Дифференциальные уравнения

 

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

 

 

Самостоятельная работа

По дисциплине:

Дифференциальные  уравнения

№  студента по списку:
№ варианта:
Форма обучения:
Специальность:
Курс:
Группа:
Выполнил:
Проверил:
Номера задач по варианту					1	2	3	4	5	6
Зачтено
7	8	9	10	11	12	13	14

 

Челябинск 2011 г.

 

Задание 1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

Решение:

Для решения данного диф-ного уравнения разделим обе части на . Получим

 

Проинтегрируем обе части  уравнения

=

  C(константа)=

 

 

Задание 2. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

Решение:

1. Произведем нормировку уравнения. Разделим обе части уравнения на коэффициент про y’ равный x^2. Получим:

y’ =

Перенесем в левую часть уравнения

y’- =

Разделим все  уравнение на y^3.Получим

 

Произведем замену переменных

w =

w’ =

Перепишем уравнение  следующим образом

 

Решим линейное неоднородное управление первого  порядка с произвольным коэффициентом  y’(x)+a(x)y(x)=b(x) Теория: Умножим уравнение на  коэффициент μ = получим

y’(x)+a(x)y(x)=b(x)= y’(x) μ (x)+a(x)y(x) μ’ (x)=b(x) μ (x)=

( y(x) μ (x))’= b(x) μ (x)

w’+  = -

Вычислим вспомогательную  функцию 

μ = ==

Согласно теории записываем выражение

( w* μ)’= μ(x)==

Интегрируем правую и левую части

( w μ )=dx

 w μ = -2log(x)+C

Выразим искомую  функцию w(x)

w= =

Зная w, найдем y

Y(x)=

Oтвет:   y(x) =

Задание 3. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.

Решение:

Разделим уравнение  на коэффициент при y’. Получим

Y’= +

Введем замену

Y=u*x

Y’=u’x+u, Подставим в уравнение

u +x = u+u ln(u)

= ,. Проинтегрируем обе части

=log(log(u))=log(x)

Выразим u:  u=

Вставим результат  в исходное уравнение

Y’=

Проинтегрируем  обе части по x

Y=

Ответ: Y=

Задание 4. Найти решение задачи Коши и построить соответствующую интегральную кривую.

Согласно методу Лагранжа.Если в уравнении y’+P(x)*y=Q(x)

Q{x) = 0  называется  линейным однородным. Согласно всем преобразованием, исходное уравнение принимает вид:

Y=*(dx+C)

Решим данное уравнение, перенесем правую часть

Y’-ky=0

k- является P(x)

Q(x)=0

Подставим в исходное уравнение, Получим

Y= *C1=C1*

Решим дифференциальное уравнение с  использованием начального условия y(0)=

Y= C1*=  C1=     Y=

Нарисуем график: Y=

Пусть =1,-1,1,-1  k=1,1,-1,-1

Y=

Y=

Y=

Y=

Oтвет:   Y=

 

Задание 5. Найти решение задачи Коши и построить соответствующую интегральную кривую.

Решим линейное неоднородное управление первого  порядка с произвольным коэффициентом  y’(x)+a(x)y(x)=b(x) Теория: Умножим уравнение на  коэффициент μ = получим

y’(x)+a(x)y(x)=b(x)= y’(x) μ (x)+a(x)y(x) μ’ (x)=b(x) μ (x)=

( y(x) μ (x))’= b(x) μ (x)

Вычислим вспомогательную  функцию 

μ = =

Согласно теории записываем выражение

( y* μ)’= μ(x)==

Интегрируем правую и левую части

( y μ )=dx

y μ = + c

Выразим искомую  функцию y(x)

Y ==  -()+C

Решим дифференциальное уравнение с  использованием начального условия y(3)=-2

Y= -()+ C=-2

C

C=

Oтвет:   y(x) = -()*-

 

Задание 6. Найти решение задачи Коши и построить соответствующую интегральную кривую.

Решение

Разделим обе части  уравнения на 1+. Получим

=1

 

  = arctg(y(x))=x+C1

 

Решим дифференциальное уравнение  с  использованием начального условия  y(0)=0

 

 

 

Подставим в уравнение=tg(x)

Oтвет:   =tg(x)

 

Задание 7. Найти решение задачи Коши и построить соответствующую интегральную кривую.

_{Решение}

Разделим уравнение  на коэффициент при y’.

Получим y’=2y^2/x

Разделим об е части уравнения . Получаем

=, Проинтегрируем обе части по x

===2log(x)+c1

 

Найдем частное  решение дифференциального уравнения  y(1)=1

Y==1

C1=-1 Подставим результат

 

 

 

Ответ:  

 

Задание 8. Найти решение задачи Коши.

Решим линейное неоднородное управление первого  порядка с произвольным коэффициентом  y’(x)+a(x)y(x)=b(x) Теория: Умножим уравнение на  коэффициент μ = получим

y’(x)+a(x)y(x)=b(x)= y’(x) μ (x)+a(x)y(x) μ’ (x)=b(x) μ (x)=

( y(x) μ (x))’= b(x) μ (x)

Вычислим вспомогательную  функцию 

μ = dx==x^2

Согласно теории записываем выражение

( y* μ)’= μ(x)==

Интегрируем правую и левую части

( y μ )=dx

y μ = + c

Выразим искомую  функцию y(x)

Y =  = +

Решим дифференциальное уравнение с  использованием начального условия y(

Y= +2sin(=(4с-2sin(π))/

C= -   Подставляем в уравнение

Y=    

Задание 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.  

Решение:

Разделим все  уравнение на y^2.Получим

 

Произведем замену переменных

w =

w’ =

Перепишем уравнение  следующим образом

 

Решим линейное неоднородное управление первого  порядка с произвольным коэффициентом  y’(x)+a(x)y(x)=b(x) Теория: Умножим уравнение на  коэффициент μ = получим

y’(x)+a(x)y(x)=b(x)= y’(x) μ (x)+a(x)y(x) μ’ (x)=b(x) μ (x)=

( y(x) μ (x))’= b(x) μ (x)

 

Вычислим вспомогательную  функцию 

μ = ==

Согласно теории записываем выражение

( w* μ)’= -1 μ(x)==

Интегрируем правую и левую части

( w μ )=dx

 w μ = +C

Выразим искомую  функцию w(x)

w= = x+C

Зная w, найдем y

Y=

Oтвет:   y(x) =

Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.

 

Решение

Проинтегрируем  обе части уравнения  по x

   = - arctg(x)+C

Проинтегрируем  обе части уравнения по x

Y(x)=log(

Ответ: Y(x)=log(

Задание 11. Найти решение задачи Коши.

Рассмотрим левую  часть уравнения:

Решим однородное дифференциальное уравнение:

 

y’’’-y’=0

Решение ищем в  виде:

y =   Подставляем в исходное уравнение )’’’ -)’ = 0

Дифференцируем  экспоненту, а затем сокращаем на e^(x*z). Получим характеристическое уравнение:

-z += 0

Решаем  характеристическое уравнение, разложим

Z(z-1)(z+1)=0

Z1=0   z2=1 z3=-1

Система решений  однородного дифференциального  уравнения представляет собой две  функции

Y1=C1

Y2=C2*

Y3=C3*     C1  и С2 и С3  произвольные константы.

Общее решение  однородного диф-ного уравнения равно сумме решений

Y= Y1+ Y2+Y3

Y=C1+ C2*+C3*

Решим дифференциальное уравнение с  использованием начального условия y(

Y(0)= C1+ C2*+C3*= C1+ C2+C3=0

Y’(0)= -C3*+ C2* C2-C3=0

Y’’(0)= C3*+ C2*= C2+C3=2

 

 Решим систему уравнении

C1=-2 C2=1 C3=1

 Вставим данные в исходное уравнение

Y= -2+e^x+

 

 

 

Ответ: Y= -2+e^x+

 

Задание 12. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Рассмотрим левую  часть уравнения:

Решим однородное дифференциальное уравнение:

 

y’’-y’=0

Решение ищем в  виде:

y =   Подставляем в исходное уравнение )’’-)’=0

Дифференцируем  экспоненту, а затем сокращаем  на e^(x*z). Получим характеристическое уравнение:

-z += 0

Решив характеристическое уравнение, находим два корня:

Z1=0   z2=1

Система решений  однородного дифференциального  уравнения представляет собой две  функции

Y1=C1

Y2=C2*     C1  и С2 произвольные константы.

Общее решение  однородного диф-ного уравнения равно сумме решений

Y= Y1+ Y2

Y=C1+ C2*

Анализируем правую часть неоднородного диф-ного уравнения:

Максимальная  степень полиномов 1

Решим след.функцию: Y(нр-неоднородное решение)=0+1X  )

Надо найти  0+1

Подставим Yнр в левую часть исходного дифференциального уравнения и дифференцируем. Получаем

(1)У’’нр+(-1) У’нр +(0)Унр= (201  ) Обозначим данное уравнение Yп.

Приравниваем  к правой части исходного диффура:

(201  ) = -((-1+x))

Найдем коэффициенты 0, 1   

Сгруппируем слагаемые  в уравнение Yп по степеням  x:

 

 

Сгруппируем слагаемые  в правой части уравнения по степеням x:

 

 

Собираем данные в скобках – получаем систему  уравнения

 Решив систему получаем:

,    Подставим данное значение в уравнение Yнр

Yнр= X  )

Ответ: y(x)= C1+ C2*+X  )

Задание 13. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Рассмотрим левую  часть уравнения:

Решим однородное дифференциальное уравнение:

 

y’’+2y’=0

Решение ищем в  виде:

y =   Подставляем в исходное уравнение )’’+2)’=0

Дифференцируем  экспоненту, а затем сокращаем  на e^(x*z). Получим характеристическое уравнение:

2z += 0

Решив характеристическое уравнение, находим два корня:

Z1=-2   z2=0

Система решений  однородного дифференциального  уравнения представляет собой две  функции

Y1=

Y2=C2   C1  и  С2 произвольные константы.

Общее решение  однородного диф-ного уравнения равно сумме решений

Y= Y1+ Y2

Y=+ C2

Анализируем правую часть неоднородного диф-ного уравнения:

Максимальная  степень полиномов 0

Так как параметры  в правой части совпадают с  одним из корней характеристического   уравнения, то в частном решении появляется  дополнительный множитель x.

Решим след.функцию: Y(нр-неоднородное решение)=

 Надо найти 0

Подставим Yнр вместо y в левую часть исходного дифференциального уравнения и дифференцируем. Получаем

(1)У’’нр+(2) У’нр +(0)Унр= Обозначим данное уравнение Yп.

Приравниваем  к правой части исходного диффура:

 

 =

 

Найдем коэффициенты 0

Сгруппируем слагаемые  в уравнение Yп по степеням  x:

 

Сгруппируем слагаемые  в правой части уравнения по степеням x:

 

Собираем данные в скобках – получаем линейную систему уравнения

{-2= -2

Решив систему  получаем:

   Подставим  данное значение в уравнение  Yнр

Yнр=