Тригонометрические уравнения с параметром

 

Решение: задача сводится к решению неравенства ,  или .

Множество решений этого  неравенства имеет вид  .

С учётом здравого смысла заключаем, что наибольшее время  работы прибора составляет  30  минут.                                           Ответ:  30  минут.

 

Пример 26.   (экономический факультет МГУ)   В первый  день  у Васи  было  на 30  рублей  больше,  чем у Пети.  Вася  внес  на  покупку книг  1/n  часть своих денег,  Петя  -  ½ часть своих денег,  при этом  Петя  внёс на  20  руб.  больше  Васи.  На  второй  день  мальчики  пошли за

тетрадями.  На  этот  раз  у  Васи  было  на  60  рублей  больше,  чем  у

Пети.  На  покупку  тетрадей  Вася  снова  внёс  1/n  часть своих денег,

а  Петя  -  ¼ часть своих.  При этом  Вася  внёс  на  40  рублей больше.

Найти  количество денег у Васи и у Пети в 1-ый  день, если  известно,

что  все  суммы  целочисленные.

 

Решение: пусть  m  – количество рублей у Васи в первый день,  а  k  – количество рублей у Пети во второй день.  Тогда получаем следующую систему уравнений  ,  в которой все слагаемые являются целыми числами. Обозначив натуральные числа   и   как  p  и q соответственно,  перепишем эту систему в виде  ,  откуда  .  Так как n , p  и q – натуральные числа, то возможен только случай  n = 3 , так что p = 70  и q = 220 .  Тогда m = 210 рублей было у Васи в первый день, и  m – 30 = 180 рублей было у Пети в первый день. 

 

                                                                                             Ответ:  210  и 180.

 

Пример 27.  В шахматном турнире участвовало более 9 ,  но менее  25 

шахматистов – гроссмейстеров и мастеров. По окончании турнира

выяснилось, что каждый участник набрал против гроссмейстеров

половину своих очков. Сколько человек участвовало  в турнире?

Сколько среди них  было мастеров?                                                   

 

Решение: пусть в турнире участвовали  m  гроссмейстеров и n  мастеров. Тогда гроссмейстеры во встречах между собой набрали    очков,

мастера во встречах между  собой набрали    очков, а во встречах между гроссмейстерами и мастерами было набрано    очков. Из условий задачи получаем последовательно:  ,    ,  .  Отсюда заключаем, что или .  Так как гроссмейстеры в целом играют сильнее мастеров, то во встречах между гроссмейстерами и мастерами большую часть из всех набранных очков набрали гроссмейстеры. А тогда и ,  так что . Поэтому возможен только случай  .  А так как , то   и     .

 

                                                                                                   Ответ:  16  и 6.

 

Пример 28.   Для того, чтобы купить в харчевне полпорции жареных

пескарей, коту Базилио не хватает  3  сольдо, а лисе  Алисе – 10

сольдо. Они закопали свои деньги на поле Чудес, и на следующий

день их совместный капитал утроился. Смогут ли теперь кот

Базилио и лиса Алиса купить порцию жареных пескарей на двоих?

 

Решение: пусть  х сольдо стоят полпорции жареных пескарей. Тогда у кота имеется (х – 3)  сольдо, а у лисы –   (х – 10)  сольдо,  так что х  больше  10 . После того, как совместный капитал утроился, у кота и лисы на двоих стало  сольдо. Это больше, чем 2х – стоимость порции жареных пескарей, так как .

 

                                                                                               Ответ:  да, смогут.

 

Пример 29.   Гриб называется «плохим», если в нём больше  11  червяков. Червяк называется «тощим», если он съел не более 1/5  гриба, в котором живёт. Четверть всех грибов в лесу – «плохие».  Докажите, что не менее трети всех червяков в лесу – «тощие».                                                                

 

Доказательство: обозначим за  n  число «плохих» грибов. Тогда  3n – число «хороших» грибов. В каждом «плохом» грибе не менее 12  червяков, причём из них не более  4  «толстых» , и, значит, не менее  8  «тощих».  В каждом «хорошем» грибе не более 11 червяков, причём из них тоже не более  4  «толстых». Поэтому в лесу не менее 8n  «тощих» червяков и не более 16n  «толстых» червяков. Поэтому не менее трети всех червяков в лесу – «тощие».                                           

 

Пример 30.   (НГУ)  В пяти диктантах школьник ошибся 31 раз, причем в каждом следующем диктанте он делал ошибок меньше, чем в предыдущем. В последнем диктанте школьник ошибся в три раза меньше, чем в первом. Сколько ошибок допустил школьник во втором диктанте?

 

Решение:  пусть  n – количество ошибок в пятом диктанте, тогда 3n – количество ошибок в первом диктанте. Пусть  m ,  k и l  – количество ошибок соответственно во втором, в третьем и в четвёртом диктантах. Тогда  и .  Так как   ,  то  .  Последнее двойное неравенство может выполняться только при .  Отсюда получаем, что  . Так как      ,  а , с другой стороны, ,  то  .                                                                Ответ:  8.

 

Пример 31.  (мех-мат НГУ)  Предприниматель купил акции компании  First по цене  12 у.е.  за акцию и компании  Sekond  по  9  у.е.  за акцию,

причём количество акций первой компании более чем на  5 превосходило количество акций второй компании, а общая стоимость была менее  390 у.е. Через некоторое время стоимость акции компании  First  возросла до  18 у.е за, а акции компании  Sekond  – до  21 у.е.,  и предприниматель продал акции более чем за  692 у.е.  Определите количество акций каждой компании.      

 

Решение: пусть  m – количество акций первой компании, а  n – количество акций второй компании. Тогда условия задачи приводят к следующей системе неравенств в натуральных числах: .  Решая каждое из неравенств относительно  n ,  получаем:  . 

 

Составляя из полученных относительно  m  неравенств  все возможные цепочки неравенств и опуская  m, получим систему

 

,  то есть  .  Поэтому n  равно 14 

 

или  15 .  Если n  равно 14 ,  то для нахождения    получаем следующую систему неравенств в натуральных числах:  .  Эта система не имеет решений. Если же n  равно 15 ,  то для нахождения    получаем следующую систему неравенств в натуральных числах:  .  Эта система имеет единственное решение m = 21 .

 

Ответ:  21  акция First  и 15  акций Sekond.

 

Пример 32.  (C6 ЕГЭ) Про натуральные числа   a ,  b ,  c   известно, что числа 3a + 2b + c и 2a + b + 2c  оканчиваются в

десятичной записи на цифру  0 .  На какую цифру может оканчиваться

число  c  ,  если число b  оканчивается на цифру 2  ?          

Решение: так как числа  3a + 2b + c   и   2a + b + 2c  оканчиваются на цифру  0 ,  то и число   также оканчивается на цифру  0 .  А так как число  b  оканчивается на цифру 2 ,  то и число 4с  также оканчивается на цифру 2 .  Поэтому число с  может оканчиваться только на  3  или на  8 .         Ответ:  на  3  или на  8.

 

 

Задачи  для  самостоятельного  решения

 

1.  (ЕГЭ-2010) Налог на доходы составляет  13%  от заработной платы.

     После удержания  налога на доходы Мария Константиновна  получила

     9570  рублей. Сколько рублей составляет заработная  плата Марии 

     Константиновны?                                                     

 

2.   (МЭСИ)  Производительность труда рабочего повышалась дважды на

    одно и то же количество процентов от первоначальной. На сколько

   процентов возрастала каждый раз производительность труда, если за

    одно и то же время рабочий раньше вырабатывал изделий на  25 000 р.,

   а теперь – на  28 000 р. ?                                                  

 

3.   Каждый слушатель на курсах изучает один из языков – английский,

      немецкий или французский. Отношение числа слушателей, изучающих

      английский, к числу слушателей, изучающих немецкий, равно  3 : 2 ,

      а число изучающих немецкий к числу изучающих французский, равно

      8 : 5 .   Сколько процентов слушателей изучает наименее популярный

     на курсах язык?                                                                     

                                                              

4.   На оленеводческой ферме стадо увеличивается в результате

     естественного прироста (рождение оленят) и приобретения новых

      оленей. В начале первого года стадо составляло 3000 голов, в конце

     года  закупили 700 голов. В конце второго года стадо составило 4400

      голов. Определить процент естественного прироста.    

5. Производительность первого станка на 25% больше производительности

     второго станка. Второй станок сделал деталей на 4% больше, чем

     первый. На сколько процентов время, затраченное вторым станком на

     выполнение своей работы, больше времени первого станка?               

                                                                                                                                                                                                  

6.   Из двух пунктов A и B навстречу друг другу выехали два мотоциклиста

     и встретились через 2 часа. После встречи первый сделал остановку на

     20 минут, а второй – на 1,5 часа и продолжили путь в прежнем

     направлении. Когда первый прибыл в пункт B одновременно второй

    прибыл в A . Найти скорость первого мотоциклиста, если расстояние

     между  A  и B   равно 126 км.                                        

 

7.   На соревнованиях два конькобежца стартовали одновременно на

     дистанции 10000 м .  Первый, двигаясь со скоростью, превышающей

      скорость второго на  1/3 м/с ,  пробегал каждый круг на  2 с  быстрее

     второго и через 10  минут обогнал его на полкруга. Найдите скорости

     конькобежцев и вычислите время, за которое каждый из них пробежал

     всю дистанцию.         

 

8.  (ЕГЭ-2010) В боковой стенке высокого цилиндрического бака вблизи

     дна закреплён  кран. После его открытия вода  начинает вытекать из 

     бака, при  этом высота столба воды в  нём, выраженная в метрах,

      меняется  по закону  ,  где t  —

      прошедшее  время (в секундах), м — начальная высота столба

      воды,    — отношение площадей поперечных сечений крана и

      бака, а   — ускорение свободного падения. К какому

      моменту  времени в баке останется не  более чем четверть 

      первоначального  объёма? Ответ выразите в секундах.  

                                                                                                        

9.  (ЕГЭ-2010) После дождя уровень воды в колодце может повыситься.

      Мальчик  определяет его, измеряя время  t  падения  небольших   

       камушков  в колодец и рассчитывая по  формуле   .  До дождя

       время  падения камушков составляло 0,8 с. На какую минимальную

       высоту  должен подняться уровень воды  после дождя, чтобы 

       измеряемое  время изменилось больше, чем  на  0,1 с ?

        (Ответ выразите в метрах)                                         

 

10.  В соревнованиях по стрельбе за каждый промах в серии из  25

     выстрелов стрелок получает штрафные очки: за первый промах – одно

     штрафное очко, а за каждый последующий на пол-очка больше, чем за

     предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший  7

      штрафных очков?                                                                        

 

11.   Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого

       многоугольника, наименьший  угол которого равен 120⁰ , образуют

        арифметическую прогрессию с разностью  5⁰ .  Определить число

       сторон многоугольника.                                                            

 

12.   Сумма трёх чисел, являющихся последовательными членами

         арифметической прогрессии, равна  18 ,  а сумма обратных им чисел

         равна 11/120 .  Найдите произведение этих чисел.         

 

13.   На доске были написаны четыре числа. Их сложили всевозможными

      способами  по два и получили следующие  шесть сумм:  2 , 4 , 9 , 9 , 14 ,

     16 .   Какие числа были написаны на доске?    

 

14.  По кольцевому шоссе длиной  3 км  едут в одном направлении три велосипедиста со скоростями  13 ,  21  и  27  км/ч .  В один момент времени все три велосипедиста поравнялись друг с другом.  Через какое минимальное время все три велосипедиста снова поравняются? 

 

15.  Мальчиш Плохиш хочет купить варенье, печенье и конфеты. Если он купит только бочку варенья, то у него останется  3  доллара, если же только корзину печенья – то  4  доллара, а если только коробку конфет, то останется  8  долларов. Хватит ли Плохишу денег, чтобы купить бочку варенья и корзину печенья?                                   

 

16.  В Тридевятом царстве в обращении находятся монеты трёх видов: бронзовые рубли, серебряные монеты достоинством 9  рублей и золотые монеты достоинством  81  рубль. Из казны, в которой содержится неограниченный запас монет каждого вида, 23 монетами выдана некоторая сумма, меньшая 700  рублей. Найдите эту сумму, если известно, что меньшим числом монет её выдать невозможно.     

 

Задачи из банка  ЕГЭ (mathege.ru)

17.  Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью 15 км/ч. Через час после него со скоростью 10 км/ч из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого  — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 2 часа 20 минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.