Динамические линейные модели экономики: модель динамического межотраслевого баланса и модель Неймана

    Соотношения (2) означают, что при производстве продукции в году

(t + 1) расходуется продукция, произведенная в году t.

    Вектор p ( t )=( p 1 ( t ), p 2 ( t ),..., p n ( t ))≥0 называется вектором цен

продуктов, произведенных в году t, если он удовлетворяет следующим соотношениям:

                                                                (3)

    Если коэффициенты матриц А и В – стоимостные величины в постоянных ценах, то р(t) будет вектором индексов цен.

    Первое  векторное неравенство в (3) означает, что стоимость выпуска

продукции для  каждого технологического способа  производства в году t + 1 не может быть больше стоимости затрат в ценах года t.

    Из (2) и (3) следует, что имеют место  следующие соотношения:

                              (4)

    Первое  соотношение в (4) означает, что цена i-го продукта в году t равна нулю, если его выпуск в году t будет больше его затрат в году (t + 1).

Второе  соотношение (4) означает, что j-й технологический процесс в году t не будет применяться (интенсивность равна нулю), если стоимость затрат по нему в году t больше стоимости его выпуска в году (t + 1).

    Определение. Векторы Х(t) и p(t), t = 1, 2, …, T называются траекторией

сбалансированного роста в модели Неймана, если они  удовлетворяют

условиям:

                                                                          (5)

    Здесь λ − темп, ρ − норма процента сбалансированного роста.

    Из (5) следует, что в состоянии сбалансированного  роста значения компонент вектора Х(t) пропорционально возрастают, а вектора p(t) снижаются. При этом имеют место соотношения:

                                                                       (6)

где Х(0) и р(0) – начальные значения векторов в году t = 0.

    Из (5), (6) следует, что на траектории сбалансированного  роста должны выполняться соотношения. 
 

                                                      (7)

    Вопрос  о существовании траекторий сбалансированного роста решается

следующими теоремами.

    Первая  теорема Неймана. Если матрицы А и В удовлетворяют

свойствам 1-3, то система неравенств (7) имеет решение X ( t ), p ( t ),λ ,ρ ,

т.е. в модели Неймана существуют траектории сбалансированного  роста.

    Вторая  теорема Неймана. Существует решение X * ( t ), p * ( t ),λ * ,ρ *

системы (7), у которого будет максимальный темп роста λ * ≥λ и

минимальная норма процента ρ * ≤ ρ по сравнению с другими решениями.

    При этом выполняется соотношение:

                                                                                   (8)

    Данное  решение называется магистралью, или траекторией

максимального сбалансированного роста в модели Неймана. 

    Модель  Неймана является невычислимой, чисто  теоретической моделью. Выход к  практическим результатам осуществляется через динамическую модель В. Леонтьева, являющуюся частным случаем модели Неймана. Цены, полученные на основе динамического баланса, обладают свойствами цен модели Неймана. Модель Леонтьева использует данные динамического межотраслевого баланса. На основе динамического баланса также возможно построение неймановского луча максимального сбалансированного роста экономики и вычисление цен, соответствующих этому лучу, которые отражают альтернативную стоимость. Отличие динамической межотраслевой модели от модели Неймана состоит в том, что она базируется на предположении, что в каждой отрасли возможен один и только один производственный процесс. Таким образом, выбор решения по каждой отрасли сводится лишь к определению интенсивности производственного способа. 
 
 
 
 

Заключение 

    В заключение отметим, что с помощью  межотраслевого баланса решают

следующие задачи:

1. По  таблице межотраслевого баланса  найти матрицу прямых и полных затрат.

2. Задав  вектор конечной продукции, определить  вектор валовой продукции.

3. Задав  вектор валовой продукции, определить  вектор конечной продукции.

4. При новых значениях добавленной стоимости найти индексы цен и построить новую таблицу межотраслевого баланса.

5. Найти векторы валового выпуска, добавленной стоимости, затрат,

доли  затрат и добавленной стоимости  в валовом продукте, межотраслевые

поставки продукции, составить таблицу межотраслевого баланса.

     Аналитический метод «затраты-выпуск» наполнил практическим содержанием теорию общего экономического равновесия, он способствовал усовершенствованию математического аппарата. Метод Леонтьева отличает ясность и простота, универсальность и глобальность, другими словами пригодность для экономики отдельных стран и регионов, для мирового хозяйства в целом.

    Модель  Леонтьева "Затраты-выпуск" строится на основе схемы межотраслевого баланса в предположении о том, что каждая отрасль выпускает один и только свой продукт с использованием продуктов остальных отраслей и посредством линейной технологии. Она помогает анализировать перетоки товаров между отраслями и отвечает на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос населения на товары?

    Магистральная траектория - это луч Неймана. Основным вопросом магистральной теории является анализ близости траекторий оптимизационных моделей к соответствующим магистралям. Оптимальные траектории в динамических моделях Леонтьева и Неймана обладают такими свойствами при выполнении некоторых дополнительных условий.

    Cписок  литературы

1. Колемаев В.А. "Экономико-математическое моделирование" ЮНИТИ-ДАНА, 2005 295 с.
2. Поттосина С. А., Журавлев В. А. " Экономико-математические модели и методы" Учебное пособие для студентов экономических специальностей, 2003. – 94 с.
3. Экономико-математические модели и методы / Под общей ред. А.В. Кузнецова. – Мн.: БГЭУ, 2000.
4. http://slovari.yandex.ru/dict/lopatnikov/article/lop/lop-0879.htm
5. http://www.sseu.ru/edumat/v_mat/course2/razd10_2/par10_4k2.htm