Глава 2. Теорема сложения и умножения вероятностей

§1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

  Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящие в появлении события А, или событии В, или обоих этих событий.

  Пример.  Если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А + В – попадание при первом выстреле, или при втором выстреле, или в обоих выстрелах.

  Суммой  нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

  Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

  Следствие. Вероятность появления одного из нескольких парно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий. 

Р(А₁ + А₂ + … + А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n).

 

  Пример. В  урне 20 шаров: 8 красных, 6 синих, 6 белых. Найти вероятность появления  цветного шара.

  Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного Р(А) = 8/20 = 2/5, синего           Р(В) = 6/20 = 3/10. События А и В несовместимы, по теореме сложения

Р(А + В) = 2/5 + 3/10 = 7/10.

 

  Пример. В  лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает выигрыш 500 руб, на 10 билетов – выигрыш по 100 руб, на 80 билетов – 20 руб, на 100 билетов – 8 руб, остальные невыигрышные. Найти вероятность выигрыша не менее 20 руб при покупке 1 билета. 

  Решение. Событие А – выиграть не менее 20 руб. Событие A может осуществиться, если наступит одно из несовместных событий: А₁ – выигрыш  20 руб,   А₂ – 100 руб, А₃ – 500 руб. События несовместимы, следовательно,                      А = А₁ + А₂ + А₃. По теореме сложения вероятностей несовместных событий

Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂) + Р(А₃) = 50/1000 + 10/1000 + 1/1000 = 0,061. 

  Теорема. Сумма вероятностей событий А₁, А₂, … , А_n образующих полную группу, равна единице:

Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n) = 1. 

  Пример. Круговая мишень состоит из трех зон: I, II, III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле – 0,15, во вторую – 0,23, в  третью – 0,17. Найти вероятность промаха.  

  Решение. Событие А – промах, противоположное событие Ā  – попадание. 

Событие Ā может осуществиться, если наступит одно из несовместных событий: А₁ – попадание в первую зону, А₂ – во вторую, А₃ – в третью. События несовместимы, следовательно Ā = А₁ + А₂ + А₃. По теореме сложения:

Р(Ā) = 0,15 + 0,23 + 0,17 = 0,55.

Событие А и Ā  образуют полную группу, следовательно, Р(А) = 1 – Р(Ā) = 0,45. 

  Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р(Ā) = 1.

 

§2. Теорема умножения  вероятностей 

  Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий. 

  Пример. Если А – деталь годная, В – деталь стальная, то АВ – деталь годная  и стальная.   

  Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. 

  Пример. Если  А, В и С – появление ''герба''  в первом, во втором и третьем бросаниях монеты, то АВС – выпадение ''герба'' во всех трех испытаниях. 

  Условной  вероятностью Р_А(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило и выражается по формуле

Р_А(В) = Р(АВ)/Р(А).

  Теорема. Вероятность совместного появления двух событий  равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(AB) = Р(А)×Р_А(В).

  Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется  в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Р(А₁×А₂×…×А_n) = Р(А₁)×Р_А1(А₂)×Р _А1А2(А₃)×…×Р_{А1А2…Аn-1}(А_n).

  Для трех событий Р(АВС) = Р(А)×Р_А(В)×Р_АВ(С). Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым

  Р(АВС) = Р(А)×Р_А(В)×Р_АВ(С) = Р(B)×Р_B(A)×Р_ВA(С) = Р(C)×Р_C(В)×Р_CВ(A). 

  Пример. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

  Решение. Событие А₁ – извлечение белого шара при первом испытании, А₂ – извлечение белого шара при втором испытании. Эти события совместны, следовательно извлечение двух белых шаров А = А₁×А₂. Всего в урне 5 шаров. Вероятность извлечение белого шара при первом испытании Р(А₁) = 2/5, вероятность извлечение белого шара при втором испытании при условии, что при первом испытании был извлечен белый шар Р_А1(А₂) = 1/4. По теореме умножения совместных событий Р(А) = Р(А₁А₂) = Р(А₁)Р_А1(А₂) = (2/5)×(1/4) = 0,1. 

§3. Независимые события. Теорема умножения  для независимых  событий 

  Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е.

Р_А(В) = Р(В)

  Если  событие В не зависит от события А, то  и событие А не зависит от события В.

  Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А)×Р(В).

  Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

  События А, В, С попарно независимы, если А и В, А и С, В и С независимы.

  Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

  Следствие 1. Вероятность совместного появления нескольких независимых событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А₁×А₂×…×А_n) = Р(А₁)×Р(А₂)×…×Р(А_n).

  Следствие 2. Если события А₁, А₂, … , А_n независимы, то противоположные им события Ā₁, Ā₂, …, Ā_n так же независимы. 

  Пример. Производится три выстрела по одной и той  же мишени. Вероятность попадания  при первом, втором и третьем  выстрелах равна  Р₁ = 0,4;  Р₂ = 0,5;    Р₃ = 0,7. Найти вероятность того, что в результате этих трех  выстрелов произойдет ровно одно попадание.

  Решение. Событие А – ровно одно попадание в мишень; А₁, А₂, А₃ – попадание при первом, втором и третьем выстрелах соответствено; Ā₁, Ā₂, Ā₃ – промах при первом, втором и третьем выстрелах соответствено. Событие А  может наступить, если первый стрелок попал, а второй и третий не попали      А₁ Ā₂ Ā₃; если второй стрелок попал, а первый и третий не попали Ā₁ А₂ Ā₃; если третий стрелок попал, а первый и второй не попали Ā₁ Ā₂ А₃:

А = А₁ Ā₂ Ā₃ + Ā₁ А₂ Ā₃ + Ā₁ Ā₂ А₃.

  Искомая вероятность

  Р(А) = Р(А₁ Ā₂ Ā₃) + Р(Ā₁ А₂ Ā₃ ) + Р(Ā₁ Ā₂ А₃);

  Р(А) = Р(А₁)×Р(Ā₂)×Р(Ā₃) + Р(Ā₁)×Р(А₂)×Р(Ā₃) + Р(Ā₁)×Р(Ā₂)×Р(А₃);

  Р(А) = 0,4×0,9×0,3 + 0,6×0,9×0,3 + 0,6×0,9×0,7 = 0,06 + 0,09 + 0,21 = 0,36. 

§4. Вероятность появления хотя бы одного события 

  Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий А₁, А₂, … , А_n, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий Ā₁, Ā₂,…, Ā_n:

Р(А) = 1 – Р(Ā₁)×Р(Ā₂)×…×Р(Ā_n).

  Следствие. Если событие А₁, А₂, … , А_n имеют одинаковую вероятность, равную p, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий:

Р(А) = 1 – qⁿ,

  где q – вероятность противоположного события.  

  Пример. В  типографии имеется 3 машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент работает  хотя бы одна машина.

  Решение. Событие А – машина работает, противоположное событие Ā – машина не работает. Эти события образуют полную группу.

p + q = 1,   q = 1 – p = 0,2,         Р(А) = 1 – qⁿ = 1 – 0,2³ = 0,992.