Теория вероятностей

Тема 1: Определения вероятностей

1. В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …

 

Решение: 
Для вычисления события  (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали  из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть . Следовательно,

 

Тема 2: Алгебра событий

1. Два студента сдают экзамен. Если ввести события (экзамен успешно сдал первый студент) и (экзамен успешно сдал второй студент), то событие, заключающееся в том, что экзамен сдадут успешно оба студента, будет представлять собой выражение …

Решение: 
То, что экзамен сдадут оба студента означает, что и первый, и второй студент сдадут экзамен, то есть речь идет о совместном наступлении этих событий. А событие, состоящее в совместном наступлении нескольких событий, называется их произведением. Правильным будет ответ:

 

2. Операции сложения и умножения событий не обладают свойством …

 

Решение: 
Операции сложения и умножения событий обладают свойствами: 
а) коммутативности сложения  
б) коммутативности умножения  
в) ассоциативности сложения  
Следовательно, операции сложения и умножения событий не обладают свойством

 

 

Тема 3: Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. В урну, в которой лежат 6 белых и 5 черных шаров добавляют два черных шара. После этого наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Тогда вероятность того, что хотя бы один шар будет белым, равна …

 

Решение: 
Введем обозначения событий:  – -ый вынутый шар будет белым, A – хотя бы один шар будет белым. Тогда  где  – -ый вынутый шар не будет белым. Так как по условию задачи события ,  и  зависимы, то  

 

2. В урну, в которой лежат 6 белых и 5 черных шаров добавляют два белых шара. После этого наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Тогда вероятность того, что все три шара будут белыми, равна …

 

Решение: 
Введем обозначения событий: – -ый вынутый шар будет белым, A – все три шара будут белыми. Тогда  и так как по условию задачи события ,  и  зависимы, то 

 

3. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,95, а вторым – 0,80. Оба стрелка стреляют одновременно. Тогда вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком, равна … 

0,23

0,95 

0,875

0,17

Решение: 
Введем обозначения событий:  (цель поражена первым стрелком),  (цель поражена вторым стрелком). Так как эти события независимы, то искомую вероятность  можно вычислить как: 

 

4. Наладчик обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа потребует его вмешательства первый станок, равна 0,15; второй –0,05; третий –0,2. Тогда вероятность того, что в течение часа потребуют вмешательства наладчика все три станка, равна … 

0,0015

0,4

0,015 

0,9985

Решение: 
Введем обозначения событий: (вмешательства наладчика потребует -ый станок),  (вмешательства наладчика потребуют все три станка). 
Тогда 

 

Тема 4: Полная вероятность и формулы Байеса

1. В первой урне 3 черных шара и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых шара и 6 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался черным. Тогда вероятность того, что этот шар вынули из второй урны, равна …

 

Решение: 
Предварительно вычислим вероятность события  A (вынутый наудачу шар – черный) по формуле полной вероятности: . Здесь  – вероятность того, что шар извлечен из первой урны;  – вероятность того, что шар извлечен из второй урны;  – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если он извлечен из первой урны;  – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если он извлечен из второй урны. 
Тогда  
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из второй урны, по формуле Байеса: 

 

2. Банк выдает 40% всех кредитов юридическим лицам, а 60% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,1; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило физическое лицо, равна …

 

 

0,07 

0,05

Решение: 
Предварительно вычислим вероятность события  A (выданный кредит не будет погашен в срок)  по формуле полной вероятности: . Здесь  – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу;  – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу;  – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу;  – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда 
 
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот кредит не погасило физическое лицо, по формуле Байеса: 

 

3. Банк выдает 35% всех кредитов юридическим лицам, а 65% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,15; а для физического лица эта вероятность составляет 0,1. Тогда вероятность непогашения в срок очередного кредита равна …

0,1175

0,125

0,8825

0,1275

Решение: 
Для вычисления вероятности события  A (выданный кредит не будет погашен в срок) применим формулу полной вероятности: . Здесь  – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу;  – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу;  – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу;  – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда 

 

Тема 5: Законы распределения вероятностей одномерных дискретных случайных величин

1. Дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей:  
Тогда вероятность  равна …

 

Решение: 

 

2. Дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей: 
 
Тогда значения a и b могут быть равны …

 

Решение: 
Так как сумма вероятностей возможных значений  равна 1, то  Этому условию удовлетворяет ответ:

 

3. Дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей:  
 
Тогда вероятность  равна …

 

Решение: 

 

Тема 6: Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины

1. Дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей: 
 
Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …

 

Решение: 
По определению  
Тогда 
а) при   ,   , 
б) при   ,   , 
в) при   ,   , 
г) при   ,   . 
Следовательно,

 

2. Для дискретной случайной величины : 
 
функция распределения вероятностей имеет вид: 
 
Тогда значение параметра  может быть равно …

0,7

1

0,85 

0,6

Решение: 
По определению  Следовательно,  и . Этим условиям удовлетворяет, например, значение .

 

3. Дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей: 
 
Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …

 

Решение: 
По определению . Тогда 
а) при   , , 
б) при   , , 
в) при   , , 
г) при   , , 
д) при   , . 
Следовательно,

 

4. Для дискретной случайной величины : 
 
функция распределения вероятностей имеет вид: 
 
Тогда значение параметра  может быть равно … 

0,655

1

0,25

0,45

Решение: 
По определению  Следовательно,  и  Этим условиям удовлетворяет, например, значение .

 

Тема 7: Числовые характеристики дискретных случайных величин

1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей: 
 
Тогда ее среднее квадратическое отклонение равно …

0,80

0,64

2,60

14,16

Решение: 
Среднее квадратическое отклонение случайной величины  определяется как  где дисперсию  дискретной случайной величины  можно вычислить по формуле  Тогда  а

 

2. Дискретная случайная величина  X  задана законом распределения вероятностей:  
Тогда ее математическое ожидание равно …

 

Решение: 
Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле . Тогда

 

 

Тема 8: Биномиальный закон распределения вероятностей

1. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна 0,6. Тогда математическое ожидание  и дисперсия  дискретной случайной величины X – числа появлений события A в  проведенных испытаниях – равны …

 

Решение: 
Случайная величина X подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей, поэтому  а

 

2. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна . Тогда математическое ожидание  и дисперсия  дискретной случайной величины X – числа появлений события A в  проведенных испытаниях – равны …

 

Решение: 
Случайная величина  X  подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей, поэтому  а

 

4. В среднем 80% студентов группы сдают зачет с первого раза. Тогда вероятность того, что из 6 человек, сдававших зачет, с первого раза сдадут ровно 4 студента, равна …

 

Решение: 
Воспользуемся формулой Бернулли: 
 где        
Тогда

 

Тема 9: Простейший поток событий. Распределение Пуассона

1. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 час равно пяти. Тогда вероятность того, что за два часа поступит восемь заявок, можно вычислить как …

 

Решение: 
Вероятность наступления  событий простейшего потока за время  определяется формулой Пуассона: 
 где  – интенсивность потока. 
Так как , , , то

 

3. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 час, равно трем. Тогда вероятность того, что за два часа поступит пять заявок, можно вычислить как …

 

Решение: 
Вероятность наступления  событий простейшего потока за время  определяется формулой Пуассона: 
 где  – интенсивность потока. 
Так как , , , то

 

Тема 10: Вероятности состояний цепи Маркова

1. Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова имеет вид , а вектор начального распределения вероятностей – . Тогда вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге равен …

 

Решение: 
Вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге можно вычислить последовательно как 
 

 

2. Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова имеет вид  а вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге равен . Тогда вектор вероятностей состояний цепи Маркова на третьем шаге равен …

 

Решение: 
Вектор вероятностей состояний цепи Маркова на третьем шаге можно вычислить как 

 

3. Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова имеет вид  а вектор начального распределения вероятностей – . Тогда вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге равен …

 

Решение: 
Вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге можно вычислить последовательно как 
 

 

Тема 11: Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

1. Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей: 
 
Тогда значение параметра  равно …

 

Решение: 
Так как  то  или  Тогда 
 и

 

2. Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей: 
 
Тогда вероятность  равна …

 

Решение: 
Воспользуемся формулой    Тогда

 

3. Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей: 
 
Тогда значение параметра  равно …

 

Решение: 
Так как  то  или  Тогда 
 и

 

4. Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей: 
 
Тогда вероятность  равна …

 

Решение: 
Воспользуемся формулой  Тогда

 

Тема 12: Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины

1. Непрерывная случайная величина  задана функцией распределения вероятностей: 
 
Тогда вероятность  равна …

 

Решение: 
Воспользуемся формулой  Тогда

 

2. Непрерывная случайная величина  задана функцией распределения вероятностей: 
 
Тогда ее плотность распределения вероятностей имеет вид …

Решение: 
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:  Тогда  и  

 

3. Непрерывная случайная величина  задана функцией распределения вероятностей: 
 
Тогда ее плотность распределения вероятностей имеет вид …

 

Решение: 
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:  Тогда  и