§5. Теорема сложения вероятностей совместных событий 

  Два события  называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же опыте.

  Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

  P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

  Замечание 1. Если два события независимы, то:

  P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B).

  Замечание 2. Если два события зависимы, то:

  P(A + B)=P(A) + P(B) – P(A)PA(B).

  Замечание 3.  Если два события несовместимы, то:

  P(A + B) = P(A) + P(B). 

  Пример. Вероятность  попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий  соответственно равны  P1 = 0,8,   P2 = 0,9. Найти вероятность попадания при одновременном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

  Решение. Рассмотрим два способа решения.

1. По условию события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) совместны и независимы. Вероятность того, что оба орудия попали

P(AB) = P(A)×P(B) = 0,8×0,9 = 0,72.

Вероятность попадания  при одновременном залпе хотя бы одним из орудий

  P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,8 + 0,9 – 0,72 = 1,7 – 0,72 = 0,98.

2. Так как события А и В независимы, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий вычислим по формуле

P = 1 – q₁q₂,

где q₁ и q₂ вероятности событий, противоположных событиям А и В

  q₁ = 1 – 0,8 = 0,2,    q₂ = 1 – 0,9 = 0,1.

  Вероятность появления хотя бы одного события:

  P = 1 – q₁q₂ = 1 – 0,2×0,1 = 1 – 0,02 = 0,98. 

§6. Формула полной вероятности 

  Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

P(A) = P(B₁)P_B1 (A) + P(B₂)P_B2(A) + ... + P(B_n)P_Bn(A). 

  Пример. Имеется  две группы людей. Вероятность того, что человек из первой группы будет  партийный, равна 0,4, а второй – 0,6. Найти вероятность того, что выбранный наудачу человек является партийным.

  Решение. Человек может быть выбран либо из первой группы (событие B₁), либо из второй группы (событие B₂). Вероятность того, что человек выбран из первого группы P(B₁) = 0,5, из второй  – P(B₂) = 0,5.

  Условная  вероятность выбора из первой группы партийного P_B1(A) = 0,4, из второй – P_B1(A) = 0,6.

  Вероятность выбора на удачу партийного человека вычислим по формуле полной вероятности:

P(A) = P(B₁)P_B1(A) + P(B₂)P_B2(A) = 0,5×0,4 + 0,5×0,6 = 0,2 + 0,3 = 0,5. 

§7. Вероятность гипотез. Формулы Бейса 

  Пусть событие  А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂, ..., B_n , образующих полную группу.

  Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

  Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

P(A) = P(B₁)P_B1(A) + P(B₂)P_B2(A) + ... + P(B_n)P_Bn(A).

  Допустим, что произведено испытание, в  результате которого появилось событие  А.  Выясним, как изменились вероятности гипотез после того, как появилось событие А.

  По теореме  умножения имеем  P(AB₁) = P(A)P_A(B₁) = P(B₁)P_B1(A). Выражая P_A(B₁), получим   P_A(B₁) = P(B₁)P_B1(A)/P(A). Используя формулу полной вероятности, получим

P_A(B₁) = P(B₁)P_B1(A)/{P(B₁)P_B1(A) + P(B₂)P_B2(A) + ... + P(B_n)P_Bn(A)}.

  По аналогии

P_A(B_i) = P(B_i)P_Bi(A)/{P(B₁)P_B1(A) + P(B₂)P_B2(A) + ... + P(B_n)P_Bn(A)}.

  Полученные  формулы называют формулами Бейса (по имени английского математика).

  Формулы Бейса позволяют переоценить  вероятность гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А. 

  Пример. Для  участия в спортивных студенческих соревнованиях, выделено из первой группы – 4, из второй – 6, из третьей – 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадёт в сборную института, равны соответственно 0,9, 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. Какой группе вероятнее всего принадлежит этот студент?

  Решение.  Всего 15 студентов. Вероятность выбора из первой группы P(B₁) равна 4/15; из второй группы P(B₂) равна 6/15; из третьей группы P(B₃) равна 5/15.

  Вероятность попадания в сборную P(A) вычислим по формуле полной вероятности:

  P(A) = P(B₁)P_B1(A) + P(B₂)P_B2(A) + P(B₃)P_B3(A);

  P(A) = (4/15)×0,9 + (6/15)×0,7 + (5/15)×0,8 = 11,8/15 = 59/75.

  Найдём  вероятность того, что выбранный  студент попал в сборную из первой группы:      PA(B₁) = P(AB₁)/P(A) = P(B₁)P_B1(A)/P(A) = (4/15)×0,9/(59/75) = 18/59;

из второй    PA(B₂) = (6/15)×0,7/(59/75) = (4,2/15)×(75/59) = 21/59;

из третьей   PA(B₃) = (5/15)×0,8×(75/59) = 20/59.

Ответ: вероятнее  всего студент принадлежит второй группе.

Глава 3.    Повторение испытаний

§1. Формула Бернулли 

  Если происходит несколько испытаний, причем вероятность  события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события A.

   Пусть  производиться n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться либо не появиться. Вероятность события в каждом испытании одна и та же, равная p. Вероятность ненаступления события в каждом испытании q = 1 – p.

    Вычислим вероятность P_n(k) того, что при n испытаниях событие A осуществляется ровно k раз и не осуществляется n – k раз по формуле Бернулли:

        ,                     

  где p^k q^{n - k} – умножение вероятностей независимых событий; – столько можно составить сочетаний из n элементов и k элементов.

      

  Пример.   В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.

  Решение.

   1) ;

  2) ;

  3) . 

  §2. Локальная теорема  Лапласа 

    Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, т.к. формула требует выполнения действий над очень большими числами.

  Пример. Если p = 0,1, q = 0,9, n = 40, k = 20, то вероятность того, что при n испытаниях событие A осуществляется ровно k раз и не осуществляется n – k раз . При вычислении  можно пользоваться специальными таблицами логарифмов факториалов, но из-за округлений в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

   Локальная теорема Лапласа.  Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k) того, что событие A появиться в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:

      ,      при ,   где .

      Функция j(x) четная: j(–x) = j(x).

   Пример.  Найти вероятность того, что при  400 испытаниях событие наступит  ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

  Решение. По условию k = 104, n = 400, p = 0,2, q = 1 – 0,2 = 0,8. Тогда

   ,

  

. 

  §3. Интегральная теорема  Лапласа 

  Теорема.  Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k₁, k₂) того, что событие A появится в n испытаниях от k₁ до k₂ раз (k₁ £ m £ k₂), приближенно равна определенному интегралу:

        ,    где ;  .

  Интегральную  теорему Лапласа иногда записывают в форме

    .

     При  решении используют таблицу   для функции   .

  

  = Ф(x₂) – Ф(x₁),   где ;  .

  Функция Ф(x) нечетная: Ф(–x) = –Ф(x).

  Пример.  Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти  вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

  а) не менее 70 и не более 80 раз;   б) не более  70 раз.

  Решение.

  а) По условию  k₁ = 70, k₂ = 80. Тогда

  

, ,

  

.

  Значение  функции Лапласа находим по таблице  приложения 2. В таблице даны значения Ф(1,15) = 0,3749 и Ф(1,16) = 0,3770. В качестве ответа можно взять любое из этих значений или их среднеарифметическое:

  P₁₀₀(70;80) » 2Ф(1,1547) » 2(Ф(1,15) + Ф(1,16))/2 = 0,7519.

  б) По условию  k₁ = 0, k₂ = 70. Тогда

  

, x₂ » –1,1547,

  P₁₀₀(0;70) » Ф(x₂) – Ф(x₁) = Ф(–1,1547) – Ф(–17,32) = Ф(17,32) – Ф(1,1547).