Методика преподования математики( метод неравенств)

 

ВСТУП

 

 

Метою роботи є вивчення, дослідження та застосування на практиці методу рівнянь та нерівностей до розв’язання практичних задач.

Матеріал курсової роботи викладено в двох частинах: основні  теоретичні відомості про метод  рівнянь та нерівностей в курсі  математики середньої школи та застосування методу на практиці у розв’язанні практичних задач на складання рівнянь та нерівностей.

У першому розділі розглянуті суть та зміст, цілі вивчення, можливості формування методу рівнянь та нерівностей  в курсі математики середньої  школи. Також у цьому розділі  наведені етапи формування даного методу.

Другий розділ присвячений  задачам на складання рівнянь  та нерівностей. У даному розділі  наведені практичні задачі на рух, задачі на роботу, задачі, які розв’язуються  за допомогою нерівностей та похідної, задачі на відсотка, задачі з цілочисельними невідомими.

 

1 МЕТОД РІВНЯНЬ  І НЕРІВНОСТЕЙ

 

 

Метод рівнянь і нерівностей - метод математики, в якому найбільш опукло і яскраво відбиваються характерні риси, знаходять чітку реалізацію етапи процесу математичного моделювання. Цей метод можна вважати конкретизацією методу моделювання і з точки зору тих основних дій, які характеризують метод моделювання і які необхідно виконувати в процесі використання цього методу для вирішення конкретних практичних завдань.

 

 

1. Цілі вивчення методу рівнянь і нерівностей

 

Так як рівняння, нерівності, їх конструкції є математичними моделями дуже багатьох явищ (фізичних, хімічних та інших), то рішення різних задач (у тому числі і тих, з якими ми стикаємося на практиці) в кінцевому рахунку зводиться до вирішення рівнянь, нерівностей , їх конструкцій. Тому цілі зазначеного методу полягають у пізнанні явищ, процесів дійсності і в отриманні способу (часто найбільш раціонального, особливо якщо врахувати можливості сучасних ЕОМ) рішення багатьох практичних і наукових завдань.

Зазначені цілі методу рівнянь і нерівностей є і цілями його вивчення. Але крім їх можна говорити і про інші, які мають як освітнє, світоглядне, так і дидактичне значення.

Найбільш значуща серед них полягає в можливості формування в учнів уміння математизації реальних ситуацій, а це, пов'язане з формуванням такої важливої дії, як дія моделювання. Вивчення методу рівнянь і нерівностей в певній мірі має на меті встановлення міжпредметних і внутрішньопредметних зв'язків, а значить, формування системності знань. Крім того, створюються сприятливі умови для узагальнення та систематизації знань, пов'язаних з низкою тим курсів алгебри та геометрії (рівносильность рівнянь, нерівностей, способи розв'язання рівнянь, нерівностей, їх систем; опис рівнянням, нерівністю, конструкцією рівнянь, нерівностей заданої множини точок та ін ) [1].

 

 

2. Суть і зміст методу

 

Суть, основна ідея методу рівнянь і нерівностей полягає у

• встановленні основних зв'язків, залежностей між елементами, що характеризують досліджуване явище (процес), тобто в побудові словесної моделі явища (процесу);
• перекладі словесної моделі на мову математики: виявлені зв'язки, залежності між характеристиками явища записуються у вигляді рівнянь, нерівностей або їх конструкцій. В даному випадку маємо справу з побудовою математичної (іноді її називають вирішальною) моделі;
• розв'язанні поставленого завдання всередині математичної моделі: розв’язання рівняння, нерівності або їх конструкції (аналітичний, графічний способи);
• перекладі отриманого результату на ту мову, на якому була сформульована вихідна завдання (мається на увазі встановлення відповідності отриманого результату вихідного явища, процесу).

Розкриття сутності методу рівнянь і нерівностей фактично пов'язано з виділенням етапів діяльності людини, яка застосовує.

При вивченні курсу математики середньої школи учні, як правило, не стикаються з необхідністю здійснення діяльності, відповідної першого етапу (у підручниках і різного роду допомоги зазвичай вже представлені словесні моделі досліджуваних явищ). Тому надалі, розкриваючи зміст методу рівнянь і нерівностей, не будемо враховувати етап побудови словесної моделі.

Перерахуємо дієві компоненти методу рівнянь і нерівностей:

• вибір і позначення одного або кількох основних невідомих;
• введення позначень для інших невідомих з урахуванням: а) зв'язків і залежностей, зафіксованих у словесній моделі досліджуваної ситуації; б) позначень основних невідомих;
• складання вирішальної моделі (рівняння, нерівності або конструкції рівнянь, нерівностей);
• розв’язання отриманої моделі;
• дослідження результату (рішення рівняння, нерівності і т. п.) відповідно до умовою поставленого завдання.

Діяльність, основу якої складають зазначені дії, здійснюється, як правило, за допомогою інтелектуальних засобів; рідше використовуються предметні (наприклад, схеми, графічні інтерпретації і т. п.).

Зміст гносеологічних компонентів  методу рівнянь і нерівностей  визначається таким чином:

1. знання основних залежностей між величинами, які присутні в описі явища, процесу, що виступає в якості об'єкта застосування методу (наприклад, залежності між шляхом, часом, швидкістю; обсягом роботи, часом, продуктивністю праці; вартістю, ціною, кількістю продукції і т. п .), і способів їх математичного виразу.
2. результат дослідження явища, процесу, який характеризує одну або декілька величин, які перебувають у певній залежності; слідства з цього результату.
3. в колі завдань, що вирішуються даним методом, виділимо типи за ознакою «тип вирішальної моделі»: завдання на складання рівнянь, завдання на складання нерівностей, завдання на складання систем рівнянь, завдання на складання систем нерівностей, завдання на складання систем рівняння (рівнянь) і нерівності (нерівностей). Кожен із зазначених типів може бути розділений на види відповідно, наприклад, з видом вирішальної моделі (завдання на складання лінійних, квадратних, дробово-раціональних рівнянь і т. д.).

Серед усіх видів завдань особливо відзначимо завдання на оптимізацію, а серед них - завдання на знаходження: а) найбільшого або найменшого значення функції, неперервної на відрізку і має на цьому відрізку кінцеве число критичних точок; б) найбільшого або найменшого значення лінійної функції в деякій області , заданої системою лінійних нерівностей та лінійних рівнянь (задача лінійного програмування). Зазначені завдання відносяться до типу «Задачі на складання системи рівнянь і нерівностей», перша з них розглядається в курсі алгебри і початків аналізу X-XI класів.

Розв’язання кожного з цих завдань пов'язано з отриманням рівняння, що задає деяку функцію (на відрізку в першому випадку і на підмножині точок координатної площини у другому).

4. особливості використання методу в залежності від сфери його застосування пов'язані з необхідністю раціонального вибору виду вирішальної моделі запропонованої задачі і проявляються в діях щодо застосування методу рівнянь і нерівностей.

Це і раціональний вибір невідомого, і особливості побудови вирішальної моделі (наприклад, отримання рівняння, що задає деяку функцію, і використання похідної для знаходження її критичних точок), і особливості вирішення окремих видів рівнянь, нерівностей, конструкцій рівнянь і нерівностей, зокрема застосування аналітичного і графічного способів вирішення, і особливості інтерпретації отриманого результату відповідно, з одного боку, з видом вирішальної моделі, а з іншого - з умовою конкретного завдання [2].

Найбільш яскраво особливості використання методу рівнянь і нерівностей проявляються в процесі вирішення завдань геометричного, фізичного і т. п. змісту, так як вибір виду вирішальної моделі буває пов'язаний з попереднім встановленням і використанням «чисто» геометричних, фізичних та т. п. властивостей аналізованих об'єктів , явищ.

 

3. Можливості формування методу в курсі математики середньої

школи

 

Щоб встановити можливості для формування методу рівнянь і нерівностей в курсі математики середньої школи, потрібно встановити, по-перше, ті знання і вміння, які є базовими по відношенню до діяльнісних і гносеологічних компонентів методу, по-друге, місце та зміст матеріалу, пов'язаного з методом, в підручниках математики, по-третє, можливості цього матеріалу з точки зору формування окремих компонентів методу.

Для успішного застосування методу рівнянь і нерівностей  учням необхідні такі знання і  вміння:

• знання про рівняння, нерівності, їх конструкції: поняття (рівняння, нерівності і т. п.; корень, розв’язання рівняння, нерівності, системи рівнянь, нерівностей; рівносильності рівнянь, нерівностей і т. п.; графіки рівнянь, нерівності); властивості числових рівностей, нерівностей; види рівнянь, нерівностей, способи розв'язання рівнянь, нерівностей, їх конструкцій (аналітичний, графічний);
• знання залежностей між основними величинами, властивості геометричних та інших об'єктів, що вивчаються в курсі математики середньої школи, способів математичного вираження цих залежностей, властивостей;
• уміння, пов'язані з вирішенням окремих видів рівнянь, нерівностей, їх конструкцій: отримання рівняння, нерівності і т. п., рівносильних вихідному, за допомогою основних теорем рівносильності рівнянь, нерівностей на базі використання властивостей функцій і т. п.; вибір раціонального для кожного конкретного випадку способу розв’язання (у тому числі аналітичного чи графічного); побудови безлічі точок по його аналітичному завданню; опис рівнянням, нерівністю і т. п. заданої множини та ін;
• уміння здійснювати переклад завдання з мови словесної моделі на мову математичної моделі (тобто складати рівняння, нерівності і т. п. відповідно до зазначених в умові завдання властивостями, залежностями величин);
• уміння інтерпретувати результат розв’язання математичної моделі відповідно з умовою запропонованої задачі та ін. [2].

 

 

4. Етапи формування методу

 

Реалізація можливостей засвоєння школярами методу рівнянь і нерівностей пов'язана з вирішенням двох завдань. Перша полягає в тому, щоб домогтися розуміння учнями суті методу і оволодіння діями з його застосування (діяльнісні компоненти). Друге завдання полягає в навчанні застосування методу для вирішення різних видів завдань (в процесі її вирішення відбувається і подальше засвоєння діяльнісних компонентів, і розкриття об'єктивної сторони, гносеологічної основи методу).

Обидва ці завдання повинні стати метою діяльності не тільки вчителі, а й учнів. Їх рішення передбачає обов'язкове виділення в процесі формування методу рівнянь і нерівностей наступних етапів:

1. Етап прийняття учнями поставленої навчальної задачі. Основна мета цього етапу полягає в тому, щоб показати учням значення методу рівнянь і нерівностей та «вийти» на розуміння школярами мети подальшої діяльності - засвоєння спеціального методу вирішення багатьох завдань (у тому числі і задач практичного змісту).

Основний засіб, який вчитель використовує на цьому етапі, можуть бути завдання, причому такі, в процесі вирішення яких найбільш яскраво буде проявлятися доцільність використання саме розглянутого методу.

2. Етап засвоєння школярами суті методу. На цьому етапі учні під керівництвом вчителя виділяють дії, що визначають операційний склад методу рівнянь і нерівностей; встановлюють їх послідовність; відзначають, що потрібно знати і вміти для того, щоб застосовувати метод.
3. Етап формування компонентів методу рівнянь і нерівностей. Використовуючи як основний засіб завдання, на цьому етапі вчитель повинен звернути увагу в першу чергу на формування в учнів таких дій, як вибір і позначення одного або кількох основних невідомих, введення позначень для інших невідомих і інтерпретація результату відповідно до умови поставленого завдання.

У дії «складання вирішальної  моделі» слід виділити операцію, пов'язану  з виділенням основного отношенія даного завдання, яке і використовується в кінцевому рахунку для отримання рівняння (нерівності і т. п.).

Зауваження. Тут не вказується на необхідність формування дії «рішення отриманої моделі», так як воно спеціально формується в процесі вивчення певних видів рівнянь, нерівностей, їх систем.

4. Етап навчання школярів застосування методу для розв'язання задач певного виду. Цей етап основною своєю метою має формування в учнів умінь, пов'язаних не з реалізацією окремих компонентів методу, а із застосуванням методу в цілому (при цьому вид завдання, а значить, і вид вирішальної моделі визначено однозначно).
5. Етап навчання школярів застосування методу для вирішення широкого кола математичних задач. Основна мета цього етапу - формування в учнів уміння здійснювати раціональний вибір виду вирішальної моделі запропонованої задачі.