Теория вероятности и статистика

       Генеральной совокупностью называют  совокупность всех мысленно возможных  объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений случайной величины, или совокупность результатов всех мыслимых наблюдений,  проводимых в неизменных условиях над одной из случайных величин, связанных с данным видом объектов. Замечание: Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки.

       Выборочной совокупностью называют  часть отобранных объектов из  генеральной совокупности.

       Объемом совокупности (выборочной  или генеральной) называют число  объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для  обследования 100 деталей, то объем  генеральной совокупности N = 1000, а  объем выборки п =100.

     Число объектов генеральной совокупности N значительно превосходит объем выборки n .  

     2.2. Способы выборки. 

     При составлении выборки можно поступать  двумя способами: после того как  объект отобран и над ним произведено  наблюдение, он может быть возвращен  либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии со сказанным выборки подразделяют на повторные и бесповторные.

       Повторной называют выборку, при  которой отобранный объект (перед  отбором следующего) возвращается  в генеральную совокупность.

       Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

     На  практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.

     Для того чтобы по данным выборки можно  было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной) .

       В силу закона больших чисел  можно утверждать, что выборка  будет репрезентативной, если ее  осуществить случайно: каждый объект  выборки отобран случайно из  генеральной совокупности, если  все объекты имеют одинаковую  вероятность попасть в выборку. 

     На  практике применяются различные  способы отбора. Принципиально эти  способы можно подразделить на два  вида: 1. Отбор, не требующий расчленения  генеральной совокупности на части. Сюда относятся: а) простой случайный  бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор.

     2. Отбор, при котором генеральная  совокупность разбивается на  части. Сюда относятся: а) типический  отбор;б) механический отбор; в)  серийный отбор. 

       Простым случайным называют такой  отбор, при котором объекты  извлекают по одному из всей генеральной совокупности и после обследования не возвращают (бесповторный отбор) или возвращают         ( повторный отбор) в генеральную совокупность.

       Типическим называют отбор, при  котором объекты отбираются не  из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности.

     Типическим  отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен.

     Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь, и т. д. Следует указать, что иногда механический отбор может не  обеспечить репрезентативности выборки.

       Серийным называют отбор, при  котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а  «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно. Подчеркнем, что на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.  

6. Статистическое распределение выборки 

     Материалы по теме: медиана, мода, ряды распределения, выборка, полигон частот,

     При систематизации данных выборочных обследований используются статистические дискретные и интервальные ряды распределения.

1. Статистическое дискретное распределение. Полигон.  Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х1 наблюдалось n1 раз, х2 – n2 раз, хk – nk раз и ∑ni=n - объем выборки. Наблюдаемые значения х1 называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Число наблюдений варианты называют частотой, а ее отношение к объему выборки - относительной частотой ni/n=wi

       ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Статистическим (эмпирическим) законом распределения выборки,  или просто статистическим распределением  выборки называют последовательность вариант хi и соответствующих им частот ni или относительных частот wi.

     Статистическое  распределение выборки удобно представлять в форме таблицы распределения  частот, называемой статистическим дискретным рядом распределения:

     x1 x2 ... xm

     n1 n2 ... nm

     (сумма  всех частот равна объему выборки  ∑ni=n)

     Решение. 1) Статистический ряд распределения  частот:

     xi 70 71 72 73 74

     ni             2  4 8 2 4

      2) Объем выборки: n=2+4+8+2+4=20. Найдем  относительные частоты, для чего  разделим частоты на объем выборки ni/n=wi: wi=2/20=0.1; w2=4/20=0.2; w3=0.4; w4=4/20=0.1; w5=2/20=0.2. Напишем распределение относительных частот:

     xi 70 71 72 73 74

     wi 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2

       Контроль: 0,1+0,2+0,4+0,1+0,2=1.

       Полигоном частот называют ломаную,  отрезки, которой соединяют точки (х1,n1),(х2,n2),...,(хk,nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х2, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (хi,ni) соединяют отрезками и получают полигон частот.

       Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки (х1,w1),(х2,w2),...,(хk,wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты хi, а на оси ординат соответствующие им частоты wi. Точки (хi,wi) соединяют отрезками и получают полигон относительных частот.

     Пример 2. Постройте полигон частот и  относительных частот по данным примера 1.

       Решение: Используя дискретный  статистический ряд распределения,  составленный в примере 1 построим  полигон частот и полигон относительных  частот:

      2. Статистический интервальный ряд  распределения. Гистограмма. Статистическим  дискретным рядом (или эмпирической  функцией распределения) обычно  пользуются в том случае, когда  отличных друг от друга вариант  в выборке не слишком много,  или тогда, когда дискретность по тем или иным причинам существенна для исследователя. Если же интересующий нас признак генеральной совокупности Х распределен непрерывно или его дискретность нецелесообразно ( или невозможно) учитывать, то варианты группируются в интервалы.

     Статистическое  распределение можно задать также  в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в  качестве частоты, соответствующей  интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

     Замечание. Часто hi-hi-1=h при всех i, т.е. группировку осуществляют с равным шагом h. В этой ситуации можно руководствоваться следующими эмперическими рекомендациями по выборке а, k и hi:

      1. Rразмах=Xmax-Xmin

      2. h=R/k; k-число групп 

      3. k≥1+3.321lgn (формула Стерджеса) 

      4. a=xmin, b=xmax

      5. h=a+ih, i=0,1...k

     Гистограммой  частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями  которых служат частичные интервалы  длиною h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты).

       Выборочная медиана – это середина  вариационного ряда, значение, расположенное на одинаковом расстоянии от левой и правой границы выборки.

       Выборочная мода – это наиболее  вероятное, т.е. чаще всего встречающееся,  значение в выборке. 
 
 
 
 
 
 

     

7. атематическое ожидание

     Числовыми характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия, а так же и моменты случайных величин

     Математическое  ожиданием М(Х) называется средняя  величина возможных значений случайных  величин, взвешенных по их вероятности. Выражается формулой: 

     

     Свойство 1. Мат. ожидание постоянной равно этой постоянной.

     Свойство 2. Мат. ожидание суммы случайных  величин равно сумме их мат. ожиданий:

     

     Из  этого свойства следует следствие:

     Математическое  ожидание суммы конечного числа  случайных величин равно сумме  их математических ожиданий:

     

     Свойство 3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин  Х и Y равно произведению математических ожиданий этих вел. M(XY)=M(X)·(M)Y.

     Следствие. Постоянный множитель можно вынести  за знак математических ожидания: М(сХ) = сМ(Х)

     Дисперсия.

     Дисперсией  называется математическое ожидание квадрата отклонения случайных величин от математического ожидания:

     D[Х]=M[X-M(X)]2

     Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна  нулю.

     Свойство 2. постоянную величину можно вынести  за знак дисперсии, предварительно возведя ее в квадрат:

     D(cX) = c2D(X)

     Свойство 3. Дисперсия суммы независимых  случайных величин Х и Y равна  сумме их дисперсий:

     D(X+Y) = D(X) + D(Y), от сюда следствие:

     если  х1, х2, ..., хn  - случайные величины, каждая из которых независима от суммы остальных, то

     D(X1+X2+...+Xn) = D(X1) + D(X2)+...+D(Xn).

     Моментом k-порядка называется математическое ожидание k-й степени отклонения случайной величины Х от некоторой  постоянной с.