Дифференциальные уравнения

Page 1

1. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
tg
y
x y a
′
− =
,
0
2
y
π
 
=
 
 
.
Решение.
Разделим переменные
tg
dy
x
a y
dx
⋅
= +
,
tg
dy
dx
a y
x
⇒
=
+
. Интегрируем
tg
dy
dx
a y
x
=
+
∫
∫
.
Сначала вычислим каждый из интегралов:
(
)
ln
d a y
dy
a y C
a y
a y
+
=
=
+ +
+
+
∫
∫
;
(
)
sin
cos
ln sin
tg
sin
sin
d
x
dx
xdx
x C
x
x
x
=
=
=
+
∫
∫
∫
.
Тогда общее решение исходного уравнения рано
ln
ln sin
ln
a y
x
C
+ =
+
,
sin
y C
x a
⇒ = ⋅
−
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию
0
2
y
π
 
=
 
 
:
sin
1
0
2
2
y
C
a C
a C a
π
π
 
= ⋅
− = ⋅ − = − =
 
 
,
C a
⇒ =
Тогда частное решение равно
(
)
sin
sin
1
y a
x a a
x
= ⋅
− = ⋅
−
.
Ответ:
(
)
sin
1
y a
x
= ⋅
−
.
2. Решить дифференциальное однородное уравнение:
2
2
x y y
xyy
′
′
−
=
.
Решение.
Преобразуем уравнение
(
)
2
2
x
xy y
y
′
−
⋅ =
,
2
2
y
y
x
xy
′
⇒ =
−
. Сделаем замену
y
u
x
=
, тогда
y ux
=
и
y
x u u
′
′
= ⋅ +
. Получим уравнение
( )
2
2
ux
x u u
x
x ux
′
⋅ + =
− ⋅
,
2
1
u
x u
u
u
′
⇒ ⋅ =
−
−
,
2
2
1
u
u
x u
u
−
′
⇒ ⋅ =
−
. Разделим переменные
2
2
1
du
u
u
x
dx
u
−
⋅
=
−
,
(
)
2
1
2
u du dx
u
u
x
−
⇒
=
−
. Интегрируем
(
)
(
)
1
2
1
u du
dx
u u
x
−
=
−
∫
∫
. Сначала вычислим каждый из интегралов:
(
)
(
)
1
2
1
u du
u u
−
−
∫
;
Представим
(
)
1
2 1
u
u u
−
−
в виде суммы простых дробей, т.е.
(
)
1
2 1
2 1
u
A
B
u u
u
u
−
= +
−
−
.
Найдем коэффициенты
A
и
B
:
(
)
(
)
(
)
2
1
1
2
1
2
1
A u
Bu
u
u u
u u
− +
−
=
−
−
;
1
2
u
Au A Bu
⇒ − =
− +
.
Получим систему уравнений:
( )
2
1,
1,
2
1
1,
1,
1.
1,
A B
B
B
A
A
A
+ = −
=
 ⋅ − + = −


⇔
⇔



− =
= −
= −



Получим разложение
(
)
1
1
1
2 1
2 1
u
u u
u
u
−
= − +
−
−
. Тогда интеграл равен:

---

Page 2

(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
2
1
ln
ln 2
1
ln
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
ln
;
2
u du
du
du
u
du
u
u
C
C
u u
u
u
u
u
u
u
C
u
−
−


=
− +
= −
+
= −
+ ⋅
− + = ⋅
+ =


−
−
−


−
= ⋅
+
∫
∫
∫
∫
ln
dx
x C
x
=
+
∫
.
Общее решение равно
2
1
2
1
1
ln
ln
ln
2
2
u
x
C
u
−
⋅
=
+ ⋅
,
2
2
2
1
u
C x
u
−
⇒
= ⋅
. Сделаем обратную
замену, получим общее решение исходного уравнения
2
2y x
C x
y
−
= ⋅
.
Ответ:
2
2y x
C x
y
−
= ⋅
.
3. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка:
4
3
4
x
y
x y e
−
′+
=
.
Решение.
Решим методом вариации постоянной. Найдем сначала общее решение
однородного уравнения
3
4
0
y
x y
′+
=
. Разделяем переменные
3
4
dy
x y
dx
= −
,
3
4
dy
x dx
y
⇒
= −
.
Интегрируем
3
4
dy
x dx
y
= − ⋅
∫
∫
. Сначала вычислим каждый из интегралов:
ln
dy
y C
y
=
+
∫
;
3 1
3
4
4
4
3 1
x
x dx
C
x
C
+
− ⋅
= − ⋅
+ = − +
+
∫
.
Тогда общее решение однородного уравнения равно
4
ln
ln
y
x
C
= − +
,
4
x
y C e
−
⇒ = ⋅
.
Общее решение исходного уравнения будем искать в виде
( )
4
x
y C x e
−
=
⋅
.
Дифференцируем
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
4
4
4
4
4
3
3
4
4
x
x
x
x
x
y
C x e
C x e
C x e
x
C x e
x C x e
−
−
−
−
−
′
′
′
′
=
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅ −
=
⋅
−
⋅
⋅
.
Подставим выражение вместо
y
и
y′
в исходное уравнение, получим:
( )
( )
( )
4
4
4
4
3
3
4
4
x
x
x
x
C x e
x C x e
x C x e
e
−
−
−
−
′
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
;
( )
4
4
x
x
C x e
e
−
−
′
⋅
=
,
( )
1
C x
′
=
.
Интегрируем
( )
C x
dx x C
∗
=
= +
∫
. Общий интеграл исходного уравнения равно
(
)
4
x
y
x C e
∗
−
= +
⋅
.
Ответ:
(
)
4
x
y
x C e
∗
−
= +
⋅
.

---

Page 3

4. Решить уравнение Бернулли:
4
y xy y
′−
=
.
Решение.
Разделим обе часть равенства на
4
y
, получим уравнение
4
3
1
y
x
y
y
′
−
=
. Сделаем
замену
3
1
z
y
=
, тогда
4
3
dz
y
dx
y
′
= − ⋅
,
4
1
3
y
dz
y
dx
′
⇒
= − ⋅
. После подстановки, получим уравнение
3
3
dz
xz
dx
+
= −
. Найдем сначала общее решение однородного уравнения
3
0
dz
xz
dx
+
=
.
Разделим переменные
3
dz
xz
dx
= −
,
3
dz
xdx
z
⇒
= −
. Интегрируем
3
dz
xdx
z
= − ⋅
∫
∫
, получим
1 1
ln
3
ln
1 1
x
z
C
+
= − ⋅
+
+
,
2
3
2
x
z C e
−
⇒ = ⋅
. Общее решение неоднородного уравнения
3
3
dz
xz
dx
+
= −
будем искать в виде
( )
2
3
2
x
z C x e
−
=
⋅
. Дифференцируем
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
3
3
x
x
x
x
x
dz
C x e
C x e
C x e
x
C x e
x C x e
dx
−
−
−
−
−
′


′
′
=
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅ −
=
⋅
− ⋅
⋅






.
Подставим выражение вместо
z
и
dz
dx
в уравнение получим:
( )
( )
( )
2
2
2
3
3
3
2
2
2
3
3
3
x
x
x
C x e
x C x e
x C x e
−
−
−
′
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
= −
;
( )
2
3
2
3
x
C x
e
′
= − ⋅
.
Интеграл
( )
2
3
2
3
x
C x
e dx C
∗
= − ⋅
+
∫
не берется в действительных функциях. Тогда
общее решение уравнения равно
2
2
3
3
2
2
3
x
x
z
e dx C
e
−
∗


= − ⋅
+
⋅




∫
.
Общее решение исходного уравнения равно
2
2
2
2
3
2
3
3
3
3
2
2
2
1
3
3
x
x
x
x
e
y
e dx C
e dx C
e
−
∗
∗
=
=


− ⋅
+
− ⋅
+
⋅




∫
∫
.
Ответ:
2
2
3
2
3
3
2
3
x
x
e
y
e dx C
∗
=
− ⋅
+
∫
.

---

Page 4

5. Решить уравнение в полных дифференциалах:
(
)
2
2
2 1
0
x
x
y dx
x
ydy
+
−
−
−
=
.
Решение.
Согласно уравнению в полных дифференциалах
(
)
2
2 1
u
M
x
x
y
x
∂
=
=
+
−
∂
и
2
u
N
x
y
y
∂
=
= −
−
∂
. Проверим действительно ли это уравнение в полных
дифференциалах. Вычислим частные производные
M
y
∂
∂
и
N
x
∂
∂
:
(
)
( )
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
M
u
x
x
x
y
y
y x
x
y
−
∂
∂
=
=
⋅ ⋅
−
⋅ − = −
∂
∂ ∂
−
;
(
)
1
2
1
2
2
2
1
2
2
N
u
x
x
y
x
x
x y
x
y
−
∂
∂
=
= − ⋅
−
⋅
= −
∂
∂ ∂
−
.
Получили тождество
2
2
u
u
y x
x y
∂
∂
≡
∂ ∂
∂ ∂
, значит это действительно уравнение в полных
дифференциалах.
Тогда получим:
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
2
2
2
1
1
2
2
3
2
2
2
2
2
,
2 1
2
2
2
2
1
2
2
.
1
2
3
1
2
x
u x y
x
x
y dx
y
xdx
x x
ydx
y
x
y
x
yd x
y
y
x
y
x
x
y
y
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
+
−
+
= ⋅
+ ⋅
⋅
−
+
= ⋅
+
−
+ ⋅ ⋅
−
− +
= +
+
= + ⋅
−
+
+
∫
∫
∫
∫
Вычислим частную производную по
y
, получим:
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
3
3
1
2
2
2
2
2
2
2 3
0
1
3
3 2
y
u
x
x
y
y
x
y
y
x
y
y
y
ϕ
ϕ
ϕ
−
′
∂


′
′
=
+ ⋅
−
+
= + ⋅ ⋅
−
⋅ − +
= −
− +


∂


.
С другой стороны
2
u
N
x
y
y
∂
=
= −
−
∂
, тогда получим
( )
2
2
x
y
y
x
y
ϕ
′
−
− +
= −
−
,
( )
0
y
ϕ
′
⇒
=
. Интегрируем
( )
y
C
ϕ
=
.
Тогда общий интеграл исходного уравнения равен
(
)
3
2
2
2
3
x
x
y
C
+ ⋅
−
=
.
Ответ:
(
)
3
2
2
2
3
x
x
y
C
+ ⋅
−
=
.
6. Решить уравнение, не разрешенное относительно производной (исследовать
особые решения уравнения)
( )
4
3
256
y
y
′ =
.
Решение.
Преобразуем уравнение
3
4
256
y
y
′ =
,
3
4
4
dy
y
dx
⇒
= ⋅
. Разделим переменные
3
4
4
dy
dx
y
=
. Интегрируем
3
4
4
dy
dx
y
=
∫
∫
, получим
3
1
4
4
4
3
1
4
y
x
C
− +
=
+
− +
,
(
)
4
y
x C
⇒ =
+
.

---

Page 5

Найдем особые решения, если они существуют.
а) Определим
p
- дискриминантную кривую. Тогда для функции
(
) ( )
4
3
, ,
256
F x y y
y
y
′
′
=
−
. Вычислим производную функции по
y′
, получим
( )
3
4
F
y
y
∂
′
= ⋅
′
∂
.
Тогда из уравнения
0
F
y
∂
=
′
∂
, следует
( )
3
4
0
y′
⋅
=
,
0
y′
⇒ =
. Подставим это выражение для
y′
в исходное дифференциальное уравнение, поучим
4
3
0
256y
=
,
0
y
⇒ =
. Это есть
p
-
дискриминантная кривая дифференциального уравнения.
б) Проверим, является ли эта
p
- дискриминантная кривая решением заданного
уравнения. Подставим
0
y =
и ее производную в исходное уравнение
0 0
≡
. Тогда
функция
0
y =
является решением уравнения.
в) Проверим, является ли это решение особым решением исходного уравнения.
Выпишем условие касания двух кривых
1
0
y =
и
(
)
4
2
y
x C
=
+
в точке с абсциссой
0
x x
=
,
( )
( )
1
0
2
0
y x
y x
=
,
( )
( )
1
0
2
0
y x
y x
′
′
=
. Получим согласно условию касания
(
)
4
0
0
x C
=
+
,
(
)
3
0
0 4 x C
=
+
. Тогда подставляя
0
C
x
= −
в первого равенства
(
)
4
0
0
0
x
x
=
−
или
0 0
=
, т.е.
при
0
C
x
= −
первое равенство условия выполняется тождественно, так как
0
x
есть
абсцисса произвольной точки.
Итак, в каждой точке кривой
0
y =
ее касается некоторая другая кривая семейства
(
)
4
y
x C
=
+
, а именно та, для которой
0
C
x
= −
. Значит,
0
y =
есть особое решение
исходного уравнения.
Ответ:
(
)
4
y
x C
=
+
и
0
y =
.
7. Решить линейное уравнение с постоянными коэффициентами:
2
2
sin
x
y
y
y e
x
′′
′
−
+
=
.
Решение.
Общее решение исходного уравнения равно
o
o,o
чр
y
y
y
=
+
, где
o,o
y
- общее решение
однородного уравнения
2
2
0
y
y
y
′′
′
−
+
=
и
чр
y
- частное решение неоднородного
уравнения.
Найдем общее решение однородного уравнения
2
2
0
y
y
y
′′
′
−
+
=
. Составим
характеристическое уравнение
2
2
2 0
k
k
−
+ =
. Корни уравнения равны
2
1
1
1 2 1
k
i
= −
− = −
и
2
2
1
1 2 1
k
i
= +
− = +
. Тогда общее решение равно
o,o
1
2
cos
sin
x
x
y
C e
x C e
x
=
+
.
Частное решение исходного уравнения будем искать виде
(
)
чр
cos
sin
x
y
x A
x B
x e
=
+
.
Вычислим первую и вторую производные функции:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
cos
sin
cos
sin
sin
cos
cos
sin
cos
sin
;
x
x
x
x
x
y
x A
x B
x e
A
x B
x e
x A
x B
x e
x A
x B
x e
A Bx Ax
x
B Ax Bx
x e
′
′ =
+
=
+
+ −
+
+
+
+
=
+
+
⋅
+
−
+
⋅
⋅





---

Page 6

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
cos
sin
cos
sin
sin
cos
cos
sin
2
2
2
cos
2
2
2
sin
.
x
x
x
x
y
A Bx Ax
x
B Ax Bx
x e
A B
x
A Bx Ax
x
B A
x
B Ax Bx
x e
A Bx Ax
x
B Ax Bx
x e
A
B
Bx
x
B
A
Ax
x e
′
′′ =
+
+
⋅
+
−
+
⋅
⋅
=




=
+
⋅
−
+
+
⋅
+
−
⋅
+
−
+
⋅
⋅ +




+
+
+
⋅
+
−
+
⋅
⋅ =




=
+
+
⋅
+
−
−
⋅
⋅




.
Подставим функцию и найденную вторую производную в исходное уравнение,
получим:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
cos
2
2
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
sin
sin ;
A
B
Bx
x
B
A
Ax
x
A Bx Ax
x
B Ax Bx
x
x A
x B
x
x
+
+
⋅
+
−
−
⋅
−
+
+
⋅
−
−
+
⋅
+
+
+
=
2 cos
2 sin
sin
B
x
A
x
x
⋅
−
⋅
=
.
Тогда коэффициенты
A
и
B
равны
2
0,
0
B
B
=
⇒ =
и
1
2
1,
2
A
A
−
=
⇒ = −
. Частное
решение равно
чр
1
cos
2
x
y
xe
x
= − ⋅
⋅
.
Общее решение исходного уравнения равно
1
2
1
cos
sin
cos
2
x
x
x
y C e
x C e
x
xe
x
=
+
− ⋅
⋅
.
Ответ:
1
2
1
cos
sin
cos
2
x
x
x
y C e
x C e
x
xe
x
=
+
− ⋅
⋅
.
8. Исследовать особые точки системы уравнений
dx
x
dt
′ =
,
dy
y
dt
′ =
:
3 ,
4
3 .
x
x
y
y
x
y
′ = +


′ =
−

Решение.
Найдем особую точку системы. Решим систему уравнений:
( )
3 ,
3
0,
3 ,
3 0 0,
4
3
3
0,
4
3
0,
15
0,
0.
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
y
y
= −
+
=
= −
= − ⋅ =




⇔
⇔
⇔




⋅ −
−
=
−
=
−
=
=




Точка
0
x =
и
0
y =
, в которой правые части системы уравнений обращаются в
ноль, называется точкой покоя системы.
Составим характеристическое уравнение:
(
) (
)
2
2
1 λ
3
1 λ
3 λ 12
3 3λ λ λ 12 λ
2λ 15 0
4
3 λ
−
= − ⋅ − − −
= − +
− +
−
=
+
−
=
− −
.
Корни этого уравнения равны
2
1
λ
1
1 15
1 4
5
= − −
+
= − − = −
и
2
2
λ
1
1 15
1 4 3
= − +
+
= − + =
. Так как корни характеристического уравнения
1
λ
5 0
= − <
и
2
λ
3 0
= >
, то точка
( )
0;0
неустойчива (седло).
Ответ: точка
( )
0;0
седло.

---

Page 7

9. Решить линейную систему с постоянными коэффициентами:
2
2
4,
8
6
1.
x
x
y
y
x
y
′ =
−
+


′ =
−
+

Решение.
Используем метод исключения. Из первого уравнения системы выразим
y
:
1
2
2
y x
x′
= −
+
, тогда
1
2
y
x
x
′
′
′′
= −
. Подставим полученные выражение для
y
и
y′
во
второе уравнение системы, получим:
1
1
8
6
2
1
2
2
x
x
x
x
x


′
′′
′
−
=
− ⋅
−
+
+




;
4
4
22
x
x
x
′′
′
+
+
=
.
Получим неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Найдем
общее решение однородного уравнения
4
4
0
x
x
x
′′
′
+
+
=
. Составим характеристическое
уравнение
2
4
4 0
k
k
+
+ =
. Корни уравнения равны
1,2
2
k = −
. Тогда общее решение равно
(
)
2
o,o
1
2
t
x
C C t e
−
=
+
⋅
.
Частное решение исходного уравнения будем искать виде
чр
x
At B
=
+
. Вычислим
первую и вторую производные функции:
(
)
y
At B
A
′
′ =
+
=
и
( )
0
y
A
′
′′ =
=
.
Подставим функцию и найденную вторую производную в исходное уравнение,
получим:
(
)
0 4
4
22
A
At B
+
+
+
=
,
4
4
4
22
A
At
B
+
+
=
.
Из этого равенства получим
0
A =
и
11
2
B =
. Тогда частное решение равно
чр
11
2
x =
.
Общее решение исходного уравнения равно
(
)
2
1
2
11
2
t
x
C C t e
−
=
+
⋅
+
.
Продифференцируем
(
)
(
)
2
2
2
1
2
2
1
2
11
2
2
t
t
t
x
C C t e
C e
C C t e
−
−
−
′


′ =
+
⋅
+
=
⋅
− ⋅
+
⋅




. Подставим
вместо
x
и
x′
в
1
2
2
y x
x′
= −
+
, получим:
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
11 1
1
15
2
2
2
2
2 2
2
2
t
t
t
t
y
C C t e
C e
C C t e
C
C t
C
e
−
−
−
−


=
+
⋅
+
− ⋅
⋅
− ⋅
+
⋅
+ =
+
− ⋅
⋅
+




Общее решение системы уравнений равно
(
)
2
1
2
2
1
2
2
11
,
2
1
15
2
2
.
2
2
t
t
x
C C t e
y
C
C t
C
e
−
−

=
+
⋅
+






=
+
− ⋅
⋅
+






Ответ:
(
)
2
1
2
2
1
2
2
11
,
2
1
15
2
2
.
2
2
t
t
x
C C t e
y
C
C t
C
e
−
−

=
+
⋅
+






=
+
− ⋅
⋅
+







---

Page 8

10. Решить разностное уравнение:
(
)
(
)
( )
2 4
1 4
2
x
y x
y x
y x
+ −
+ +
=
.
Решение.
Решим сначала однородное уравнение
(
)
(
)
( )
2 4
1 4
0
y x
y x
y x
+ −
+ +
=
. Корни
характеристического уравнения
2
4
4 0
λ
λ
−
+ =
равны
1,2
2
λ
=
, поэтому общее решение
однородного уравнения равно
(
)
o,o
1
2
2
x
y
C C x
= ⋅
+
.
Частное решение не однородного уравнения будем искать виде
( )
2
2
x
Y x
A x
= ⋅ ⋅
.
Тогда получим:
(
)
(
)
2
2
2
1
2
2
2
4
1 2
4
2
2
x
x
x
x
A x
A x
A x
+
+
⋅ +
⋅
−
⋅ +
⋅
+
⋅ ⋅
=
;
2
2
2
4
16
16
8
16
8
4
1
A x
A x
A
A x
A x
A
A x
⇒
⋅ +
⋅ +
−
⋅ −
⋅ −
+
⋅
=
;
8
1
A
⇒
=
,
1
8
A
⇒ =
.
Частное решение равно
( )
2
3
2
2
3
1
2
2
2
2
8
x
x
x
Y x
x
x
x
−
−
= ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
=
⋅
.
Тогда общее решение исходного уравнения равно
(
)
2
3
1
2
2
2
x
x
y
C C x
x
−
= ⋅
+
+ ⋅
Ответ:
(
)
2
3
1
2
2
2
x
x
y
C C x
x
−
= ⋅
+
+ ⋅
.
11. Решить уравнение Эйлера.
3
2
9
26
10
2
2
x y
x y
xy
y
x
′′′
′′
′
+
−
+
=
.
Решение.
Найдем общее решение однородного уравнения
3
2
9
26
10
2
0
x y
x y
xy
y
′′′
′′
′
+
−
+
=
.
Решение уравнение будем искать в виде
k
y x
=
, где
k
- неизвестное число. Тогда
получим
( )
1
k
k
y
x
kx
−
′
′ =
=
,
( )
(
)
1
2
1
k
k
y
k x
k k
x
−
−
′
′′ =
=
−
и
(
)
( )
(
)(
)
2
3
1
1
2
k
k
y
k k
x
k k
k
x
−
−
′
′′′ =
−
=
−
−
.
Подставим в уравнение найденные производные, получим:
(
)(
)
(
)
3
3
2
2
1
9
1
2
26
1
10
2
0
k
k
k
k
x k k
k
x
x k k
x
x kx
x
−
−
−
⋅
−
−
+
⋅
−
−
⋅
+
=
;
(
)(
)
(
)
(
)
9
1
2 26
1 10
2
0
k
k k
k
k k
k
x
−
− +
− −
+ ⋅ =
.
Так как
0
k
x ≡
, то получим уравнение
(
)(
)
(
)
9
1
2 26
1 10
2 0
k k
k
k k
k
−
− +
− −
+ =
,
3
2
9
18
2 0
k
k
k
⇒
−
−
+ =
,
(
) (
)
2
2
9
2
2
0
k k
k
⇒
− −
−
=
,
(
)
(
)
2
9
1
2
0
k
k
⇒
−
−
=
. Корни уравнения
равны
1
1
9
k =
,
2
2
k = −
и
3
2
k =
.
Общее решение однородного уравнения равно
2
2
9
o,o
1
2
3
y
C
x C x
C x
−
=
⋅
+
⋅
+
⋅
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
чр
y
Ax B
=
+
.
Вычислим первую, вторую и третью производные функции:
(
)
y
Ax B
A
′
′ =
+
=
,
( )
0
y
A
′
′′ =
=
и
( )
0
0
y
′
′′′ =
=
.
Подставим функцию и найденную вторую производную в исходное уравнение,
получим:
(
)
3
2
9
0 26
0 10
2
2
x
x
x A
Ax B
x
⋅ +
⋅ −
⋅ + ⋅
+
=
,
8
2
2
Ax
B
x
⇒ −
+
=
.
Получим
1
4
A = −
и
0
B =
. Частное решение равно
чр
1
4
y
x
= −
.
Общее решение исходного уравнения равно
2
2
9
1
2
3
1
4
y C
x C x
C x
x
−
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
.
Ответ:
2
2
9
1
2
3
1
4
y C
x C x
C x
x
−
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
.