Основы теории погрешностей

          d_x0 – погрешность делимого,

          Т_x0 – точность делимого,

          X₀ – точное значение величины делимого,

           D_x0 – отклонение делимого. 

   Значения  величин погрешностей и точностей, вычисленных по представленным формулам, немного отличаются от истинных, полученных по формулам (1)÷(3), образуя отклонение: 

                                          D = d_zф – d_z                                              (14), 

где     D – отклонение между величинами фактической и истинной погрешностями, записываемое как в единичном, так и в процентном виде,

           d_zф – фактическая погрешность окончательного результата, которая определяется по формулам (6) и (10),

           d_z – истинная погрешность окончательного результата, которая определяется по формулам (1)÷(3). 

     Это отклонение (D) уменьшается по мере увеличения номера числового уровня или количества точных знаков у чисел, участвующих в расчетах, стремясь к нулю: 
 

    Представленное  отклонение характеризуется параметром m, который определятся как отношение истинной и фактической погрешности:

                                                                                

   Параметр m показывает влияние закона сложения погрешностей, который подробно рассмотрен в (1).

   Практические  расчеты по определению погрешности при умножении, доказывающие состоятельность формулы (6), представлены в примере 5.  

Примечание: в данном примере использовалось L-округление.

   Исходя  из формул (6)¸(13), в которых, например, погрешность при умножении (делении) – это сложение (разность) отдельных погрешностей чисел, входящих в расчет, можно сформулировать закон равновесия погрешностей (точностей): 

    Величины  погрешностей (точностей) чисел при умножении  и делении должны быть равны между собой. 

                                               d_x1 = d_x2 = …= d_xn                                     (16) 

                                      Т_x1 = Т_x2 = …= Т_xn                                                            (17) 

   Какие-либо комментарии к этому закону излишни, необходимо всегда стремиться к равновесию, неправильно использовать в расчетах числа с большими отклонениями в величинах погрешностей (точностей). Данная формулировка закона равновесия погрешностей справедлива для сокращения чисел по погрешности (точности), ведь при сокращении по знакам происходит разброс в величинах основных числовых характеристик, образуя так называемые числовые уровни, подробно рассмотренные в (1). В этом случае формулировка закона равновесия погрешностей (точностей) будет выглядеть следующим образом: 

    Величины  погрешностей (точностей) чисел при умножении и делении должны быть равны по числовому уровню их изменения. 

                                У_п1 = У_п2 = … = У_пi = У_i                                 (18) 

                                 У_т1 = У_т2 = … = У_тi = У_i                                 (19), 

где     У_пi (У_тi) – i-й числовой уровень изменения погрешности (точности),

           У_i – i-й числовой уровень. 

i = 0…n                n ® ∞ 

   Для отдельно

   взятого числа                          У_пi = У_тi                                              (20) 

   Формулы (18) и (19) могут быть переписаны в следующем виде: 

                                   N_тз1 = N_тз2 = …= N_тзn                                      (21) 

   Отсюда  следует вывод, что: 

   При умножении и (или) делении n чисел следует оставлять k точных знаков, что соответствует k знакам от начала чисел.

   В доказательство необходимо привести пример вычисления чисел, применив округление чисел по погрешности (пример 6). Чтобы  получить наиболее наглядную и справедливую картину, в примере использовались числа разного порядка, у которых погрешности имеют круглые значения (10 %, 1 %, 0.1 % и т.п.), причем при одинаковом количестве точных знаков погрешности чисел равны. Такие числа состоят из знаков одинаковой величины.  

 

Как видно  из данного примера, при использовании  одинаковой погрешности приближенные числа получились с одинаковым количеством знаков от начала числа, что и требовалось доказать.

   Таким образом, рассмотрены формулы определения  числовых характеристик при умножении и делении, на основе которых можно находить величины погрешностей и точностей на различных этапах вычислений, иначе говоря, проектировать погрешности и точности. В качестве примера можно привести определение возможной ошибки в конечном результате (пример 7) при использовании L-округления. Основной задачей небольшого расчета было проектирование погрешности таким образом, чтобы она не превысила нормативную погрешность, которая принималась равной 5 %. В первом приближении был использован третий числовой уровень. Максимальная проектируемая погрешность определялась из следующих соображений: у чисел использовались максимально возможные погрешности третьего числового уровня (d_max), а погрешности у делителей были приняты равными нулю (d_min). Тем самым была достигнута максимальная проектируемая погрешность (d_zтmax), которая в итоге не превысила нормативную (d_zн). Если же в итоге истинная погрешность получится больше максимальной проектируемой или тем более нормативной, то в расчетах сделана ошибка.  

 

   Например, преподаватель дает задание студенту рассчитать пример, при этом зная точное значение окончательного результата. Студент приносит выполненную работу, в которой он использовал, к примеру, четыре точных знака от начала чисел. При этом у преподавателя имеется расчет погрешности для каждого количества точных знаков. Сравнив максимально допустимую погрешность из данного расчета с погрешностью, которая образуется при сравнении полученного результата студентом с точным значением окончательного результата, преподаватель и делает вывод о правильности сделанных расчетов студентом. Например, погрешность студента равна 1.2 %, а максимально допустимая погрешность – 0.9 %. Это означает, что расчет студентом сделан неверно, хотя его погрешность и меньше принятой в инженерных расчетах 5 %.

   Далее будет рассмотрено сложение и вычитание, а также выведены и проанализированы соответствующие формулы.

   В результате исследований было обнаружено, что на погрешность и точность окончательного результата (d_zф и Т_zф) при сложении и вычитании оказывают влияние два фактора:

1. Погрешность и точность чисел,
2. Отношение точных значений чисел к точному значению окончательного результата, т.е. значимость каждого из чисел.

Примечание: здесь и далее речь идет о числах, участвующих в сложении и вычитании.

   Вполне  естественно, что в формулы определения  погрешности и точности окончательного результата входят соответственно погрешность и точность чисел, причем их влияние прямо пропорционально. Эти характеристики являются количественными характеристиками, ведь значения их величин участвуют в формировании значений величин d_z и Т_z, причем в части формул осуществляется их сложение (вычитание). Второй фактор представляет собой качественную характеристику, которая показывает значимость точного значения отдельного числа по отношению к точному значению окончательного результата.  

Сложение:

   Погрешность окончательного результата – это сумма  произведений слагаемых чисел и их фактических погрешностей, деленная на точное значение окончательного результата: