Динамические линейные модели экономики: модель динамического межотраслевого баланса и модель Неймана

рассматриваемых единицах измерения. Коэффициенты ϕij называются

коэффициентами  капитальных вложений или коэффициентами приростной

фондоемкости. Систему уравнений (1) с учетом (2) можно записать как:

       (3)

Представим (3) в матричном виде:

                                      (4)

Из (4) следует, что

  (5)

    Модель (3) называется дискретной динамической моделью межотраслевого баланса Леонтьева. Система уравнений (3) представляет собой систему линейных разностных уравнений 1-го порядка. Для исследования данной модели надо задать в начальный момент времени векторы X(0) и Y(t) для t = 1, 2, …, T. Решением модели будут значения векторов X(t), K(t), t = 1, 2, …, T.

Условием  разрешимости системы (3) относительно вектора Х(t) является требование det (E − A − Ф) ≠ 0

    В данной модели предполагается, что  прирост продукции в периоде

(t – 1, t) обусловлен капиталовложениями, произведенными в том же периоде.

    Для коротких периодов это предположение  нереально, т.к. существуют

отставания  во времени (временные лаги) между  вложением средств в

производственные  фонды и приростом выпуска  продукции. Модели,

учитывающие лаги капитальных вложений, образуют особую группу

динамических  моделей межотраслевого баланса.

Если  перейти к непрерывному времени, то уравнения (3) перепишутся в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами:

                                                                (6)

    Для ее решения помимо матриц коэффициентов  текущих прямых

материальных  затрат A = (aij) и коэффициентов капитальных затрат Ф = (ϕij)

необходимо  знать уровни валового выпуска в  начальный момент времени

t = 0 (x(0)) и закон изменения величин конечного продукта y(t) на отрезке [0,T].

    Решением  системы уравнений (6) будут значения вектор-функции x(t)

на  отрезке [0, T]. Условием разрешимости системы (6) является det Ф ≠ 0 .

    Более общей динамической межотраслевой моделью является модель,

учитывающая производственные мощности отраслей. Она представлена ниже в виде следующих соотношений:

                                                                               (7)

                                                                                                        (8)

                                                                                                 (9)

                                                     (10)

    Состояние экономики в году t характеризуется в динамике следующими

переменными:

Хt – вектор-столбец валовых выпусков отраслей;

vt – вектор ввода отраслевых мощностей;

γ − диагональная матрица выбытия мощностей;

x t – вектор-столбец отраслевых мощностей (максимально возможных выпусков);

lt =(l₁ , l₂ ,..., l_n )t вектор трудоемкости отраслевых производств, может зависеть от времени;

Lt – объем трудовых ресурсов в экономике.

    Время в модели дискретно и изменяется через промежутки, равные году

(t = 1, 2, …, T). Коэффициенты матрицы прямых затрат А = ║аij║ и матрицы

капиталоемкости прироста производственных мощностей Ф = ║фij║ могут

зависеть  от времени. Экзогенно заданы вектор-функция Yt и числовая функция Lt. Решением модели являются векторы Хt и x t , удовлетворяющие системе неравенств (7)-(10).

    Неравенства (7) показывают, что вектор валового продукта Xt должен

обеспечивать  текущие производственные затраты  AХt, затраты продукции на

ввод  производственных мощностей ФVt и на непроизводственное потребление Yt. Неравенства (8) ограничивают валовые выпуски отраслей наличными мощностями, неравенства (9) представляют собой отраслевые балансы изменения производственных мощностей с учетом их выбытия и ввода, неравенства (10) показывают, что общая занятость ограничена имеющимися трудовыми ресурсами. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     1. 2. Построение динамической модели Леонтьева

     Определим величины, характеризующие изменения валового выпуска 5 отраслей по 7 временным интервалам.

 

     Теперь  воспроизведем матрицу D. Коэффициент d_ij матрицы D равен количеству продукции отрасли i, необходимой для увеличения на единицу (в стоимостном выражении) фонда отрасли j. Коэффициенты d_ij именуются коэффициентами капиталоемкости приростов ОПФ.