Если  прямые перпендикулярны, тоj =p/2, при этом ctgj = ctg(p/2) =0 или

ctgj = 1/ tgj= 1+ k₁* k₂ /k₂- k₁=0, откуда k₁=-1/ k₂ или k₁k₂=-1. Справедливо также и обратное утверждение. Таким образом, для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

      Если  прямые заданы общими уравнениями А₁х + В₁ у + С₂= 0 (I)

и А₂ х + В₂у + С₂ = 0 (2), то учитывая, что их угловые коэффициенты   к₁= -А₁/В₁  и   к₂= —А₂/В₂, условие параллельности прямых к₁ = к₂ примет вид А₁/ А₂ = В₁/ В₂. Следовательно, условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями, является пропорциональность коэффициентов при переменных.

Условие перпендикулярности прямых k1k2=1в этом случае примет вид (-А₁/ В₁)* (А₂ / В₂)=-1 или

А₁ А₂ = В₁В₂=0, т.е. условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных х и у.

      Прнмер 4.5. Составить уравнения двух прямых, проходящих через точку А (2; 1), одна из которых параллельна прямой Зх - 2у +2 = 0, а другая перпендикулярна той же прямой.

Решение. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А (2; 1), имеет вид у- 1 = к (х—2). Из этого пучка надо выделить две прямые (2) и (3) — параллельную и перпендикулярную данной (рис. 4.14)

Угловой коэффициент прямой (1) к₁ = 3/2 (так как уравнение прямой (1) можно представить в виде у=3/2х +1)По условию параллельности угловой коэффициент прямой (2) к₂= к₁=3/2 и ее уравнение имеет вид у-1=3/2 (х-2) или 3х-2 у-4=0.

По условию  перпендикулярности угловой коэффициент прямой (3) к₃=-1/ к₁=-2/3 и уравнение этой прямой у-1=-2/3(х-2) или 2х+3у-7=0.

Задачу  можно решить и другим способом. Прямая Ах + By + +С = 0 будет параллельна прямой Зх — 2у + 2 = 0, если ее коэффициенты при х и у пропорциональны, т.е А/3=В/-2. Взяв А=3, В=2 (при коэффициенте пропорциональности, равном 1), получим уравнение Зх — 2.у + С = 0. Коэффициент С найдем с учетом того, что координаты точки А (2; 1), лежащей на прямой, должны удовлетворять ее уравнению, т.е. 3*2 — 2*1 + С = 0, откуда С = 4 и уравнение прямой (2) Зх - 2у - 4 = 0. Уравнение прямой, перпендикулярной данной 3х — 2у + 2 =0, будет иметь вид: 2х + 3у + С = 0 (ибо в этом случае сумма произведений коэффициентов при переменных х и у равна нулю, т.е. 3 *2 + (-2) *3 = 0). Теперь подставляя координаты точки А (2; 1) в уравнение прямой, получим 2*2 + 3*1 + С=0, откуда С = — 7 и уравнение прямой (3) 2х — Зу — 7 —0- ►

Точка пересечения прямых. Пусть даны две прямые A₁x+B₁y+ +С₁= 0 и A₂x+B₂y+ +С₂=0. Очевидно, координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т.е. они могут быть найдены из системы

       A₁x+B₁y+ +С₁= 0

       A₂x+B₂y+ +С₂=0

Если прямые не параллельны, т.е. А₁/ А₂ = В₁/ В₂, то   решение   системы   дает единственную точку пересечения прямых.

Расстояние   от   точки   до   прямой.

   y   Пусть даны точка М(х_о,у_о) и прямая 
                     М(x₀, y₀ )               Ах + By +C = 0. Под расстоянием от точки   М до  прямой   АВ понимается              

             N(x₁, y₁) длина перпендикуляра    d = MN, опущенного из точки М на прямую АВ

                                          (рис.  4.15). Для определения расстояния d необходимо:

   0                   x                  а) составить уравнение прямой MN, перпендикулярной данной и проходящей через точку M₀(x₀, y₀ );              

б) найти точку  N(x₁, y₁) пересечения прямых, решив систему уравнений этих прямых;

 в) по  формуле (3.5) определить расстояние между двумя точками, т.е. найти d = MN. В результате преобразований получим:

 d=| Ах₀+ By₀=С| / ÖА²+В² (4.10) 

                                       Пример 4.6. Найти расстояние между параллельными прямыми

Зх + 4у - 24 =0 и 3х + 4у + 6 - 0. Решение. Возьмем на одной из прямых, например, прямой Зх + 4 у - 24= 0, произвольную точку А (0; 6) (рис. 4.16). Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки А до прямой Зх +4у +6 = 0:

                                      d=|3*0+4*6+6|/Ö3²+4²=6

      Рис.(4.16)

 
4.4. Окружность и  эллипс

  Изучение  кривых второго порядка, описываемых  уравнениями второй степени с двумя переменными, начнем с окружности.

y

   Пусть дана окружность радиуса R с центоом О' (х_о,у_о) (рис. 4.17). Найдем ее уравнение. Для произвольной точки М (х, у)  окружности выполняется paвенство  ОМ = R.  Используя формулу (3.5) расстояния между двумя точками,

                                            Ö(х- х₀)²+ (y- y₀ )²= R или после возведения в квадрат (двух положительных  

                       М(х,у)    частей уравнения) получим равносильное уравнение

0                             x

Рис. 4.17                                                       (х - х_о)²+ (у - у _о)² = R². (4.11)

  Итак, координаты каждой точки окружности М (х, у) удовлетворяют уравнению (4.11). Нетрудно показать, что координаты любой точки, не лежащей на окружности, этому уравнению не удовлетворяют.

  Уравнение (4.11) называется нормальным уравнением окружности. В частности, уравнение окружности с центром в начале координат (х₀ = у₀ =0) имеет вид х² + у² = R²    (4.12)

  Рассмотрим  уравнение второй степени с двумя  переменными в общем виде

Ах² +Вху + Су² +Dx +Ey + F =0, (4.13)

в котором А, В и Сне равны  нулю одновременно, т.е. А² + В² + С² = 0. Выясним, при каких условиях это уравнение является уравнением окружности. С этой целью представим уравнение (4.11) в виде

х² + у² - 2x₀x - 2y₀y + x₀² + y₀²-R² = 0. (4.14)

   Чтобы уравнения (4.13) и (4.14) представляли одну и ту же линию, коэффициент В должен равняться нулю, т.е. В=0), а все остальные коэффициенты — пропорциональны, в частности  А/1=С/1, откуда А = С= 0 (ибо А² + В² + С²=0, а В = 0). Тогда получим уравнение Ах²+Ау² +Dх +Еу + F= 0,(4.15) называемое общим уравнением окружности.

   Поделив обе части уравнения на А= 0 и дополнив члены, содержащие х  и у, до полного квадрата, получим  (x+D/2А)²   + (y+Е/2А)² = D²+ Е²-4АF/4А²          (4.16)

  Сравнивая уравнение (4.16) с уравнением окружности (4.11), можно сделать вывод, что уравнение (4.13) есть уравнение действительной окружности, если 1) А= С; 2) В = 0; 3) D² + Е² -4АF > 0.  При выполнении  этих условий центр окружности (4.13)   расположен   в   точке    О (-D/2А; - Е/2А),а  ее   радиус 

R   =   Ö   4D² + Е² - 4AF

2А

Пример 4.7. Найти координаты центра и радиус окружности х² + у²+ 16у -9 =0.

Решение. Дополнив члены, содержащие у, до полного квадрата, получим х² +(у² + 16у + 64) -64 -9 = 0, или х² + (у + 8)² = 73, т.е. центр окружности в точке О(0; -8), а ее радиус R =Ö 73 .►

Рассмотрим  уравнение кривой второго порядка (4.13), в котором по-прежнему будем полагать В=0. Перепишем уравнение в виде А(x+D/2А)²   + (y+Е/2А)² = D²/4А+ Е²/4С-F  или А(х- х₀)²+ С(y- y₀ )²=d, где

х₀ =-D/2А

y_{0 =} - Е/2С

d= D²/4А+ Е²/4С-F  .

Будем предполагать для простоты исследования, что центр кривой находится в начале координат, т.е. х₀ = у₀ =0. Тогда уравнение кривой примет вид: Ах²+ Су²=d.   (4.17)

  Кривая  второго порядка (4.17) называется эллипсом (точнее кривой эллиптического типа), если коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки.

  Для определенности будем полагать, что  А>0, C>0 (в противном случае обе части уравнения можно умножить на (-1).

Возможны  три случая:

а) d > 0;  б) d = 0;  в) d < 0.

  Очевидно, что в третьем случае (при d<0) кривая (4.17) не имеет действительных точек, а во втором случае (при d=0) кривая (4.17) представляет собой одну точку О(0; 0). Поэтому остановимся на первом случае (d>0).

Получаемое при этом уравнение: х² /а²+ у²/ b² =1.  (4.18) называется каноническим уравнением эллипса с полуосями а =Ö d/А и b =Öd/С (рис. 4.18). При а=Ь уравнение (4.18) представляет частный случай — уравнение окружности х² + у² = а².

   Точки F ₁(-с; 0) и F₂(c;0), где с=4а² -Ь² , (4.19) называются фокусами эллипса, а отношение e=с/а (4.20) его эксцентриситетом.

Эксцентриситет  характеризует форму эллипса. Очевидно, что 0<=e<=1, причем для окружности e=0.

                                                             Точки  А₁(-а; 0),  A₂(a; 0),  В₁(0; b),  В₂(O; -b) называются

                                                                                  вершинами эллипса.

                                                                            Найдем сумму расстояний от  любой точки эллипса М (х,  у) до ее фокусов,

                                                                             используя формулу (3.5):

                                                                                  d = F₂M + MF₁ = Ö(х + с)² + у²+ Ö(х - с)² + у²

                           Рис. (4.18)                          

С учетом (4.18) - (4.20)

F₂M = Öх² + 2с х + с² + у² = Öх² +2сх + (а² - b ²) + (b ² - b ² / а² * х²) = Ö1- b ² / а² * х²+2сх+ а²   =а+e х

      Аналогично  можно получить, что MF₁ =a — ex. В результате d= =F₂M + MF₁ = (a +ex) + (a — ex) = 2a, т.е. для любой точки эллипса сумма расстояний этой точки до фокусов есть величина постоянная, равная 2а. Это характеристическое свойство эллипса часто принимается за определение эллипса.

Пример 4.8.  Определить вид и расположение кривой х² + 2у-4х+16у=0 (4.21)

Решение. Так как А=1 и С =2 -числа одного знака, то данное уравнение кривой — эллиптического типа. Дополняя члены, содержащие х и у, до полного квадрата, получим