Построение графика функции

ПРОИЗВОДСТВО 

Изокванты и предельная производительность

Хотя предмет теории производства иной – проблемы производственной деятельности предприятий, ход рассуждений  здесь очень близок к теории потребления. Функциям полезности и кривым безразличия, описывающим потребление, соответствуют производственные функции и изокванты, описывающие производство. Более того, свойства этих функций и формы кривых одинаковы. Следовательно, в программах построения графиков кривых безразличия и приближенных вычислений по методу численного дифференцирования, составленных нами для исследования потребления, достаточно поменять лишь заголовки, названия переменных и определения функций, чтобы применить весь арсенал уже имеющихся у нас средств для анализа производства. Прежде чем обратиться к программе, сделаем небольшие пояснения по поводу производственных функций и изоквант, и тогда все сказанное выше сразу станет понятным.

Начнем с того, что  определим производственную деятельность как процесс, в ходе которого предприятия  затрачивают различные ресурсы – вещественные блага и услуги (факторы производства), например труд и капитальное оборудование, и в результате выпускают разнообразную, ориентированную на рынок продукцию (продукты производства). Отправной точкой теории производства является идея о том, что технологически эффективная производственная деятельность предприятия, в ходе которой для выпуска, например, одного вида продукции Y затрачивается два вида ресурсов может быть описана с помощью производственной функции . Если для фиксированного выпуска Y изобразить на плоскости все возможные сочетания необходимых ресурсов , мы получим кривую, называемую изоквантой. Так же как и для функций полезности и кривых безразличия, можно выделить по крайней мере четыре типа производственных функций и изоквант.

1. Функции с полным взаимозамещением  ресурсов, например,

.

2. Неоклассическая производственная  функция, например,

 .

3. Функции с полным взаимодополнением  ресурсов, например,

.

4. Функции смешанного типа, например,

.

Нетрудно заметить, что  формы этих функций полностью  совпадают с формами функций полезности. Если говорить о неоклассической производственной функции, то понятию предельной полезности из теории потребления в теории производства соответствует понятие предельной производительности , которое является здесь одним из ключевых. Законы же убывающей предельной полезности и убывающей предельной нормы замещения потребительских благ в теории производства сформулированы как закон убывающей предельной производительности и закон убывающей предельной нормы взаимного замещения ресурсов. Первый из них гласит, что при росте затрат одного из ресурсов (первого или второго) его предельная производительность, или , падает. Если представить этот факт в виде формулы, то мы получим

.

Предельная норма замещения (MRS) ресурсов – это предельное отношение замены первого ресурса вторым, – , в ситуации, когда при постоянном выпуске Y сокращение затрат первого ресурса на – dX₁ компенсируется ростом затрат второго ресурса на dX₂. Подобно теории потребления, это отношение равно отношению частных производных производственной функции, т. е. предельных производительностей ресурсов:

Изокванты неоклассической  производственной функции, также как и кривые безразличия, являются гладкими вогнутыми кривыми, а предельная норма замещения ресурсов MRS постепенно убывает.

Как уже говорилось, для  графического представления изоквант, предельных производительностей и  предельной нормы замещения, а также  для выполнения численного дифференцирования вполне достаточно применить те же средства, которые использовались нами в теории потребления. Чтобы получить программу построения изоквант, необходимо в программе построения кривых безразличия поменять старое название графика на «Изокванты» и переименовать переменные U, Y1, Y2 и В на Y, X1, Х2 и А соответственно (попробуйте мысленно представить себе кривые безразличия как изокванты).

Поскольку предельные вычисления в теории производства играют очень  важную роль, мы рассмотрим здесь исправленный вариант написанной нами ранее программы, которая выполняет аналогичные вычисления.

 

Задача

Составим программу, позволяющую  при фиксированном значении производственной функции вычислить предельную производительность каждого из ресурсов, а также предельную норму замещения ресурсов. В качестве конкретной производственной функции возьмем функцию Кобба-Дугласа:

.

Список переменных:

X1 = X₁ ; X2= X₂ ;

MR = MRS – предельная норма замещения;

D1 =

; D2= ;

Н – шаг дифференцирования (h).

Комментарии

2. Производственная функция  Кобба-Дугласа – самая известная  из всех производственных функций  неоклассического типа – была  открыта в 20-х годах нашего  века экономистом Дугласом в сотрудничестве с математиком Коббом и получила широкое применение в эмпирических исследованиях. В нашу программу включена производственная функция, оцененная Дугласом на основе данных по обрабатывающей промышленности США. Y – индекс производства, X₁ и Х₂ – соответственно индексы наемной рабочей силы и капитального оборудования. Если считать, что X₁ и Х₂ – это затраты труда и капитала, то, используя производственную функцию Кобба-Дугласа , предельную производительность и предельную норму замещения можно представить следующим образом.

Предельная производительность труда: .

Предельная производительность капитала: .

Предельная норма замещения: .

Рекомендуем вам сравнить результаты, полученные путем численного дифференцирования, с результатами вычислений по этим формулам.

3. Подобно тому, как предельная  норма замещения в теории потребления  равна отношению цен потребительских  благ (относительной цене), в теории производства предельная норма замещения равна отношению факторных цен ресурсов. Кроме того, в микроэкономической теории производства считается, что предельная производительность труда равна цене труда (заработной плате), а предельная производительность капитала – цене услуг капитальных благ (рентным платежам).

Предпосылкой для такого вывода является то, что предприятия составляют свои производственные планы (Y, X₁, Х₂), руководствуясь прежде всего принципом максимизации прибыли. Если обозначить через р, q₁ и q₂ соответственно цены продукции, первого и второго ресурсов, то оптимальным производственным планом для предприятия будет решение ( ) задачи максимизации прибыли П = при ограничении Y = F(X₁, X₂). Выполнив необходимые подстановки, имеем П = . Продифференцировав это выражение по каждому из факторов производства, мы получим формальное подтверждение сделанному ранее выводу. Иными словами, поскольку

то, сократив p, мы убеждаемся, что

.

Теория производства. Графики

Используя краткосрочную производственную функцию неоклассического типа, изобразим  изокванты и изокосты, а также  графики средних и предельных затрат и проиллюстрируем таким  образом основы теории производства.

Задача

Составим программу, которая один за другим строит графики, изображающие следующие кривые.

1. Четыре изокванты (T = 1), используя для этого производственную функцию .
2. Четыре изокванты и четыре изокосты , являющиеся касательными к этим изоквантам (T =2).
3. Отрезок, соединяющий все четыре точки касания изокост и изоквант (траекторию точек касания, T = 3).
4. Кривую средних затрат, кривую предельных затрат и кривую предложения (T = 4). В качестве функции издержек возьмем

,

где C₀ – фиксированные издержки.

Список переменных и  функций:

Т              –   переменная выбора номера графика;

А(I) = ––   коэффициенты производственной функции ;

Y              –   выпуск;

Х(I) = Х_i  – затраты i-го ресурса;

Q(I) = q_i   – факторная цена i-го ресурса;

С              –   издержки;

С0 = С₀    – фиксированные издержки;

C1, C2, С3 – начальная, конечная величина издержек и величина шагового прироста издержек;

где , а – –– точка касания изокванты и изокосты;

 

где

Комментарии

1. Параллельные прямые  линии, отражающие отношение факторных  цен, q₂/q₁, изображенные нами на графике изоквант, называются изокостами. Траектория точек касания изоквант и изокост указывает такое сочетание ресурсов, при котором затраты, необходимые для каждого из выпусков, минимальны. Зная точку пересечения этой траектории с изоквантой, соответствующей выпуску , можно определить объем переменной части затрат, , необходимых для выпуска . Если к этому объему добавить фиксированные издержки, мы получим совокупные затраты, необходимые для производства продукции. Сказанное является схематичным описанием краткосрочной функции издержек. Таким образом, краткосрочная функция издержек производства выражает отношение затрат и выпуска для того случая, когда при минимизации издержек регулируется только их переменная часть.

2. Издержки производства  на единицу выпуска, C/Y, называют средними затратами (АС). Возьмем следующие производственную функцию и функцию издержек:

и

.

Учитывая, что dX₂/dX₁=q₁/q₂, после сокращения в этих формулах X₁ и X₂ получим

где .

В отличие от средних  затрат предельными затратами (МС) называется производная совокупных издержек по выпуску, dC/dY. Для выбранных нами производственной функции и кривой затрат

Учитывая, что точка  пересечения АС и МС определяется по формуле

можно построить и кривую предложения, являющуюся частью кривой предельных затрат.

Замечание

 «Краткосрочная производственная  функция» описывает производственный цикл, начинающийся с момента, когда предприятие, обладающее неизменными факторами производства, начинает осуществлять на их основе производство, и заканчивающийся моментом выхода предприятия со своей продукцией на рынок. В противоположность краткосрочной функции «долгосрочная производственная функция» описывает период, достаточный для принятия и реализации решений по поводу инвестиций, наращивания (сокращения) основных производственных фондов и изменения их структуры. В долгосрочной производственной функции все без исключения факторы производства рассматриваются как переменные затраты.

 

Программа

'   ТЕОРИЯ ПРОИЗВОДСТВА

Option Explicit

Dim X0, Y0, XX, YY, SX, SY, X1, AD, XP, BB, C0

Dim A(2), X(2), Q(2)

 

 

Private Sub Form_Load()

  ScaleMode = 3   ' устанавливаем  измерение в пикселях.

  X0 = 100 'ось Y от левого края

  Y0 = 800

  XX = 400

  YY = 400

  X1 = 1

  XX = 500

  YY = 500

  SX = XX / (600 - X0)

  SY = YY / (Y0 - 16)

  FontSize = 10   ' устанавливаем  размер фонта.

  FontName = Screen.Fonts(5) 'устанавливаем  фонт Sans Serif

  A(0) = 1: A(1) = 0.15: A(2) = 0.2

  Q(1) = 6: Q(2) = 4: C0 = 20

  AD = A(1) + A(2)

End Sub

'ИЗОКВАНТЫ

Private Sub Command1_Click()

  Dim C, C0, C1, C2, C3, I, Y

  'Dim I, IT, I1, I2, I3, YZ

  'Dim Y(2)

 

Call Osi(X0, Y0)

  CurrentX = 300

  CurrentY = 20

 

Print "ИЗОКВАНТЫ"

  CurrentX = 300

  CurrentY = 40

  Print "Y ="; A(0); " *Х(1)^"; A(1); "*Х(2)^"; A(2)

  C0 = 6: C1 = 500: C2 = 2000: C3 = 500

For C = C1 To C2 Step C3

  For I = 1 To 2

    X(I) = C * A(I) / Q(I) / AD

  Next I

  BB = X(1) ^ A(1) * X(2) ^ A(2)

  For XP = X1 To XX Step SX

    Y = (BB / XP ^ A(1)) ^ (1 / A(2))

    PSet (XP / SX + X0, Y0 / 2 - Y / SY / 2), 1

  Next XP

Next C

End Sub

 

'ИЗОКВАНТЫ ИЗОКОСТЫ

Private Sub Command2_Click()

   Dim C, C0, C1, C2, C3, I, Y

 

Call Osi(X0, Y0)

  CurrentX = 300

  CurrentY = 20

  Print "ИЗОКВАНТЫ ИЗОКОСТЫ"

  CurrentX = 300

  CurrentY = 40

  Print "ИЗДЕРЖКИ"; Q(1); "*Х(1)+"; Q(2); "*Х(2)"

    C0 = 6: C1 = 500: C2 = 2000: C3 = 500

For C = C1 To C2 Step C3

    DrawWidth = 2   ' Толщина  линий

  Line (X0, Y0 / 2 - C / Q(2) / SY / 2)-(C / Q(1) / SX + X0, Y0 / 2), 1

  For I = 1 To 2

    X(I) = C * A(I) / Q(I) / AD

  Next I

  BB = X(1) ^ A(1) * X(2) ^ A(2)

  For XP = X1 To XX Step SX

    Y = (BB / XP ^ A(1)) ^ (1 / A(2))

    PSet (XP / SX + X0, Y0 / 2 - Y / SY / 2), 1

  Next XP

Next C

 

For C = 400 To 2100 Step 5

  For I = 1 To 2

    X(I) = C * A(I) / Q(I) / AD

  Next I

  BB = X(1) ^ A(1) * X(2) ^ A(2)

    Y = (BB / XP ^ A(1)) ^ (1 / A(2))

    PSet (X(1) / SX + X0, Y0 / 2 - X(2) / SY / 2), 1

Next C

End Sub

'ИЗДЕРЖКИ

Private Sub Command3_Click()

   Dim C, C0, C1, C2, C3, I, Y, AA

 

Call Osi1(X0, Y0)

  CurrentX = 300

  CurrentY = 20

Print "ИЗДЕРЖКИ"; Q(1); "*X(1)+"; Q(2); "*Х(2)+"; C0

X1 = 0.3

XX = 3

YY = 40

SX = XX / (600 - X0)

SY = YY / (Y0 - 16)

'КРИВАЯ СРЕДНИХ ИЗДЕРЖЕК

AA = A(0) * (A(2) / A(1) * Q(1) / Q(2)) ^ A(2)

C0 = 6

For XP = X1 To XX Step SX

  Y = (Q(1) * AD / A(1) * (XP / AA) ^ (1 / AD) + C0) / XP

  PSet (XP / SX + X0, Y0 / 2 - Y / SY / 2), 1

Next XP

'КРИВАЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ  ИЗДЕРЖЕК

C0 = 2

For XP = X1 To XX Step SX

  Y = Q(1) / A(1) / AA * (XP / AA) ^ (1 / AD - 1)

  PSet (XP / SX + X0, Y0 / 2 - Y / SY / 2), 1

Next

'КРИВАЯ ПРЕДЛОЖЕНИЯ

X1 = AA * (A(1) / (1 - AD) * C0 / Q(1)) ^ AD

C0 = 5

DrawWidth = 2   ' Толщина  линий

ForeColor = QBColor(5)   ' Set pen color.

For XP = X1 To XX Step SX

  Y = Q(1) / A(1) / AA * (XP / AA) ^ (1 / AD - 1)

  PSet ((XP + 0.005) / SX + X0, Y0 / 2 - Y / SY / 2)

Next XP

End Sub

 

Private Sub Osi(X0, Y0)

    Cls

    DrawWidth = 1

    Line (X0, 16)-(X0, 450), 1

    Line (10, Y0 / 2)-(650, Y0 / 2), 1

    CurrentX = 60

    CurrentY = X0 / 8 - 3

    Print "X(2)"

    CurrentX = 600

    CurrentY = Y0 / 2 + 10

    Print "X(1)"

End Sub

Private Sub Osi1(X0, Y0)

    Cls

    DrawWidth = 1

    Line (X0, 16)-(X0, 450), 1

    Line (10, Y0 / 2)-(650, Y0 / 2), 1

    CurrentX = 60

    CurrentY = X0 / 8 - 3

   Print "C"