Задачи с решением теория вероятности

      Задача 1. Партия товара содержит 20 изделий 1 сорта и 85 изделий 2 сорта. Из партии извлекаются изделия до тех пор, пока не появляется изделие 1 сорта. Найти вероятность того, что будет извлечено ровно 3 изделия. 

      Для того, чтобы было извлечено ровно  три детали надо, чтобы первая и вторая извлеченная деталь были второго сорта, а третья – первого. Обозначим через А вероятность того, что первая извлеченная деталь окажется второго сорта, через В вероятность того, что вторая деталь окажется второго сорта и через С вероятность того, что третья деталь окажется первого сорта.

      Тогда событие «Извлечение ровно трех изделий» есть произведение событий  А, В и С. По формуле умножения  вероятностей получается: 

      Р(АВС) = Р(А)*Р(В|A)*P(C|AB). 

      Вероятность события А равна: 

      Р(А)=85/105 = 17/21. 

      Вероятность события В при условии, что  произошло событие А равна: 

      Р(В|A)=84/104 = 21/26. 

      Вероятность события С при условии, что  произошли события А и В  равна:

      P(C|AB)=20/103 = 20/103. 

      И тогда вероятность того, что будет извлечено ровно три изделия составит: 

      Р(АВС) = Р(А)*Р(В|A)*P(C|AB)= 17/21 * 21/26 * 20/103 = 0,0127.

      Задача 2. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в соотношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступившие от первого, второго и третьего поставщиков не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 90% случаев. Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. 

      Обозначим через А1, А2 и А3 соответственно следующие события: «телевизор поступил от первого поставщика», «телевизор поступил от второго поставщика», «телевизор поступил от третьего поставщика». Пусть С означает событие «поступивший телевизор не потребует ремонта». Поскольку А1, А2 и А3 составляют полную группу попарно несовместных событий, то для определения вероятности события С применим формулу полной вероятности: 

      Р(С) = P(C|A1)*P(A1)+ P(C|A2)*P(A2)+ P(C|A3)*P(A3). 

      По  условию P(C|A1)=0,98, P(C|A2)=0,88, P(C|A3)=0,9. Кроме того, поскольку количество телевизор, поступивших от первого, второго и третьего поставщиков находятся в отношении 1:4:5, то  

      P(A1)=1/(1+4+5)=0,1,

      P(A2)=4/(1+4+5)=0,4,

      P(A3)=5/(1+4+5)=0,5. 

      В итоге имеем:

      Р(С) = 0,98*0,1+0,88*0,4+0,9*0,5=0,098+0,352+0,45=0,9. 

      Т.е. вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока составляет 0,9 или 90%. 

      Задача 3. Дана плотность распределения случайной величины Х.

      Требуется найти: неизвестный параметр с, функцию распределения случайной величины Х, вероятность Р(0≤Х<0.5) того, что случайная величина Х примет значение из интервала [0,0.5), математическое ожидание величины Х. 

      Константу с найдем из условия для φ(х) :

      Имеем

      Отсюда  с=4/3.

      Функция распределения непрерывной случайной величины

      Для (x)=0, F(x)=0

      Для

       

      Для

      Т.е. функция распределения примет вид:

      

      Математическое  ожидание непрерывной случайной  величины

      Имеем

      Вероятность  

      Задача 4. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных. 

      Эксперимент заключается в проведении 200 повторных независимых испытаний с двумя исходами и постоянной вероятностью в каждом. Следовательно, схема Бернулли применима. Поскольку n достаточно велико, а p достаточно мало, то для вычисления вероятности по формуле Бернулли можно воспользоваться формулой Пуассона.

      Тогда:

      

      В нашем случае λ = n*p = 200*0.01=2.

        

      Задача 5. Для замера напряжений используются специальные тензодатчики. Определить среднюю квадратическую ошибку тензодатчика, если он не имеет систематических ошибок, а случайные ошибки распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ±0,2 мк. 

     Известно, что для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами а и σ, P(|X-a|<Δ)=2Ф*( Δ/ σ)-1, где Ф*(х) – функция распределения стандартного закона. В нашем случае а=0, Δ=0,2, а P(|X-a|<Δ)=0,8, следовательно:

P(|X-a|<Δ)= 2Ф*( Δ/ σ)-1=2Ф*(0,2/ σ)-1=0,8,

Ф*(0,2/ σ)=0,9

     Исходя  из таблицы значений функции распределения  стандартного закона Ф*(х)=0,9 при х=1,28, а значит 0,2/ σ=1,28, значит σ=0,2/1,28=0,15625, а σ²=0,0244. 

     Задача 6. В страховой компании 4000 клиентов. Страховой взнос каждого из них составил 3 у.е. При наступлении страхового случая, вероятность которого по оценкам экспертов равна 0,005, страховое возмещение равно 400 у.е. Какова вероятность того, что страховая компания окажется к концу года в убытке. 

     Пусть случайная величина У выражает число наступлений страховых случаев в течение года. Тогда общая сумма страхового возмещения составит 400У у.е. При этом суммарный страховой взнос составит 4000*3=12000у.е. Компания будет в убытке, если величина 400У превзойдет 12000, т.е. число наступления страховых случаев превзойдет 30.

     Отсюда  необходимо найти: Р(У>30)=1- Р(У<30). В данном случае можно применить теорему Муавра-Лапласа, по которой:

     

     А значит Р(У>30)=1- Р(У<30)=1-0.9875=0.0125. 

     Задача 7. Станок-автомат штампует валики. Для выборки объема 12 выборочный средний диаметр валиков составил 10 мм, а их среднее квадратическое отклонение – 2 мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально. Определить доверительный интервал, с надежностью 0,9 содержащий математическое ожидание диаметра валика во всей генеральной совокупности. 

     Т.к. генеральная совокупность имеет  нормальное распределение, то доверительный  интервал с надежностью γ для  ее математического ожидания равен:

     

     Где n – объем повторной выборки, в  нашем случае 12,

      и s – выборочные средняя и среднеквадратическое отклонение, в нашем случае 10 и 2,

      - квантиль уровня  t-распределения с n-1 степенями свободы, в нашем случае t_0.95,11 =1.1795.

     Т.е. доверительный интервал для математического  ожидания будет:

       

     Задача 8. Ожидается, что добавление специальных веществ уменьшает жесткость воды, которая подчиняется нормальному закону распределения. Оценки жесткости воды до и после добавления специальных веществ по 40 и 50 пробам соответственно показали средние значения жесткости, равные 4 и 3.8 градуса. Дисперсия измерений в обоих случаях предполагается 0.25 град². Подтверждают ли эти результаты ожидаемый эффект (уровень значимости принять равным 0,05)? 

     В данном случае выборочные средние составляют 4 и 3,8 град., а выборочные дисперсии  – 0,25 град² в обоих случаях. Для начала проверяется гипотеза о равенстве генеральных средних . В качестве альтернативной берется гипотеза о снижении жесткости. Для проверки нулевой гипотезы используется статистика

        ,

     Которая имеет t-распределение с n₁+n₂-2 степенями свободы.

     В нашем случае выборочное значение статистики будет равно 1,864549, а табличное значение 1,987. Т.к. 1.86<1.987, то нулевая гипотеза принимается и можно сказать, что добавление специальных веществ уменьшает жесткость воды.