Модель Леонтьева (уравнение межотраслевого баланса)

      К необходимым же и достаточным условиям относят следующие:

матрица (E-A) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (E-A) ?0;

матричный ряд  E + A +A?+A? +…=? A? сходиться, причём его сумма равна  обратной матрице (E-A);

      Вычислительные аспекты решения задач на основе модели межотраслевого баланса будут продемонстрированы в заключительной  главе курсовой работы. Основной объём расчётов по этой модели связан с вычислением матрицы коэффициентов полных материальных затрат.

      Рассмотренная выше межотраслевая модель является статической, т.е. такой в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени. Такие модели могут разрабатываться лишь для отдельно взятых периодов, причём в рамках данных моделей не устанавливается связь с предшествующими или последующими периодами. Народнохозяйственная динамика отображается, таким образом, рядом независимо рассчитанных моделей, что вносит определённые упрощения и сужает возможности анализа. К числу таких упрощений прежде всего следует отнести то, что в статических межотраслевых моделях не анализируется распределение, использование и производственная эффективность капитальных вложений. Капиталовложения вынесены из сферы производства в сферу конечного использования вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т.е. включены в конечный продукт.

Достоинства и  недостатки леонтьевского метода

Достоинства метода:

Позволяет планировать отрасли  системно с учетом места и веса каждой отрасли.

Дает возможность планирования на ряд лет, позволяя найти пути подъема, как всей экономики страны, так  и отдельных отраслей. (Успехи Леонтьева  в Германии и Японии после войны.) Практическое применение метода затраты  выпуск достаточно широко. В США  после Второй мировой войны по руководством Леонтьева составлена матричная таблица включающая 400 отраслей экономики США. Результаты экономического анализа были использованы для прогнозирования занятости  населения в послевоенный период. Модели Леонтьева позволили смягчить топливный кризис 1970 года, продовольственный 1972-74 годов, экологический конца 70-х  начала 80-х годов.)

Недостатки:

Опора на матрицу коэффициентов  полных затрат приводит к трудоемкому  процессу сбора и обработки большого объема статистической информации. Процесс  производится с периодичностью 5 лет, что не дает полной картины динамики отрасли.

Нет учета технологических  изменений в отраслях за период между  сбором информации о матрице затрат.

Практическое  применение метода Леонтьева

    Макроэкономика  функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Пусть производственная сфера хозяйства представляет  собой отрасли,  каждая из  которых производит свой  однородный  продукт. Для обеспечения своего  производства  каждая отрасль нуждается в продукции других  отраслей (производственное  потребление). Обычно  процесс производства  рассматривается за  некоторый промежуток времени, например, за год. 

Обозначим

xi –  общий (валовый)  объем продукции  i–й отрасли; 

xij –  объем продукции  i–ой отрасли,  потребляемой  j–ой отраслью при производстве  объема продукции; 

          xj,  yi  – объем продукции i–ой   отрасли, предназначенной для   реализации в непроизводственной  сфере,  так называемый продукт конечного потребления.  

Имеет место соотношение  баланса: 

(продукция i–й отрасли,  используемая другими отраслями  в процессе производства и  потребления).

Коэффициенты  прямых  затрат показывают  затраты  продукции

i–й  отрасли на производство  единицы  продукции j-й отрасли.  Считается, что aij = const. Тогда  

 Если вектор валового  выпуска    матрица прямых  затрат  (структурная матрица)  вектор конечного продукта, получаем  матричное уравнение

Или уравнение межотраслевого баланса.

Матрица А, все элементы которой  неотрицательны,  называется продуктивной, если для любого вектора Y с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (1) или (2) – вектор  X , все элементы, которого неотрицательны. Матрица   - матрица полных затрат. 

Первый  критерий продуктивности. Матрица продуктивна  тогда и 

только  тогда, когда существует матрица  и ее элементы неотрицательны. 

Второй  критерий продуктивности. Матрица А  с неотрицательными

элементами  продуктивна,  если  сумма  элементов  по  любому  ее столбцу

(строке)  не  превосходит   единицы  ,  причем  хотя  бы  для одного 

столбца (строки) эта сумма  строго меньше единицы.

Если  матрица  коэффициентов  прямых  затрат  А  является  продуктивной, то существует матрица , являющаяся суммой сходящегося матричного ряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Отчёт по лабораторной  работе

Рассмотрим затраты 7-ми отраслей экономики Японии за 1980 г. (сельское, лесное и рыбное хозяйство, тяжёлую  промышленность, лёгкую промышленность, строительство, энергетику, транспорт и сферу услуг).

Дана технологическая  матрица А:

 

Каждый элемент матрицы  aij представляет собой количество товара i-й отрасли, которое требуется в качестве производственного ресурса для выпуска единицы товара в j-й отрасли.

Дан вектор-столбец конечного  использования продукции каждой отрасли Y

Для того, чтобы найті  вектор X необходимо воспользоваться формулой X:=(E-A)^-1 *Y. Для этого найдём матрицу (Е-А) и обратную к ней матрицу (Е-А)^-1

Коэффициенты матрицы (Е-А)^-1 показывают полные затраты каждой отрасли, т.е. валовую продукцию i-ой отрасли, необходимую для производства одной единицы конечной продукции j-q отрасли. Например, для производства одной единицы продукции в тяжёлой промышленности (второй столбец) необходимо затратить 0,435 единиц валовой продукции лёгкой промышленности (третья строка).

 

Элементы вектора X – отражают валовую продукцию отраслей. Например, в отрасли “сфера услуг” было предоставлено 1,873*10⁵ услуг.

Если увеличить конечное потребление на 10%, т.е. вектор У станет выглядеть следующим образом:

 Вектор валового выпуска  получится следующим:

Можно заметить, что при  увеличении спроса на продукцию какой-либо отрасли выпуск (предложение) этой отрасли увеличится. Применительно к сфере услуг, количество предоставляемых услуг возрастает до 2,06*10⁵, т.е. увеличиться на 9,98%.

Таким образом, модель Леонтьева  можно применять  в качестве прогнозной модели выпуска каждой отрасли, если знать предпочтения потребитель (величину спроса).