Теория вероятностей

 

Тема 24: Интегральная формула Лапласа

1. Вероятность появления некоторого события в каждом из 400 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Тогда вероятность того, что событие появится не менее 300 и не более 328 раз, следует вычислять как …

, где   – функция Лапласа

, где   – функция Лапласа 

, где 

 , где

Решение: 
Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний  расчет по формуле Бернулли  становится практически невозможным, особенно когда надо вычислять вероятности не отдельного равенства (события) , а неравенств вида . Для вычисления таких вероятностей на практике используется интегральная формула Лапласа , где  – функция Лапласа, а        
   
Следовательно,  

 

2. Вероятность появления некоторого  события в каждом из 100 независимых  испытаний постоянна и равна 0,2. Тогда вероятность того, что событие появится не менее 18 и не более 24 раз, следует вычислять как …

, где   – функция Лапласа

, где   – функция Лапласа

, где 

 , где 

Решение: 
Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний  расчет по формуле Бернулли  становится практически невозможным, особенно когда надо вычислять вероятности не отдельного равенства (события) , а неравенств вида . Для вычисления таких вероятностей на практике используется интегральная формула Лапласа , где  – функция Лапласа, а            
Следовательно,  

 

3. Вероятность того, что деталь не пройдет проверку ОТК, равна 0,15. Тогда вероятность того, что среди 300 случайно отобранных деталей окажется не менее 50 деталей, не прошедших проверку ОТК, следует вычислить по …

интегральной формуле Лапласа

формуле полной вероятности

формуле Пуассона

локальной формуле Лапласа

Решение: 
Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний  расчет по формуле Бернулли  становится практически невозможным, особенно когда надо вычислять вероятности не отдельного равенства (события) , а неравенств вида . Для вычисления таких вероятностей на практике используется интегральная формула Лапласа , где  – функция Лапласа, а  

 

Тема 25: Вариационный ряд

1. Статистическое распределение выборки имеет вид 
 
Тогда значение относительной частоты  равно …

0,25

0,05

0,26

0,75

Решение: 
Сумма относительных частот равна единице. Поэтому

 

2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : 
 
Тогда значение  равно …

34

81

47

33

Решение: 
Объем выборки вычисляется по формуле , где  – частота варианты . Тогда

 

Тема 26: Полигон и гистограмма

1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , полигон частот которой имеет вид: 
 
 
 
Тогда относительная частота варианты  в выборке равна …

0,05

0,06 

0,25

0,20

Решение: 
Относительная частота  вычисляется по формуле , где  – частота варианты , а    – объем выборки. Вычислим предварительно частоту варианты  как  Тогда

 

2. Из генеральной совокупности  извлечена выборка объема  , гистограмма частот которой имеет вид: 
 
 
Тогда значение a равно …

38

39

76

37

Решение: 
Так как объем выборки вычисляется как  где , то

 

3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема , гистограмма относительных частот которой имеет вид 
 
Тогда значение a равно …

 

Решение: 
Так как площадь гистограммы относительных частот равна 1, то  Тогда .

 

Тема 27: Характеристики вариационного ряда

1. Мода вариационного ряда 2, 4, 5, 7, 7, 7, 9, 9, 11, 12 равна …

7

12

10

2

Решение: 
Модой вариационного ряда называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Такой вариантой является варианта 7, частота которой равна трем.

 

2. Медиана вариационного ряда 11, 14, 16, 17, 17, 17, 18, 19, 21, 22, 22, 23, 25, 25 равна …

18,5

17

14

18

Решение: 
Медианой вариационного ряда называется значение признака генеральной совокупности, приходящееся на середину вариационного ряда. Так как в середине ряда располагаются две варианты: 18 и 19, то медиана равна их средней арифметической – 18,5.

 

Тема 28: Эмпирическая функция распределения вероятностей

1. Из генеральной совокупности  извлечена выборка объема : 
, 
эмпирическая функция распределения вероятностей которой имеет вид: 
 
Тогда …

 

Решение: 
По определению  где  – число вариант, меньших . Тогда при   ,  то есть , а

 

2. Из генеральной совокупности   извлечена выборка объема : 
. 
Тогда ее эмпирическая функция распределения вероятностей  имеет вид …

Решение: 
По определению  где  – число вариант, меньших . Тогда 
а) при    
б) при    
в) при    
г) при    
д) при    
Следовательно,

 

3. Из генеральной совокупности  извлечена выборка объема : 
. 
Тогда ее эмпирическая функция распределения вероятностей  имеет вид …

 

Решение: 
По определению  где  – число вариант, меньших . Тогда 
а) при    
б) при    
в) при    
г) при    
д) при    
Следовательно,

 

5. Из генеральной совокупности  извлечена выборка объема : 
, 
эмпирическая функция распределения вероятностей которой имеет вид: 
 
Тогда …

 

Решение: 
По определению  где  – число вариант, меньших . Тогда при   ,  то есть , а .

 

Тема 29: Основные понятия об оценках параметров распределения

1. Дан доверительный интервал  для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точность этой оценки равна …

1,12

0,01

2,24

13,56

Решение: 
Точность интервальной оценки  определяется как  то есть

 

3. Дан доверительный интервал  для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при увеличении объема выборки этот доверительный интервал может принять вид …

 

Решение: 
Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . В случае увеличения объема выборки точность оценки улучшается, то есть значение  будет меньше 1,14.

 

4. Дан доверительный интервал  для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении надежности (доверительной вероятности) оценки доверительный интервал может принять вид …

 

Решение: 
Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . В случае уменьшения надежности точность оценки улучшается, то есть значение  будет меньше 0,85.

 

Тема 30: Точечная оценка математического ожидания

1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : 
 
Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …

13,14 

13,0

13,34

13,2 

Решение: 
Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле  То есть

 

2. Проведено пять измерений (без  систематических ошибок) некоторой  случайной величины (в мм): 4,5; 5,2; 6,1; 7,8, 8,3. Тогда несмещенная оценка  математического ожидания равна …

6,38

6,42

6,1

6,4

Решение: 
Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле  То есть

 

3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : 
 
Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна …

 

Решение: 
Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле  То есть

 

Тема 31: Точечная оценка дисперсии

1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема : 
 
Тогда выборочное среднее квадратическое отклонение равно …

 

Решение: 
Выборочное среднее квадратическое отклонение вычисляется как , где 
 Тогда 
 
и .

 

2. систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 3,6; 3,8; 4,3. Тогда несмещенная оценка дисперсии равна …

0,13

0,065

3,9

0,7

Решение: 
Несмещенная оценка дисперсии вычисляется по формуле: 
 где  Вычислив предварительно  получаем 

 

3. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 15; 18; 21; 24. Тогда выборочная дисперсия равна …

11,25

19,5 

15

21,25

Решение: 
Выборочная дисперсия вычисляется по формуле 
 где  Вычислив предварительно  получаем 

 

Тема 32: Интервальные оценки параметров распределения

1. Точечная оценка среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака равна 3,5. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …

 

Решение: 
Интервальной оценкой среднего квадратического отклонения  нормально распределенного количественного признака служит доверительный интервал 
 при  
или  при , где q находят по соответствующей таблице приложений. 
Этому определению удовлетворяет интервал .

 

4. Точечная оценка вероятности биномиально распределенного количественного признака равна 0,38. Тогда его интервальная оценка может иметь вид …

 

Решение: 
Интервальная оценка  вероятности  биномиально распределенного количественного признака симметрична относительно его точечной оценки, и . Таким свойствам удовлетворяет интервал   .

 

Тема 33: Линейная корреляция

1. Выборочное уравнение прямой линии регрессии  на  имеет вид , а выборочные средние квадратические отклонения равны: . Тогда выборочный коэффициент корреляции  равен …

 

Решение: 
Выборочный коэффициент корреляции  можно вычислить из соотношения  Тогда

 

3. Выборочное уравнение прямой линии регрессии  на  имеет вид . Тогда выборочный коэффициент корреляции может быть равен …

 

Решение: 
Значение выборочного коэффициента корреляции, во-первых, принадлежит промежутку , а во-вторых, его знак совпадает со знаком выборочного коэффициента регрессии. Этим условиям удовлетворяет значение .

 

4. Выборочное уравнение прямой линии регрессии  на  имеет вид . Тогда выборочное среднее признака  равно …

 

Решение: 
Выборочное уравнение прямой линии регрессии  на  имеет вид . Тогда выборочное среднее признака  равно .

 

Тема 34: Статистические гипотезы, статистический критерий

1. Левосторонняя критическая область может определяться из соотношения …

 

Решение: 
Левосторонней называют критическую область, определяемую соотношением , где  – отрицательное число, а – уровень значимости. Таким соотношением является .

 

3. Соотношением вида  можно определить …

левостороннюю критическую область

правостороннюю критическую область

двустороннюю критическую область

область принятия гипотезы

Решение: 
Данное соотношение определяет левостороннюю критическую область, так как левосторонней называют критическую область, определяемую соотношением , где  – положительное число, а – уровень значимости.

 

4. Соотношением вида  можно определить …

двустороннюю критическую область

правостороннюю критическую область

левостороннюю критическую область

область принятия гипотезы

Решение: 
Данное соотношение определяет двустороннюю критическую область, так как двусторонней называют критическую область, определяемую, например, соотношением вида , где  – положительное число, а – уровень значимости.

 

Тема 35: Проверка гипотез о дисперсиях

1. Основная гипотеза имеет вид  Тогда конкурирующей может являться гипотеза …

 

Решение: 
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию  противоречит

 

3. Основная гипотеза имеет вид  Тогда конкурирующей может являться гипотеза …

 

Решение: 
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию  противоречит

 

4. Наблюдаемое значение критерия  проверки гипотезы  о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому (предполагаемому) значению  может иметь вид …

 

Решение: 
Для проверки гипотезы  о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому (предполагаемому) значению  применяется статистический критерий  
который имеет хи-квадрат распределение с  степенями свободы, где  – объем выборки, по которой вычисляется  исправленная дисперсия .

 

Тема 36: Проверка гипотез о математических ожиданиях

1. Основная гипотеза имеет вид  Тогда конкурирующей может являться гипотеза …