Теория вероятности и статистика

1. Что такое вероятность?

     О случайном событии мы не можем  сказать заранее, произойдет оно  или нет. Но мы можем говорить о  шансах наступления этого события.

     Например, При бросании игральной кости  шансы выпадения единицы такие  же, как выпадения двойки. А шансы выкинуть или не выкинуть шестерку относятся как 1 к 5.

     Некоторые случайные события происходят очень  редко. Поэтому мало шансов, что они  произойдут. Маловероятно, например, что 31 января будет гроза или что  на купленный Иваном Ивановичем лотерейный билет выпадет крупный выигрыш. Другие случайные события происходят очень часто, почти всегда. Таким, например, является событие "31 января грозы не будет", которое противоположно событию "31 января будет гроза".

     В теории вероятностей шансы того, что  случайное событие произойдет, выражают числом. Это число называют вероятностью случайного события. Если событие никогда не наступает (его шансы равны нулю), то вероятность этого события полагают равной 0. Такое событие называют невозможным. Если же событие наступает всегда, его вероятность полагают равной 1. Такое событие называют достоверным. Вероятности остальных событий — это числа между 0 и 1.  Таким образом, вероятность случайного события — это числовая мера его правдоподобия.

       Иногда вероятности событий можно  рассчитать математически, а иногда приходится приближенно узнавать их из экспериментов.

     Всякое  случайное событие связано с  определенными условиями. Вне этих условий это событие вообще невозможно. Например, о шансах спортивных команд на победу можно говорить, только если эти команды могут встретиться и сыграть. О вероятности выпадения числа на игральной кости можно говорить, только если эту кость бросают.

2. Законы распределения случайной величины

     Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно.

       Дискретной (прерывной) случайной величиной называется случайная величина, принимающая отдельные друг от друга значения, которые можно перенумеровать.

     Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток.

     Законом распределения  случайной  величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь разные формы.

     Рядом распределения дискретной случайной  величины Х называется таблица, где  перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины х1, х2, ..., хn с соответствующими им вероятностями р1, р2, ..., рn:

     хi    x1 x2 ...  xnpi    

      p1  p2 pn

     Случайные величины и законы распределения

       Переменная величина называется  случайной, если в результате  опыта она может принимать  действительные значения с определёнными  вероятностями. Наиболее полной, исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон распределения. Закон распределения – функция (таблица, график, формула), позволяющая определять вероятность того, что случайная величина  Х  принимает определеное значение хi  или попадает в некоторый интервал. Если случайная величина  имеет данный закон распределения, то говорят, что она распределена по этому закону или подчиняется этому закону распределения.

       Случайная величина Х называется  дискретной, если существует такая  неотрицательная функция

       которая ставит в соответствие  значению хi  переменной  Х   вероятность  рi  , с которой  она принимает это значение.

     Случайная величина  Х  называется  непрерывной, если для любых   a < b  существует такая неотрицательная функция  f ( x ), чт

     Функция  f ( x ) называется плотностью распределения  непрерывной случайной величины.

     Вероятность того, что случайная величина  Х  (дискретная или непрерывная) принимает  значение, меньшее  х , называется функцией распределения случайной величины Х  и обозначается  F ( x ) :

     Функция распределения является универсальным  видом закона распределения, пригодным  для любой случайной величины.Общие  свойства функции распределения:

     Кроме этого универсального, существуют также  частные виды законов распределения:  ряд распределения  (только для дискретных случайных величин) и плотность распределения (только для непрерывных случайных величин).

       Каждый закон распределения –  это некоторая функция, полностью  описывающая случайную величину  с вероятностной точки зрения. На практике о распределении вероятностей случайной величины Х часто приходится судить только по результатам испытаний. Повторяя испытания, будем каждый раз регистрировать, произошло ли интересующее нас случайное событие А, или нет. Относительной частотой (или просто частотой) случайного события А называется отношение числа nA появлений этого события к общему числу n проведенных испытаний. При этом мы принимаем, что относительные частоты случайных событий близки к их вероятностям. Это тем более верно, чем больше число проведенных опытов. При этом частоты, как и вероятности, следует относить не к отдельным значениям случайной величины, а к интервалам. Это значит, что весь диапазон возможных значений случайной величины Х  надо разбить на интервалы. Проводя серии испытаний, дающих эмпирические значения величины Х , надо фиксировать числа nx попаданий результатов в каждый интервал. При большом числе испытаний n отношение nx  / n (частоты попадания в интервалы) должны быть близки к вероятностям попадания в эти интервалы. Зависимость частот nx  / n от интервалов определяет эмпирическое распределение вероятностей случайной величины Х, графическое представление которой называется гистограммой (рис. 1).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.Плотность Распределения

     ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ – плотность вероятности распределения частиц макроскопической системы по координатам, импульсам или квантовым состояниям. Функция распределения является основной характеристикой самых разнообразных (не только физических) систем, которым свойственно случайное поведение, т.е. случайное изменение состояния системы и, соответственно, ее параметров. Даже в стационарных внешних условиях само состояние системы может быть таким, что результат измерения некоторого его параметра является случайной величиной. Функция распределения в подавляющем большинстве случаев содержит в себе всю возможную и потому исчерпывающую информацию о свойствах таких систем.

     В математической теории вероятностей и  математической статистике функция  распределения и плотность вероятности отличаются друг от друга, но однозначно связаны между собой. Ниже речь пойдет почти исключительно о плотности вероятности, которую (согласно принятой в физике давней традиции) называют плотностью распределения вероятности или функцией распределения, ставя знак равенства между этими двумя терминами.

     Случайное поведение в той или иной мере характерно для всех квантовомеханических систем: элементарные частицы, атомы  молекулы и т. п. Однако случайное  поведение – это не специфическая  черта только квантовомеханических систем, многие чисто классические системы обладают этим свойством.

     Примеры.

     При бросании монеты на твердую горизонтальную поверхность, неясно, как она ляжет: цифрой вверх или гербом. Известно, что вероятности этих событий, при  определенных условиях, равны 1/2. При бросании игральной кости нельзя с уверенностью сказать, какая из шести цифр окажется на верхней грани. Вероятность выпадения каждой из цифр при определенных предположениях (кость – однородный куб без сколотых ребер и вершин падает на твердую, гладкую горизонтальную поверхность) равна 1/6.

4. Предмет и метод статистики

       Статистика имеет многовековую  историю. Её возникновение и  развитие обусловлены общественными  потребностями: подсчет населения,  скота, учета земельных угодий, имущества и т.д. Наиболее ранние сведения о таких работах в Китае относятся к 13 в. до нашей эры. В Древнем Риме проводились учеты свободных граждан и их имущества.

       Считается, что основы статистической  науки заложены английским экономистом  У. Петти (1623-1687)г. Он рассматривал статистику как науку об управлении. В 1746г. немецкий профессор философии и права Ахенваль впервые в Марбургском университете начал читать новую дисциплину, названную им статистикой.

       В развитии статистики видное  место принадлежит представителям отечественной науки и практики. В эпоху Петра I статистика трактовалась преимущественно как описательная наука. Но уже со второй половины XIX в. выдвигается познавательное значение статистики. Профессор петербургского университета Ю.Э. Янсон (1835-93) назвал статистику общественной наукой.

       Видный экономист А.И. Чупров (1842-1908) отмечал необходимость массового  статистического исследования при  помощи метода количественного  наблюдения большого числа факторов  для того, чтобы описать общественные  явления, подметить законы и определить причины, их вызвавшие. Развитие статистики в России тесным образом связано с созданной после отмены крепостного права земской статистикой, которая пользовалась заслуженным авторитетом за объективность и профессионализм.

     История развития статистики показывает, что статистическая наука сложилась в результате теоретического обобщения накопленного человечеством передового опыта учетно - статистических работ, обусловленных, прежде всего, потребностями управления жизни общества.

       Статистика, наука, занимающаяся изучением приемов систематического наблюдения над массовыми явлениями социальной жизни человека, составлением численных их описаний и научной обработкой этих описаний. Наблюдения, производимые статистиками, выражаются всегда в цифрах и относятся к числу, весу и мере наблюдаемых явлений и предметов; они всегда массовые, то есть относятся к огромному числу однородных предметов и явлений. Численные статистич. описания всегда представляются в виде таблиц, каждая цифра которой есть сумма предметов или явлений взятой для наблюдения массы, расположенной в группы по заранее определенным признакам. Результаты научной обработки этих таблиц выражаются в так наз. средних числах, служащих для определения вероятности наступления в будущем явлений при прочих равных условиях явлений, аналогичных с теми, которые служили предметом наблюдений. Описывая и анализируя массовые явления социальной жизни, С. выясняет законы их последовательности и причинной зависимости. По способу производства статистич. наблюдений различают описание явлений, приуроченное к одному определенному моменту (т. н. переписи и анкеты) и последовательное описание хода изменчивых явлений (текущая регистрация).

       Объектами статист. изучения являются  население, его состав и численность  (по полу, возрасту, национальностям, занятиям, образованию и пр.), перемены в нем., так наз. движение населения (рождаемость, брачность, смертность, болезни, самоубийство, эмиграция), деятельность населения (сельское хозяйство, промышленность, торговля, кредит, движение на путях сообщения, страхование, преступность и пр.).

5. Генеральная и выборочная совокупности.

     Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного  признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может  служить стандартность детали, а количественным—контролируемый размер детали.

     Иногда  проводят сплошное обследование, т. е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению. Различают генеральную и выборочную совокупности: