Основы теории погрешностей

УДК 511 
 
 

Горожанкин  Алексей Анатольевич

(псевдоним  – Галан) 
 
 
 

«Основы

Теории  погрешностей» 
 
 
 

Аннотация 

• Введены понятия и рассмотрены  три метода округления чисел: L-округление, C-округление и R-округление,
• Разработаны формулы определения погрешности, точности и отклонения при умножении, делении, сложении и вычитании, большинство из которых представлено впервые,
• Впервые сформулирован и кратко рассмотрен закон сложения погрешностей,
• Впервые выведен закон равновесия погрешностей и точностей при умножении и делении, а также закон равновесия погрешностей и точностей с тильдой при сложении и вычитании, на основе которых сформулированы правила вычисления чисел при данных видах вычислений,
• Впервые разработан универсальный способ оставления знаков у чисел при их вычислении,
• Описана методика сравнения чисел с учетом погрешностной составляющей, в которой некоторые элементы представлены впервые.

 
 

   Существуют  разные способы определения погрешностей и точностей. В данной статье речь пойдет в основном об относительной погрешности и точности чисел, т.е. о погрешности и точности вычислений (в дальнейшем – просто погрешность и точность). Погрешность чисел возникает при их вычислении в результате того, что используется только часть знаков у чисел для удобства расчетов, неиспользуемая же часть и есть погрешность чисел. Погрешность бывает как одного отдельно взятого числа, так и определенного блока вычислений, представляющего собой совокупность вычислений нескольких чисел.

   За  абсолютную погрешность чисел принимают  количественную характеристику неиспользуемой в расчетах части чисел, а сопоставив эту характеристику с исходным значением чисел, можно получить относительную погрешность и выразить ее в процентах. Наряду с погрешностью существует и другое, противоположное понятие – точность, в частности, точность чисел. В общем виде точность представляет собой ту часть числа, которая участвует в вычислении. Таким образом, за абсолютную точность чисел принимают количественную характеристику используемой в расчетах части чисел, а сопоставив эту характеристику с исходным значением чисел, можно получить относительную точность, также по необходимости выразив ее в процентах. Следует иметь ввиду, что в дальнейшем величина отдельно взятого числа будет обозначаться как X, а величина окончательного результата – как Z. При этом исходное значение числа будет условно именоваться как точное значение (X), используемая часть – как приближенное значение числа (X_пр), а неиспользуемая часть – как абсолютная погрешность числа или его отклонение (D_x). Погрешность, точность и отклонение можно называть числовыми характеристиками. На основе приведенных рассуждений вытекают общеизвестные определения числовых характеристик. 

    Погрешность числа (d_x) – отношение отклонения к точному значению числа.  
 
 

   Точность  числа (T_x) – отношение приближенного к точному значению числа.

 
 

   Отклонение  числа (D_x) – разность точного и приближенного значения числа.

     

где     X – точное значение числа,

          X_пр – приближенное значение числа. 

   Связь между погрешностью и точностью чисел выражается следующей зависимостью:

              

                                                              

В процентном виде                           

   Как известно, все числа состоят из знаков, которые вместе со знаком дробности  образуют величину числа. В данной статье речь пойдет в основном об использовании десятичной системы счисления, в которой величина знаков меняется от 0 до 9. Для удобства расчетов числа обычно сокращают до определенной величины. Сокращение может осуществляться двумя способами:

1. Сокращение по знакам,
2. Сокращение по погрешности или точности.

   При сокращении чисел по знакам используются три метода округления:

1. L-округление,
2. R-округление,
3. C-округление.

 

   L-округление (L – от англ. Left – лево) – сокращение числа путем его уменьшения, т.е. округленное (приближенное) число на координатной прямой оказывается левее исходного (точного) числа.  

   R-округление (R – от англ. Right – право) – сокращение числа путем его увеличения, т.е. округленное (приближенное) число на координатной прямой оказывается правее исходного (точного) числа. 

   C-округление (C – от англ. Center – центр) – сокращение числа как путем его уменьшения, так и путем его увеличения, т.е. округленное (приближенное) число на координатной прямой оказывается то левее, то правее исходного (точного) числа, в среднем стремясь к центру, иначе говоря, к исходному (точному) числу.

Примечание: в представленных определениях числа на координатной прямой взяты по модулю. 

   Основные  правила округления чисел заключаются  в следующем:

L-округление: при округлении числа до какого-нибудь знака все следующие за этим знаком цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают, причем последнюю оставшуюся цифру не изменяют (пример 1).

 

Примечание: троеточие в конце числа означает, что оно сокращено для краткости записи, причем сокращенными знаками будут являться знаки, по величине равные последнему знаку перед троеточием (в данном примере остальными знаками будут девятки). 

R-округление: при округлении числа до какого-нибудь знака все следующие за этим знаком цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают, причем последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу (пример 2). 

 

C-округление: при округлении числа до какого-нибудь знака все следующие за этим знаком цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают; если первая следующая за этим знаком цифра больше или равна пяти, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу (округление в бóльшую сторону); если же первая следующая за этим знаком цифра меньше пяти, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют (округление в меньшую сторону). Данный вид округления рассмотрен в примере 3. 

 

   При вычислении чисел знания формул (1)÷(3) недостаточно. Необходимо знать формулы определения погрешностей и точностей при различных видах вычислений, например, умножении, делении, сложении, вычитании. Перечисленные виды вычислений всем хорошо известны, как известно и то, что умножение с делением, а также сложение с вычитанием сильно переплетаются между собой. Например, вычитание – это сложение положительного и отрицательного чисел. Но тем не менее в результате исследований было обнаружено, что не все так просто, как кажется на первый взгляд. Все дело в том, что погрешности и точности при использовании этих видов вычислений ведут себя иногда по-разному, хотя сами формулы отличаются лишь знаком («–» вместо «+»). Данное обстоятельство вынудило среди перечисленных видов вычислений условно выделить шесть, представленных в примере 4 (при использовании в расчете двух чисел X₁ и X₂).  

Примечание: использование всего двух чисел X₁ и X₂ обусловлено необходимостью показать основные виды простейших вычислений, из которых и складывается любой расчет. 

   Для каждого из этих видов вычислений существуют формулы определения числовых характеристик. В данной статье будут рассмотрены формулы для умножения, деления, сложения и вычитания, все остальные виды вычислений подробно рассмотрены в (1). Погрешность и точность окончательного результата носят название «фактические», т.к. они образуются из фактических погрешностей и точностей отдельных чисел. При проектировании числовых характеристик используются теоретические погрешность и точность, поэтому они носят название «теоретические».  

Умножение:

   погрешность окончательного результата – это сумма фактических погрешностей множителей: 

Погрешность 

Точность  
 

Точность в процентном виде  
 
 

   

Отклонение 
 

Деление:

   погрешность окончательного результата – это разность фактических погрешностей делимого и делителей:

Погрешность  

   

Точность  

Точность

в процентном виде  

   

Отклонение 

где     d_zф – фактическая погрешность окончательного результата,

          Т_zф – фактическая точность окончательного результата,

          D_zф – фактическое отклонение точного значения величины окончательного результата от приближенного,

          Z – точное значение величины окончательного результата,

          d_xi – i-я погрешность множителей и делителей,

          Т_xi – i-я точность множителей и делителей,

          X_i – точное значение величины i-го числа,

          D_xi – отклонение i-го числа,

          n – количество чисел, участвующих в умножении и делении, n ® ∞,