§ 2. Свойства математического  ожидания 

1. Математическое  ожидание постоянной величины равно  самой постоянной:

  М(С) = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

  М(СХ) = С·М(Х).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

  М(Х·Y) = М(Х)·М(Y).

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

  М(Х + Y) = М(Х) + М(Y).

  Теорема.  Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытания при условии, что в каждом испытании вероятность появления события А равна р:

   М(Х) = р·n. 

  Пример. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

  Решение. Число независимых испытаний n = 20. В каждом испытании вероятность выигрыша р = 0,3. Искомая математическое ожидание

  М(Х) = 20·0,3 = 6. 

  Пример. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

  Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через X и на второй – через Y. Запишем закон распределения числа очков для первой игральной кости

  Найдем  математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:

   М(Х) =

·(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = = 3,5.

   Очевидно, что и M(Y) = 3,5.

   Искомое математическое ожидание

  М(Х1·Х2) = М(Х1) ·М(Х2) = 3,5·3,5 = 12,25. 

ГЛАВА 6. ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 

§1. Отклонение случайной  величины от её математического  ожидания.

Дисперсия дискретной, случайной  величины

 

   Для того чтобы оценить, как рассеяны возможные  значения случайной величины вокруг её математического ожидания, пользуются числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

  Пусть закон  распределения случайной величины X известен:

        Рассмотрим  отклонение случайной величины Х от её математического ожидания Х - М(X). Это отклонение имеет следующий закон распределения:

    
 
 
 

  Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

  М (Х – М(X)) = 0.

 

  Поскольку математическое ожидание отклонения равно  нулю, то для определения степени  рассеивания случайной величины вокруг её математического ожидания выделяют среднее значение квадрата отклонения.

        Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

  D(X) = M [(x - M(X))²].

  Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом её математического ожидания:

  D(X) = M(X²) - (M(X))².

   

  §2. Свойства дисперсии 

  1) Дисперсия  постоянной величины С равна 0:

D(С) = 0.

  2) Постоянный  множитель можно выносить за  знак дисперсии, возводя его в квадрат:

  D(CX) = С²D(X).

  3) Дисперсия  суммы двух независимых случайных  величин равна сумме дисперсии  этих величин:

  D(X + Y) = D(X) + D(Y).

  4) Дисперсия  разности двух независимых случайных  величин равна сумме дисперсии  этих величин:

  D(X - Y) = D(X) + D(Y). 

  Пример. Найти  дисперсию случайных величин, зная закон её распределения:

  Решение. Найдем математическое ожидание случайной величины X:

М(X) = 0,1×0,4 + 2×0,2 + 10×0,15 + 20×0,25 = 0,04 + 0,4 + 1,5 + 5 = 6,94.

  Найдем  математическое ожидание случайной  величины X²:

М(X²) = 0,1²×0,4 + 2²×0,2 + 10²×0,15 + 20²×0,25 = 0,004 + 0,8 + 15 + 100 = 115,804.

  Найдем  дисперсию:

D(X) = M(X²) – (M(X))² = 115,804 – (6,94)² = 67,6404. 

  Теорема. Дисперсия числа появление события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна

  D(X) = n×q×p.

 

  §3. Среднее квадратическое отклонение 

  Средним квадратическим отклонением случайной  величины Х называют квадратный корень из дисперсии:

  

  размерность s(X) совпадает с размерностью Х.

         Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно:

                                        . 

   Пример. Испытывается устройство, состоящее из трёх  независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы:  p₁ = 0,4, p₂ = 0,5, p₃ = 0,6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа отказавших приборов.

  Решение. Вероятность того, что ни один прибор не откажет:

  Р(0) = q₁×q₂×q₃ = 0,6×0,5×0,4 = 0,12.

  Вероятность того, что один прибор откажет:

  Р(1) = p₁×q₂×q₃ + q₁×p₂×q₃ + q₁×q₂×p₃;

  Р(1) = 0,4×0,5×0,4 + 0,5×0,6×0,4 +  0,6×0,5×0,6 = 0,08 + 0,12 + 0,18 = 0,38.

  Вероятность того, что два прибора откажут:

  P(2) = p₁×p₂×q₃ + p₁×q₂×p₃ + q₁×p₂×p₃;

  P(2) = 0,4×0,5×0,4 + 0,5×0,6×0,4 + 0,5×0,5×0,6 = 0,08 + 0,12 + 0,18 = 0,38

   Вероятность того, что три прибора откажут:

  P(3) = p₁×p₂×p₃ = 0,5×0,6×0,4 = 0,12.

  Проверка:  P = 0,12 + 0,38 + 0,38 + 0,12 = 1.   

  Запишем закон распределения числа отказавших приборов:

  Найдем  математическое ожидание случайной  величины X:

  М(X) = 0 + 0,38 + 0,76 + 0,36 = 1,5.

  Найдем  математическое ожидание случайной  величины X²:

  М(X²) = 0 + 0,38 + 1,52 + 1,08 = 2,98.

  Найдем  дисперсию:

  D(X) = M(X²) - (M(X))² = 2,98 – 2,25 = 0,73. 
 
 

  ГЛАВА 7. Функция распределения вероятностей

случайной величины

 

  §1. Определение функции  распределения 

  Функцией  распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше x, т.е.

  F(x) = P(X < x).

  Геометрически: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x.

  Иногда  вместо термина "Функция распределения" используют термин "Интегральная функция".

  Случайную величину называют непрерывной, если её функция распределения есть непрерывная, кусочно - дифференцируемая функция с непрерывной производной.   

  §2. Свойства функции  распределения 

1. Значения  функции распределения принадлежат  отрезку [0, 1]: