Методика изучения уравнений и неравенств

Последовательно учащиеся переходят от простых уравнений, содержащих действия первой ступени, к  более сложным, включающих в себя действия первой и второй ступени.

У учащихся надо с первых же шагов знакомства с уравнениями  вырабатывать навык проверки его  корня, то есть найденного значения буквы. Здесь учащиеся должны в уравнение вместо буквы подставить её значение и отдельно вычислить результаты. Отношение равенства этих результатов является основанием для заключения, что найденное число удовлетворяет условиям уравнения.

 

1.4. Алгебраический материал по традиционной программе

 

Рассмотрим формирование понятий равенство и неравенство. В практике обучения в начальных классах числовые выражения с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равенствами и неравенствами.

В математике числовые равенства  и неравенства делятся на истинные и ложные. В начальных классах  вместо этих терминов употребляют слова «верные» и «неверные». Для лучшей подготовки детей к рассмотрению вопросов об истинности и ложности рассматриваемых равенств и неравенств  в следующих классах полезно приучать детей к оценке истинности и ложности полученных равенств и неравенств уже с первых шагов обучения в начальных классах.

Так, в 1 классе, где еще термины  «равенство» и «неравенство»  не используются активно, учитель может  при проверке правильности выполненных  детьми вычислений задавать вопросы  в такой форме: «Коля прибавил к шести восемь и получил 15. Верное это решение или неверное?», или предлагать детям упражнения, в которых требуется проверить решение данных примеров, найти неверные записи, заменить их верными и т.п. Аналогично при рассмотрении числовых неравенств, вида 5<6, 8>4 и более сложных, учитель может задавать вопрос в такой форме: «Верны ли эти записи?» (а после введения термина «неравенство»- «Верны ли эти неравенства?») или «Подбери такое число, чтобы, подставив его в «окошечко», мы получили верное равенство: 5+18=18+   » .

Начиная с первого  класса, дети знакомятся с преобразованиями  числовых выражений, выполняемыми на основе применения изученных элементов  арифметической теории (нумерации, смысла действий, свойств действий и др.). Например, на основе знания нумерации, разрядного состава чисел, учащиеся могут представлять любое число в виде суммы его разрядных слагаемых. Это умение используется при рассмотрении преобразования выражений в связи с изучением многих вычислительных приемов. Например: 23+4=(20+3)+4, применяя затем известное уже к этому времени правило прибавления числа к сумме, дети могут продолжить преобразование выражения, заменив его таким: 20+(3+4) и т.д.

В связи с подобными преобразованиями уже в первом классе дети встречаются с «цепочкой» равенств, так же следует уделить внимание неравенствам с переменной. Впервые с неравенствами, содержащими переменную, дети встречаются в 1 классе, где такие неравенства задаются с использованием условного знака, который дети часто называют «окошечком». (Равенства такого рода упоминались выше.) Так, на страницах учебника для 1 класса предлагаются, например, неравенства вида: 5+3<    . Дети должны подставить в «окошечко» такие числа, чтобы запись была верной. Аналогичные упражнения во 2 классе, после введения букв, предлагается уже с обозначением переменной любой буквой латинского алфавита.

Решаются неравенства  в начальной школе только методом подбора. Как правило, и задания формулируются так: «Подбери такое число, при котором данное неравенство будет верным». Довольно часто детям дают несколько значений переменной и предлагают из данного ряда чисел выбрать те, при подстановке которых в данное неравенство получится верное неравенство.

Работа с неравенствами  в начальной школе в основном направлена на формирование понятия о переменной и с точки зрения обучения решению неравенств носит пропедевтический характер.

Изучая равенства и  неравенства, дети знакомятся с уравнениями. При характеристике содержания в  начальных классах отмечалось, что  первое знакомство с ними происходит в первом классе, где оно вводится как название равенств вида: 3+х=8, 9-х=2, х-6=3.

В ходе решения этих уравнений  у детей должно быть постепенно сформировано понимание уравнения как равенства, содержащего неизвестное число, обозначенное буквой. Они должны понять, что всякий раз, как мы встречаемся с уравнением, задача заключается в том, чтобы найти то значение этого неизвестного числа, при котором равенство будет верным. Значение неизвестного при решении уравнений в 1-4 классах, как правило, находится на основании знания связи между компонентами и результатами действий.

Наряду с этим (основным для начальных классов) способом решения уравнений в ряде случаев  можно использовать и другие, основанные на применении известных детям элементов арифметической теории. Например, уравнение вида х×17=17×35 может быть решено без выполнения вычислений - на основании знания переместительного свойства произведения. Аналогично уже в 1 классе уравнение вида 25+х=26+ 18 может быть решено на основе простого рассуждения: «Если к равным числам прибавили поровну, то и получится поровну. Значит, х=18.»

Сложность рассматриваемых  уравнений от класса к классу, от года к году повышается в соответствии с требованиями, зафиксированными в  программе.

Следует также обратить внимание на особенности использования при решении задач выражений и уравнений. Работа по составлению является необходимым условием обучения выражений, соответствующих отдельным частям задачи, является, как правило, задачей менее трудной, чем составление уравнений к этой же задаче. В то же время решение некоторых составных задач только с помощью составления выражения иногда оказывается более трудным, чем решение той же задачи с помощью уравнения.

Это следует учитывать, исходя из анализа конкретного текста задачи, чтобы не создавать искусственно дополнительных трудностей для учащихся. По той же причине не следует также настаивать, как это иногда делается, на составлении «всех возможных уравнений» к данной задаче.

Часто полезнее давать свободу  учащимся для выбора способа решения, каждый раз подчеркивая преимущества (или недостатки) одного из них перед другим, не считать недочетом, если ученик выбрал «свой путь решения», разумеется, кроме тех случаев, когда, учителем или учебником, заранее выдвинуты определенные требования в этом отношении.

Одни задачи могут  решаться без помощи уравнения, но в  несколько действий, а другие могут  ориентировать детей на решение  с помощью уравнения.

Рассуждения при решении  задач разнообразны. После предварительного рассмотрения и решения задачи не обязательно проводить фронтальный разбор задачи. Целесообразнее с целью выявления различных путей рассуждения просить класс приступить к самостоятельному ее решению, подчеркнув, что решение должно быть выполнено с составлением уравнения. Наблюдая за классом и обнаружив, что большая часть учащихся уже составила уравнения, можно приостановить самостоятельную работу и попросить одного из них рассказать, как и какое уравнение, он составил.

Каждое из рассуждений  полезно рассмотреть с учащимися, записать на доске соответствующие уравнения. После этого учащиеся продолжают прерванное решение задачи самостоятельно тем способом, который избран каждым, или если решение не было начато, выбирают один из предложенных способов.

Из сказанного ни в  коем случае не следует, что от учащихся можно (или даже нужно) требовать составления всех возможных уравнений по одной и той же задаче.

При решении задач  на движение можно использовать как  запись отдельных действий, так и  составление уравнения или выражения.

Выше уже отмечалось, что в обучении решению задач  в четвертом классе является овладение  учащимися решением задач с помощью  составления уравнений. Система  задач, представленная в учебнике, предусматривает  постепенное усложнение соответствующих  заданий, но в пределах тех их видов, которые определены программой.

Если дети научатся в  начальных классах решать задачи той степени трудности, которые  представлены в учебниках, используя  при этом как арифметический, так  и алгебраический способы решения, то это обеспечит необходимую преемственность между четвертым и пятым классами. При этом в начальных классах не ставится цель продемонстрировать преимущества решения задач с помощью составления уравнения по сравнению с арифметическими способами.

 

1.5. Алгебраические понятия по системе Н.Ф.Виноградовой

 

Первоначальные знания об элементах алгебры дети получают в первом классе, где они учатся сравнивать предметы и оперируют  высказываниями «столько же», «столько же, да еще …», «столько же, но без  …».

Во втором классе дети знакомятся с такой темой как «Выражения», без которой нельзя представить дальнейшее изучение курса математики, так как составной частью равенств, неравенств, уравнений является выражение с переменной или без нее.

Основное содержание темы составляют вопросы, относящиеся к алгебраической линии курса.

Рассматривая с учащимися  эту тему, мы должны научить их:

• читать и записывать простейшие числовые выражения;
• составлять числовые выражения более сложной структуры, используя скобки;
• дать понятия о переменной и выражении, содержащем переменную;
• научить вычислять значения выражений с переменной при заданном наборе числовых значений этой переменной;
• отличать выражение с переменной от числового выражения;
• показать решения задач, в условии которых содержится переменная.

Целью знакомства второклассников  с выражениями с переменной является подготовка к введению понятия об уравнении в третьем  классе.

Работа над выражением тесно связано с изучением  самих действий и оказывает большое  влияние на владение школьниками  такими понятиями, как равенства, неравенства, уравнения. И поэтому, недостаточно ясное представление о простейших выражениях сумме и разности двух чисел является причиной ошибок при выполнении первоклассниками ряда заданий. Только глубокое понимание структуры выражения и твердое знание правил порядка действий могут предупредить дальнейшее не понимание предмета.

В третьем классе изучается  тема «Равенства и неравенства», которая  состоит из следующих блоков вопросов алгебраического блока тесно  связанного с логико-математическими понятиями:

• учащимся даются определения уравнения (равенство с буквой) и его корня (число, при подстановке которого в уравнение вместо переменной получается верное равенство);
• рассматриваются способы решения простейших уравнений с одной переменной (подбор, использование игровой формы «машины»);
• вводится понятие «неравенство с переменной» (без строгого определения), разъясняется смысл решения неравенства,  показывается способ решения неравенств с переменной(перебор чисел по порядку, начиная с 0);
• предлагаются задачи, решаемые способом составления уравнения или неравенства.

Приступая к изучению вопросов алгебраического блока, дети знакомятся с числовыми равенствами  и неравенствами. Термины «равенство»  и «неравенство» вводятся без  определений. В ходе выполнения упражнений учащиеся должны научиться свободно, употреблять в своей речи слова: верное равенство, неверное равенство,  верное неравенство, неверное неравенство.

Название того или  иного высказывания (равенство или  неравенство) они определяют по знаку: если высказывание записано знака =, то оно называется равенством, а если с помощью знака < или >, то оно называется неравенством.

На предыдущих уроках среди высказываний учащимся встречались и числовые равенства и неравенства, но тогда они так не назывались. Дети знают, что высказывания бывают верными и неверными. Числовые равенства и неравенства – это тоже высказывания, и поэтому они могут быть как верными, так и неверными.

Затем дети знакомятся со свойствами равенств и неравенств. Изучая этот материал, учащиеся познакомятся с простейшими свойствами равенств: равенство не нарушится (сохранится), если:

- к обеим частям  прибавить одно и то же число;

- из обеих его частей вычесть одно и то же число;

- обе его части умножить  или разделить на одно и  то же число. 

Эти свойства дают возможность  упрощать некоторые числовые равенства, легко решать многие уравнения. Так, например, решая уравнение х+361=482+361, ученик просто вычитает из обеих частей число 361. получается: х=482. Корень уравнения очевиден – это число 482.

После темы «Свойства  равенств и неравенств» следует  тема «Предложение с переменной». Ознакомление с данным понятием поможет подготовить  учащихся к введению понятию «уравнение», которое мы определим как равенство с переменной.

Изучая материал «Уравнение и его корень», третьеклассники  знакомятся с определением уравнения. Однако бывают ситуации, когда дети, запомнив формулировку определения, тем  не менее, считают уравнениями и иные записи, содержащие знак равенства или переменную: 5+7=12, х:4, х>5, не являются уравнениями. Поэтому советуем организовать более тщательную работу с определением уравнения, добиться, в конечном счете, того, чтобы учащиеся научились отличать уравнения от других математических понятий. Учащиеся должны понять, что каждый раз надо проверять два условия: