Контрольная работа по "Теории вероятности"

Вариант 8

Задача 1

В первом ящике 3 белых и 2 черных шара. Во втором 1 белый и 3 черных шара. Из первого ящика извлечены 2 шара, из второго один шар. Найти вероятность  того, что все извлеченные шары одного цвета.

Решение:

Из ящика можно вытащить как  черные, так и белые шары.

А₁ – вытащили 2 белых шара из первого ящика

А₂ – вытащили 1 белый шар из второго ящика

А₃ – вытащили 2 черных шара из первого ящика

А₂ – вытащили 1 черный шар из второго ящика

А – два шара одного цвета.

Рассчитаем вероятности событий.

Так как могут произойти  либо события А₁ и А₂, либо А₃ и А₄, то

Р(А) = Р(А₁) ∙ Р(А₂) + Р(А₃) ∙ Р(А₄) = 0,3 ∙ 0,2 + 0,1 ∙ 0,6 = 0,12 или 12%.

Ответ: вероятность вытащить шары одного цвета составляет 12%.

Задача 2

В лотерее разыгрываются 20 билетов, из них 3 выигрышные: один –  на 3 руб., один – на 5 руб., один –  на 10 руб. Куплено два билета. Составить  ряд распределения случайной  величины Х – размер выигрыша в  рублях. Найти M_X, D_X, вероятность того, что X > 7. Найти функцию распределения F(x) и построить график.

Решение:

Случайная величина Х  может принимать следующие значения:

Х = 0 – оба билета оказались  без выигрыша;

Х = 3 – по одному билету выигрыш составил 3 руб., по второму билету – 0 руб.

Х = 5 – по одному билету выигрыш составил 5 руб., по второму  билету – 0 руб.

Х = 8 – по одному билету выигрыш  составил 3 руб., по второму билету – 5 руб.

Х = 10 – по одному билету выигрыш  составил 10 руб., по второму билету – 0 руб.

Х = 13 – по одному билету выигрыш  составил 10 руб., по второму билету – 3 руб.

Х = 15 – по одному билету выигрыш  составил 10 руб., по второму билету – 5 руб.

Найдем вероятности  этих событий:

 

Получим ряд распределения:

Х	0	3	5	8	10	13	15
Р(Х)

 

Проверим условие нормировки:

Найдем математическое ожидание

Найдем дисперсию:

Вероятность, что X > 7:

 или 10,52%

Составим функцию распределения:

График функции распределения  на рис. 1

Рис. 1 График функции  распределения

Задача 3

Три стрелка совершают  по одному выстрелу, вероятности попаданий при одном выстреле для стрелков соответственно равны: р₁ = 0,8; р₂ = 0,7 и р₃ = 0,9. Найти вероятность того, что произойдет ровно два попадания.

Решение:

Могут произойти следующие  события:

А – сделано попадание

А₁ – попал стрелок №1

А₂ – попал стрелок №2

А₃ – попал стрелок №3

По условию, произошло  ровно два попадания. Следовательно, попали стрелок 1 и стрелок 2, стрелок 2 и стрелок 3, стрелок 1 и стрелок 3.

Вероятность не попасть (промахнуться) у стрелков соответственно равны q₁ = 1 – р₁ = 1 – 0,8 = 0,2; q₂ = 1 – р₂ = 1 – 0,7 = 0,3; q₃ = 1 – р₃ = 1 – 0,9 = 0,1.

Вероятность события  А:

P(A) = p₁p₂q₃ + p₁q₂p₃ + q₁p₂p₃ = 0,8 ∙ 0,7 ∙ 0,1 + 0,8 ∙ 0,3 ∙ 0,9 + 0,2 ∙ 0,7 ∙ 0,9 = 0,398 или 39,8%

Ответ: вероятность попадания  ровно два раза составляет 39,8%.

Задача 4

В каждой из урн содержится 2 черных и 8 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен 1 шар и переложен  во вторую урну, после чего из второй урны извлечен шар. Найти вероятность  того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется белым.

Решение:

А – вытащили белый  шар из первой урны

В – вытащили белый  шар из второй урны

Найдем вероятность  события А. Общее число исходов  испытания n = 10, число благоприятных событий m = 8, тогда P(A) = m / n = 8 / 10 = 0,8.

Событие В является зависимым от события А, т.к. появление или непоявление события А изменяет вероятность наступления события В. Общее число исходов испытания n₁ = 11, число благоприятных событий m₁ = 9, тогда P(A) = m₁ / n₁ = 9 / 11 = 0,818.

Вероятность вытащить из второй урны белый шар составляет 81,8%.

Задача 5

На факультете 730 студентов. Вероятность того, что студент  не придет на занятия, равна 0,1. Найти  наивероятнейшее число студентов, не явившихся на занятия, и вероятность  этого события.

Решение:

Наивероятнейшее число м₀ наступления события А в n независимых испытаниях можно найти по формуле: np – q ≤ m₀ ≤ np + q

Вероятность прийти на занятия: q = 1 – p = 1 – 0,1 = 0,9

Таким образом, 730 ∙ 0,1 – 0,9 ≤ м₀ ≤ 730 ∙ 0,1 + 0,9

                                             72,1 ≤ м₀ ≤ 73,9

Частота м₀ является целым числом, последнему неравенству удовлетворяет единственное целое число, поэтому м₀ = 73.

Ответ: не явится на занятия 73 человека.

 

 

Задача 6

Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных двое окажутся мальчиками.

Решение:

По формуле Бернулли:

При n = 6, m = 2, p = 0,5, q = 1 – p = 1 – 0,5 = 0,5.

 или 23,4%.

Вероятность рождения двух мальчиков  из шести новорожденных составляет 23,4%.