается  в химических и биологических  системах. Это указывает на то, что  бифуркации рассмотренного типа и геометрия  точек возврата является наиболее важной практической частью теории катастроф. Это -- шаблоны, которые проявляются вновь и вновь в физике, инженерии и математическом моделировании.

 

Оставшиеся простые геометрии  катастроф являются более специализированными  по сравнению с только что рассмотренной, а потому проявляются только в  некоторых отдельных случаях.

 

Катастрофа типа «Ласточкин хвост»

 

V = x5 + ax3 + bx2 + cx

 

Управляющее пространство в данном типа катастроф является трёхмерным. Каскад бифуркаций в фазовом пространстве состоит из трёх поверхностей бифуркаций типа «свёртки», которые встречаются на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые в конечном итоге встречаются в одной точке, представляющей собой бифуркацию типа «ласточкин хвост».

 

По мере прохождения значений параметров по поверхностям областей бифуркаций типа «свёртка» пропадает один минимум  и один максимум потенциальной функции. В области бифуркаций с точкой возврата два минимума и один максимум замещаются одним минимумом; за ними бифуркации типа «свёртка» 

                                                                                                  7

исчезают. В точке ласточкиного хвоста два минимума и два максимума  встречаются в одном значении переменной x. Для значений a > 0 за ласточкиным хвостом существует либо одна пара (минимум, максимум), либо не существует вообще никаких бифуркаций. Это зависит от значений параметров b и c. Две поверхности бифуркаций типа «свёртка» и две линии бифуркаций с точками возврата встречаются при a < 0, а потому исчезают в самой точке ласточкиного хвоста, заменяясь одной поверхностью бифуркаций типа «свёртка». Последняя картина Сальвадора Дали под названием «Ласточкин хвост» создана под влиянием этого типа катастроф .

 

Катастрофа типа «Бабочка»

 

V = x6 + ax4 + bx3 + cx2 + dx

 

В зависимости от значений параметров потенциальная функция может  иметь три, два или один локальный  минимум, причём все минимумы разделены  областями с бифуркациями типа «свёртка». В точке с поэтичным наименованием  «бабочка» встречаются три различные пространства (трёхмерных плоскости) таких бифуркаций типа «свёртка», две поверхности бифуркаций с точками возврата и кривая бифуркаций типа «ласточкин хвост». Все эти бифуркации пропадают в одной точке и преобразуются в простую структуру с точкой возврата тогда, когда значение параметра a становится положительным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                    8

3. Потенциальные функции с двумя  активными переменными

 

Омбилические катастрофы являются примерами катастроф второго порядка. Они, к примеру, могут наблюдаться в оптике при отражении света от трёхмерных поверхностей. Сами по себе такие катастрофы тесно связаны с геометрией почти сферических поверхностей.

 

Рене Том предложил рассматривать  гиперболическую омбилическую катастрофу как разрушение волны, а эллиптическую омбилическую катастрофу как процесс создания структур, похожих на волосяной покров.

 

Гиперболическая омбилика

 

V = x3 + y3 + axy + bx + cy

 

Эллиптическая омбилика

 

V = x3 / 3 ? xy2 + a(x2 + y2) + bx + cy

 

Параболическая омбилика

 

V = yx2 + y4 + ax2 + by2 + cx + dy

 

В. И. Арнольд предложил классификацию  катастроф, использующую глубокие связи  с теорией групп Ли.

 

В теории сингулярности есть объекты, которые соответствуют большинству  других простых групп Ли.

 

Траектория нелинейной динамической системы в многомерном фазовом  пространстве ведет себя необычным  образом. При определенных условиях существует область, которая притягивает  к себе все траектории из окрестных  областей. Она была названа "странным аттрактором" Лоренца. Попадая в  нее, сколь угодно близкие траектории расходятся и имеют очень сложную  и запутанную структуру. В странном аттракторе Лоренца выбранное наугад решение будет блуждать и со временем пройдет достаточно близко к любой  точке аттрактора.

                                                                                                9

 По топологии странный аттрактор  представляет собой, так называемое, фрактальное множество, характеризующееся  дробной размерностью. Быстрое расхождение  двух близких в начальный момент  времени траекторий означает  очень большую чувствительность  решений к малому изменению  начальных условий. Этим обусловлена  большая трудность или даже  невозможность долгосрочного прогноза  поведения нелинейных динамических  систем.