Методика изучения уравнений и неравенств

Рассмотрение систем неравенств выводит на знакомство с  другим оформлением записи двух связанных  между собой отношений – двойными неравенствами. Первоначально двойные  неравенства возникают как способ записи результата сравнения трех данных чисел, а затем в одном из следующих задании рассматриваются и двойные неравенства, содержащие переменную, и устанавливается связь между такими неравенствами и системами простых неравенств.

Основные направления программы в четвертом классе относится к дальнейшей работе с уравнениями и к определению значений буквенных выражений при заданных значениях букв.

Из этих двух тем главной  является работа с уравнениями.

Впервые ученики знакомятся с уравнениями  еще в первом классе. Включение в программу этой темы в первом классе продиктовано необходимостью глубокого осознания связи, которая существует между действиями сложения и вычитания, а в дальнейшем между умножением и делением. Эту основную задачу и выполняют уравнения и их решение на основе взаимосвязи между компонентами действий. В силу такой подчиненности изучения уравнений вопросам связи между действиями на протяжении первого и второго годов обучения дети сталкиваются с простейшими уравнениями (а + х = b; а – х = b; х – а = b; а × х = b; а : х = b;                 х : а = b).

Однако, уже начиная с третьего класса, появляются задания, основной целью которых является введение детей в другие аспекты работы с уравнениями: это задания, где  на материале уравнений прослеживаются вопросы, связанные с зависимостью результата действия от изменения одного из компонентов. Примером таких заданий могут быть задания из учебника математики третьего класса, где рассматриваются группы уравнений, в которых часть членов остается неизменной, а часть меняется. Основной вопрос таких заданий требует, не решая уравнений, установить, остаются ли при этом корни одинаковыми или определенным образом меняются.

Найти корни уравнений  в этих заданиях для проверки сделанных  выводов дети могут по-разному: и способом подбора, и опираясь на законы сложения и свойства вычитания, и на основе установления закономерности между компонентами и результатом действий.

Сюда же относятся  задания, начинающие линию знакомства с тождественными преобразованиями уравнений, которая становится основной в четвертом классе.

В четвертом классе основной целью  работы с уравнениями остается формирование представления об общем алгоритме  выполнения многих видов заданий  по математике – поэтапное упрощение  исходного задания, вплоть до получения простейшего вида, который и дает ответ на стоящую перед детьми проблему, с которым они постоянно сталкиваются в неявном виде и при нахождении значения любого сложного выражения, и при решении каждой составной задачи. Выявить этот алгоритм в перечисленных случаях затруднительно, так как это потребует существенной затраты дополнительного времени. Решение же уравнений требует записи каждого шага, связанного с тем или иным его тождественным преобразованием.

Для достижения поставленной цели предлагается последовательно рассматривать все более усложняющиеся уравнения и прослеживается путь их решения через последовательное преобразование во все более простые.

Подавляющее большинство  заданий, посвященных этому вопросу, построены по следующему плану: предлагается уравнение, способ решения которого ученикам уже известен, и другие уравнения, в которых есть то или иное усложнение по сравнению со знакомым. Основная проблема, которую нужно решить, - установить, в чем заключаются усложнения, и найти путь преобразования, который позволит из более сложных уравнений получить такие же уравнения, только более простые.

Для закрепления полученных знаний и более свободного их использования  в практической деятельности предлагается некоторое количество заданий, в  которых нужно осуществить обратную операцию – преобразовать данное уравнение в тождественное ему более сложное.

В четвертом классе происходит также знакомство с новым способом решения уравнений – при помощи использования основных свойств  равенств.

Сначала этим способом решаются уравнения, которые можно решить и при помощи старых знаний (при этом часто дети считают новый способ менее удобным, требующим большего количества записей, так как нужна подробная запись, показывающая использование свойств равенств).

Например, решение уравнений 24х + 96 = 288 при решении на основе взаимосвязи между компонентами действий выглядит так:

24х = 288 – 96

24х = 192

    х = 192 : 24

    х = 8,

а при использовании  свойств равенств так:

24х + 96 – 96 = 288 – 96

                24х = 192

         24х : 24 = 192 : 24

                    х = 8.

Но главная цель –  познакомить учащихся с уравнениями, которые невозможно решить на основе взаимосвязи между компонентами действий. В первую очередь, это уравнения, где неизвестное число находится в обеих его частях.

Решение таких уравнений  включено во многие задания, причем уравнения  становятся все более сложными по своей структуре, требуют все  большего количества преобразований для  нахождения корней.

Если учитель посчитает, что заданий, связанных с этим материалом, в учебнике и тетрадях недостаточно, то их количество он сможет легко увеличить за счет усложнения любого простого уравнения.

Приведем один из возможных  вариантов постепенного усложнения одного и того же уравнения: у + 7 = 13: у + (5 + 2) = 13; у + 7 = 22 – 9; 3у – 2у + 7 = 13; 5(у + 1) – 4у + 2 = 13; 9у + 7 – 8у = 13, 9у + 7 = 13 + 8у и так далее. Естественно, могут быть использованы уравнения, в которых объединены     2 – 3 линии усложнения уравнения (например, у + (5 + 2) = 22 – 9).

Предлагая ученикам задания, связанные с уравнениями, особенно добавляя свои задания, необходимо постоянно иметь в виду, что основная задача этой работы – не формирование навыка решения уравнений, а осознание общего пути преобразования от сложного к все более простому.

Какого уровня сложности  уравнения будут разбираться  в каждом конкретном классе, зависит  не столько от материала учебника, который дает только усредненную  ориентировку, сколько от особенностей класса. Учитель сам определяет уровень  трудности, который нужен его детям.

Очень желательно, чтобы  ученики заметили тот же самый  алгоритм и при выполнении других, не связанных с уравнениями заданий.

В качестве таких заданий  лучше всего использовать названные  выше случаи: определение значений сложных выражений, когда выполнение каждого действия приводит к упрощению исходного выражения, а также в решении задач, где происходит тот же процесс постепенного упрощения исходной задачи.

В первом случае использование  данного алгоритма хорошо видно  при решении сложного выражения цепочкой. Например,                                     12020 + (120 · 104 – 137780 : 166) · 9 = 12020 + (12 480 – 137780 : 166) · 9 = =12020 + (12480 - 830) · 9 = 12020 + 11650 · 9 = 12020 + 104850 = 116870.

Во втором случае после  выполнения каждого действия в решении задачи дети должны переформулировать ее, введя в условие найденное число. После выполнения последующих действий переформулированные задачи становятся все проще для решения, пока не получается простая задача, решаемая выполнением одного действия.

Конечно, уровень трудности  задач, с которыми будет строиться  такая работа, определяет учитель  в зависимости от состава своего класса.

Помимо этого основного  направления работы с уравнениями  в четвертом классе уделено внимание еще нескольким важным вопросам, связанным с ними. Это:

• проверка найденных корней уравнения;
• знакомство с уравнениями, имеющими не один корень и не имеющими корней.

Но, к сожалению, приходится отметить, что вопросам проверки полученных при решении любых заданий  по математике уделяется совершенно недостаточное внимание и в начальной, и в основной школе. Эта ситуация относится и к проверке полученных в результате преобразований корней уравнений. Мало того, приходится сталкиваться с тем, что учитель-предметник в начале обучения в основной школе считает напрасной тратой времени такую проверку. Это тем более удивительно, что в дальнейшем  в курсе алгебры во многих случаях проверка корней требуется в обязательном порядке, так как при использовании некоторых преобразований уравнений могут возникать посторонние корни, которые являются таковыми для преобразованного уравнения, но не являются таковыми для исходного.

Конечно, в начальной  школе ученики не имеют дела с  такого рода уравнениями, но воспитать  привычку к выполнению проверки, научить выполнять ее правильно необходимо уже в этот период обучения. Особенно важно заняться этим в «занковских» классах, где ученики рассматривают значительно более сложные варианты уравнений, в том числе и такие, в которых переменная присутствует в обеих его частях.

Хотя ученики сталкивались с проверкой корней уравнений, начиная  с первого класса, основная работа в этом направлении приходится на четвертый год обучения.

В результате выполнения заданий с проверкой ученики  осознают основной механизм ее выполнения: подставить в каждую часть уравнения вместо неизвестного найденное число,  выполнить вычисления отдельно в каждой части, сравнить получившиеся результаты. Если они равны, корень найден верно, если неравны – неверно.

Особенно четко такое  проведение проверки видно в уравнениях, в которых неизвестное число есть в левой и правой частях.

Если же неизвестное  число есть только в одной части  уравнения, а в другой стоит одно число, ученики очень часто допускают  существенную ошибку, записывая каждый раз не одну часть уравнения, а все равенство.

Рассмотрим уравнения, имеющие более одного корня и  не имеющие корней. Эти уравнения  дети не могут решить непосредственным выполнением действий, а решают через  построение цепочки умозаключений. Например, анализ уравнения х + 5 = х – 5 приводит к осознанию того, что невозможно найти такое число, которое превращало бы его в верное равенство, то есть к невозможности его решить, в уравнении же (х – 1)(х – 2) = 0 корнями будут числа 1 и 2, а в уравнении х + 7 = 7 + х корнем может быть любое число.

Этот новый взгляд на решение уравнений приводит к  уточнению определения решения  уравнения. Если в первом классе решение  уравнения трактовалось как поиск  числа, которое превращает уравнение  в верное равенство, то теперь речь идет уже о нахождении всех таких чисел или установлении факта их отсутствия.

Все такие задания  способствуют расширению понятий учащихся об уравнениях, но к основной задаче работы с уравнениями не имеют  отношения и должны рассматриваться  как разновидность логических заданий.

Напомним, что в третьем  классе ученики много внимания уделяли  работе с неравенствами, двойными неравенствами  и системами неравенств. В четвертом  же классе в учебнике заданий, посвященных  этим вопросам, очень мало, и используются полученные в третьем классе знания чаще всего косвенно, при работе с другими вопросами.

Однако, чтобы эти знания находились в активном состоянии, этим вопросам большое внимание уделено  в тетради на печатной основе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

       Введение элементов алгебры в начальный курс обучения уже в XVIII веке волновал учителей и методистов. Впервые в истории русской школы в соответствии с новой программой (1969 год) в начальный курс математики включены элементы алгебры.

        Основная цель при введении элементов алгебры – дать детям понятие о математическом равенстве и неравенстве, об их переходе друг в друга посредством увеличения или уменьшения. Поскольку объекты сравнения – реальные величины, то, овладевая системой указанных преобразований, дети учатся оперировать количественными характеристиками сразу в обобщенной форме.

        Как известно, формирование понятий: равенство, неравенство, уравнение рассматривали разные ученые и методисты, а также данные понятия изучались различными методическими системами (традиционная система, система Н.Ф.Виноградовой, система Л.В.Занкова).

       Изучая методические системы, мы заметили некоторые их сходства и различия, но главная особенность каждой системы заключалась в том, что алгебраический и арифметический материал рекомендуется преподавать во взаимосвязи, для прочного усвоения знаний о равенствах, неравенствах, уравнениях. 

         Таким образом, изучение элементов алгебры в начальном курсе обучения математике тесно связывается с изучением арифметики. Это выражается в том, что уравнения и неравенства решаются не на основе применения алгебраического аппарата, а на основе использования свойств арифметических действий, на основе взаимосвязи между компонентами и результатами этих действий.

        Обобщая все выше сказанное мы утверждаем, что при изучение арифметического материала делает возможным и необходимым использование в начальном обучении математике элементов алгебры, и наоборот, при изучении элементов алгебры большое внимание уделяется арифметическому материалу, а также математической символике. В начальных классах учащиеся начинают использовать букву как математический символ, знакомятся с понятиями алгебраического выражения, равенства, неравенства, уравнения, получают первоначальное представление о решении задач с помощью составления уравнений.

        Из вышеизложенного следует, что при введении элементов алгебры в начальное обучение математике происходит более полное и более глубокое раскрытие арифметических понятий, доведение обобщений учащихся до более высокого уровня, а также создание предпосылок для успешного усвоения в дальнейшем курсе алгебры.