Теория вероятности

 

 

                   

 

                        Реферат

       по дисциплине: математика

                     тема: Теория вероятности

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                            

                                                                                                      

                                                                                                                       

                                                                                                                              Выполнил студент       группы:

                                                                                                                                       

                                                                                                                               Проверил:

                                                                                      

 

 

                                             

        В  истории развития теории вероятностей  можно выделить следующие этапы.

 

1. Предыстория теории вероятностей. В этот период, начало которого  теряется в глубине веков, ставились  и примитивно решались задачи, которые позже будут отнесены  к теории вероятностей. Никаких  специальных методов решения  в этот период не было. Этот  период закончился в XVI веке  появление работ Кардано, Пачоли, Тарталья.

2. Возникновение теории вероятностей  как науки. В этот период  вырабатываются первые специфические  понятия, устанавливаются первые  теоремы. Начало этого периода  связано с именами Паскаля,  Ферма, Гюйгенса. Этот период продолжается  от середины XVI века до начала XVIII века. В этот период теория  вероятностей находят свои первые  применения в демографии, страховом  деле, оценке ошибок наблюдения.

3. Следующий этап начинается  с появления работы Я. Бернулли  «Искусство предположения» (1713 год). Здесь была доказана теорема  Бернулли, которая дала возможность  широко применять теорию вероятностей  к статистике. К этому периоду  относятся работы Муавра, Лапласа,  Гаусса, Пуассона, теория вероятностей  начинает применяться в различных областях естествознания.

4. Следующий этап развития теории  вероятностей связан, прежде всего,  с русской (Петербургской) школой. Здесь можно назвать имена  Чебышева, Маркова, Ляпунова. В это  время теория вероятностей начинает  широко применяться в различных  областях естествознания, в первую  очередь – в физике. Возникает  статистическая физика, которая  развивается в тесной связи с теорией вероятностей.

5. Современный этап развития  теории вероятностей. Для успешного  применения теории вероятностей  к физике, биологии и другим  наукам, а также к технике и  военному делу необходимо было  уточнить и привести в стройную  систему основные понятия теории  вероятностей. Поэтому этот период  начался с установления аксиом  науки. Первые работы этого  периода связаны с именами  Бернштейна, Мизеса, Бореля. Окончательное  установление аксиоматики произошло  в 30-е годы XX века, когда была  опубликована и получила всеобщее  признание аксиоматика Андрея  Николаевича Колмогорова.

Сейчас невозможно указать ни одной  области человеческой деятельности, где бы не применялись вероятностные  исследования. Говорят о «стохастической  революции в сознании». В современном  языке стохастический означает «случайный», в древнегреческом stochastikos означало «умеющий угадывать».

                                 

 

 

                                                 Классическое определение вероятности

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых  условий может произойти или  не произойти. Например, попадание в  некоторый объект или промах при  стрельбе по этому объекту из данного  орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно  происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания  произойти не может.

Случайные события называются несовместными  в данном испытании, если никакие  два из них не могут появиться  вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании  может появиться любое из них  и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие  события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление  этого события влечет за собой  появление события А.

Пример. В урне находится 8 пронумерованных шаров (на каждом шаре поставлено по одной цифре от 1 до 8). Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (или цифрой 2 или цифрой 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8) есть событие, благоприятствующее появлению черного шара.

Вероятностью события A называют отношение  числа m благоприятствующих этому событию  исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и  единицей.

Итак, вероятность любого события  удовлетворяет двойному неравенству .

Пример. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?

Решение. Пусть событие А = (Номер вынутого шара не превосходит 10). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1. Событие А достоверное.

                                   Теория вероятностей или Теория вероятности

 

Теория вероятностей или  теория вероятности – это один из разделов Высшей Математики. Это самый интересный раздел Науки Высшая Математика Теория вероятности, которая являясь сложной дисциплиной, имеет применение в реальной жизни. Теория вероятностей представляет несомненную ценность для общего образования. Эта наука позволяет не только получать знания, которые помогают понимать закономерности окружающего мира, но и находить практическое применение теории вероятности в повседневной жизни. Так, каждому из нас каждый день приходиться принимать множество решений в условиях неопределенности. Однако эту неопределенность можно «превратить» в некоторую определенность. И тогда это знание может оказать существенную помощь при принятии решения. Изучение теории вероятностей требует больших усилий и терпения.

Теперь же давайте перейдем к  самой теории и истории ее возникновения. Главным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово  «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или  «вероятнее всего в выходные я  поеду на природу», или «это просто невероятно», или «есть шанс получить зачет автоматом». Такого рода фразы  на интуитивном уровне оценивают  вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. В  свою очередь математическая вероятность  дает некоторую числовую оценки вероятности  того, что произойдет некоторое случайное  событие.

История теории вероятностей

Теория вероятностей оформилась в  самостоятельную науку относительно не давно, хотя история теории вероятностей началась еще в античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар и еще некоторые  ученые древней Греции в своих  рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность  того, что вся материя состоит  из молекул. Таким образом, понятие  вероятности использовалось на интуитивном  уровне, но оно не было выделено в  новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент  для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно  сказать, и зародилась теория вероятности, когда были приняты первые попытки  математического анализа, таких  азартных игр как кости, орлянка, рулетка.

Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда  такие ученые как Блез Паскаль  и Пьер Ферма открыли некоторые  закономерности, которые возникают  при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес  еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие  понятия теории вероятностей: понятие  вероятности как величины шанса  или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые  правда не были сформулированы в явном  виде.  Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений.

Дальнейшее развитие теории вероятностей привело к необходимости аксиоматизации теории вероятностей и главного понятия  – вероятности. Так становление  аксиоматики теории вероятностей произошло  в 30 гг 20 века. Самый существенный вклад  в заложение основ теории внес Космогоров А.Н.

На сегодняшний день теории вероятностей это самостоятельная наука, имеющая  огромную сферу применения. В данном разделе сайта Вы найдете шпаргалки  по теории вероятности, лекции и задачи по теории вероятностей, литературу, а  также много интересных статей о  применении теории вероятностей в жизни.

Вероятность в математике

Математически классическая (т.е. неквантовая) вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова как мера на вероятностном  пространстве, причём мера всего пространства равна единице. При этом случайные  события определяются как измеримые  подмножества этого пространства.

 

Пример 3. Одновременно бросаются две  игральные кости, на гранях которых  нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какова вероятность  того, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми?

 

Решение. Так как любое из возможного числа очков на одной кости  может сочетаться с любым числом очков па другой, то общее число  различных случаев равно n = 6 * б = 36. Легко убедиться в том, что  все эти случаи попарно несовместны, равновозможны и образуют полную группу событий. Для ответа на вопрос следует подсчитать, в каком числе  случаев сумма очков равна  восьми. Это будет, если число очков  на брошенных костях равно

 

2 + 6, 3 + 5, 4 + 4, 5 + 3, 6 + 2,

 

причем первое слагаемое означает число очков на первой, а второе - на второй кости. Отсюда видно, что  событию А, состоящему в том, что  сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми, благоприятствует m= 5 случаев. Поэтому

 

P(A)=5/36.