Методика изучения уравнений и неравенств

1) является ли запись  равенством;

2) есть ли в ней  переменная.

После того как дети усвоили  общее об уравнении и его корне, предлагается познакомить детей с частными примерами, то есть с уравнениями вида х±6=9, х×3=27, х:6=5.

Учащиеся знакомятся с новым способом решения уравнений, основанном на использовании игры «в машину». В процессе выполнения многочисленных упражнений дети научились:

• выполнять рисунок, иллюстрирующий работу «машин», описанную равенствами;
• находить число, введённое в «машину», изображая «машину», обратную данной, а также применяя правила разностного или краткого сравнения чисел, определять на сколько умножает или на сколько делит.

Подробное изучение алгебраических понятий: равенство, неравенство, уравнение  в третьем классе создает условия  для закрепления данного материала  в четвертом классе. Так, например, очень часто предлагаются темы на частные случаи, то есть конкретизируются отдельные элементы алгебры.         Но главной особенностью, которую отмечает Рудницкая, является связь арифметического и алгебраического материала.

 

1.6. Элементы алгебры по системе Л.В. Занкова

 

Мы изучили и проследили формирование у младших школьников понятий равенство, неравенство, уравнение по системе Занкова. Элементы алгебры в начальной школе вводятся с первого класса.

С первых уроков дети знакомятся с соотношениями между числами, происходящими в процессе установления взаимно однозначного соответствия между элементами множеств. Достаточно длительное время установленные соотношения фиксируются только в устной речи, но как только дети овладевают написанием первых цифр и, тем самым получают возможность записывать некоторые числа, появляется и более широкая возможность – записывать установленные между ними отношения.

Детям предлагается задание, в котором происходит знакомство со знаком равенства (=) и термином «равенство», которое постепенно начинает вытеснять  использовавшееся до него слово «столько же»; далее идет задание, в котором  вводятся знаки больше (>), меньше (<) и термин «неравенство». 

После решения таких  заданий детям предлагается упражнение, в котором используются все знаки  отношение. Данные знаки объединяются общим наименованием – «знаки сравнения».несмотря на то, что этот термин не является общеупотребительным, он, по нашему мнению, создает большие удобства в формулировках заданий и в то же время соответствует основному правилу введения промежуточных терминов в математике – он не противоречит ни более частным (больше, меньше, равно), ни более общему (знаки отношений) понятиям.

Так как понятия «равенство»  и «неравенство» первоначально  воспринимаются детьми как записи, в которых два числа соединены  знаком сравнения, естественно, возникает  два направления развития темы: различие этих записей на верные и неверные; переход к записям вида а ± в = с,                а ± в > < с, а ± в = с ± d, а ± в>< с ± d, а в дальнейшем и с использованием действий умножения и деления.

Понятия «неверные равенства  и равенства» первоначально появляются как результат естественно возникающих ошибок в ответах учеников.

Для знакомства с неравенствами  вида а ± в >< с в первом классе лучше всего использовать ситуации получения ошибочных результатов при вычислении значений сумм и разностей. Например, при сложении чисел 5 и 4 ученик ошибочно получил неверное равенство 5 + 4 = 8. после выяснения того, что получившаяся запись является неверным равенством, необходимо обсудить варианты превращения этой записи в верную. Такие варианты можно получить, последовательно меняя в ней разные знаки, в результате чего можно получить три верных равенства (4 + 4 = 8, 5+ 3 = 8, 5 + 4 = 9) и верное неравенство (5 + 4 > 8).

Более подробно такие  неравенства рассматриваются во 2 – 4 классах. Это же относится и  к более сложным случаям неравенств.

Естественным развитием  работы с верными и неверными  равенствами является знакомство с  уравнениями – равенствами, содержащими  переменную величину, в зависимости, от значения которой равенство становится верным или неверным.

Основная причина введения в программу знакомства с уравнениями – стремление помочь ученикам глубже осознать связь между обратными действиями (сначала между сложением и вычитанием, в дальнейшем между умножением и делением).

Первое знакомство с  уравнениями происходит в упражнении, где на основе решения представленной жизненной ситуации дети получают первое уравнение и знакомятся с определением этого понятия.

Далее идет задание, посвященное  первому способу решения уравнений  – способу подбора. В нем же дети получают первоначальные представления о смысле решения уравнений.

В последующих классах  это представление уточняется за счет рассмотрения уравнений, не имеющих  решения или имеющих несколько  решений.

На примере уравнений  вида а + х = в дети, выполняя задания  учебника последовательно знакомятся со следующими способами их решения:

• на основе использования движения по натуральному ряду чисел;
• при помощи таблицы сложения.

Последний из перечисленных  способов позволяет рассмотреть  два разных варианта использования  таблицы сложения. Каждый из них начинается с подбора равенства таблицы, в котором с уравнением совпадают значение суммы и известное слагаемое. Затем рассуждение может строиться по-разному.

 В одном случае  оно такое: если в равенствах  равны значения сумм и обно  слагаемое, то будут равны и второе слагаемое.

Во втором случае ученик рассуждает так: если из значения суммы  вычесть одно слагаемое, получится  другое слагаемое.

Именно это рассуждение  отражает основной для начальной  школы способ решения уравнений  – на основе взаимосвязи между  обратными действиями и их компонентами.

Если решению уравнений  с неизвестным слагаемым в  учебнике уделяется достаточно большое  внимание, то с уравнениями, в которых  неизвестным числом является уменьшаемое  или вычитаемое, дети только знакомятся.

Продумывая развитие темы «Уравнения» в первом классе, важно понимать, что главной целью работы является не овладение умением решать уравнения, а получение первого представления об этих особых равенствах и о смысле их решения. Поэтому едва ли есть необходимость предлагать ученикам большое количество дополнительных заданий по решению уравнений.

В заданиях, посвященных  уравнениям, наряду с термином «значение  неизвестного» употребляется и  термин «корень уравнения». Эти термины  дети постепенно должны привыкнуть употреблять как синонимы.

На более поздних  этапах обучения второй термин займет первенствующее положение и станет основным, хотя и не вытеснит полностью  другой.

Во втором классе продолжается знакомство с равенствами и неравенствами, с решением неравенств и уравнений;

Расширение знаний об уравнениях и их решении происходит в основном в связи с изучением  новых действий – умножения и  деления, а, следовательно, появления  уравнений, в которых неизвестным  является один из множителей, делимое  и делитель. Рассматриваются и  аналогичные им неравенства.

Основная цель работы с уравнениями во втором классе не изменяется – это углубление понимания  связи между взаимно обратными  действиями.

Задания, связанные с  уравнениями и неравенствами, сосредоточены  в тетрадях на печатной основе.

В отличие от первых двух лет обучения, в программе которых вопросы, относящиеся к элементам алгебры, занимают незначительное место, в третьем классе они представлены значительно шире. Это, с одной стороны, продолжение знакомства с уравнениями и неравенствами, с другой стороны – начало знакомства с системами неравенств и связанными с ними двойными неравенствами.

Теме «Уравнения» уделено  особенно много внимания  и времени. В первом полугодии основным направлением является совершенствование полученных ранее знаний и умений. Этому посвящены задания учебника, а также задания в рабочих тетрадях.

В третьем классе учащиеся впервые сталкиваются с уравнениями, решение которых требует выполнения не одного, а большего числа преобразований. Выполнение подобного рода заданий предполагает, что, во-первых, ученики используют накопленные к этому времени наблюдения за взаимосвязью между изменением компонентов сложения и вычитания и результатом этих действий для установления отношений между корнями рассматриваемых уравнений, а во-вторых, попытаются найти способ решения этих уравнений на основе использования изученных законов и свойств действий.

Как и всегда в процессе выполнения задания ученики могут  предложить способы решения поставленной проблемы, которые требуют всестороннего обсуждения и оценки их правильности и рациональности.

Дальнейшее изучение уравнений влечет за собой принципиальное изменение цели работы с уравнениями.

До этого момента  основным направлением ее является углубление понимания взаимосвязи между  обратными действиями. Теперь главным становится осознание постоянно используемого при выполнении многих математических заданий пути – последовательного пошагового упрощения исходного задания за счет выполнения тождественных преобразований.

Основным используемым приемом, позволяющим достичь поставленной цели, является сравнение уравнений, из которых одно является в каждом случае уже знакомым ученикам, а второе (упрощения), в результате которого оно становится аналогичным первому, которое дети уже умеют решать.

Так, например, предлагаются задания, в которых сравниваются пары уравнений, первые из которых являются простыми, а вторые усложнены за счет того, что правая часть представлена не числом, а числовым выражением.

После сравнения уравнений  и выявления особенностей вторых из них по сравнению с первыми в каждой паре основное внимание необходимо сосредоточить на вопросе: «Как сделать так, чтобы второе уравнение каждой пары стало таким же как первое?»

Решение уравнений в  таких заданиях требует в качестве первого шага нахождение значения этих выражений, в результате чего получаются знакомые простые уравнения.

Далее рассматриваются  еще более сложные уравнения, в которых необходимо преобразовать  обе части.

Здесь же рассматриваются  различные способы преобразования уравнений. Так, в первом из них ученики знакомятся с упрощением, основанным на использовании распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания (по существу они выполняют приведение подобных членов без знакомства с соответствующей терминологией). Второе возвращает учеников к проблеме использования в качестве переменной (неизвестной) величины не отдельного числа, а выражения, в которое входит неизвестное число.

Внимание уделяется  не только теме «Уравнения», но и теме «Неравенства». С понятием «неравенство» ученики познакомились еще  в первом классе. В течение первых двух лет обучения они овладевают умением читать и записывать неравенства вида а > (< ) в, а ± в > (<) с и т.п., а также подбирать натуральные решения неравенств вида * > ( <) d.

На основе этих знаний в третьем классе происходит знакомство с решением более сложных неравенств с переменной величиной; рассматривается  поиск общих решений двух простых неравенств с одной и той же переменной (система неравенств), а также происходит знакомство с двойными неравенствами.

Учащимся предлагаются задания, помогающие им находить решения  неравенств вида, а > ( < ) n, где а – переменная, а n – данное натуральное число.

Затем учащиеся впервые  сталкиваются с неравенствами, у  которых одна часть представлена выражением с переменной. Выполняя задание, ученики устанавливают  разницу между решениями такого неравенства и похожего на него простого неравенства.

После этого происходит знакомство с одним из способов решения  неравенств – на основе решения  соответствующего ему уравнения.

Выбор именно этого способа  продиктован тем, что он не требует  смены знака соотношения между  частями неравенства в случаях, когда переменная является вычитаемым или делителем.

Решение неравенств через  решение соответствующих уравнений  состоит из двух этапов:

1. определение значения переменно, при котором левая часть его равна правой части (решение уравнения);
2. определение множества чисел, при которых данное неравенство верно.

Второй этап может  быть выполнен разными способами. Ученики  могут использовать полученные к  этому времени знания об изменении  значений выражений при изменении  компонентов действий или могут  определить нужное множество чисто практически, для чего достаточно подставить в неравенство два произвольных числа – большее корня уравнения и меньшее него.

Другой линией расширения знаний о неравенствах является установление общих решений двух неравенств, то есть знакомство с системами неравенств.

В третьем классе ученики  рассматривают главным образом  решение неравенств и систем неравенств на множестве целых неотрицательных  чисел. Только в одном задании  впервые возникает вопрос о существовании  дробных решений систем неравенств. Этот вопрос получит свое продолжение в четвертом классе.