Тригонометрические уравнения с параметром

11  класс 2012-13

 

Задание № 3 

«Текстовые  задачи»

 

При решении  текстовых задач следует придерживаться следующих шагов: 1) читаем задачу, 2)  неизвестные величины обозначаем буквами, 3) снова читаем задачу по частям и составляем, следуя условиям задачи, уравнения (либо неравенства) или их системы,

4) решаем полученные уравнения  (либо неравенства) или их системы (лишние буквы при этом сократятся, их не надо бояться).

 

Задачи  на  проценты

(1% от числа x) = ;            (r % от числа x) = ; 

Обозначим  .  Число называется долей или удельным процентом.  Доля от числа равна .  Откуда  .

 

Если число увеличивается на  , т.е на долю  , то получается новое число . Т.о., число увеличилось в раз.  Если новое число еще раз увеличивается на долю  , то получим число .   Если  , то  .  Если процесс увеличения все новой накопленной суммы совершается раз на одну и ту же долю  , то получим формулу сложных процентов:     .

 

Например, так происходит начисление банковских процентов, когда проценты капитализируются, т.е. один и тот же процент начисляется, к примеру, ежегодно на накопленную сумму. Тогда положив сумму  , мы через лет получим сумму .

 

Если число уменьшается на  , т.е. на долю  , то получается новое число . Т.о., число умножилось на .  Если новое число еще раз уменьшить на долю  , то получим число .   Если  , то  .  Если процесс уменьшения совершается раз на одну и ту же долю  , то получим формулу:     .

 

     Например, так происходят амортизационные отчисления на капитальные вложения в оборудование, когда ежегодно списывается доля  от остаточной стоимости. Тогда если исходная стоимость была равна д.е., то через лет она станет равной  .

 

    Задача.  Имеется (л) раствора кислоты  концентрации  (в долях) . Проделаем раз следующую процедуру: отольем (л) раствора

( т.е. долю  )  и дольем чистой воды до объема . Требуется определить концентрацию получившегося в результате раствора.

 

     Решение:  Количество чистой кислоты в растворе равно  (л).  После одного отливания останется (л) чистой кислоты. Тогда концентрация нового раствора после добавления (л) воды станет равной  . Аналогично, после переливаний получим концентрацию   .

 

Пример 1.  (ЕГЭ-2010) Клиент взял в банке кредит 12000 рублей на год под  16 % . Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько он должен вносить в банк

ежемесячно?

Решение: общая сумма, которую должен выплатить клиент за год, равна 

 рублей. Поэтому, согласно  договору между клиентом и  банком, ежемесячная выплата должна  быть равна     рублям.                                              Ответ:  1160 рублей.

 

Пример 2.  Магазин повысил цену на товар вначале на 10%, а затем еще на 20%. На сколько всего процентов выросла цена ?

 

Решение:  Пусть первоначальная цена была равна  . После первого повышения цена станет равной , а после второго -  . Таким образом, цена повысилась на 32%.

                                                                                                          Ответ:  32%.

 

Пример 3.  Магазин снизил цену на товар вначале на 10%, а затем еще на 20%. На сколько всего процентов оказалась снижена цена ?

 

Решение:  Пусть первоначальная цена была равна   . После первого понижения цена станет равной , а после второго -  . Таким образом, цена понизилась на 28%.

                                                                                                        Ответ:  28%.

 

Пример 4.   Магазин снизил цену на стиральную машину на 10%, при этом в результате продажи получает прибыль 8%. Какую прибыль получал

магазин до снижения цены?                                                                           

Решение: обозначим за  х  себестоимость стиральной машины для магазина, то есть цену, по которой магазин приобретал стиральную машину. Пусть в результате продажи стиральной машины магазин получал прибыль  процентов. Это означает, что магазин продавал стиральную машину с наценкой    процентов, то есть по цене  .  После снижения продажной цены на  10%  она составила , и, по условию задачи, равна  .  Из уравнения   находим, что = 0,2   . 

 

                                                                                                     Ответ:  20%.

 

Пример 5.   Дыня дороже арбуза  на 150%. На сколько процентов арбуз дешевле дыни? 

Решение:  за  следует обозначить цену арбуза. Тогда мы можем найти цену дыни. Она составит  . Значит, дыня дороже арбуза в 2,5 раза (тогда и арбуз дешевле дыни в 2,5 раза). Теперь нам надо найти, на сколько процентов арбуз дешевле дыни.  Для этого разницу в цене  ( )  нужно поделить на цену дыни. Получим . Т.о., арбуз дешевле дыни на 60%.                Ответ:  на 60%.

 

Пример 6.   За некоторый период времени количество акций у гражданина Кириллова увеличилось на 28%. На сколько процентов увеличилась цена каждой акции гражданина Кириллова, если общая стоимость его акций увеличилась на 156%?

 

Решение: пусть первоначально у гражданина Кириллова было  n  акций по цене 1 (условная единица) за акцию. Пусть цена каждой акции гражданина Кириллова увеличилась на  х% . Тогда общая стоимость акций составила уже  , и, согласно условию задачи, стала составлять  256%  от прежней общей стоимости акций.  Из уравнения   находим, что х = 100 .                    Ответ:  100

 

Пример 7.   Автомобиль проехал по шоссе, а затем по грунтовой дороге. Путь по шоссе был на 80% больше, чем путь по грунтовой дороге. Время      движения по грунтовой дороге было на 20% меньше, чем по шоссе.

На сколько процентов средняя скорость движения автомобиля по шоссе больше скорости движения по грунтовой дороге?

 

Решение: обозначим за  S  – путь по грунтовой дороге, а за  t – время движения по шоссе.  Тогда средняя скорость автомобиля по шоссе составила ,  а по грунтовой дороге –   .  Поэтому средняя скорость по шоссе составила   процента от средней скорости по грунтовке.                Ответ:  на 44%.

 

 

 

 

Основной  принцип  при решении задач на смеси и сплавы, на растворы и т.п. :             «Приравниваем чистое вещество»

 

Пример 8.    Свежие грибы содержат  90% воды, а сухие -  12%  воды.

Сколько получится сухих  грибов из  22 кг  свежих грибов?                                        

Решение: в  22 кг  свежих грибов содержится  «абсолютно сухого грибного вещества».  Пусть  кг  - масса сухих грибов. В сухих грибах эти  2,2 кг  составляют  88%  веса. Приравнивая сухое вещество, получим   . Поэтому вес сухих грибов будет равен  .                                                                    Ответ:  2,5 кг

 

Пример 9.   Имеются три сплава. Первый сплав содержит  70%  олова и 30%  свинца,  второй – 80%  олова и 20%  цинка, третий – 50%  олова, 

10%  свинца и 40%  цинка. Из них необходимо приготовить новый сплав, содержащий  15%  свинца. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное  содержание олова может быть в этом новом сплаве?    

 

Решение: обозначим за    долю олова в новом сплаве, за  – массу нового сплава, за  а – массу, взятую от первого сплава, за   b – массу, взятую от второго сплава. Условия задачи запишем в виде следующей таблицы:

 

	олово	свинец	цинк	масса
1-й сплав	0,7	0,3	-	a
2-й сплав	0,8	-	0,2	b
3-й сплав	0,5( - - )	0,1( - - )	0,4( - - )	– a – b
новый сплав		0,15	(0,85 – ) x

 

Тогда масса свинца в новом сплаве . Отсюда находим  .  Из условия, что масса олова в новом сплаве   

находим, что  . Полагая  , получим:  . Таким образом, процент   олова в новом сплаве является линейной возрастающей функцией от  k .  Область возможных значений  k  определится системой условий  ,   откуда  .  Тогда ,   а .                           Ответ:  55%  и 75%

 

Пример 10.   (экономический факультет МГУ)  Банк планирует вложить на один год  40%  имеющихся у него средств клиентов в проект  Х , 

а остальные  60% – в проект  Y . В зависимости от обстоятельств проект  Х  может принести прибыль в размере от  19%  до  24% годовых, а проект  Y – прибыль в размере от 29%  до  34%  годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определите наименьший и наибольший возможный уровень процентной ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее  10%  и не более 15%  годовых от суммарных вложений в проекты Х  и Y  .                                      

 

Решение: минимальный планируемый годовой доход банка равен  . Поэтому наименьший возможный уровень процентной ставки по вкладам будет равен   25% – 15% = 10% .  Аналогично, максимальный планируемый годовой доход банка равен . Поэтому наименьший возможный уровень процентной ставки по вкладам будет равен   30% – 10% = 20% .

 

                                                                                         Ответ:  10%  и 20%.

 

Пример 11.   За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5% в месяц, затем потом и, наконец, 12% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная  сумма вклада увеличилась      на 180%. Определить срок хранения вклада.

 

Решение: пусть x – исходная сумма. Ежемесячные проценты в долях составляют  , , и . Пусть n  месяцев  начислялась доля , 

m  месяцев – доля  ,  k  месяцев – доля  и p месяцев – доля  . Тогда по истечении n+m+k+p  месяцев  сумма вклада станет равной  .  Получим уравнение:        или .  Разложив все числа на простые множители,  получим:  или .  Равенство возможно только в том случае, когда все показатели степеней равны нулю, т.е.

.  Сложив первые 3 уравнения, а затем третье и четвертое, получим   . Подставляя эти выражения в первые три уравнения,  дополнительно получим . Отсюда следует, что .  Таким образом, срок хранения вклада составил  n+m+k+p = 12 месяцев. 

Ответ:  12 месяцев.

 

 

Задачи  на  движение  и  на  работу

При равномерном движении или равномерной  работе применяется формула:

 

В этих формулах  - это путь или работа,   - скорость или производительность труда,  - время. Важно, чтобы единицы измерения были согласованы.

Пример 12.  (ЕГЭ-2010) Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 20 км/ч большей скорости первого, в

результате чего прибыл в  В одновременно с первым автомобилистом.

Найдите скорость первого  автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

 

Решение: пусть    км/ч – скорость первого автомобиля, а км  – путь от А до В . Тогда, согласно условию задачи, . Сокращаем на лишнюю букву  и находим = 40 .                           Ответ:  40 км/ч

 

Пример 13.  (ЕГЭ-2010) Катер в 11:00 вышел из пункта А в пункт В,

расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В  2 часа 40 минут, катер

отправился назад  и вернулся в пункт А в 19:00. Определите (в км/час)

скорость течения  реки, если известно, что собственная  скорость катера

равна 12 км/ч.

 

Решение: пусть  х  км/ч – скорость течения реки. Тогда, согласно условию задачи, . Отсюда находим  х = 3 .           Ответ:  3 км/ч

 

Пример 14.   В 8 часов 15 минут в северном направлении вышел пешеход,

скорость  которого составила  5  километров в час. Через некоторое время из того же пункта на восток выехал велосипедист. Определите, через сколько минут после выхода пешехода выехал велосипедист, если в 9  часов 45  минут расстояние между ними было 12,5  километра, а в 10  часов 45  минут – 32,5  километра.            

 

Решение: в 9.45 пешеход находился на расстоянии  км  от исходного пункта и на расстоянии  12,5 км  от велосипедиста. Тогда, по теореме Пифагора, в 9.45 расстояние от велосипедиста до исходного пункта было равно км. Ещё через час расстояние от велосипедиста до исходного пункта стало равно  км. Следовательно, велосипедист едет со скоростью  км/ч . Поэтому 10 км он проезжает за полчаса, и, значит, велосипедист выехал из исходного пункта в 9.15, то есть через 60 минут после пешехода.

 

                                                                                        Ответ:  через 60 минут.

 

Пример 15.   (мех-мат МГУ)  Из  пункта  A  в пункт C  выехал  с постоянной скоростью велосипедист.  За  2  километра до  промежуточного пункта  B  он  решил,  что необходимо  ехать быстрее,  и увеличив скорость  в пункте  B,  продолжил движение  с постоянной