Тригонометрические уравнения с параметром

скоростью  вплоть  до  пункта  C.  Приехав в C,  велосипедист обнаружил,  что  время  движения  с  каждой  из  скоростей  было прямо  пропорционально  соответствующей  скорости,  и что на первые  18 км  пути  он  затратил  времени в полтора раза  больше, чем на  последние 18 км.  Найти расстояние  между пунктами  A  и B ,  если  известно,  что расстояние  между A  и C  равно  75 км.

 

Решение: пусть  х  км – расстояние от  А до  В .  Тогда x > 2  и  (75 – х) км  – расстояние между В и С .  Пусть a км/ч – скорость на участке от  А до  В , а  b км/ч – скорость на участке от  B  до  C .  Так как время  движения  с  каждой  из  скоростей  было прямо  пропорционально  соответствующей  скорости, то     и   ,  откуда   .   Так как   ,  а время движения с  каждой  из  скоростей  было прямо пропорционально соответствующей скорости, то ,  .  Поэтому возможны только два следующих случая.

1)    . Тогда из условия, что  на первые  18 км  пути  велосипедист  затратил  времени в полтора раза  больше, чем на  последние 18 км, получаем: .  Отсюда находим, что км .

2)   . Тогда из условия, что  на первые  18 км  пути  велосипедист  затратил  времени  в  полтора  раза  больше, чем  на  последние  18 км, получаем:      и   .  Отсюда последовательно находим, что ,  ,   ,   ,   ,   км   или   км .  Но первое не подходит в силу условия x > 2  ,  а второе не подходит в силу условия .

 

                                                                                                 Ответ:  км.

 

Пример 16.   (факультет ВМ и К МГУ)  Из пункта A в пункт B в 9 часов утра выехал автобус. В тот же момент из пункта В в пункт А выехали

мотоцикл и автомобиль. Известно, что скорость мотоцикла в два раза

меньше скорости автомобиля. Автобус  встретил автомобиль не ранее 11

часов 30 минут утра и прибыл в  пункт В в 14 часов 50 минут того же дня. Известно, что между моментами встречи автобуса с автомобилем

и автобуса с мотоциклом прошло не менее часа. Скорости автобуса,

автомобиля и мотоцикла постоянны. Найдите время прибытия мотоцикла в пункт А.

 

Решение: пусть S км – расстояние от  А до  В , a км/ч – скорость автобуса,  b км/ч – скорость мотоцикла. Тогда 2b км/ч – скорость автомобиля на участке от  B  до  C .  Из условий задачи имеем:

  .   Отсюда следует, что   . 

Обозначив за  t  отношение ,   получим:  , и, значит,  .

Поэтому мотоцикл затратил на поездку  в полтора раза больше времени, чем  автобус, то есть     часа, и прибыл в пункт А в 17 часов 45 минут того же дня.

                                                                     Ответ:  в  17 часов  45 минут  того же дня.

 

 

Пример 17.   (ЕГЭ-2010)  На изготовление 63 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 72 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь       больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

 

Решение:  Обозначим производительность труда второго рабочего через  , тогда производительность труда первого рабочего будет равна . Из условия задачи получаем уравнение:  , из которого находим (деталей в час).                                          Ответ:  8.

 

Пример 18.   Четыре бригады должны разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвёртая бригады вместе могут выполнить эту работу за  4  часа, а первая, третья и четвёртая бригады вместе – за  3  часа. Если же будут работать только первая и вторая бригады, то вагон будет разгружен за  6  часов. За какое время могут разгрузить вагон все четыре бригады,

работая вместе?

 

Решение: обозначив за  А  всю работу, за  a ,  b ,  c  и d  - части всей работы, выполняемые за час бригадами соответственно первой, второй, третьей и четвёртой. Согласно условиям задачи: .  Сложив все три уравнения, получим:  ,  или .  А это значит, что все четыре бригады, работая вместе, выполнят работу за  8/3 часа.

 

                                                                                              Ответ:  за  8/3 часа

 

 

 

 

Задачи  на  прогрессии

Последовательность чисел  образует арифметическую прогрессию, если   , где - разность прогрессии.

-    формула общего члена.

- сумма  первых членов арифметической прогрессии.

-  основное свойство арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно задать  и .

Последовательность чисел  образует геометрическую прогрессию, если   , где - знаменатель прогрессии.

-    формула общего члена.

сумма  первых членов геометрической прогрессии

основное свойство геометрической прогрессии.   -

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно задать  и .

Прогрессия называется бесконечно убывающей, если  .

Пример 19.   Сумма трех положительных чисел, образующих  арифметическую прогрессию, равна 15. Если к этим числам прибавить соответственно  1,  4,  19,  то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

 

Решение:  обозначим искомые числа в порядке следования через . Выписывая основное свойство арифметической прогрессии, получим уравнение , при этом по условию задачи  .  Числа образуют геометрическую прогрессию, а значит,  выполняется ее основное свойство:  . Решаем полученную систему.  Учитывая, что ищем положительные числа, находим  .

 

Ответ:  .

 

Пример 20.   Найти сумму всех чисел, одновременно являющихся членами

арифметической прогрессии   12 ,  15 ,  18 ,  …   и геометрической

прогрессии   1 ,  3 ,  9 ,  … .  Известно, что арифметическая прогрессия содержит   700   членов, а геометрическая  -  100  членов.

 

Решение: члены арифметической прогрессии имеют вид   ,  а члены геометрической прогрессии – вид ,  причём  ,  а . Приравнивая   к   , получим ,  откуда     .  Решая систему неравенств   ,  получим, что .  Поэтому сумма всех чисел, одновременно являющихся членами арифметической прогрессии   12 ,  15 ,  18 ,  … и геометрической прогрессии   1 ,  3 ,  9 ,  … ,  будет равна .

 

                                                                                                      Ответ:  2160.

 

Пример 21.   Произведение второго и четвёртого членов возрастающей геометрической прогрессии равно  81 ,  а сумма трёх её первых членов равна  13 . С какого номера все члены этой прогрессии будут больше  729 ?

 

Решение: по условию задачи , то есть  . Отсюда получаем, что ,  или   .  Так что ,   ,   .  Решая неравенство   ,  получаем  .              Ответ:  с восьмого.    

                                                                                                                     

Пример 22.   Могут ли быть числа    1 ,  ,      быть членами одной и той же арифметической прогрессии?

 

Решение: предположим, что числа    1 ,  ,      являются членами одной и той же арифметической прогрессии. Тогда ,  ,  ,  где m , n , k – различные натуральные числа, причём  n лежит между m  и k . Отсюда последовательно находим:

,  ,  ,  чего не может быть, так как не является рациональным числом.        Ответ:  нет, не могут.

 

Пример 23.   (мех-мат НГУ)  За  10  дней Карл украл у Клары 165  кораллов и из них 147  -  в первые 7 дней. Каждый день он крал на одно и тоже число кораллов меньше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов

Карл украл в десятый  день? 

 

Решение: пусть Карл украл у Клары в первый день  а  кораллов, во второй день а – р  кораллов, в третий день а – 2р  кораллов, … , в десятый день а – 9р  кораллов. Согласно условиям задачи,

 ,  откуда  а = 30  и  р = 3 .  Следовательно в десятый день было украдено  а – 9р = 3  коралла.          Ответ:  3  коралла.

 

Пример 24.    Найти все натуральное значения параметра   n ,  при котором задача:   «Найти арифметическую прогрессию, если известны её семнадцатый член и сумма   n   первых членов», не имеет решений или имеет бесконечно много решений.

 

Решение: пусть а  – первый член арифметической прогрессии, а  d – разность прогрессии. Согласно условиям задачи, система линейных относительно  а  и d  уравнений    не имеет решений или имеет бесконечно много решений.  Перепишем эту систему в виде  .  Эта система может не иметь решений только если  ,  то есть при n = 33  . 

 

                                                                                                   Ответ:  n = 33 .

Текстовые задачи на экстремум

 

Экстремум – это общее название для максимума или минимума функции.

По содержанию задачи составляется математическая модель – определяется функция, которую нужно исследовать  на экстремум, т.е. найти значения аргумента, при котором достигается наибольшее или наименьшее значение исследуемой  функции.

 

Пример 14. При подготовке к экзамену студент за дней изучает - ую часть курса, а забывает   - ую часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса? 

Решение. Составим функцию: , которая выражает ту часть курса, которую студент способен выучить за t дней.

Преобразуем эту функцию.

Таким образам, максимальная выученная  часть составит . При этом максимум достигается, когда 

Ответ: 5 дней.

 

При решении этой задачи мы использовали неравенство Коши

между средним арифметическим и средним  геометрическим двух положительных  чисел  a  и b . Отметим, что равенство достигается тогда и только тогда, когда  a = b  .

Особенно эффективно применение этого  неравенства к выражениям вида

      Если оба слагаемых положительны, то    Причем минимальное значение выражения достигается, когда   

_{В нашем примере:}      

 

Пример 15. Точки 1 и 2 движутся по осям и к началу координат. В момент точка 1 находится на расстоянии см, а точка 2 – на расстоянии см от начала координат. Первая точка движется со скоростью см/с, а вторая – со скоростью см/с. Каково наименьшее расстояние между ними?

 

Решение. В момент расстояние (в см.) между точками равно (рис. 1):

рис. 1

 

 

 

Минимум выражения, стоящего под знаком радикала, как и самого расстояния будет достигаться при , откуда (см).                               Ответ: см.

 

Пример 16. (МГУ, 1996)  В контейнер упакованы изделия двух типов. Стоимость и вес одного изделия составляют 400 тыс. руб. и 12 кг для первого типа и 600 тыс. руб. и 15 кг для второго типа. Общий вес изделий равен 321 кг. Определите минимальную и максимальную возможную суммарную стоимость находящихся на контейнере изделий.

 

Решение. Пусть и - число изделий первого и второго типа соответственно. Тогда общий вес изделий равен , а их суммарная стоимость равна .

Теперь переформулируем задачу: найти наименьшее и наибольшее значения функции  при условии, что и - натуральные числа, удовлетворяющие соотношению .

Решим это уравнение:   ,

где , частное решение уравнения.

Так как числа 4 и 5 – взаимно  простые, общее решение этого  уравнения в целых числах имеет  вид:   ,      .

Общее решение уравнения в целых  числах имеет вид:

,     .

Нас интересует решение в натуральных  числах. Это означает, что  , т.е. 

Отсюда  . Итак, натуральным решениям соответствуют значения параметра .

Используя полученные результаты, мы можем переформулировать исходную задачу следующим образом: найти наименьшее и наибольшее значения функции при условии, что параметр .

Поскольку зависимость  - линейная с отрицательным коэффициентом, наименьшее значение достигается при , а наибольшее – при .

Ответ. 11 000 тыс. руб. и 12 600 тыс. руб.

 

 

 

 

 

 

 

Разные  задачи

Пример 25.  (ЕГЭ-2010) Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора

была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением  , где ,  ,  . Известно, что при температурах нагревателя свыше 1000k прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.