Теория вероятности

Вариант 2

1.2. Сколько элементарных событий содержит каждое из случайных событий: сумма двух  наудачу выбранных однозначных чисел равна двенадцати  (элементарное событие —  появление пары однозначных чисел {m;n}.

Решение

События  появление пары чисел, сумма которых равна двенадцати:  {3;9}, {4;8}, {5;7}, {6;6}. Таких событий 4.

2.2 Какова вероятность того, что наудачу выбранный день из числа дней одного столетия  обладает  следующим  свойством:  число,  номер месяца  и  последние  две  цифры  года  записаны с помощью одной из цифр 1, 2, .... 9?

Решение

Пусть событие А состоит в том, что число,  номер месяца  и  последние  две  цифры  года  записаны с помощью одной из цифр 1, 2, .... 9.  Число таких событий m=1 ( 11.11.11 ). Всего в столетии n=100 лет.  То есть, искомая вероятность  Р(А)=

3.2 Вероятность того, что початки кукурузы имеют 12 рядов, равна 0,49, 14 рядов - 0,37 и  16  -18  рядов  -  0,14.  Какова  вероятность  того,  что  наудачу  выбранный  початок  будет  иметь 12 или 14 рядов?

Решение

Пусть событие А состоит в том, что початок кукурузы имеет 12 или 14 рядов. По правилу сложения вероятностей, Р(А)=0,49+0,37=0,86.

4.2. Имеется  5  билетов  денежно-вещевой  лотереи,  6  билетов  спортлото  и  10  билетов  автолотереи.  Сколькими  способами  можно  выбрать  один  билет  спортлото  или  автолотереи?

Решение

Так как  билетов  денежно-вещевой  лотереи в отборе не участвуют,  то , по правилу суммы, выбрать  один  билет  спортлото  или  автолотереи можно 6+10=16 способов.

5.2 В некотором государстве не было двух жителей с одинаковым набором числа зубов.  Какая может быть наибольшая численность населения государства, если полное число  зубов у человека равно 32?

Решение

Максимальное число жителей 33. Счет начинается с 0 до 32.

6.2 Сколькими  способами  можно  расставить  на книжной  полке  библиотеки  5  книг  по теории вероятностей, 3 книги по теории игр и 2 книги по математической логике, если книги по каждому предмету одинаковые?

Решение

Число книг по теории вероятностей n1=5; число книг по теории игр n2=3;  число книг по математической логике n3=2. Всего книг n= n1+ n2+ n3=10/

Отсюда получаем, число способов, которыми можно расставить книги на полке? N=

7.2 Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых  написаны буквы А,А,А,Н,Н,С, получится слово ананас?

Решение

Пусть событие B- получение слова АНАНАС.  Общее число случаев n=6!. Перестановка букв А  осуществляется 3! Способами, а перестановка двух букв Н осуществляется 2! Способами. То есть  число случаев m, благоприятствующих исходу m= 3!* 2!

То есть,  искомая вероятность Р(В)=

8. 2. В экзаменационные билеты включено по два теоретических вопроса и одной задаче. Всего  составлено  28  билетов,  содержащих  разные  вопросы  и  задачи.  Студент подготовил только 50 теоретических вопросов и сможет решить задачи к 22 билетам. Какова  вероятность  того,  что,  вынув  наудачу  один  билет,  студент  ответит  на  все вопросы?

Решение

А1- событие, которое состоит в том, что студент ответил на первый  теоретический вопрос;

А2- событие, которое состоит в том, что студент ответил на второй  теоретический вопрос;

А3- событие, которое состоит в том, что студент решил задачу.

Всего 28*2=56 теоретических вопроса и 28 задач.

Вероятность события А1 : Р (А1)=.

Вероятность события А2, в предположение что событие А1 наступило:     Р А1 (А2)=.

Р А1 А2 (А3)=.

Отсюда получаем, вероятность  того,  что,  вынув  наудачу  один  билет,  студент  ответит  на  все вопросы Р(А1 А2 А3)= .

9.2 Перечислите все возможные значения случайной величины X, являющейся числом  отличных оценок на экзамене в группе, состоящей из 25 студентов.

Решение

Значения, которые может принимать случайная  величина Х, являющейся числом  отличных оценок на экзамене в группе, состоящей из 25 студентов, - это значения от 0 до 25. То есть,  при Х1=0 : ни один студент не получил отлично. При  Х2=1: один студент получил  оценку «отлично». При Х2=2:  двое студентов получили оценку «отлично», и так далее до 25 включительно. То есть при Х26=25: все студенты группы  получили оценку «отлично».

  10.2 В  апреле  среднесуточная  температура  воздуха  для  некоторой  местности  удовлетворяет следующему закону распределения вероятностей:

Найдите математическое ожидание М(t) среднесуточной температуры.

Решение

Математическое ожидание определяется исходя из формулы:  .

Получаем математическое ожидание: