Значение  функции Лапласа находим по таблице  приложения 2:

  P₁₀₀(0;70) » 0,5 – 0,37595 = 0,12405. 

  §4. Вероятность отклонения относительной частоты  от постоянной вероятности  в независимых  испытаниях 

  Найдем  вероятность того, что отклонения относительной частоты m/n от постоянной вероятности p по абсолютной величине не превышает заданного числа e > 0, т.е. найдем вероятность того, что осуществляется неравенство: .

  Раскроем  модуль или . Умножим эти неравенства на множитель : .

   Используя  теорему Лапласа, получим:

   . 

  Пример.  Вероятность появления события  в каждом из 10000 независимых испытаний  p = 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,001.

  Решение. e = 0,001, p = 0,75,

   . 

  Пример.   Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно  было ожидать, что отклонение относительной частоты появлений герба от вероятности p = 0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01?

  Решение.

   , , . По таблице находим

   , , n »1764 раза.

Глава 4. Случайные величины

§ 1. Случайная величина. Дискретные и непрерывные

  случайные величины 

  Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, неизвестное заранее какое именно.

  Будем обозначать случайные величины прописными буквами  X, Y, Z, и их возможные значения – соответствующими строчным буквами – x, y, z.

  Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, возможные значения с определенной вероятностью. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. 

  Пример.

  1). Число  появлений герба при трех бросаниях  монеты: возможно 0; 1; 2; 3

  2). Число  самолетов, сбитых в воздушном  бою: 0; 1; 2; …. N, где N – общее число самолетов. 

  Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

  Число возможных  значений непрерывной случайной  величины бесконечно. 

  Пример.

  1) Абсцисса  точки попадания при выстреле.

  2) Время  безотказной работы лампы. 

§ 2. Закон распределения  вероятностей дискретной случайной величины 

  Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

  Способы задания: таблично, аналитически, графически. 

 

  События x1,  x2,  …,  xn  - образуют полную группу, т.е.  р1 + р2 + … + рn = 1.

  Такую таблицу  называют рядом распределения случайной величины X.

  2). Графическое  изображение.

  Для наглядности  точки соединяются отрезками  прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения. 

  Пример. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки.

  Решение. Вероятность появления шестерки при одном бросании p = 1/6, вероятность непоявления шестерки q = 1 – p = 5/6.

  При трех бросаниях игральной кости шестерка может появиться либо 3 раза, либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы: x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2, x₄ = 3. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли: .

   ,   ,

   ,   .

  Искомый закон распределения:

 

  § 3. Биноминальное  распределение 

  Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появится либо не появиться, причем вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и равна p, то закон распределения вероятностей определяется формулой Бернулли: , которое называют биноминальным распределением вероятностей.

  Запишем биноминальный закон в виде таблицы:

 

  Пример. См. предыдущий. 

  § 4. Распределение  Пуассона 

  Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно p и n велико, то закон распределения вероятностей массовых (n велико) и редких (p мало) событий определяется:

  P_n(k) = l^ke^-l/k!, где λ = рn.

  Эта формула  выражает закон распределения Пуассона. 

  Пример. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение 1 минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

  Решение. По условию n = 1000, р = 0,004, k = 5. Найдем λ:   λ = рn = 4.

  По формуле  Пуассона искомая вероятность приближенно  равна 

  P₁₀₀₀(5) = 4⁵e^-4/5!  » 0,15. 

  Рассмотрим  события, которые наступают в  случайные моменты времени.

  Потоком событий называют последовательность событий, которые наступаю в случайные моменты времени.

  Интенсивность потока λ называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

  Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона

  

P_t(k) = (lt)^k /k!.

  Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

  Свойство  стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом промежутки времени предполагаются непересекающимися.

  Свойство  отсутствия последствия характеризуется тем, что вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t есть функция, зависящая только от k и t.

  Свойство  ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно, т.е. за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события. 

  Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 минуту, равно 5. найти вероятность того, что за две минуты поступит:

  а) три  вызова; б) менее трех вызовов.

  Решение. Будем предполагать, что поток вызовов является простейшим.

  а) По условию  λ = 5, t = 2, k = 3. Вероятность того, что за две минуты поступит два вызова найдем по формуле Пуассона: 

  P₂(3) = 10³e^-10 /3! » 0,0076.

  б) События  не поступило ни одного вызова, поступил один вызов и поступило два вызова несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероятность того, что за две минуты поступит менее трех вызовов, равна

  P₂(k < 3) = P₂(0) + P₂(1) + P₂(2) = e^-10 + 10e^-10 + 10²e^-10/2! » 0,0028. 

  Глава. 5. Математическое ожидание дискретной случайной величины

  § 1. Числовые характеристики дискретных случайных  величин  

  Математическим  ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

  Пусть  случайная величина  X задана законом распределения вероятностей:

  Тогда математическое ожидание M(X) определяется равенством

  M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n.

  Математическое  ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная величина (постоянная).

  Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины:

  

.

  На числовой оси возможные значения расположены  слева и справа от математического  ожидания. Поэтому его часто называют центром распределения.