Методика изучения уравнений и неравенств

 

Содержание

 

Введение……………………………………………………………………………3

 

1.  Алгебраический материал в начальной школе

1.1. Необходимость введения алгебраического материала в начальной школе..5

1.2. Понятия «равенство» и «неравенство»……………………………………….8

1.3. Понятие «уравнение»………………………………..………………………..10

1.4. Алгебраический материал по традиционная программе…………………...13

1.5. Алгебраические понятия по системе Н.Ф.Виноградовой …………………17

1.6. Элементы алгебры по системе Л.В. Занкова………….…………………….20

 

Заключение………………………………………………………………………..34

 

Список литературы……………………………………………………………...36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Начальное образование  – первая ступень общего образования. В Российской Федерации начальное  общее образование является обязательным и общедоступным. Федеральный компонент  государственного стандарта начального общего образования направлен на реализацию качественно новой личностно-ориентировочной развивающей модели массовой начальной школы и признан, обеспечить выполнение основных целей. 

Федеральный государственный образовательный стандарт второго поколения начального общего образования устанавливает обязательные для изучения предметы, в число которых входит и математика. Изучение математики направлено на достижение следующих целей:

1. развитие образного и логического мышления, воображения, формирование предметных умений и навыков, необходимых для успешного решения учебных и практических задач, продолжения образования;
2. освоение основ математических знаний, формирование первоначальных представлений о математике;
3. воспитание интереса к математике, стремление использовать математические знания в повседневной жизни.

Ничто так, как математика не способствует развитию внимания, памяти, так как предметом изучения являются отвлечённые понятия и закономерности, которыми в свою очередь занимается наука математика.

Наука алгебры – это  наука о правилах, по которым узнают числовые неизвестные по соответствующим  им известным.

Впервые в истории  русской школы (в соответствии с  новой программой) в начальный  курс математики включены элементы алгебры. Учащиеся 1 – 4 классов должны получить первоначальные сведения о математических выражениях, числовых равенствах и неравенствах, ознакомиться с буквенной символикой, с переменной, научить решать несложные уравнения и неравенства.

Алгебраический материал изучается, начиная с первого класса в тесной связи с арифметическим. Введение элементов алгебры способствует обобщению понятий о числе, арифметических действиях, математических отношениях и вместе с тем готовить детей к изучению алгебры в следующих классах.

Все выше сказанное определило актуальность исследования. Таким образом, актуальность темы заключается в том, что алгебраические понятия помогают более глубоко раскрывать арифметический материал; равенство, неравенство, уравнение – понятия, на основе которых формируются арифметические действия и вычислительные навыки над ними.

Актуальность  и проблема исследования позволили сформулировать тему данной  работы следующим образом: «Равенства, неравенства, уравнения в начальном курсе математики». Данная тема выбрана, с целью уточнить и углубить знания об элементах алгебры.

В обязательный минимум  содержания основных образовательных  программ входит и рассматриваемая  нами тема. Она одна из основных тем  программы по математике, включает ряд вопросов теории, на основе которой вводятся понятия переменная, постоянная и изучаются равенства, неравенства, уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Алгебраический материал в начальной школе

 

1.1. Необходимость  введения алгебраического материала 

в начальной  школе

 

Введение элементов  алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу, направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий, как равенство, неравенство, уравнение. Ознакомление с использованием буквы как символа, обозначающего любое число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих из рассматриваемых в начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями переменная, функция. Более раннее ознакомление с использованием алгебраического способа решения задач позволяет внести серьезные усовершенствования во всю систему обучения детей решению разнообразных текстовых задач.

Как видно из сказанного, алгебраическая часть программы  имеет существенное значение. Работа над всеми перечисленными вопросами алгебраического содержания, в соответствии с тем, как это намечено в учебниках, должна вестись планомерно и систематически в течение всего начального курса обучения математике. При этом усвоение ни одного из вводимых понятий не должно доводиться до уровня формального определения. При обучении в следующих классах соответствующие понятия будут уточняться, трактовка некоторых из них будет претерпевать более или менее существенные изменения. Учитывая это, при обучении в начальных классах не следует забегать вперед, требовать каких бы то ни было формулировок, раскрывающих сущность рассматриваемых понятий. Это не только преждевременно, но и вредно, поскольку способствует закреплению в сознании детей знаний, которые в дальнейшем пришлось бы перестраивать. Определяя методику работы над вопросами алгебраического содержания, нужно, особенно четко представлять себе цель этой работы, задачу, которые должны быть решены на начальном этапе обучения.

 

1.2. Понятия  «равенство» и «неравенство»

 

Задачи изучения равенств и неравенств в начальных классах  заключаются в том, чтобы научить  учащихся практически оперировать  равенствами и неравенствами: сравнивать числа, сравнивать арифметические выражения, решать простейшие неравенства с одним неизвестным, переходить от неравенства к равенству от равенства к неравенству.

На сравнение множеств предметов направлены такие задания: сравнение совокупностей предметов, иллюстрирование предметными множествами  неравенства; переход от неравенства к равенству. Вводится практическое усвоение свойства симметричности равенства и несимметричности неравенства. С самого начала обучения необходимо работать с этими свойствами.

Необходимо заметить, что не следует спешить с формализованными выводами, а чаще опираться на конкретную базу, не довольствуясь только картинками в учебнике, но привлекая и раздаточный материал.

На основе работы с  множеством предметов учащиеся подготавливаются к сравнению чисел. Для установления отношений «больше», «меньше», «равно» между числами младшие школьники могут использовать предметные, графические и символические модели. В качестве математической основы действий на предметном уровне выступает установление взаимнооднозначного соответствия между элементами двух множеств:

 

O«O    

O«O

                     O«O

 O                                                                      

 O

 

Для записи отношений  между числами учитель знакомит учащихся со знаками > (больше), < (меньше), = (равно) и с математическими записями, которые называются равенствами и неравенствами (5<9, 9>5, 5=5).

В качестве символической  модели используется отрезок натурального ряда (ряд чисел, которым можно  пользоваться при счёте предметов: «5<9, так как число 5 называется при счёте раньше, чем 9»).

В качестве графической  модели используем числовой луч, на котором  дети отмечают точки, соответствующие  натуральным числам.

Знаки неравенства  (>,<) появились в 1631 году, но понятие неравенство, как и понятие, равенство, возникло в глубокой древности.

В развитии математической мысли без сравнения величин, без понятий «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, уравнения.

К сравнению чисел  учащиеся приступают при изучении нумерации  в пределах 10, потом при повторении этого материала и знакомстве со сложением и вычитанием в пределах 10.

Далее выполняется сравнение  чисел с опорой на знания последовательности чисел в натуральном ряду. Вслед  за этим учащиеся опираются на десятичный состав числа.

При изучении чисел первой 1000 учащиеся выполняют и сравнивание именованных чисел. Здесь необходимо добиваться того, чтобы учащиеся как можно чаще опирались на конкретные образы, подкрепляли свои утверждения измерениями, в противном случае появляются два вида ошибок:                       а) 37 см > 5 дм; б) 8 дм=8 м.

Во время формирования понятия в 1 классе о том, что сумма  натуральных чисел больше каждого  из своих слагаемых, а разность  натуральных чисел меньше уменьшаемого, ведется работа по сравнению численного значения арифметического выражения и числа.

Сначала знак неравенства  между выражением и числом ставится после вычисления значения выражения. Ученик вычисляет, затем вводятся рассуждение.

Упражнения на сравнение  численного выражения и числа  получают развитие дальше во 2 – 4 классах  в применении к большим числам и умножению и делению. В качестве подготовки к сравнению численных значений выражений применяется сравнение пар.

Таким образом, сначала  применяются вычисления, затем выполняются  на основе рассуждений с опорой на обобщение.

Если раньше действовала формула «вычисли-объясни-проверь вычислением», то во 2 классе такие упражнения с действиями второй ступени учащиеся выполняют на основе вычислений, в 3 – 4 классе – на основе рассуждений. Во 2 классе решаются неравенства приёмом подстановки. В 3 – 4 классе рассматриваются простейшие неравенства.

 

1.3. Понятие «уравнение»

 

В курсе математики начальных  классов уравнение рассматривается  как истинное равенство, содержащее неизвестное число, и решается на основе правила взаимосвязи между  компонентами и результатами действий.

Термин «решение» употребляется  в двух смыслах: он обозначает как  число (корень), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство, так и сам процесс  отыскания такого числа, то есть способ решения уравнения.

Ответ на вопрос – когда  целесообразно знакомить младших  школьников с уравнением – неоднозначен.

Одна точка зрения – познакомить с уравнением как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий.

Другая точка зрения – приступать к решению уравнений  после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться для решения уравнений.

Мы согласны  со второй точкой зрения, которую поддерживает Истомина Н.Б.. Это обуславливается тем, что для осознания взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий необходимо опираться на предметную деятельность. В противном случае при решении уравнений мы вынуждены идти через образец и большое количество тренировочных однообразных упражнений. Это приводит к тому, что, решая уравнение, учащиеся часто руководствуются не общим способом действия (правилом), а внешними признаками.

Более позднее изучение уравнений позволяет:

1. Использовать в уравнениях многозначные числа и ранее изученные понятия;
2. Познакомить учащихся с уравнениями, в которых неизвестный компонент представлен в виде буквенного выражения;
3. Познакомить учащихся с решением задач способом составления уравнений.

Подготовкой к ознакомлению учащихся с уравнениями является вся работа с равенствами и  неравенствами. Особое значение среди  всех этих уравнений имеют задания, при выполнении которых надо от неравенства  перейти к равенству и наоборот. Выполнение таких заданий вырабатывает у учащихся навыки «уравнивания» чисел и выражений, что им потребуется при составлении уравнений.

Начиная, с изучения таблицы сложения и вычитания, связи между слагаемыми и суммой – не только показывается учащимся, но они на неё и опираются при нахождении результата соответствующего случая вычитания. Учащиеся опытным путём с применением разнообразных материалов для счёта устанавливают, если 2+3=5, то 5-2=3, 5-3=2. на основе таких упражнений школьники формулируют выводы о взаимосвязи между суммой и слагаемыми и о нахождении неизвестного слагаемого. Знание взаимосвязи между компонентами и результатом каждого арифметического действия является основой приёма решения уравнений в начальных классах.

Впервые с уравнением учащиеся знакомятся в первом классе после того, как они познакомились с зависимостью между компонентами сложения. Здесь учащийся воспринимает уравнение как равенство, которое справедливо при определённом значении пока неизвестного числа. Выдвигается требование – найти такое значение буквы, обозначающей неизвестное. Чтобы составить уравнение, выраженное словесно, необходимо записать его с помощью математических символов. Это характерно и для последующего приёма составления уравнений по условию задач, только отношения и связи между данными и неизвестными числами становятся не так явно выраженными, как в первых заданиях.

Характерной чертой начального обучения является то, что решение  готовых уравнений проводится несколько  раньше, чем использование их при  решении задач, то есть сначала учащиеся вооружаются навыками решения уравнений какого-либо вида, а потом приступают к решению задач с применением таких уравнений.