Уравнение линии

  Глава 4. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ

  4.1. Уравнение линии  на плоскости

Уравнение линии является важнейшим понятием аналитической геометрии.

   Пусть мы имеем на плоскости некоторую  линию (кривую) (рис. 4.1). Координаты x и у точки,    

    x  лежащей на этой линии, не могут быть произвольными, они должны быть 

        определенным образом связаны. Такая связь аналитически записывается в виде

        некоторого уравнения. 

  

     у

Рис. 4.1

Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

  В общем случае уравнение линии  может быть записано в виде F(x, у) = 0 или (если это возможно) у = f (х), где F(x, y) и y =f(x) — некоторые функции (функции будут рассмотрены в гл. 5).

  Если  точка М (х, у) передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты M(x, у) называются текущими координатами (от слова "текут", меняются).

Пример 4.1. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек А (-4; 2) и В (-2; -6).

Решение. Расстояние между двумя точками М₁ (х₁, у₁) и М₂(х₂,у₂) определяется по формуле (3.5):

d= Ö (х₂ - х₁ )² +( у₂ - у₁)²

  Если  М (х, у) — произвольная точка искомой линии, то согласно условию имеем AM = ВМ (рис. 4.2.) или, учитывая (3.5),

Ö (х + х₄ )² +( у - 2)²  =Ö (х + 2 )² +( у - 6)² 

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим после преобразований уравнение х — 4у — 5=0

или у=1/4 х –5/4

   Очевидно, это уравнение прямой MD — перпендикуляра, восставленного из середины отрезка АВ (см. рис. 4.2). ►

      Любую линию в принципе можно  выразить  соответствующим  уравнением (хотя 

                              на практике это не всегда просто сделать).  Однако не всякое уравнение

          определяет на плоскости некоторую линию.

                                                  Например, уравнение х² + у² = 0 определяет только одну точку (0; 0), а 

               уравнение х² + у² + 7 = 0 не определяет никакого множества точек, ибо левая 

                                                 часть уравнения не может равняться нулю.

                Рис. 4.2

  Чтобы убедиться, лежит ли точка М (а; b)  на данной линии F (х, у) — 0, надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению F (х, у) = 0. 

        у  4.2. Уравнение прямой

       М(х; у)    Пусть прямая пересекает ось 0у  в точке В (0; b) и образует с осью  Ох

                    угол a (0<a < p/2) (см. рис. 4.3).

В(0 ; b)        a              N(х; b)       Возьмем на прямой произвольную точку М (х, у). Тогда тангенс угла а  

               b                                            наклона   прямой   найдем   из   прямоугольного треугольника MBN:    

          0                   А(х;0)    х               tga = MN/ NB= у- b / х. (4.1)

Введем угловой  коэффициент прямой к = tg a; получим к = у- Ь/ хa

у = кх +b . (4.2)

Можно показать, что формула (4.2) остается справедливой и п для случая p/2 < a <p. Итак, мы доказали, что координаты каждой точки прямой удовлетворяют уравнению (4.2). Нетрудно показать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой, не удовлетворяют уравнению (4.2). Уравнение (4.2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Рассмотрим частные случаи уравнения (4.2).

                у                                                          у                                                   у 

                                                       B(0 ; b) у = b                                  х=0 х= а

у = кх  у = кх 

     a                                                          у =0                                     а

            0                                х                      0                     х                            0               А(а;0)    х

                     Рис. 4.4                                  Рис. 4.5                                                Рис. 4.6

 

   1.Если  b = 0, то получаем у = кх — уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей при к= tg a > 0 острый угол а с осью 0х, а при к= tg a< 0   - тупой угол (см. рис. 4.4). В частности, уравнение биссектрисы I и III координатных углов имеет вид у = х (так как   к — tg p/4 = 1), а уравнение биссектрисы II и IV координатных углов у = -х (к = tg 3p/4 = -1).

   2. Если a=0, то к = tg 0 = 0, и уравнение прямой, параллельной оси Ох, имеет вид у = Ь, а самой оси Ох - вид у = 0 (см. рис. 4.5).

   3. Если a =p/2, то прямая перпендикулярна оси Ох (см. рис.4.6) и к = tg p/2 не существует, т.е. вертикальная прямая не имеет углового коэффициента. Предположим, что эта прямая отсекает на оси Ох отрезок, равный а. Очевидно, что уравнение такой прямой х = а (так как абсцисса любой точки прямой равна а), а уравнение оси Оу есть х = 0.

   Уравнение прямой, преходящей через данную точку  в данном; направлении. Пусть прямая проходит через точку  M₁(x₁,y₁) и образует с осью Ох угол a= p/4 (рис. 4.7).

      y

                M₁(x₁,y₁)

 M₁(x₁,y₁) 

                                                     x = x _{1  (прямая, не входящая в пучок)}

          0 х

      Рис. 4.7 Рис. 4.8

 

Так как  точка М₁(х_],у₁) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению (4.2), т.е. у_{1 =} к х₁₊b (4.3) Вычитая равенство (4.3) из равенства (4.2), получим уравнение искомой прямой у — у₁ = к (х — х₁).(4.4) Уравнение пучка прямых. Если в уравнении (4.4) к — произвольное число, то это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку M_l(x_l,y_l), кроме прямой, параллельной оси Оу и не имеющей углового коэффициента (рис. 4.8).

Пример 4.2: Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (-5; 4) и В (3;-2). Решение. По уравнению у- у_{1 /} у_{2 -} у₁₌ х- х_{1 /} х_{2 -} х₁ (4.6)

 у 

      В(0;b) 

      b

      А(а;0)

 0             

            а      х

у-4/-2-4= х+5/3+5, откуда после преобразований у=3/4 х+1/4   

                                                                       Рис. 4.11

  Уравнение прямой в отрезках. Найдем уравнение прямой по заданным отрезкам а = 0 и b=0 , отсекаемым на осях координат. Используя (4.6), уравнение прямой, проходящей через точки А (а; 0) и  В (0;  Ь)  (рис.11), примет вид у-0/ b-0 = х- а/0- а или после преобразований х/ а +  у/ b =1 (4.7)- уравнение прямой в отрезках.

Общее  уравнение   прямой   и   его   исследование.   Рассмотрим уравнение первой степени с двумя переменными в общем виде   

Ах + By + С = 0   (4.8)

в котором коэффициенты А и В  не равны одновременно нулю, т.е. А² + В² = 0.

1. Пусть В = 0. Тогда уравнение (4.8)  можно  записать в виде y=-А/В*х-С/В

Обозначим к = -А/В, b = -С/В. Если А = 0, С = 0, то получим у=кх+Ь (уравнение прямой с угловым коэффициентом); если к = 0, С = 0, то у = кх (уравнение прямой, проходящей через начало координат); если А = О, С = 0, то у = Ь (уравнение прямой, параллельной оси Оу); если А = 0, С = 0, то у =0 (уравнение оси Ох).

  2. Пусть В=0, А = 0. Тогда уравнение  (4.8) примет вид х= -С/А. Обозначим а = -С/А. Если С = 0, то получим х= а(уравнение прямой, параллельной оси Оу); если С = 0, то х - О (уравнение оси Оу).

  Таким образом, при любых значениях  коэффициентов А, В (не равных одновременно нулю) и С уравнение (4.8) есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху.

  Уравнение (4.8) называется общим уравнением прямой. Заметим, что в отличие от уравнения пучка прямых (4.4) общее уравнение (4.8) включает и уравнение любой вертикальной прямой, параллельной оси Оу. 

  4.3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

  Расстояние  от точки до прямой. 

Угол  между двумя прямыми. Пусть заданы две прямые у= к₁ х + b₁ (1), у= к₂ х + b₂ (2) и  требуется  определить   

                                       угол   j между ними.

                                               Из рис. 4.13 видно, что j = а₂ - а₁, причем k₁ =tga₁, k₂ =tga₂, a₁= p/2,  

                                       a₁=p/2. Тогда tgj = tg(a₂-a₁)= tga₂- tga₁/1+ tga_1* tga₂

                                      или tgj= k₂- k₁/1+ k₁k_2, (4.9), где стрелка означает, что угол j получается 

                                                  поворотом прямой (1) к прямой (2) против часовой стрелки.

                                                    Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Если прямые у =к₁х + b₁ (1) и у = к₂ х + b₂ (2) параллельны, то угол j = 0 и tgj = 0, откуда из формулы (4.9) к₁ = к_{2 .} И наоборот, если к₁ = к_2, то по формуле (4.9) tgj = 0 и j= 0. Таким образом, равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых.