Модель Леонтьева (уравнение межотраслевого баланса)

Лабораторная  работа №2

“Модель Леонтьева (уравнение межотраслевого баланса)”

Студентки гр.ДАП-1 Федорович Дарьи

Научная деятельность Леонтьева

Прежде чем перейти  непосредственно к анализу метода «затраты-выпуск», получившего в  отечественной науке название межотраслевой  баланс, хотелось бы проследить жизненный  путь человека, с чьим именем он связан.

 Возникновение и развитие метода «затраты-выпуск» в его современном варианте неразрывно связано с именем В. Леонтьева. Леонтьев, по всеобщему признанию, один из самых выдающихся ученых-экономистов 20-го столетия. Международная “Энциклопедия общественных наук” сравнивает его вклад с той ролью, какую в теории экономики сыграли Адам Смит и Джон Мейнард Кейнс, а этих гигантов можно, пожалуй, назвать соответственно Ньютоном и Эйнштейном этой науки.

   Леонтьев родился  в Петербурге, где посещал университет;  затем он уехал в Берлин  для завершения работы над  диссертацией. В США он прибыл  в 1931 г. в качестве сот рудника  Национального бюро экономических  исследований, где он продолжил  работу над анализом по схеме  затраты – выпуск. В 1931 г. он  поступил на работу в Гарвардский  университет, профессором которого  он являлся с 1946 г. Когда  Бюро статистики труда Министерства  труда США в связи с потребностями,  обусловленными войной, приступило  к построению большой таблицы  затраты - выпуск, Леонтьев участвовал  в этой работе в качестве  специального консультанта.

   В. Леонтьев обращается в ЦИК СССР с просьбой о выходе из советского гражданства. Его просьба была удовлетворена, и спустя некоторое время В. Леонтьев стал гражданином США. Жизнь показала, что он сохранил доброе отношение к Родине, доказав это своими поступками.

  В Гарвардском университете В. Леонтьев делает заявку на исследование с целью построения таблицы «затраты-выпуск» для США. Комитет, распределяющий финансы, полагает это утопической затеей, но все же выделяет небольшую сумму для одного технического сотрудника. В. Леонтьев приступает к реализации своего главного научного замысла. Он проводит огромную работу по сбору данных о затратах на производство, потоках товаров, распределении доходов, структуре потребления и инвестиций и т.д., используя различные статистические переписи, запрашивая правительственные службы, частные фирмы, банки. Результатом этой работы стала 44-отраслевая таблица «затраты-выпуск» США за 1919 г. На ее основе В. Леонтьев впервые в мире проводит расчеты по системе уравнений межотраслевых связей, определяет полные народнохозяйственные затраты.

  Имевшиеся тогда вычислительные  устройства позволяли решать  системы, содержащие не более  10 линейных уравнений; поэтому  В. Леонтьеву пришлось агрегировать  исходную 44-отраслевую таблицу в матрицу 10 х 10.

   Принцип В. Леонтьева  - публиковать только работы с  полным количественным анализом. Поэтому первую статью о методе  «затраты-выпуск» он издал только  в 1936 г. («Количественные соотношения  «затраты-выпуск» в экономической  системе Соединенных Штатов»); главной  частью статьи был анализ балансовой  таблицы за 1919 г. Далее темп  исследований и их обобщений  заметно ускорился. Вместе с  группой сотрудников В. Леонтьев  завершил работу над балансом  США за 1929 г. и в 1941 г. выпустил  книгу «Структура американской  экономики, 1919 — 1929», признанную  впоследствии классической .

 В 1948 г. В. Леонтьев основал Гарвардскую лабораторию экономических исследований, которая стала научным центром по дальнейшей разработке и практическому применению метода «затраты-выпуск». Лаборатория получала крупные субсидии из частных фондов и от государственных организаций. Для работы были привлечены одаренные и энергичные ученые, впоследствии значительно продвинувшие теорию и методологию межотраслевого анализа. В. Леонтьев оставался директором лаборатории вплоть до ее закрытия в 1973 г.

   В 1951 г. выходит  вторая монография В. Леонтьева  «Структура американской экономики. 1919 — 1939», в 1953 г. — книга  «Исследования структуры американской  экономики», подготовленная им вместе  с группой сотрудников Гарвардской  лаборатории. Обе работы были  переведены на несколько языков; метод В. Леонтьева завоевал международное признание.

    Таким образом,  в 60—70-х годах метод «затраты—выпуск»  и анализ межотраслевых балансов  получили всеобщее признание  в мировой экономической науке  и стали обычными в статистической  практике. Когда с 1969 г. началось  присуждение Нобелевских премий  по экономике, Леонтьев закономерно  оказался одним из первых кандидатов. Он стал лауреатом в 1973 г.  с такой формулировкой научных  заслуг: “за развитие метода затраты—выпуск  и за его применение к важным  экономическим проблемам”.

    Леонтьев неоднократно  бывал в России и поддерживал  тесные творческие отношения  с Центральным экономико-математическим  институтом (Москва), Государственным  Московским университетом, имел  творческие встречи в Госплане, ЦСУ, Центральном банке СССР.

 СССР и Россия постоянно находились в сфере его интересов и внимания, что он поддерживал тесные контакты с российскими учеными и по мере сил помогал им.   Леонтьеву было приятно знать, насколько его ценят и уважают в России.

    Теперь же перейдём  непосредственно к анализу содержания  модели Леонтьева. 

 

Содержание модели межотраслевого баланса

  Классическая модель Леонтьева имеет следующие особенности:

рассматривается экономика, состоящая из "чистых" отраслей, т.е. когда каждая отрасль выпускает  один и только свой вид продукта;

взаимосвязь между выпуском и затратами описывается линейными  уравнениями (линейная и постоянная технология);

вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные  задачи потребителей;

вектор выпуска товаров  вычисляется, исходя из спроса, т.е. отсутствуют  как таковые оптимизационные  задачи фирм;

равновесие понимается как  строгое равенство спроса и предложения, т.е. стоимостной баланс отсутствует, более того, цены товаров в модели не рассматриваются вообще.

 Цель построения модели  Леонтьева - анализ перетока товаров  между отраслями экономики, обеспечивающего  такое функционирование производственного  сектора, когда объем выпуска  соответствует суммарному (т.е. производственному  и конечному) спросу на товары. Поэтому экономика рассматривается  в разукрупненном до уровня  отраслей виде. Предполагается, что  каждая отрасль является "чистой", т.е. выпускает только один  и только свой продукт. Это  допущение и ряд других упрощений  (постоянство технологии производства, отсутствие инвестиций, игнорирование  невоспроизводимых ресурсов и  др.) касаются, в основном, исходной  модели. Их не следует относить  к недостаткам модели, ибо она  в дальнейшем обобщается и  конкретизируется до разных уровней детализации.

     Основу информационного  обеспечения балансовых моделей   в экономике составляет матрица  коэффициентов затрат ресурсов  по конкретным направлениям их  использования. В модели межотраслевого  баланса такую роль играет  так называемая технологическая  таблица – таблица межотраслевого  баланса, составленная из коэффициентов  прямых затрат на производство  единицы продукции в натуральном  выражении. Предполагается, что для  производства единицы продукции  j-той отрасли требуется определённое  количество затрат промежуточной  продукции i-той отрасли, равное aij. Оно не зависит от объёма  производства в отрасли и является  довольно стабильной величиной  во времени. Величины aij называются  коэффициентами прямых материальных  затрат и рассчитываются следующим  образом: 

 

aij = xij / Xj , (i,j = 1, 2,...,n)                 (1)

Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-той отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-той отрасли.

С учётом формулы  (1) систему  уравнений баланса можно переписать в виде:

Хi = (ai1 x1 + ai2 x2 + ... + ain xn) + Yi ,

(i = 1, 2,...,n), или 

Xi= ?aijXj+Yi     (2)

если  ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов  прямых материальных затрат А, вектор-столбец  валовой  продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:

 

|| x1 ||                 || a11 a12 ... a1n  ||              || y1 ||

 

|| x2 ||                 || a21 a22 ... a2n  ||              || y2 ||

 

        X =    || ...  ||,      A =  || ... ... ...           ...  || ,    Y =  || ... || ,

 

|| xn ||                 || a1n a2n ... ann  ||              || yn ||

то система уравнений (2) в матричной форме примет вид:

X=AX+Y        (3)

Данное  уравнение, где A - постоянная технологическая матрица и называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение AX как затраты, эту систему часто называют моделью "затраты-выпуск”.

С помощью этой модели можно  выполнять  три варианта расчетов:

задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Хi), можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли (Yi):

Y= (E-A)X,   (4)

(при  этом  E обозначает  единичную матрицу n-го порядка).

Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

X=(E-A)  Y,  (5)

(при  этом  (E-A )-1  обозначает матрицу, обратную (E-A)).

Для ряда отраслей задав величины валовой  продукции, а для всех остальных  отраслей задав объёмы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции  первых отраслей и объёмы валовой  продукции вторых, в этом варианте расчёта удобнее пользоваться не матричной формой модели (3), а системой линейных уравнений (2).

        Итак, основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Переписав  матричное уравнение в виде:

(E - A) X = Y,

можно сделать  следующие выводы:

Если матрица (E - A) невырожденная (т.е. если ее определитель не равен нулю),  тогда имеем:

X = (E - A) -1 Y               (6)

Обозначим обратную матрицу В =   (E - A)-1

Эта матрица В = (E - A)-1 называется матрицей полных затрат. В матричной  форме уравнение (5) теперь запишется как:

X=BY  (7)

Элементы матрицы  В  будем обозначать через bij, тогда  из матричного уравнения (7) для любой i-той отрасли можно получить следующее соотношение:

Xi =?biYj, I=1…n 

В отличие от коэффициентов  прямых затрат aij коэффициенты bij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных  непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся  к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

        Чтобы выяснить экономический  смысл элементов матрицы В = (bij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта:

 

       || 1 ||          || 0 ||               || 0 ||

 

       || 0 ||            || 1 ||              || 0 ||

 

Y1 = ||... ||, Y2 = ||....||,  Yn =  ||... || .

 

       || 0 ||           || 0 ||               || 1 ||

 

Тогда соответствующие векторы  валового выпуска будут:

 

         ||s11||                ||s12||                                  ||s1n||

 

         ||s21||                ||s22||                                  ||sn2||

 

Y1 = ||..  .||,        Y2 =||...  ||,       ,                Yn = ||...  ||.

 

        ||sn1||                ||sn2||                                ||snn||

 

          Следовательно, каждый элемент  bij матрицы B есть величина валового  выпуска продукции i-й отрасли,  необходимого для обеспечения  выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли.

         В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях yi и aij.

        Необходимо отметить, что прежде чем воспользоваться методом Леонтьева, нужно определить продуктивна ли матрица. Матрица А называется продуктивной, если для любого вектора Y существует решение X уравнения (E - A) X = Y. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

       Существует несколько  критериев продуктивности матрицы  А. Один из них говорит о том, что  матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит  единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы. Но данное условие является только достаточным.