Основы теории катастроф

 

Теория катастроф определяет область  существования различных структур, границы их устойчивости. Для изучения же динамики систем необходимо знать, каким именно образом новые решения  уравнений "ответвляются" от известного решения. Ответ на такие вопросы  дает теория бифуркаций (разветвлений), то есть возникновения нового решения  при критическом значении параметра. Момент перехода (катастрофический скачок) зависит от свойств системы и  уровня флуктуаций.

 

В реальных условиях при углублении неравновесности в открытой системе возникает определенная последовательность бифуркаций, сопровождающаяся сменой структур. Типичным примером такого сценария является развитие турбулентности с чередующимися типами все более усложняющихся движений. Состояние системы в момент бифуркации является неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути. Финальным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса.

 

Еще одно основополагающее направление  в теории состояний, далеких от равновесия, связано с анализом качественного  поведения нелинейных динамических систем при изменении описывающих  их параметров. Его основой является новая область математики - теория особенностей гладких отображений, сформировавшаяся на стыке топологии  и математического анализа и  получившая еще одно, более образное наименование - теория катастроф. В  этой теории для анализа свойств  систем дифференциальных уравнений  уже не требуется предварительно находить полное множество решении. Дело в том, что для сложных  систем знание всех точных решений  избыточно: в реальных условиях они  меняются за счет флуктуаций, и мы не получаем от этого знания нужной информации.

 

Теория катастроф исследует  динамические системы, составляющие широкий  класс 

                                                                                                  10

нелинейных систем и описываемые уравнениями вида. Задача заключается в исследовании изменений состояний равновесия потенциальной функции при изменении управляющих параметров.

 

Элементарная теория катастроф  является в известном смысле обобщением задач на минимум и максимум в  математическом анализе. Для функции  одной переменной ее поведение определяется невырожденными критическими точками - максимумами и минимумами. Эти  точки соответствуют равенству  нулю первой производной при второй производной, отличной от нуля.

 

Значение элементарной теории катастроф  состоит в том, что она сводит огромное многообразие ситуаций, встречающихся  на практике, к небольшому числу  стандартных схем, которые можно  детально исследовать раз и навсегда.

 

Сейчас теория катастроф широко применяется в механике конструкций, метеорологии, аэродинамике, оптике, теории кооперативных явлений, квантовой  динамике. Но главное заключается  в том, что эта теория подводит эффективную стандартную базу под  описание качественных изменений в  нелинейных уравнениях, моделирующих системы, далекие от равновесия. Она  является основой анализа в теории бифуркаций, в теории переходов термодинамических  систем в новые структурные состояния.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                               11

Заключение

 

Каждый день мы узнаем из средств  массовой информации о новых и  новых катастрофах и это прискорбно. Теория катастроф может помочь нам  в понимании этих процессов, окружающих нас повсеместно и ежечасно. Сама по себе математическая теория, какая бы она не была, к сожалению, не имеет возможности предотвращать катастрофы, или уменьшать их трагические последствия, так же как любой, пусть даже самый совершенный календарь, может лишь информировать о наступлении того или иного дня недели, месяца, года, но ни в коем случае не оказывать влияния на ход времени или происходящие события. Так же и теория катастроф может лишь выявлять общие черты закономерные для схожих явлений, характеризующихся скачкообразным изменением состояния системы. И именно благодаря этой возможности необходимо применять эту теорию, для установления причин возникновения уже состоявшихся катастроф и только зарождающихся предпосылок для возникновения катастроф в будущем, используя тем самым все предоставляемые нам наукой возможности для уменьшения последствий различного рода происшествий.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                               12

Список литературы:

 

1. Арнольд В.И. Теория катастроф.  М., Наука. 1990.

 

2. Ващекин Н. П. Концепции современного естествознания: Учебно-метод. комплекс (для заочной формы обучения). - М.: РАП, 2007. - 32 с.

 

3. Ващекин Н. П., Ващекин А. Н. Концепции современного естествознания для юристов: Учеб. пособие / Предисл. Д. А. Ловцова. - М.: РАП, 2008. - 248

 

4. Ващекин Н. П. Концепции современного естествознания: Учебно-метод. комплекс (для очной и очно-заочной форм обучения). - М.: РАП, 2007. - 28 Королёв В. Т., Ловцов Д. А., Радионов В. В., Квачко В. Ю. Информатика и математика для юристов: Учебник: гриф УМО по юридическому образованию РФ / Под. ред. Д. А. Ловцова. - М.: Высшая школа, 2008. - 308

 

5. Ловцов Д. А. Информационная  теория эргасистем. Тезаурус: Монография. - М.: Наука, 2005. - 248 c.

 

6. Ловцов Д. А., Сергеев Н. А.  Управление безопасностью эргасистем / Под ред. Д. А. Ловцова. - М.: РАУ - Университет, 2001. - 224c.

 

7. Томпсон Дж. М.Т. Неустойчивость и катастрофы в науке и технике.

 

8. Асмус В. Ф. Проблема интуиции в философии и математики. М., Мысль. 1963.

 

9. Бажаева И. Т. Психологические установки и кибернетика. М., Наука. 1967.

 

10. Веккер Л. М. Восприятие и основы его моделирования. Л., ЛГУ. 1964.

 

11. Агильдеев И. И. В плену у систем. М.. 1993.

 

 

 

 

 

                                                                    13