Модель межотраслевого баланса Леонтьева

Модель  межотраслевого баланса Леонтьева 

    Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

    Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

    Введем следующие обозначения:

x_i – общий (валовой) объем продукции i-ой отрасли (i=1,2,…,n);

x_ij – объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью в процессе производства (i,j = 1,2,…,n);

y_i – объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления.

    Так как валовой объем продукции  любой i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями конечного продукта, то:

x_i = (x_i1+x_i2+…+x_in) + y_i, i=1,2,…, n

    Эти уравнения (их n штук) называются соотношениям баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения имеют стоимостное выражение.

    Введем  коэффициенты прямых затрат:  

Они характеризуют  затраты i-ой отрасли на производство единицы стоимости продукции j-ой отрасли.

    Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты a_ij будут постоянными. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

x_ij=a_ijx_j, (i,j=1,2,…, n).

Поэтому построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной. Теперь соотношения баланса можно записать так:

x_i=(a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n)+y_i, (i=1,2,…, n)

    Обозначим  

где X – вектор валового выпуска;

A – матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица);

Y – вектор конечного продукта. Тогда соотношения баланса можно записать в виде матричного уравнения:

X = AX + Y.

    Основная  задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

    Перепишем матричное уравнение в виде:

(E–A) X = Y

    Если  матрица (E–A) невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю, то

X = (E–A)^-1Y.

    Матрица S = (E–A)^-1 называется матрицей полных затрат, а коэффициенты s_ij называются коэффициентами полных материальных затрат. Причем каждый элемент s_ij есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

    В соответствии с экономическим смыслом  задачи значения x_i должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях y_i и a_ij.

    Матрица A называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E–A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

    Существует  несколько критериев продуктивности матрицы A. Один из них говорит о том, что матрица A продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.  

    Пример. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.:

    Вычислим необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а в отрасли машиностроения сохранится на прежнем уровне.

    Решение. Имеем

x₁=100, x₂=150, x₁₁=7, x₁₂=21, x₂₁=12, x₂₂=15, y₁=72, y₂=123.

    Коэффициенты прямых затрат:

a₁₁=0,7, a₁₂=0,14, a₂₁=0,12, a₂₂=0,1.

    Матрица прямых затрат: 

Она является неотрицательной и удовлетворяет критерию продуктивности:

max{0,17 + 0,12; 0,14 + 0,1}=max{0,19; 0,24} = 0,24 < 1.

    Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X=(E–A)^-1Y.

    Определим матрицу полных затрат S=(E–A)^-1: 

    Так как |E−A|=0,8202, то  

    По  условию вектор конечного продукта: 

    Тогда по формуле X=(E–A)^-1Y получаем вектор валового выпуска: 

т.е. валовой  выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179 усл.ед., а в машиностроительной – до 160,5 усл.ед. 

    Динамическая  модель межотраслевого баланса. В динамической модели из состава конечного продукта выделяются инвестиции в основной капитал, которые рассматриваются как функции прироста производства за период времени от момента до . Это позволяет в рамках одной модели отражать взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития.

    Динамическую  модель можно представить в виде: 

    В матричном виде. Если , , , 
 

где  – объем чистого продукта конечного использования i-й отрасли;

  – коэффициент вложений фондообразующей отрасли i на инвестиционные цели отрасли j;

  – поставка продукции  фондообразующей  отрасли i на инвестиционные цели отрасли j;

  – прирост валовой  продукции j-й отрасли.

    Таким образом, коэффициент  показывает, сколько продукции i-й отрасли должно быть вложено в j-ю отрасль для увеличения продукции j-й отрасли на единицу.

    Для решения задачи оценки объемов производства на основе конечного продукта решим  уравнение: