Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области

Таблица 9. Расчет

для фактора X3

В среднем расчетные значения для линейной модели фактора X3 отличаются от фактических значений на 27,87%.

Модель для фактора X3.

5. Осуществим прогнозирование среднего  значения показателя Y (цены квартиры) при прогнозном значении фактора ХЗ (общая площадь квартиры), которое согласно условию задачи составляет 80% от его максимального значения. Максимальное значение X₃=169,5, соответственно, прогнозное значение X₃=169,5×0,8=135,6.

Определим точечный прогноз по уравнению  парной регрессии:

Y₃=-13,1088005+1,54259366×X₃

Y₃=196,0668998

Произведем расчет интервального  прогноза, для этого определим  ширину доверительного интервала.

,

где S – стандартная ошибка оценки [1], которая определяется по формуле:

В соответствии с расчетными данными  имеем  . При расчете используем Кр=1,12 (для заданной вероятности расчета 80%), n=40, m=1. Результаты расчета представлены в таблице 10.

№	Х3
	70,4	1,1925	1,422056
	82,8	13,5925	184,7561
	64,5	-4,7075	22,16056
	55,1	-14,1075	199,0216
	83,9	14,6925	215,8696
	32,2	-37,0075	1369,555
	65	-4,2075	17,70306
	169,5	100,2925	10058,59
	74	4,7925	22,96806
	87	17,7925	316,5731
	44	-25,2075	635,4181
	60	-9,2075	84,77806
	65,7	-3,5075	12,30256
	42	-27,2075	740,2481
	49,3	-19,9075	396,3086
	64,5	-4,7075	22,16056
	93,8	24,5925	604,7911
	64	-5,2075	27,11806
	98	28,7925	829,0081
	107,5	38,2925	1466,316
	48	-21,2075	449,7581
	80	10,7925	116,4781
	63,9	-5,3075	28,16956
	58,1	-11,1075	123,3766
	83	13,7925	190,2331
	73,4	4,1925	17,57706
	45,5	-23,7075	562,0456
	32	-37,2075	1384,398
	65,2	-4,0075	16,06006
	40,3	-28,9075	835,6436
	72	2,7925	7,798056
	36	-33,2075	1102,738
	61,6	-7,6075	57,87406
	35,5	-33,7075	1136,196
	58,1	-11,1075	123,3766
	83	13,7925	190,2331
	152	82,7925	6854,598
	64,5	-4,7075	22,16056
	54	-15,2075	231,2681
	89	19,7925	391,7431

Таблица 10. Расчет U(k)

В результате расчета имеем U(k)= 33,69518066.

Таким образом, прогнозное значение будет находиться между верхней границей, равной , и нижней границей, равной .

На графике представлены фактические  и модельные значения, точки прогноза (Рис.2).

6. Используя пошаговую множественную  регрессию (метод исключения или  метод включения), строим модель  формирования цены квартиры за  счёт значимых факторов – фактор  ХЗ (общая площадь квартиры) и  фактор X5 (этаж квартиры). Фактор Х1 (город области) исключаем т.к. коэффициент парной корреляции для признака X1 меньше чем для X3 и X5.

Расчет параметров линейной множественной  регрессии  , произведем с использованием программы MS Excel.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,846936
R-квадрат	0,717301
Нормированный R-квадрат	0,70202
Стандартная ошибка	28,10833
Наблюдения	40

 

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	74173,52	37086,76	46,94063	7,07E-11
Остаток	37	29232,89	790,0781
Итого	39	103406,4

 

	Коэффици енты		Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Ниж ние 95%	Верх ние 95%	Ниж ние 95,0%	Вер хние 95,0%
Y-пересечение	-10,0246		13,13618	-0,76313	0,450224	-36,641	16,59179	-36,641	16,59179
Переменная X3	1,563359	0,163815		9,543414	1,61E-11	1,231437	1,895281	1,231437	1,895281
Переменная X5	-0,64132	1,157862		-0,55388	0,582992	-2,98737	1,704733	-2,98737	1,704733

Таблицы 11, 12, 13. Расчет параметров линейной множественной регрессии

В соответствии с полученными расчетными данными запишем модель регрессии  в линейной форме:

Коэффициенты уравнения регрессии  показывают, что при увеличении только общей площади квартиры (Х3) на 1 кв.м. цена квартиры увеличится на 1,563359 тыс. долл., а при изменении этажа квартиры (X5) цена квартиры уменьшится на 0,64132 тыс. долл.

7. В соответствии с полученными  результатами оценим качество  линейной множественной регрессии  через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации  и F-критерий Фишера.

В соответствии с расчетом коэффициент  детерминации R²=0,717301, следовательно, вариация результативного признака Y (цена квартиры) на 71,73% объясняется вариацией факторного признака ХЗ (общая площадь квартиры) и факторного признака X5 (город области). Значение коэффициента детерминации R²=0,717301 достаточно близко к 1, поэтому качество модели можно признать удовлетворительным.

Оценка статистической значимости уравнения множественной регрессии  осуществляется по F-критерию Фишера. В результате расчетов F=46,94063.

Определим табличное значение F-критерия с помощью функции MS Excel FPACTIOBP (для , k1=2, k2=40-2-1). F_табл=2,45201433. Так как , уравнение регрессии признается статистически значимым.

Определим среднюю ошибку аппроксимации  по формуле:

где n - число наблюдений.

Наблюдение	Y цена квартиры	Предсказанное Y^	ABS((Y-Y^)/Y)
	115	94,26398	0,180313186
	85	116,2149	0,367234267
	69	86,96412	0,260349594
	57	75,47514	0,324125291
	184,6	120,4999	0,347237899
	56	39,0329	0,302983946
	85	83,89789	0,012966032
	265	248,5516	0,062069615
	60,65	98,60944	0,625876971
	130	122,1397	0,060463832
	46	57,48054	0,24957688
	115	82,49428	0,282658416
	70,96	89,48147	0,261012852
	39,5	51,14722	0,294866407
	78,9	58,07051	0,26399859
	60	83,75753	0,39595878
	100	135,9771	0,35977139
	51	86,18244	0,689851813
	157	141,9019	0,096166062
	123,5	150,3406	0,217333193
	55,2	59,24474	0,073274268
	95,5	111,1962	0,164357991
	57,6	86,66743	0,504642805
	64,5	74,39335	0,153385233
	92	113,9623	0,238720743
	100	103,4433	0,034432942
	81	59,18426	0,269330172
	65	36,79627	0,433903537
	110	85,4932	0,222789116
	42,1	44,6416	0,060370507
	135	94,8414	0,297471103
	39,6	43,04971	0,087113801
	57	81,14774	0,423644605
	80	42,90935	0,463633175
	61	74,39335	0,219563075
	69,6	117,1689	0,683461258
	250	217,9862	0,12805531
	64,5	83,11621	0,288623376
	125	69,26621	0,445870294
40.	152,3	124,6251	0,181713059
			11,02917
			27,572925

Таблица 14. Расчет средней ошибки аппроксимации

В среднем расчетные значения Y^ для модели множественной регрессии отличаются от фактических значений на 27,57%.

Произведем сравнение коэффициентов  ранее рассмотренной парной регрессии  для фактора X3 (как наиболее значимого фактора) и коэффициентов множественной регрессии.

Вид модели	R2	Еотн	F	Fтабл
Парная регрессия	0,714957	27,8703851	95,313221	2,84244
Множественная регрессия	0,717301	27,572925	46,94063	2,45201

Таблица 15. Сравнение коэффициентов парной регрессии для фактора X3 и коэффициентов множественной регрессии.

В соответствии с данной таблицей можно сделать вывод, что лучшей по качеству является модель множественной  регрессии, так как она имеет  большее значение коэффициента детерминации (R²=0,717301). Значение средней относительной ошибки в модели множественной регрессии уменьшилось по сравнению с моделью парной регрессии, что также свидетельствует о более высоком качестве модели множественной регрессии.

Произведем оценку значимости факторов множественной регрессии с помощью  t-критерия Стьюдента.

Оценим качество построенной множественной  модели с помощью коэффициентов  эластичности, β - и Δ - коэффициентов.

Коэффициенты эластичности оценивают  относительную силу влияния параметров X3 и Х5 на результативный признак Y.

Коэффициент эластичности определяется по формуле:

β-коэффициент определяется по формуле:

Δ-коэффициент  характеризует удельное влияние  конкретного факторного признака в  совместном влиянии на результативный показатель всех факторных признаков, включенных в модель множественной  регрессии. Определяется по формуле:

Результаты вычислений представлены в таблице 16.

№ наблюдения	Y цена квартиры	ХЗ общая площадь квартиры	Х5 этаж квартиры
	115	70,4	9
	85	82,8	5
	69	64,5	6
	57	55,1	1
	184,6	83,9	1
	56	32,2	2
	85	65	12
	265	169,5	10
	60,65	74	11
	130	87	6
	46	44	2
	115	60	2
	70,96	65,7	5
	39,5	42	7
	78,9	49,3	14
	60	64,5	11
	100	93,8	1
	51	64	6
	157	98	2
	123,5	107,5	12
	55,2	48	9
	95,5	80	6
	57,6	63,9	5
	64,5	58,1	10
	92	83	9
	100	73,4	2
	81	45,5	3
	65	32	5
	110	65,2	10
	42,1	40,3	13
	135	72	12
	39,6	36	5
	57	61,6	8
	80	35,5	4
	61	58,1	10
	69,6	83	4
	250	152	15
	64,5	64,5	12
	125	54	8
	152,3	89	7
Сумма	3746,01	2768,3	282
Среднеe значение	93,65025	69,2075	7,05
bi		1,563359	-0,64132
Эластичность Эi		1,155321721	-0,04828
Дисперсия	336232,7308	182928,2328	1906,471
	579,8557845	427,7011022	43,66316
βi-коэффициент		1,153132263	-0,04829
ryxi		0,845551302	0,146383
R2		0,717301	0,717301
Δ-коэффициент		1,359307209	-0,00985

 

По результатам расчета (Таблица 16) можно сделать следующие выводы.

При изменении на 1% среднего значения фактора X5 (этаж квартиры) среднее значение цены квартиры уменьшится на 4,8% (при неизменном значении других факторов). При увеличении на 1% среднего значения фактора ХЗ (общей площади квартиры) среднее значение цены квартиры увеличится на 115,5%. В данном случае наибольшее воздействие на цену квартиры оказывает размер ее общей площади, а наименьшее – этаж квартиры.

Согласно полученным Δ-коэффициентам фактор X5 на результативный показатель Y не влияет, а фактор ХЗ на 135,9% объясняет вариацию результативного показателя Y. Следовательно, информативным и значимым является показатель X3, поэтому включение в модель показателя X5, было не правильным.

Для организации эконометрического  моделирования стоимости квартир  в Московской области (в соответствии с исходными данными) достаточно при расчете использовать один фактор ХЗ (общая площадь квартиры). Статистически  значимая функция при этом имеет  следующий вид: . Данная функция рассмотрена ранее.

 

 

Задача 2. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице 17.

Номер варианта	Номер наблюдения (t = 1,2,...,9)
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	10	14	21	24	33	41	44	47	49

Таблица 17. Временной ряд Y(t)

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных  наблюдений.

2) Построить линейную модель  , параметры которой оценить МНК ( – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Оценить адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

4) Оценить точность на основе  использования средней относительной  ошибки аппроксимации.