Теория вероятностей

 

4. Непрерывная случайная величина  задана функцией распределения вероятностей: 
 
Тогда ее плотность распределения вероятностей имеет вид …

 

Решение: 
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:  Тогда  и  

 

5. Непрерывная случайная величина  задана функцией распределения вероятностей: 
 
Тогда вероятность  равна …

 

Решение: 
Воспользуемся формулой  Тогда

 

Тема 13: Числовые характеристики непрерывной случайной величины

1. Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей: 
 
Тогда ее математическое ожидание равно …

3

2

1

0

Решение: 
Воспользуемся формулой  Тогда

 

2. Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей: 
 
Тогда ее дисперсия равна …

 

Решение: 
Дисперсию непрерывной случайной величины  можно вычислить по формуле  Тогда  

 

3. Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей: 
 
Тогда ее дисперсия равна …

 

 

Решение: 
Дисперсию непрерывной случайной величины  можно вычислить по формуле . Тогда 

 

4. Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей: 
 
Тогда ее математическое ожидание равно …

 

Решение: 
Воспользуемся формулой  Тогда

 

Тема 14: Равномерное распределение

1. Дан график плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины : 
 
Тогда график ее функции распределения вероятностей имеет вид …

Решение: 
Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле  
Тогда: 
если , то , следовательно,  
если , то  
если , то  
Тогда график  будет иметь вид: 
.

 

2. Дан график плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины : 
 
Тогда график ее функции распределения вероятностей имеет вид …

 

Решение: 
Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины вычисляется по формуле  
Тогда: 
если , то , следовательно,  
если , то  
если , то  
Тогда график  будет иметь вид: 
.

 

3. Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей: 
 
Тогда ее математическое ожидание равно …

 

Решение: 
Эта случайная величина распределена равномерно в интервале . Тогда ее математическое ожидание можно вычислить по формуле  то есть

 

4. Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей: 
 
Тогда ее математическое ожидание равно …

 

Решение: 
Эта случайная величина распределена равномерно в интервале . Тогда ее математическое ожидание можно вычислить по формуле  то есть

 

Тема 15: Показательное распределение

1. Случайная величина  распределена по показательному закону с плотностью распределения вероятностей  Тогда вероятность  определяется как …

 

Решение: 
Плотность распределения вероятностей случайной величины , распределенной по показательному закону, имеет вид , и вероятность попадания в интервал  равна  
Тогда

 

2. Случайная величина  распределена по показательному закону с плотностью распределения вероятностей  Тогда вероятность  определяется как …

 

Решение: 
Плотность распределения вероятностей случайной величины , распределенной по показательному закону, имеет вид  и вероятность попадания в интервал  равна  
Тогда

 

 

4. Случайная величина  распределена по показательному закону с плотностью распределения вероятностей  Тогда ее математическое ожидание и дисперсия равны …

 

Решение: 
Плотность распределения вероятностей случайной величины , распределенной по показательному закону, имеет вид  и математическое ожидание и дисперсия равны соответственно:    
Тогда  и

 

 

Тема 16: Нормальное распределение

1. Непрерывная случайная величина  задана плотностью распределения вероятностей  Тогда математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение  этой случайной величины равны …

 

Решение: 
Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины  имеет вид  где    поэтому

 

2. Случайная величина  распределена нормально с математическим ожиданием  и дисперсией  Тогда ее плотность распределения вероятностей имеет вид …

 

Решение: 
Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины  имеет вид  где    поэтому  Тогда

 

 

Тема 17: Законы распределения вероятностей двумерных дискретных случайных величин

1. Двумерная дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей: 
 
Тогда значения a и b могут быть равны …

 

Решение: 
Так как сумма вероятностей равна единице, то есть  то  Этому условию удовлетворяет ответ:

 

2. Двумерная дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей: 
 
Тогда вероятность  равна …

 

Решение: 

 

3. Двумерная дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей: 
 
Тогда вероятность  равна …

 

Решение: 

 

Тема 18: Условные законы распределения вероятностей двумерных дискретных случайных величин

1. Двумерная дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей: 
 
Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей  при условии, что составляющая  приняла значение , имеет вид …

 

Решение: 
Условным законом распределения составляющей  при  называют совокупность условных вероятностей вида: , где   . Эти вероятности вычисляются по формуле: 
. 
Найдем вероятности возможных значений  при условии, что составляющая  приняла значение : 
 
 
 
Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей  примет вид: 

 

2. Двумерная дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей: 
 
Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей  при условии, что составляющая  приняла значение , имеет вид …

 

Решение: 
Условным законом распределения составляющей  при  называют совокупность условных вероятностей вида: , вычисляемых как  
Найдем вероятности возможных значений  при условии, что составляющая  приняла значение : 
 
 
Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей  примет вид: 

 

3. Двумерная дискретная случайная величина  задана законом распределения вероятностей: 
 
Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей  при условии, что составляющая  приняла значение , равно …

 

Решение: 
Условным законом распределения составляющей  при  называют совокупность условных вероятностей вида: , вычисляемых как:    
Найдем  вероятности возможных значений  при условии, что составляющая  приняла значение : 
 
 
Тогда условный закон распределения вероятностей составляющей  примет вид: 

 

 

Тема 19: Функция двух случайных аргументов

1. Дискретные случайные величины  и  заданы законами распределения вероятностей: 
 
Тогда закон распределения вероятностей функции  имеет вид …

 

Решение: 
Чтобы найти возможные значения случайной величины , сложим каждое возможное значение  со всеми возможными значениями случайной величины :  
Вероятности этих возможных значений равны произведениям вероятностей слагаемых:      Тогда закон распределения вероятностей функции  примет вид: 

 

2. Дискретные случайные величины  и  заданы законами распределения вероятностей: 
 
 
Тогда закон распределения вероятностей функции  имеет вид …

 

Решение: 
Чтобы найти возможные значения случайной величины , сложим каждое возможное значение  со всеми возможными значениями случайной величины : . 
Вероятности этих возможных значений равны произведениям вероятностей слагаемых: , , , . Тогда закон распределения вероятностей функции  примет вид: 

 

4. Дискретные случайные величины  и  заданы законами распределения вероятностей: 
 
Тогда закон распределения вероятностей функции  имеет вид …

 

Решение: 
Чтобы найти возможные значения случайной величины , сложим каждое возможное значение  со всеми возможными значениями случайной величины : . 
Вероятности этих возможных значений равны произведениям вероятностей слагаемых: , , , . Тогда закон распределения вероятностей функции  примет вид: 

 

Тема 20: Ковариация и корреляция

1. Корреляционная матрица для системы случайных величин  может иметь вид …

 

Решение: 
Для системы, состоящей из  случайных величин  или случайного вектора  корреляционная матрица  размерности  состоит из элементов , удовлетворяющих условиям: ,  и . 
Этим условиями удовлетворяет, например, матрица

 

3. Корреляционная матрица для системы случайных величин  может иметь вид …

 

Решение: 
Для системы, состоящей из  случайных величин  или случайного вектора  корреляционная матрица  размерности  состоит из элементов , удовлетворяющих условиям: ,  и . 
Этим условиями удовлетворяет, например, матрица

 

Тема 21: Неравенство Чебышева

1. Математическое ожидание случайной величины  равно , а дисперсия – . Тогда вероятность того, что , можно оценить с использованием неравенства Чебышева как …

 

Решение: 
Воспользуемся неравенством Чебышева вида:  
Тогда

 

2. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна . Всего было куплено  билетов. Тогда вероятность того, что количество выигравших билетов будет заключено в пределах от  до , можно оценить с использованием неравенства Чебышева как  …

 

Решение: 
Воспользуемся неравенством Чебышева вида:  где случайная величина  – количество выигравших билетов. Тогда ,  и

3. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна . Всего было куплено  билетов. Тогда вероятность того, что количество выигравших билетов будет заключено в пределах от 15 до 25, можно оценить с использованием неравенства Чебышева как  …

 

Решение: 
Воспользуемся неравенством Чебышева вида:  где случайная величина  – количество выигравших билетов. Тогда ,  и

 

Тема 22: Неравенство Бернулли

1. Вероятность изготовления бракованного изделия равна . Всего было изготовлено  изделий. Тогда вероятность того, что бракованных изделий окажется от  до , можно оценить с использованием неравенства Бернулли как  …

 

Решение: 
Воспользуемся неравенством Бернулли вида:  где , , . Тогда

 

3. Вероятность изготовления бракованного изделия равна . Всего было изготовлено  изделий. Тогда вероятность того, что бракованных изделий окажется от  до , можно оценить с использованием неравенства Бернулли как …

 

Решение: 
Воспользуемся неравенством Бернулли вида:  где , , . Тогда

 

Тема 23: Локальная формула Лапласа

1. Вероятность появления некоторого события в каждом из  независимых испытаний постоянна и равна . Тогда вероятность того, что событие появится ровно  раз, следует вычислить по …

локальной формуле Лапласа

формуле полной вероятности

формуле Пуассона

интегральной формуле Лапласа

Решение: 
Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний  расчет по формуле Бернулли  становится практически невозможным. 
Поэтому для вычисления таких вероятностей на практике используется локальная формула Лапласа  где

 

2. Вероятность появления некоторого  события в каждом из   независимых испытаний постоянна и равна . Тогда вероятность того, что событие появится ровно  раза, следует вычислять как …

, где

, где

, где   – функция Лапласа

, где   – функция Лапласа

Решение: 
Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний  расчет по формуле Бернулли  становится практически невозможным. 
Поэтому для вычисления таких вероятностей на практике используется локальная формула Лапласа  где   , , . 
Следовательно,

 

3. Вероятность появления некоторого события в каждом из  независимых испытаний постоянна и равна . Тогда вероятность того, что событие появится ровно  раза, следует вычислять как …

 , где

 , где 

, где  – функция Лапласа

, где   – функция Лапласа

Решение: 
Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение, и это распределение является асимптотически нормальным. Это означает, что при больших значениях числа испытаний  расчет по формуле Бернулли  становится практически невозможным. 
Поэтому для вычисления таких вероятностей на практике используется локальная формула Лапласа  где   , , . 
Следовательно,