Уравнение линии

(х - 2)² + 2(у + 4)² = 36. Следовательно, кривая (4.21) представляет эллипс с полуосями а=6 и b =3Ö2   , центр которого находится в точке О' (2; -4) (рис. 4.19).

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис. (4.19) 

4.5. Гипербола и парабола

   Кривая второго порядка (4.17) называется гиперболой (точнее кривой гиперболического типа), если коэффициенты А и С имеют противоположные знаки, т.е. АС<0.

           Пусть для определенности А  > 0, С < 0. Возможны три случая: 1) d>0; 2) d=0; 3) d<0.

              В первом случае  (при d>0) имеем гиперболу, каноническое уравнение которой

                                                                          х²/ а²- у²/ b ² =1 (4.22), где a=Öd/А - действительная полуось; b= Öd/-С-  

                                                         мнимая полуось (рис. 4.20). Фокусы гиперболы - точки F₁(c; 0) и   F₂(-c; 0), где

                                                                с=Öa² + b² а ее эксцентриситет d= с/а принимает любые значения, большие 1. 

      Вершины гиперболы — точки А₁ (а; 0), А₂(-а; 0). 

        Рис. 4.20 
 
 

Можно показать (аналогично тому, как  мы поступали при исследовании эллипса), что для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная, равная 2а : d= |F₂M – AF₁|=2а. Это характеристическое свойство гиперболы часто принимается за определение гиперболы.

Перепишем уравнение гиперболы (4.21) в виде: y =+/- b/aÖ х²- а²

При достаточно больших х Ö х²- а² »Ö х² = х и уравнение (4.23) примет вид y » +- b/a х, т.е. при х® ¥ ветви гиперболы как угодно близко подходят к прямым у = ± b/a х, называемым асимптотами гиперболы. Для равносторонней гиперболы (а = Ь) х² - у² = а² асимптоты у = ±х взаимно перпендикулярны и представляют биссектрисы координатных углов.

Во  втором случае (при d=0) уравнение кривой (4.17) примет вид х²/ а²- у²/b² =0, т.е. получаем пару пересекающихся прямых х/а – у/ b=0 и х/а + у/ b=0

В третьем случае ( при d< 0) получим гиперболу х²/ а²- у²/b ² = -1, с полуосями а = Öd/-А и b = Öd/С, называемую сопряженной с гиперболой (4.22), (на рис. 4.20 она изображена пунктиром).

 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Рис. (4.21)

Пример 4.9. Написать уравнение гиперболы с асимптотами у =±3/4х,   проходящими   через точку (6;3/2). Найти расстояние между ее вершинами.

Решение. Так как точка (6; 3/2) лежит на гиперболе, то   ее   координаты   должны удовлетворять уравнению (4.22). 36/ а² – 9/4b² =1.

Кроме того, b/a = ¾, так как асимптоты гиперболы у =±3/4х. Решая полученную систему двух уравнений, найдем а=4Ö2, b=3Ö2, т.е. уравнение гиперболы х²/32 - у²/18=1 (рис.4.21). Расстояние между  

  вершинами  гиперболы равно 2а=8Ö2.

Рассмотрим  обратную пропорциональную зависимость, задаваемую уравнением   

 у =m/x  или xy = m (4.24) 
 
 
 
 
 
 

         Рис. (4.22)

Выбрав  в качестве новых осей Ох' и Оу' биссектрисы координатных углов (рис.4.22), представим уравнение (4.24) через новые координаты х' и у'. Пусть ОМ-= г, тогда х=гcos (45°+a)=1/Ö2(гcosa-гsina)=1/Ö2(х'-у'), 
y= г sin (45°+a)=1/Ö2 (г cosa+ г sina)=1/Ö2 (х'+ у'), так как из треугольника OMB'   rcosa= х', r sina =y'.

Теперь  уравнение (4.24) в новой системе координат Оху' примет вид х'² -у'²= 2 m, т.е. график обратной пропорциональной зависимости есть равносторонняя гипербола с асимптотами — осями координат.

        
 
 
 
 
 
 

            Рис. (4.23)

      При m > 0 ветви гиперболы расположены в I и III квадрантах, при m < 0 — во II и IV квадрантах. Нетрудно установить, что координаты любой вершины гиперболы равны (по абсолютной величине), т.е. |х| = |у | = Ö|m|, а их знаки определяются в зависимости от квадранта, в котором расположена каждая вершина.

Пример 4.10 Построить кривую у= -3х² +10х-3.

Решение.Вынося коэффициент при х² и дополняя правую часть уравнения до полного квадрата, получим

У=-3( х² – 10/3х+1) = -3[ (х-5/3)² + 1-25/9]= -3(х-5/3)²+16/3. или у-16/3=-3(х-5/3)² . Полагая х-5/3= х', у-16/3= у', получим у'= -3х'²

Таким образом, заданная кривая есть парабола с вершиной в точке О' (5/3,16/3) и осью симметрии О'у', параллельной оси Оу (рис. 4.23) 

4.7. Понятие об уравнении  плоскости и прямой в пространстве

      Общее уравнение плоскости. Пусть плоскость Q проходит через точку M₀(x₀, y₀, Z₀)  перпендикулярно вектору   п =(А,В,С) (рис. 4.24). Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве Oxyz. Вектор п называется нормальным вектором плоскости Q. Возьмем в плоскости Q произвольную точку М (х, y,z). Тогда вектор   М₀М = (х-х₀, y-y_Q, z -z₀) будет перпендикулярен вектору п = (А, В, C). Следовательно, скалярное произведение   этих   векторов   равно   нулю,   т.е. (п, М₀М )=0.  Полученное уравнение представим в координатной форме: А(х - х_о)+ В(у - у _о)+С(, z -z₀)=0.  (4.24)

  Уравнение (4.24) представляет уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору п =(А,В,С) и проходящей через данную точку М₀ = (х₀, y_Q, ,z₀) . Уравнение плоскости, записанное в виде Ax + By+Cz + D=0, (где D = -Ax₀ -Ву_о — Сz_о), называется общим уравнением плоскости. Можно доказать, что всякое уравнение первой степени с тремя переменными есть уравнение плоскости.

 
 
 
 
 
 
 

      Рис.(4.24)

Если  D = 0, то уравнение Ах + By + Cz = 0   определяет плоскость, проходящую через начало координат.

Другие  частные случаи определяются расположением нормального вектора  п = ( А,В,С). Так, например, если А = 0, то уравнение By + Cz + D =0, определяет плоскость, параллельную оси Ох, если А =В=0, уравнение By + Cz =О определяет плоскость, проходящую через ось О, если А = -S — 0, то уравнение Cz + D=0 определяй плоскость, параллельную плоскости Оху; если А= В = D = О, если уравнение Cz =0 (или z = 0) определяет координатную плоскостью Оху.

  Условия параллельности и перпендикулярности  плоскости определяются условиями коллинеарности и перпендикулярности нормальных векторов п₁ =( А₁ ,B₁ ,C₁) и п₂=( А₂ ,B₂ ,C₂ )

  Условием  параллельности двух плоскостей является пропорционалъность коэффициентов при одноименных переменных А₁/ А₂ = В₁/ В₂=С₁/ C₂ , а условием их перпендикулярности А₁ А₂ + В₁В₂+С₁C₂=0

  Прямая  в пространстве может быть задана как линия Пересечения двух плоскостей, т.е. как множество точек, удовлетворяющих системе:

A₁x+B₁y+С_1z+D₁= 0

A₂x+B₂y+С_2z+D₂= 0

Если  прямая параллельна вектору s =(т,п,р) (называемому направляющим вектором) и проходит через точку   M₁ (х₁, y₁, ,z₁)   (рис.   4.32),   то   ее уравнения  могут  быть  получены   из условия коллинеарности векторов  |M₁M| = (х-х_1, у-у₂, z-z₁), где М (х, у, z) — произвольная точка прямой) и s = (т,п,р):

х-х₁  = у-у₂ = z-z₁

 т п р 

Эти уравнения называются   каноническими уравнениями  прямой линии в пространстве.