Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области

5) Осуществить прогноз спроса на  следующие две недели (доверительный  интервал прогноза рассчитать  при доверительной вероятности  р = 70%).

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования  представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение.

1. Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствии аномалий данных. Аномальные наблюдения легче всего обнаружить визуально, используя графическое представление временного ряда. График временного ряда представлен на рис. 3. Исходя из построенного графика, можно сделать вывод о том, что аномальных наблюдений нет.

Рис.3. Графическое представление временного ряда.

2. Расчет параметров линейной парной  регрессии  , произведем с использованием программы MS Excel. Полученные данные представлены в таблицах 18, 19, 20.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,9
R-квадрат	0,9
Нормированный R-квадрат	0,9
Стандартная ошибка	2,5
Наблюдения	9

Таблица 18.

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1685,4	1685,4	263,2	8,23E-07
Остаток	7	44,8	6,4
Итого	8	1730,2

Таблица 19.

	Коэффи циенты	Стан-дартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	4,9	1,8	2,6	0,03	0,6	9,3	0,6	9,3
t(наблюдение)	5,3	0,3	16,2	8,23E-07	4,5	6,0	4,5	6,07

Таблица 20.

В соответствии с полученными расчетными данными модель регрессии в линейной форме будет выглядеть следующим  образом:

Таким образом, в течение недели спрос на кредитные ресурсы увеличится на 5,3млн. руб.

В соответствии с полученными результатами оценим качество линейной парной регрессии  через коэффициент детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и  F-критерия Фишера.

Коэффициент детерминации в соответствии с расчетом равен R²=0,9. Вариация спроса на кредитные ресурсы (Y) на 97,4% объясняется изменением времени (t). Значение R²=0,9 близко к единице, поэтому качество модели можно признать удовлетворительным.

Оценку значимости уравнения регрессии  проведем с помощью F-критерия Фишера. В результате расчетов F=263,2.

Определим табличное значение F-критерия с помощью функции MS Excel FPACПOБP (для , k1=1, k2=7). .

, следовательно, уравнение регрессии  признается статистически значимым.

3. Произведем оценку адекватности  построенной модели, используя свойства  независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному  закону распределения.

3.1 Оценка адекватности построенной  модели по свойству случайности  производится исходя из неравенства

где р – количество поворотных точек определяемых из графика остаточной компоненты, N – длина временного ряда; квадратные скобки означают, что от результата вычисления следует взять целую часть.

Для определения числа поворотных точек необходимо построить график остаточной компоненты. Построим с  использованием имеющихся результатов  расчета график остаточной компоненты (рис.4)

 
Рис. 4. График остаточной компоненты.

Исходя из построенного графика, определяем количество поворотных точек: р=4. При выполнении расчетов по приведенной выше формуле получаем, что 4>2, следовательно, неравенство соблюдается, ряд остатков можно считать случайным, а значит, свойство случайности возникновения отдельных отклонений от тренда выполняется.

3.2. Оценка адекватности построенной  модели по свойству независимости  остаточной компоненты определяется  по d-критерию Дарбина-Уотсона (проверяется наличие/отсутствие автокорреляции).

Результаты расчета представлены в таблице 21.

t (номер наблюдения)	Y (спрос, млн. руб.)	Предсказанное Y (спрос, млн. р)	E(t)	E(t)-E(t-1)	(E(t)-E(t-1))2	E2(t)
1	10	10,2	-0,2	-	-	0,06
2	14	15,5	-1,5	-1,3	1,7	2,3
3	21	20,8	0,1	1,7	2,9	0,02
4	24	26,1	-2,1	-2,3	5,3	4,6
5	33	31,4	1,5	3,7	13,7	2,4
6	41	36,7	4,2	2,7	7,3	18,1
7	44	42,0	1,9	-2,3	5,3	3,8
8	47	47,3	-0,3	-2,3	5,3	0,1
9	49	52,6	-3,6	-3,3	10,9	13,2
Сумма					52,3	44,8
d						1,1

Таблица 21.

Оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d₂) и нижние (d₁) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели. Значения этих границ для уровня значимости α=0,05: d₁=0,76, d₂=l,33.

4

4- d₂=3,24

d₁=0,76

d₂=1,33

4- d₁=2,67

0

 

 

Рис.5. Промежутки внутри интервала.

Фактическое значение d=1,1 попадает  в промежуток от d₁ до d₂ - в зону неопределенности. Следовательно, подтверждается существование автокорреляции остатков.

3.3. Оценка адекватности построенной  модели по соответствию нормальному  закону распределения осуществляется  по RS-критерию:

,

где , в соответствии с результатами таблицы 18 имеем S=2,5.

В соответствии с расчетом (табл. 21) Е_mах= 4,2, Е_min = -3,6. Тогда . Расчетное значение RS-критерия попадает в табличный интервал [2,7; 3,7], следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

4. Для оценки точности модели определим среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

.

Результаты  расчета представлены в таблице 22.

Наблюдение	Y (спрос, млн. руб.)	E(t)	ABS(E(t))	ABS(E(t)/Y)
1	10	-0,2	0,2	0,02
2	14	-1,5	1,5	0,1
3	21	0,1	0,1	0,007
4	24	-2,1	2,1	0,09
5	33	1,5	1,5	0,04
6	41	4,2	4,2	0,1
7	44	1,9	1,9	0,04
8	47	-0,3	0,3	0,007
9	49	-3,6	3,6	0,07
Сумма				0,5
Eотн				5,65

Таблица 22.

Ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.

5. Осуществим точечный прогноз  спроса на следующие две недели.

В течение первой недели (k=1, t=10) спрос будет равен Y(10)=57,9. В течение второй недели (k=2, t=11) спрос будет равен Y(11)=63,2.

На базе точечных прогнозов разрабатываем  интервальные прогнозы. С этой целью  рассчитывается ширина доверительного интервала:

где S – стандартная ошибка оценки, которая определяется по формуле:

В соответствии с результатами таблицы 18 имеем S=2,5. Произведем расчет интервального прогноза для первой недели, для этого определим ширину доверительного интервала. При расчете используем Кр=1,12, n=9, m=l, k=l. Результаты расчета представлены в таблице 23.

t (номер наблюдения)
1		–4	16
2		–3	9
3		–2	4
4		–1	1
5		0	0
6		1	1
7		2	4
8		3	9
9		4	16
Сумма	45		60
	5
U(k)			3,4

Таблица 23.

В результате расчета имеем U(k) = 3,4.

Таким образом, прогнозное значение Y(10)=57,9, будет находиться между верхней границей, равной 57,9+3,4=61,3, и нижней границей, равной 57,9-3,4=54,5.

Произведем расчет интервального  прогноза для второй недели, для  этого определим ширину доверительного интервала. При расчете используем Кр=1,12, n=9, m=l, k=2. Результаты расчета представлены в таблице 24.

t (номер наблюдения)
1		–4	16
2		–3	9
3		–2	4
4		–1	1
5		0	0
6		1	1
7		2	4
8		3	9
9		4	16
Сумма	45		60
	5
U(k)			3,65