Теория сложения и умножения вероятностей

0 £ F(x) £ 1.

   2) F(x) – неубывающая функция, т.е. F(x₂) F(x₁), если x₂ > x₁.

3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

  P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a).

4. Вероятность того, что непрерывная, случайная величина Х примет одно определённое значение, равна нулю. Тем самым имеет смысл рассматривать вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал, пусть даже сколько угодно малый.
5. Если возможное значение случайной величины Х принадлежит интервалу (a, b) ,то:

   F(x) = 0, при x ≤ a;

   F(x) = 1, при x ³ b.

   6) Если  возможное значение непрерывной случайной величины расположены на всей оси, то  

    ;  . 

  §3. График функции распределения 

  График  функции распределения непрерывной  случайной величины, возможные значения которой принадлежат интервалу (a, b) изображен на рис. 1. 

     
 
 
 
 
 
 
 

  График  функции распределения дискретной случайной величины X, возможные значения которой заданы таблицей

изображен на рис. 2.

 
 
 
 

    

  Пример. Построить график функции 

  Найти вероятность  того, что в результате испытания  случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (2; 3).

  Решение. График функции изображен на рис. 3. Вероятность того, что случайная  величина Х примет значение, заключённое в интервале (2, 3), равна приращению функции распределения на этом интервале:

  P(2 ≤ X < 3) = F(3) – F(2) = 1/2.

  

  Пример. Построить  график функции распределения дискретной случайной величины X заданной таблицей:

 

  

  §4. Плотность распределения  вероятностей непрерывной 

  случайной величины 

  Плотностью  распределения вероятностей непрерывной, случайной величины Х называют функцию f(x)  - первую производную от функции распределения F(x):

  f(x) = F ¢(x),

  т.е. функция  распределения является первообразной  для плотности распределения.

  Для дискретной, случайной величины плотность  распределения неприменима.

  Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b) равна:

  P(a < x < b)  =

.

  Если  f(x) - чётная функция, то  P(- a < x < а) = P(|x| < a) .

  Зная плотность  распределения f(x), можно найти функцию распределения:

  F(x) =

.

  Свойства плотности  распределения

  1) Плотность  распределения неотрицательная  функция: f(x) ³ 0.

  2) Несобственный  интеграл от плотности распределения  в пределах от -∞ до +∞ равен  единице:

  

.

  3) Если  все возможные значения случайной  величины принадлежат интервалу (a, b) , то  .

   Функция f(x) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки Х, аналогично плотности массы в точки. 

§5. Числовые характеристики непрерывных случайных  величин 

  Математическим  ожиданием непрерывной, случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют:

  М(x) =

.

  Если возможные  значения принадлежат всей оси  Ох, то М(x) = .

  Дисперсией  непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения:

D(x) = ;    D(x) = .