Построение графика функции

Page 1

ДОНБАССКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Кафедра «Экономической кибернетики и информационных технологий»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ №2
“ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМУМА”
ПО КУРСУ
“МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИКИ”
(для студентов экономических специальностей)
Утверждено
на заседании Кафедры ЭК и ИТ
протокол № 4 от 6.12.2002г.
Рекомендовано
на заседании Методического Совета
протокол № 4 от 20.01.2003г.

---

Page 2

2
ББК 3973.2-018
Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи №2 “Елементи
теорії екстремума” за курсом “Моделювання економіки” (для студентів еко-
номічних спеціальностей) / Укладач: С.І. Зайцев. – Алчевськ: ДГМІ, 2003. -
47с.
Розглянуто функції двох перемінних та їх лінії рівня. Описано взаємозв'я-
зок між градієнтом функції і лінією рівня. Сформульовано визначення локально-
го і глобального екстремумів функції двох і n перемінних. Дано різні методи по-
шуку локального і глобального умовних екстремумів, а також приведені за-
вдання для самостійної роботи, вимоги до звіту і сформульований ряд питань
для самоперевірки.
Укладач:
С.І. Зайцев, проф.
Під загальною редакцією проф. С.І. Зайцева
ББК 3973.2-018
Методические указания к выполнению лабораторной работы №2 “Эле-
менты теории экстремума” по курсу “Моделирование экономики” (для сту-
дентов экономических специальностей) / Cост.: С.И. Зайцев. – Алчевск:
ДГМИ, 2003. -47с.
Рассмотрены функции двух переменных и их множества (линии) уровня.
Описана взаимосвязь между градиентом функции и линией уровня. Сформули-
ровано определение локального и глобального экстремумов функций двух и n пе-
ременных. Даны различные методы поиска локального и глобального условных
экстремумов, а также приведены задания для самостоятельной работы, тре-
бования к отчёту и сформулирован ряд вопросов для самопроверки.
Составитель:
С.И. Зайцев, проф.
Под общей редакцией проф. С.И. Зайцева

---

Page 3

3
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМУМА
1 Ф
УНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ МНОЖЕСТВА
(
ЛИНИИ
)
УРОВНЯ
В функции двух переменных независимых переменных две, а не одна
как в случае функции одной переменной:
(
)
2
1
, x
x
f
y =
- функция двух переменных
1
x и
2
x .
Переменные x
1
и х
2
изменяются независимо друг от друга.
Если “независимых” переменных несколько
n
x
x
,
,
1
K
, имеем функцию
n переменных.
Пример 1. Функции
n
n
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
a
y
...
,
1
1
0
2
2
1
1
0
+
+
=
+
+
=
– ли-
нейные функции двух и n переменных.
Функции
n
n
n
n
x
x
x
a
y
x
x
y
x
x
y
x
x
y
α
α
α
...
,
,
...
,
2
1
2
1
0
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
=
−
=
+
+
=
+
=






=
n
n
b
x
b
x
b
x
y
,
,
,
min
2
2
1
1
K
являются нелинейными.
Графиком функции f двух переменных
1
x и
2
x называется множество
точек
(
)
2
1
, x
x
трехмерного пространства таких, что
(
)
2
1
, x
x
f
y =
, т.е. множе-
ство точек
(
)
2
1
2
1
,
,
,
x
x
f
x
x
. Обычно в экономических приложениях
0
1
>
x
,
0
2
>
x
. График Г функции двух переменных можно наглядно представить в
виде двумерной поверхности в трехмерном пространстве. Для функции трех
и более переменных понятие графика определяется аналогично как множест-
во точек (n+1) -мерного пространства
(
)
n
n
x
x
f
x
x
,....,
,
....
,
1
1
.
Пример 2. Построим график Г функции
0
,0
2
1
2/
1
2
2/
1
1
≥
≥
=
x
x
при
x
x
y
(эта функция представляет собой конкретный пример производственной
функции Кобба-Дугласа (ПФ КД), когда
2
1
2
1
=
= a
a
,
1
0
=
a
) (рис. 1).
2
x
1
x
H
1
1
2
1
=
+x
x
1
2
x
x =
2
1
x
x
y
=
=
Рисунок 1 – График функции Кобба-Дугласа
y

---

Page 4

4
Очевидно, при
0
1
≥
x
,
0
2
≥
x
график Г есть коническая поверхность,
образующие которой - лучи, выходящие из точки O, а направляющая есть
линия H (рис. 5). В вертикальной плоскости
1
2
1
=
+ x
x
линия H имеет урав-
нение
(
)
2
1
1
2
1
1
1 x
x
y
−
=
.
Пример 3. Построить график
Г
функции
4/
1
2
4/
1
1
x
x
y =
при
0
,0
2
1
≥
≥ x
x
(здесь
4
1
2
1
=
= a
a
,
1
0
=
a
) (рис. 2). В вертикальной плоскости
1
2
1
=
+ x
x
ли-
ния H имеет уравнение
(
)
4
1
1
4
1
1
1 x
x
y
−
=
.
В экономических приложениях широко используются понятия выпук-
лого множества и выпуклой функции двух и нескольких переменных. Снача-
ла приведём определение для случая, когда
2
=
n
.
Определение1.
Множество называется выпуклым, если оно вместе с двумя любыми
своими точками содержит отрезок, их соединяющий (рис. 3).
2
x
1
x
1
1
1
2
1
=
+x
x
1
2
x
x =
2
1
x
x
y
=
=
Рисунок 2 – График функции
4/
1
2
4/
1
1
x
x
y =
y
H
M
0
x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
x
0
x
1
x
2
x
M
Рисунок 3 – Выпуклое множество
Рисунок 4 – Невыпуклое множество

---

Page 5

5
Множество, которое не является выпуклым, называется невыпуклым
(рис. 4). Приведённое определение выглядит одинаково для случая двух пере-
менных и для случая
n
(нескольких) переменных.
Наглядно понятие выпуклого множества можно пояснить так: выпук-
лое множество - это множество, которое не имеет вмятин и дыр. На рис. 3
изображено выпуклое множество, на рис. 4 представлено невыпуклое множе-
ство M , которое имеет одну вмятину и одну дыру.
Определение 2.
Функция
( )
x
f
, определённая на выпуклом множестве M , называется
выпуклой вниз (вогнутой вверх), если для любых двух точек
0
x и
1
x из мно-
жества M и для любого числа
λ
,
1
0
≤
≤ λ
справедливо неравенство
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
1
0
1
0
1
1
x
f
x
f
x
x
f
λ
λ
λ
λ
+
−
≤
+
−
Например, функции
( )
,
3
2
2
1
1
a
x
a
x
a
x
f
+
+
=
( )
2
2
2
1
x
x
x
f
+
=
выпуклы
вниз на всём пространстве
2
E .
График
f
Г
выпуклой вниз функции
( )
x
f
расположен ниже (точнее не
выше) любой своей хорды (рис. 5).
Определение 3.
Функция
( )
x
g
, определённая на выпуклом множестве M , называется вы-
пуклой вверх (вогнутой вниз), если функция
( )
( )
x
f
x
g
−
=
, где функция
( )
x
f
выпукла
вниз.
Например,
функции
3
2
2
1
1
a
x
a
x
a
y
+
+
=
,
(
)
1
0
2
1
2
0
2
1
<
+
<
=
α
α
α
α
x
x
a
y
l
выпуклывверх.
1
x
2
x
y
1
x
λ
x
0
x
H
( )
(
)
0
0
,
x
f
x
(
)
( ) ( )
1
0
1
x
λf
x
f
λ
+
−
( )
λ
x
f
f
Γ
Рисунок 5 – Выпуклая вниз функция
( )
(
)
1
1
,
x
f
x

---

Page 6

6
Термины "выпуклый вниз" ("вогнутый вверх"), "выпуклый вверх"
("вогнутый вниз") применяются также к графикам соответствующих функций.
Для случая
2
>
n
приведённые определения функции выпуклой вниз и
выпуклой вверх переписываются с незначительными корректировками.
Множеством (чаще говорят - линией) уровня
q
(
q
- число, в экономи-
ческих приложениях
q
≥0) функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
называется множество (сово-
купность) всех пар
(
)
2
1
,x
x
такое, что
(
)
q
x
x
f
=
2
1
,
, т.е. во всех точках
(
)
2
1
,x
x
,
принадлежащих множеству уровня
q
, частное значение функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
одно и то же и равно
q
. Множество уровня q функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
обозначается символом
q
l
. На рис. 6 наглядно иллюстрируется
это важное математическое понятие.
Горизонтальная плоскость P пересекается с графиком Г по плоской го-
ризонтальной линии
q
L
, которая вся "зависает" над плоскостью
2
1
x
Ox
на высо-
те
q
. Проектируя
q
L
на плоскость
2
1
x
Ox
, получаем линию
q
l
, которая и есть
множество уровня
q
функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
. Специально отметим, что все
точки линии
q
L
принадлежат графику Г .
Множество всех множеств (линий) уровня функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
назы-
вается картой линий уровня функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
. По карте можно получить
довольно точное представление о характере графика Г функции
(
)
2
1
,x
x
f
.
Фрагмент карты линий уровня
(
)
2
1
, x
x
f
y =
функции, график Г которой
представлен на рис. 6, изображен на рис. 7.
1
x
2
x
y
1
q
q
2
q
1
q
L
q
L
2
q
L
Г
1
p
p
2
p
2
q
l
q
l
1
q
l
Рисунок 6 – Линии уровня

---

Page 7

7
График Г имеет вид "горки" (рис. 6), поэтому линия
2q
l
соответствует
уровню
2
q который больше уровня
q
, т.е.
q
q >
2
. Аналогично,
q
q >
1
. Таким
образом, если график Г имеет вид "горки", то линии уровня
2q
l
, располо-
женной северо-восточнее линии уровня
q
l
(или
1q
l
,), соответствует и боль-
ший уровень
2
q т.е.
q
q >
2
(
1
2
q
q > ). Вернои обратное (рис. 6).
Если линия
1q
l
(или линия
q
l
или линия
2q
l
,) выглядит так, как на рис. 7,
то говорят, что эта линия выпукла к точке О.
2 Ч
АСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
,
ГРАДИЕНТ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Определение 4.
Пусть
(
)
2
1
, x
x
f
y =
- функция двух переменных. Первая производная
функции
(
)
2
1
,x
x
f
по переменной х
1
при фиксированной второй переменной х
2
называется (первой) частной производной функции
(
)
2
1
,x
x
f
по переменной х
1
что символически записывается так:
(
)
1
2
1
,
x
x
x
f
∂
∂
, или
(
)
1
2
1
,
x
x
x
y
∂
∂
или просто
1
x
y
∂
∂
Аналогично определяется (первая) частная производная функции
(
)
2
1
,x
x
f
по переменной х
2
:
(
)
2
2
1
,
x
x
x
f
∂
∂
, или
(
)
2
2
1
,
x
x
x
y
∂
∂
или просто
2
x
y
∂
∂
Обратим внимание, что в символике частных производных используются
круглые
∂
, а не прямые
d
. В случае (первой) частной производной
(
)
i
n
i
x
x
x
x
f
∂
∂
K
K ,
,
,
1
по переменной
i
x функции
(
)
n
x
x
x
f
n
i
K
K ,
,
1
переменных
1
q
l
q
l
2
q
l
1
x
2
x
Рисунок 7 – Карта линий уровня
0

---

Page 8

8
роль постоянных играют все переменные, кроме переменной
i
x .
Первая частная производная по переменной
1
x , представляет собой,
вообще говоря, новую функцию двух (нескольких) переменных. Если нет
специальной оговорки, мы будем полагать, что частные производные прини-
мают только конечные значения, т.е. речь идёт только о конечных частных
производных.
Если в точке
( )
0
2
0
1
, x
x
значение (первой) частной производной функции
(
)
2
1
, x
x
f
по переменной
( )
2
1
x
x
положительно, т.е. если
( )
0
,
1
0
2
0
1
>
∂
∂
x
x
x
f
,
( )








>
∂
∂
0
,
2
0
2
0
1
x
x
x
f
, при малом росте переменной
( )
2
1
x
x
относительно
( )
0
2
0
1
x
x
при фиксированной переменной
( )
0
2
0
1
x
x
значение у функции
(
)
2
1
, x
x
f
растет,
т.е. из того, что (первая) частная производная по переменной
( )
2
1
x
x
положи-
тельная, следует свойство (локальной) монотонности функции
(
)
2
1
, x
x
f
по
переменной
( )
2
1
x
x
.
Пример 4. Имеем
2
2
1
1
0
x
a
x
a
a
y
+
+
=
, тогда
1
1
a
x
y
=
∂
∂
,
2
2
a
x
y
=
∂
∂
.
При нахождении частной производной
1
x
y
∂
∂
– слагаемое
2
2
x
a
фиксиро-
вано, т.е. играет роль постоянной, как и слагаемое
0
a , поэтому производная
по
1
x , суммы ("хвоста") (
2
2
0
x
a
a +
) равна нулю. Аналогично поясняется ответ
2
2
a
x
y
=
∂
∂
. Также по аналогии, в случае
n
n
i
i
x
a
x
a
x
a
a
y
+
+
+
+
+
=
K
K
1
1
0
име-
ем n штук (первых) частных производных
i
i
a
x
y
=
∂
∂
,
n
i
,
,1K
=
.
Пример 5. Производная степенной функции
1
0
a
x
b
y =
одной перемен-
ной x равна
1
1
0
1
−
=
∂
∂
a
x
a
b
x
y
. (Первая) частная производная функции
2
1
2
1
0
α
α
x
x
a
по переменной
1
x , равна
2
1
2
1
1
1
0
1
a
a
x
x
a
a
x
y
−
=
∂
∂
.
Аналогично
1
2
1
2
0
2
2
1
−
=
∂
∂
a
a
x
x
a
a
x
y
.

---

Page 9

9
Определение 5.
Упорядоченная
пара
(первых)
частных
производных
(
) (
)








∂
∂
∂
∂
2
2
1
1
2
1
,
,
,
x
x
x
f
x
x
x
f
или
(
) (
)








∂
∂
∂
∂
2
2
1
1
2
1
,
,
,
x
x
x
y
x
x
x
y
функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
двух пе-
ременных
1
x и
2
x обозначается символом
(
)
2
1
,x
x
f
grad
(или
(
)
2
1
,x
x
f ′
или
(
)
2
1
, x
x
y
grad
) и называется градиентом функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
двух пере-
менных. Градиент функции двух переменных есть двумерный вектор, функ-
ции
(
)
n
x
x
f
n
K
,
1
переменных –
n
-мерный вектор
(
)
(
)
(
)








∂
∂
∂
∂
=
n
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
grad
K
K
K
K
,
,
,
,
,
1
1
1
1
.
Градиент
( )
0
0
2
1
, x
x
f
grad
функции
(
)
2
1
,x
x
f
в точке
(
)
0
0
2
1
,x
x
показывает
направление самого быстрого роста функции
(
)
2
1
, x
x
f
в точке
( )
0
0
2
1
, x
x
.
Задача 1. Для функции
2/
1
2
2/
1
1
x
x
y =
двух переменных
1
x и
2
x
а) построить линию уровня
0q
l
проходящую через точку
( )
( )
1,
4
,
0
0
2
1
=
x
x
;
б) найти градиент
( ) ( )








∂
∂
∂
∂
2
0
0
1
0
0
2
1
2
1
,
,
,
x
x
x
y
x
x
x
y
этой точке (4, 1);
в) построить этот градиент.
Решение задачи 1.
а) Сначала найдем уровень
0
q
, который равен частному значению
функции
2/
1
2
2/
1
1
x
x
y =
в точке (4, 1). Имеем:
( ) ( )
2
1
4
2/
1
2/
1
2/
1
0
2
2/
1
0
1
0
=
=
=
x
x
q
.
Построим на плоскости
2
1
x
Ox
линию
2
0
q
q
l
l =
, уравнение которой имеет вид:
2/
1
2
2/
1
1
0
x
x
q =
, или
2/
1
2
2/
1
1
2
x
x
=
или
2
1
4
x
x
=
, или, наконец
1
2
4
x
x =
(рис. 8).
б) Имеем:
(
)
2/
1
2
2/
1
1
1
2
1
2/
1
,
x
x
x
x
x
y
−
=
∂
∂
,
(
)
2/
1
2
2/
1
1
2
2
1
2/
1
,
−
−
=
∂
∂
x
x
x
x
x
y
,
( )
( )
4
1
2
1
2
1
1
4
2
1
4,
1
,
2
1
2
1
1
1
0
0
2
1
=
=
=
∂
∂
=
∂
∂
−
x
y
x
x
x
y
,
( )
( )
1
2
2
1
4
2
1
4,
1
,
2
1
2
1
2
2
0
0
2
1
=
=
=
∂
∂
=
∂
∂
−
x
y
x
x
x
y
в) Строим градиент
( )
( )
1,
4
1
,
0
0
2
1
=
x
x
y
grad
на плоскости
2
1
x
Ox
, сначала
выходящим из точки (0, 0), а затем из точки
( )
1,
4
(рис. 8). Следует обратить

---

Page 10

10
внимание, что на рис. 8
( )
( )
1,
4
,
0
0
2
1
=
x
x
y
grad
перпендикулярен (ортогонален)
касательной K к линии (гиперболе)
0
2
q
l
l =
в точке
( )
1,
4 , т.е. ортогонален ли-
нии
2
l , проходящей через точку
( )
1,
4 . Этот частный факт есть иллюстрация
общего случая: градиент
( )
0
0
2
1
, x
x
y
grad
в точке
( )
0
0
2
1
, x
x
всегда ортогонален
линии
0q
l
уровня
0
q , проходящей через точку
( )
0
0
2
1
, x
x
.
Задача 2. Для функции
2/
1
2
2/
1
1
x
x
y =
двух переменных
1
x и
2
x :
а) построить (дополнив рис.8) линию уровня
1q
l
, проходящую через
точку
( )
( )
2,
4
,
1
1
2
1
=
x
x
;
б) найти градиент
( ) ( )








∂
∂
∂
∂
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
,
,
,
x
x
x
y
x
x
x
y
в точке (4,2);
в) построить этот градиент (дополнив рис. 8);
г) убедиться, что
2
0
1
=
> q
q
и что линия
1q
l
расположена "северо-
восточнее" линии
0q
l
;
д) убедиться, что действительно,
( )
1,
4
y
grad
показывает направление, в
котором функция
2/
1
2
2/
1
1
x
x
y =
растет.
Эту задачу предлагается решить самостоятельно.
Говорят, что уравнение
(
)
2
1
, x
x
f
q =
задает неявную функцию
( )
1
2
x
h
x =
как функцию переменной
1
x , ибо в уравнении
(
)
2
1
, x
x
f
q =
еще не
выделена переменная
2
x , как это имеет место в случае уравнения
( )
1
2
x
h
x =
.
Аналогично можно говорить о неявной функции
( )
2
1
x
g
x =
как функции пе-
2
4
2
(2,2
(4,25;2
(4;1
1
(0,25;1
( )
(
)
1
25
0
14
;
,
,
y
grad
=
( )
(
)
1
25
0
14
;
,
,
y
grad
=
1
x
2
x
Рисунок 8 – График к задаче 1
K
l
2

---

Page 11

11
ременной
2
x .
Отметим, что если (первые) частные производные функции
(
)
2
1
, x
x
f
непрерывны в точке
( )
0
0
2
1
, x
x
и в близких к ней точках и если для определен-
ности
( )
0
,
2
0
0
2
1
≠
∂
∂
x
x
x
f
, то неявная функция
( )
1
2
x
h
x =
существует при всех
1
x ,
близких к
0
1
x . Однако далеко не всегда на основании аналитического выра-
жения
(
)
2
1
, x
x
f
можно выписать аналитическое выражение для функции
( )
1
2
x
h
x =
.
Если линии уровня функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
являются нисходящими, т.е.
линиями типа тех, что изображены на рис. 7 или на рис. 8, то для уравнения
(
)
2
1
, x
x
f
q =
неявная функция
( )
1
2
x
h
x =
(или
( )
2
1
x
g
x =
) существует. Таким
образом одна и та же нисходящая линия l (рис. 9) описывается уравнением
(
)
2
1
, x
x
f
q =
, еще не разрешенным относительно переменной
2
x , (или пере-
менной
1
x ), и уравнением
( )
1
2
x
h
x =
(или уравнением
( )
2
1
x
g
x =
), уже раз-
решенным относительно переменной
2
x , (переменной
1
x ).
Пример 3. Уравнение
2/
1
2
2/
1
1
2
x
x
=
можно переписать, выделив явно пе-
ременную
2
x (переменную
1
x ):
1
2
4
x
x =








=
2
1
4
x
x
Если (первые) частные производные
(
)
1
2
1
,
x
x
x
f
∂
∂
и
(
)
2
2
1
,
x
x
x
f
∂
∂
непрерывны
1
x
2
x
0
1
x
0
2
x
K
α
(
)
( )
( )










=
=
=
2
1
1
2
2
1
x
g
x
x
h
x
q
,x
x
f
0
l
Рисунок 9 – Неявные функции

---

Page 12

12
в точке
(
)
0
0
2
1
,x
x
(см. рис. 9) и в близких к ней точках, то производную
( )
0
1
'
x
h
можно выписать, не используя явной формулы
( )
1
2
x
h
x =
, следующим обра-
зом:
( )
( )
(
)
(
)








∂
∂








∂
∂
−
=
=
2
0
2
0
1
1
0
2
0
1
1
0
1
0
1
'
,
/
,
x
x
x
f
x
x
x
f
dx
x
dh
x
h
Таким образом,
α
tg
(и, следовательно, наклон касательной К ), равный
( )
0
1
'
x
h
может быть найден как отношение (первых) частных производных
функции
(
)
2
1
, x
x
f
в точке
( )
0
0
2
1
, x
x
, взятое со знаком минус, т.е. без использо-
вания явного выражения
( )
1
x
h
. Выписанная формула называется производ-
ной неявной функции
Производная неявной функции
( )
2
1
x
g
x =
выписывается аналогично
(числитель и знаменатель меняются местами).
Пример 4. Пусть
2
2
1
2
2
1
1
=
x
x
и
(
)
( )
1,
4
,
0
0
2
1
=
x
x
. Имеем
(
)
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
1
,
x
x
x
x
x
f
−
=
∂
∂
,
(
)
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
,
−
=
∂
∂
x
x
x
x
x
f
,
( )
( ) ( )
( ) ( )
4
1
5,
0
5,
0
4
0
1
0
2
2
1
0
2
2
1
0
1
2
1
0
2
2
1
0
1
'
=
−
=
−
=
−
−
x
x
x
x
x
x
h
.
Определение 6.
По аналогии с (первым), дифференциалом
( ) ( )
dx
x
f
x
df
=
(или
( )
( )
dx
x
y
x
dy
,
=
или
dx
y
dy
,
=
функции
( )
x
f
y =
одной переменной
x
выра-
жение
(
)
(
)
1
1
2
1
2
1
1
,
,
dx
x
x
x
f
x
x
f
d
∂
∂
=
(или
(
)
(
)
1
1
2
1
2
1
1
,
,
dx
x
x
x
y
x
x
y
d
∂
∂
=
, или
1
1
1
dx
x
y
y
d
∂
∂
=
)
называется (первым) частным дифференциалом функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, соот-
ветствующим переменной
1
x .
Первый частный дифференциал функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, соответствую-
щий переменной
2
x , имеет вид
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
,
,
dx
x
x
x
f
x
x
f
d
∂
∂
=
(или
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
,
,
dx
x
x
x
y
x
x
y
d
∂
∂
=
, или
2
2
2
dx
x
y
y
d
∂
∂
=
)

---

Page 13

13
Определение 7.
Сумма двух (первых) частных дифференциалов называется (первым)
полным дифференциалом (символика:
(
)
2
1
,x
x
df
,
(
)
2
1
, x
x
dy
, dy) функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
двух переменных
1
x и
2
x :
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
1
,
,
,
dx
x
x
x
f
dx
x
x
x
f
x
x
f
d
∂
∂
+
∂
∂
=
По аналогии для функции
(
)
n
x
x
f
y
n
,
,
1
K
=
переменных имеем сле-
дующее выражение для (первого) полного дифференциала:
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
,
,
,
,
,
,
dx
x
x
x
f
dx
x
x
x
f
x
x
df
n
n
n
∂
∂
+
+
∂
∂
=
K
K
K
K
Пример 5. Для функции
2
1
2
2
1
1
x
x
y
⋅
=
имеем
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
,
,
,
dx
x
x
x
y
dx
x
x
x
y
x
x
dy
∂
∂
+
∂
∂
=
или
(
)
2
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
,
dx
x
x
dx
x
x
x
x
dy






⋅
+






⋅
=
−
−
В точке
( )
( )
1,
4
,
0
0
2
1
=
x
x
(первый) полный дифференциал имеет вид
( )
( )
( )
2
2
0
0
1
1
0
0
0
0
2
1
2
1
2
1
,
,
,
dx
x
x
x
y
dx
x
x
x
y
x
x
dy
∂
∂
+
∂
∂
=
или
( )
2
1
4
1
1,
4
dx
dx
dy
+
=
.
3 О
ДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
Определение 8.
Функция
(
)
2
1
, x
x
f
y =
определенная при
0
1
≥
x
,
0
2
≥
x
называется од-
нородной функцией степени
p
, если для любого числа
0
>
t
и любых
0
1
≥
x
и
0
2
≥
x
выполняется равенство
(
)
(
)
2
1
2
1
,
,
x
x
f
t
tx
tx
f
p
=
Для функции
(
)
n
x
x
f
y
n
,
,
1
K
=
переменных определение аналогично
(
)
(
)
n
p
n
x
x
f
t
tx
tx
f
,
,
,
,
1
1
K
K
=
Для однородных функций степени
p
(двух переменных) справедлива
формула
(
)
(
)
(
)
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
,
,
,
x
x
pf
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
=
∂
∂
+
∂
∂

---

Page 14

14
Аналогичная формула имеет место и для однородной функции степени
n
p
переменных
(
)
(
)
(
)
n
n
n
x
x
pf
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
,
,
,
,
,
,
1
2
2
1
1
1
1
K
K
K
K
=
∂
∂
+
+
∂
∂
Приведенные для однородных функций степени
p
двух и
n
перемен-
ных формулы имеют место, если (первые) частные производные существуют
и непрерывны (эти условия для многих производственных функций и функ-
ции полезности выполняются). Эти формулы называются формулами Эйлера,
и утверждение об их справедливости - теоремой Эйлера. Формулы Эйлера
существенно используются в микроэкономическом анализе.
Пример 6. Линейная функция вида
2
2
1
1
x
a
x
a
y
+
=
(она называется ли-
нейной формой) однородна первой степени, ибо
( )
( ) (
)
2
2
1
1
2
2
1
1
x
a
x
a
t
tx
a
tx
a
+
=
+
.
Пример 7. Квадратичная форма, т.е. функция вида
2
2
22
2
1
12
2
1
11
2
x
a
x
x
a
x
a
y
+
+
=
,
однородна второй степени, ибо
( )
( )( )
( )
(
)
2
22
22
2
1
12
2
11
2
2
2
22
2
1
12
2
1
11
2
2
1
x
a
x
x
a
x
a
t
tx
a
tx
tx
a
tx
a
+
+
=
+
+
.
4 П
ОНЯТИЕ ЭКСТРЕМУМА
Определение 9.
Двумерной
δ
-окрестностью точки
( )
0
2
0
1
,x
x
(символика:
(
)
0
2
0
1
2
,
,
x
x
U δ
)
называется множество точек
(
)
0
2
0
1
,x
x
, принадлежащих открытому кругу ра-
диуса
0
>
δ
с центром в точке
(
)
0
2
0
1
,x
x
, т.е.
(рис. 10).
Аналогично,
Если при фиксированном числе
0
>
δ
точка
(
)
(
)
0
2
0
1
2
2
1
,
,
,
x
x
U
x
x
δ
∈
, то
говорят, что точка
(
)
2
1
,x
x
близка к точке
( )
0
2
0
1
,x
x
. Если точка
(
)
(
)
0
2
0
1
2
2
1
,
,
,
x
x
U
x
x
δ
∉
, то говорят, что точка
(
)
2
1
,x
x
далека от точки
( )
0
2
0
1
,x
x
.
Если точка
( )
0
2
0
1
,x
x
принадлежит множеству M вместе со своей некоторой
(
)
( )
(
)
(
) (
)
{
}
U
2
2
2
0
2
2
2
0
1
1
2
1
0
2
0
1
δ
x
x
x
x
,x
x
,x
δ,x
fe
d
<
−
+
−
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
{
}
.
,
,
,
,
,
,
2
2
0
2
0
1
1
2
1
0
0
1
U
K
K
K
n
n
n
n
fe
d
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
δ
δ
<
−
+
+
−

---

Page 15

15
δ
-окрестностью
(
)
2
0
1
2
,
,
x
x
U δ
, т.е. со всеми своими близкими точками
(
)
2
1
,x
x
, она (точка
( )
0
2
0
1
,x
x
называется внутренней для множества M .
Определение 10.
Точка
( )
0
2
0
1
,x
x
называется точкой локального максимума (минимума)
функции
(
)
2
1
,x
x
f
двух переменных
1
x и
2
x , если для всех точек
(
)
2
1
,x
x
из
области определения функции f близких к точке
( )
0
2
0
1
,x
x
, справедливо не-
равенство
( )
(
)
( )
(
)
(
)
2
1
0
2
0
1
2
1
0
2
0
1
,
,
,
,
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
≤
≥
.
Само частное значение
( )
0
0
2
1
,x
x
f
называется локальным максимумом
(локальным минимумом) функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
.
Если
( )
0
2
0
1
,x
x
- точка локального максимума (минимума) функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, то около точки
( )
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,
,
,
x
x
f
x
x
трехмерного пространства
график Г функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
имеет вид "шапочки" (перевернутой "ша-
почки") (рис. 11 и рис. 12).
Отметим, что вместо двух терминов (максимума и минимума) исполь-
зуют один термин экстремум.
Определение 11.
Точка
( )
0
2
0
1
,x
x
называется точкой глобального максимума (глобального мини-
мума) функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
двух переменных
1
x и
2
x , если для всех точек
(
)
2
1
,x
x
, для которых функция
(
)
2
1
,x
x
f
определена, справедливо неравенство
( )
(
)
( )
(
)
(
)
2
1
0
2
0
1
2
1
0
2
0
1
,
,
,
,
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
≤
≥
.
( )
0
2
0
1
,x
x
(
)
2
1
,x
x
δ
1
x
2
x
0
Рисунок 10 – Двумерная
δ
-окрестность точки
( )
0
2
0
1
,x
x

---

Page 16

16
Само частное значение
( )
0
0
2
1
,x
x
f
называется глобальным максимумом (гло-
бальнымминимумом)функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
.
Если функция
(
)
2
1
,x
x
f
выпукла вниз и имеет локальный минимум, то он
является глобальным минимумом. Если функция
(
)
2
1
,x
x
f
выпукла вверх и имеет
локальный максимум, то он является глобальныммаксимумом.
Необходимое условие локального экстремума формулируется следующим об-
разом.
Пусть функция
(
)
2
1
,x
x
f
y =
в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
имеет локальный экстремум
(точка
( )
0
2
0
1
,x
x
- внутренняя для области определения функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, то-
гда
(
)
(
)
0
,
,0
,
2
0
2
0
1
1
0
2
0
1
=
∂
∂
=
∂
∂
x
x
x
f
x
x
x
f
(предполагаетсясуществование (первых) частных производных в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
).
Определение12.
Точка
(
)
0
2
0
1
,x
x
называется критической для функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, если ко-
ординаты
0
1
x
и
0
2
x
этой точки удовлетворяют системе уравнении
(
)
0
,
1
2
1
=
∂
∂
x
x
x
f
,
(
)
0
,
2
2
1
=
∂
∂
x
x
x
f
.
Поэтому точки локального экстремума функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, лежащие
внутри её области определения, следует искать только среди критических точек
этой функции.
( )
0
2
0
1
,x
x
( )
0
2
0
1
,x
x
(
)
2
1
,x
x
(
)
2
1
,x
x
(
)
(
)
2
1
2
1
,x
x
,f
,x
x
( )
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,x
x
,f
,x
x
( )
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,x
x
,f
,x
x
(
)
(
)
2
1
2
1
,x
x
,f
,x
x
2
x
2
x
1
x
1
x
y
y
Рисунок 11
Рисунок 12

---

Page 17

17
Критическая точка не обязана быть точкой (локального) экстремума, как по-
казывает следующий пример.
Пример 8. Для функции
2
2
2
1
x
x
y
−
=
имеем
0
2
1
1
=
=
∂
∂
x
x
y
,
0
2
2
2
=
−
=
∂
∂
x
x
y
, от-
куда получаем критическую точку
( )
0,
0
( )
(
)
0
0,
0 =
y
. Однако точка
( )
0,
0
не есть
ни точка максимума, ни минимума, ибо при
( )
0
0,
2
1
1
>
= x
y
x
, при
( )
0
,0
2
2
2
<
−
= x
y
x
, а при
( )
0
0,
0
=
y
. График функции
2
2
2
1
x
x
y
−
=
называется сед-
ловой поверхностью (на рис. 1.13 хорошо видно, что около трехмерной точки
(
)
0.
0,
0
поверхность сильно отличается по своему виду от "шапочки" и переверну-
той"шапочки").
Определение1.13.
Второй частной производной функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
двух переменных назы-
вается (первая) частная производная от (первой) частной производной.
Таким образом имеем четыре вторых частных производных
(
)
2
1
2
1
2
,
x
x
x
f
∂
∂
,
(
)
2
1
2
1
2
,
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
,
(
)
1
2
2
1
2
,
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
,
(
)
2
2
2
1
2
,
x
x
x
f
∂
∂
Если смешанные вторые частные производные
(
)
2
1
2
1
2
,
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
и
(
)
1
2
2
1
2
,
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
непрерывны, то они обязательно равны. В отличие от смешанных вторые част-
ные производные
(
)
2
1
2
1
2
,
x
x
x
f
∂
∂
,
(
)
2
2
2
1
2
,
x
x
x
f
∂
∂
принято называть чистыми.
1
x
2
x
2
2
x
y =
2
1
x
y =
(
)
0,
1
x
(
)
2
,0 x
0
y
Рисунок 13 – График седловой поверхности

---

Page 18

18
В случае функции
(
)
n
x
x
f
n
,
,
1
K
переменных имеем
2
n штук вторых
частных производных:
(
)
(
)
2
1
2
2
1
1
2
,
,
,
,
,
,
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
f
∂
∂
∂
∂
K
K
K
,
(
)
(
)
,
,
,
,
,
,
,
,
1
1
2
2
1
1
2
K
K
K
K
n
n
n
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(
)
(
)
1
1
2
1
1
2
,
,
,
,
,
,
−
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
K
K
K
Если смешанные вторые частные производные
(
)
j
i
n
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
,
,
1
2
K
и
(
)
i
j
n
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
,
,
1
2
K
(
)
n
j
ij
i
,
,1
,;
K
=
≠
непрерывны, то они равны.
Пример 9. Пусть функция
(
)
2
1
, x
x
f
есть квадратичная форма
2
2
2
1
2
1
4
x
x
x
x
y
+
−
=
. Здесь
(
)
2,
1
=
∞
+
<
∞
−
i
x
i
. Тогда
2
1
1
4
2
x
x
x
y
−
=
∂
∂
,
2
1
2
2
4
x
x
x
y
+
−
=
∂
∂
.
(
)
2
4
2
1
2
1
1
1
2
1
2
=
∂
−
∂
=








∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
x
x
x
y
x
x
y
,
(
)
4
2
4
1
2
1
2
1
2
1
2
−
=
∂
+
−
∂
=








∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
x
x
x
x
y
x
x
x
y
,
(
)
4
4
2
2
2
1
1
2
1
2
2
−
=
∂
−
∂
=








∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
x
x
x
x
y
x
x
x
y
,
(
)
2
2
4
2
2
1
2
2
2
2
2
=
∂
+
−
∂
=








∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
x
x
x
y
x
x
y
.
Достаточное условие локального экстремума формулируется следующим об-
разом.
Пусть функция
(
)
2
1
, x
x
f
y =
имеет критическую точку
( )
0
2
0
1
,x
x
(т.е.
( ) ( )
0
,
,
2
0
2
0
1
1
0
2
0
1
=
∂
∂
=
∂
∂
x
x
x
f
x
x
x
f
)
1) Пусть
( )
0
,
2
1
0
0
2
2
1
>
∂
∂
x
x
x
f
(или
( )
0
,
2
2
0
0
2
2
1
>
∂
∂
x
x
x
f
),

---

Page 19

19
( )
( )
( )
0
,
,
,
2
2
1
0
0
2
2
2
0
0
2
2
1
0
0
2
2
1
2
1
2
1
>








∂
∂
∂
−








∂
∂








∂
∂
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
, тогда
( )
0
2
0
1
,x
x
- точка
локального минимума функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
.
2) Пусть
(
)
0
,
2
1
0
0
2
2
1
<
∂
∂
x
x
x
f
(или
( )
0
,
2
2
0
0
2
2
1
<
∂
∂
x
x
x
f
),
( )
( )
( )
0
,
,
,
2
2
1
0
0
2
2
2
0
0
2
2
1
0
0
2
2
1
2
1
2
1
>








∂
∂
∂
−








∂
∂








∂
∂
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
, тогда
( )
0
2
0
1
,x
x
- точка
локального максимума функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
,
3) Пусть
( )
( )
( )
0
,
,
,
2
2
1
0
0
2
2
2
0
0
2
2
1
0
0
2
2
1
2
1
2
1
<








∂
∂
∂
−








∂
∂








∂
∂
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
, тогда в точ-
ке
( )
0
2
0
1
,x
x
y
функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
локального и, следовательно, глобального
экстремума нет.
В приведённом достаточном условии предполагается, что точка
( )
0
2
0
1
,x
x
-
внутренняя для области определения функции
(
)
2
1
,x
x
f
и что вторые частные
производные функции
(
)
2
1
,x
x
f
определены в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
и во всех близких к
ней точках
(
)
2
1
,x
x
и непрерывны в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
.
Пример 10. Продолжим пример 9. Имеем
0
4
2
2
1
1
=
−
=
∂
∂
x
x
x
y
,
0
2
4
2
1
2
=
+
−
=
∂
∂
x
x
x
y
,
откуда получаем единственную критическую точку
( )
0,
0 . Для этой точки (и лю-
бой другой точки
(
)
2
1
,x
x
имеем
0
12
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
<
−
=








∂
∂
∂
−








∂
∂








∂
∂
x
x
y
x
y
x
y
, т.е. в
точке
( )
0,
0
локального и глобальногоэкстремума нет.
Задача 3. Исследовать на экстремум следующую квадратичную функцию
двух переменных:
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
y
−
−
+
−
=
. Эту задачу предлагается решить
самостоятельно!
Определения локального и глобального экстремума и необходимое условие
локального экстремума функции
(
)
n
x
x
f
y
n
,
,
1
K
=
переменных
n
x
x
,
,
1
K
по-
вторяются почти дословно.
В заключение этого раздела отметим, что более точными являются терми-
ны: безусловный локальный максимум (минимум), точка безусловного локального

---

Page 20

20
максимума (минимума), безусловный глобальный максимум (минимум), точка без-
условного глобального максимума (минимума). Вместо термина безусловный ис-
пользуется менее удачный (недостаточно выразительный) термин абсолютный.
Пример 11. Прибыль
(
)
2
1
, x
x
PR
вычисляется по следующей формуле
(
)
(
)
)
(
,
,
2
2
1
1
2
1
0
2
1
x
p
x
p
x
x
f
p
x
x
PR
+
−
=
, где
(
)
2
1
,x
x
f
- производственная функция
фирмы,
0
p - рыночная цена продукции, выпускаемой фирмой,
1
p и
2
p – соответ-
ственно рыночные цены первого и второго ресурсов {факторов производства). Вы-
ражение
(
)
2
1
0
,x
x
f
p
называется выручкой фирмы,
2
2
1
1
x
p
x
p
+
- издержками про-
изводства фирмы, если для выпуска продукции фирма затрачивает первый и вто-
рой ресурсы в количествах
1
x и
2
x единиц. Задача ставится так. Определить комби-
нацию
( )
0
2
0
1
,x
x
ресурсов, при которой фирма получит наибольшую прибыль. Для
решения этой задачи следует найти критические точки функции
(
)
2
1
, x
x
PR
, т.е.
следует решить систему уравнений
(
)
(
)
0
,
,
1
1
2
1
0
1
2
1
=
−
∂
∂
=
∂
∂
p
x
x
x
f
p
x
x
x
PR
,
(
)
(
)
0
,
,
2
2
2
1
0
2
2
1
=
−
∂
∂
=
∂
∂
p
x
x
x
f
p
x
x
x
PR
.
Поскольку производственная функция
(
)
2
1
, x
x
f
y =
обладает рядом специ-
фических условий (в частности, если ее график напоминает горку), постольку
часто критическая точка
( )
0
2
0
1
,x
x
является единственной и обязательно точкой
(глобального) максимума прибыли
(
)
2
1
,x
x
PR
y =
.
5 З
АДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
В теории безусловного локального экстремума сравнивают частное
значение
)
,x
f(x
0
2
0
1
функции
)
,
(
2
1
x
x
f
y =
в точке
)
,
(
0
2
0
1
x
x
с частными значе-
ниями
)
,
(
2
1
x
x
f
этой функции во всех точках
)
,
(
2
1
x
x
, близких к точке. Дру-
гими словами, в теории локального безусловного экстремума на независимые
переменные
1
x и
2
x не накладываются никакие дополнительные условия, т.е.
не требуется, чтобы переменные
1
x и
2
x удовлетворяли некоторым допол-
нительным ограничениям.
Рассмотрим теперь другую задачу.
Найти локальный максимум (или локальный минимум) функции
)
,
(
2
1
x
x
f
y =
при условии, что независимые переменные
1
x и
2
x удовлетво-
(1)

---

Page 21

21
ряют ограничению
0
)
,
(
2
1
=
x
x
g
в виде равенства, т.е.
max
)
,
(
2
1
→
x
x
f
(min)
при условии:
0
)
,
(
2
1
=
x
x
g
.
Задача (1), (2) называется задачей на условный локальный максимум
(минимум). Термин условный здесь появляется в связи с тем, что независи-
мые переменные
1
x и
2
x удовлетворяют условию (ограничению) (2). Вместо
двух терминов (максимум и минимум) используется обобщенный термин
экстремум. В задаче (1), (2) на условный экстремум функцию
)
,
(
2
1
x
x
f
при-
нято называть целевой, ибо ее максимизация (или минимизация) часто есть
формальное выражение какой-то цели (например, максимизации объема про-
изводства при фиксированных затратах). Функцию
g
называют функцией,
задающей ограничение, или функцией связи.
Уравнение (2) есть уравнение нулевой линии (точнее множества) уров-
ня функции
)
,
(
2
1
x
x
g
, ибо,
=
)
,
(
2
1
x
x
g
τ , где τ
0
=
. Поэтому задачу на услов-
ный локальный максимум (минимум) можно еще сформулировать так: среди
точек нулевой линии уровня функции
)
,
(
2
1
x
x
g
y =
найти точку
)
,
(
0
2
0
1
x
x
, в
которой частное значение
)
,
(
0
2
0
1
x
x
f
функции
)
,
(
2
1
x
x
f
y =
больше (или
меньше) ее частных значений
)
,
(
2
1
x
x
f
в остальных точках
)
,
(
2
1
x
x
этой ли-
нии, близких к точке. Точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
называется точкой условного локального
максимума (минимума) функции
)
,
(
2
1
x
x
f
, само частное значение
)
,
(
0
2
0
1
x
x
f
-
условным локальным максимумом (минимумом) функции
)
,
(
2
1
x
x
f
при нали-
чии ограничения
0
)
,
(
2
1
=
x
x
g
.
Проиллюстрируем задачу на условный максимум в трехмерном про-
странстве (рис. 14).
Точка
)
,
(
2
1
∗
∗
x
x
точка абсолютного локального максимума функции
)
,
(
2
1
x
x
f
, ибо точка
))
,
(
,
,
(
2
1
2
1
∗
∗
∗
∗
x
x
f
x
x
- локальная (т.е. местная) "макушка"
графика
f
Γ
этой функции
).
,
(
2
1
x
x
f
Точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
- точка условного локаль-
ного максимума функции
),
,
(
2
1
x
x
f
ибо точка
,
(
0
1
x
(
)
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,
,
,
x
x
f
x
x
- самая
высокая точка "тропинки" L, которая проходит через "перевал" графика Г
f
.
На рис. 14 четко видно, что точка
(
)
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,
,
,
x
x
f
x
x
"макушкой" не яв-
ляется, т.е. точка
(
)
0
2
0
1
,x
x
условного локального максимума может не быть
(2)

---

Page 22

22
точкой безусловного локального максимума. Линия
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g
есть проек-
ция "тропинки" L на координатную плоскость
2
1
x
Ox .
Отметим, что если известен график Г
f
функции
(
)
2
1
, x
x
f
двух пере-
менных
1
x и
2
x то, глядя на него, можно сразу понять, есть ли точки абсо-
лютного и условного локального экстремума или какие-то из них (а, возмож-
но, все) отсутствуют.
Если значение
(
)
0
...,
,
1
1
=
n
x
x
g
функции
(
)
2
1
, x
x
f
больше (меньше) зна-
чений
(
)
2
1
, x
x
f
этой функции во всех точках
(
)
2
1
, x
x
линии
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g
, то
значение
(
)
0
2
0
1
,x
x
f
называется условным глобальным максимумом (миниму-
мом) функции
(
)
2
1
, x
x
f
при наличии ограничения
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g
, а точка
(
)
0
2
0
1
,x
x
- точкой условного глобального максимума (минимума) функции
(
)
2
1
, x
x
f
.
Точка условного глобального максимума (минимума) функции
(
)
2
1
, x
x
f
является точкой условного локального максимума (минимума) этой
функции. Обратное, вообще говоря, неверно. На рис. 14 точка
(
)
0
2
0
1
,x
x
явля-
ется точкой не только локального, но и глобального условного максимума
функции
(
)
2
1
,x
x
f
при наличии ограничения ,
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g
.
В случае функции
(
)
n
x
x
f
...,
,
1
п независимых переменных
n
x
x ...,
,
1
за-
дача на условный максимум (минимум) формулируется так:
(
)
( )
min
max
...,
,
1
→
n
x
x
f
при условиях
( )
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,x
x
f,
,x
x
( )
(
)
*
2
*
1
*
2
*
1
,x
x
f,
,x
x
( )
0
2
0
1
,x
x
( )
*
2
*
1
,x
x
(
)
2
1
,x
x
(
)
(
)
2
1
2
1
,x
x
f,
,x
x
(
)
0
2
1
=
,x
x
g
1
x
2
x
y
Рисунок 14 –Абсолютный и условный локальные максимумы
Г
f
(3)

---

Page 23

23
(
)
(
)





=
=
0
...,
,
......
..........
,0
...,
,
1
1
1
n
m
n
x
x
g
x
x
g
(обычно т<п).
Если частное значение
(
)
0
0
1
...,
,
n
x
x
f
сравниваются со значениями
(
)
n
x
x
f
...,
,
1
в точках
(
)
n
x
x ...,
,
1
, удовлетворяющих уравнениям (4) и близких к
точке
(
)
0
0
1
...,
,
n
x
x
, то имеем задачу на условный локальный экстремум (мак-
симум или минимум) функции
(
)
n
x
x
f
...,
,
1
.
Если значение
(
)
0
0
1
...,
,
n
x
x
f
сравнивается с значениями во всех точках
(
)
n
x
x ...,
,
1
, удовлетворяющих уравнениям (4), то имеем задачу на условный
глобальный экстремум (максимум или минимум) функции
(
)
n
x
x
f
...,
,
1
.
Теория условного экстремума часто используется в микро- и макро-
экономической теории. В задачах этой теории обычно локальный условный
экстремум является также и глобальным условным экстремумом. Разберем
конкретный пример.
Пример 12. Найти экстремум функции
2
2
2
1
x
x
y
+
=
при условии, что
,0
1
2
1
=
−
+ x
x
т.е. решить задачу на условный экстремум.
Решение примера 12. Отметим прежде всего, что экстремум (экстрему-
мы) функции (5) отыскиваются не на всей плоскости
2
1
x
Ox , а только на пря-
мой (6).
Естественным является следующий способ решения задачи (5), (6) на
условный экстремум. Выразить из уравнения (6) переменную
2
x через пере-
менную
1
x , и подставить полученное выражение
1
2
1 x
x
−
=
в функцию (5).
Тогда задача на условный экстремум функции (5) двух переменных сведется
к задаче на безусловный экстремум функции
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
одной пере-
менной
1
x .
Для решения задачи на безусловный экстремум найдем первую произ-
водную
2
4
1
−
=′ x
y
функции
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
и приравняем первую произ-
водную к нулю:
0
2
4
1
=
−
x
, откуда получим, что
2/
1
0
1
=
x
. При переходе
(слева направо) переменной
1
x , через точку
0
1
x
первая производная у' меняет
(4)
(5)
(6)

---

Page 24

24
знак с минуса на плюс, поэтому критическая точка
0
1
x
есть точка локального
минимума функции
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
. Очевидно, этот локальный минимум
( )
2/
1
1
2
2
0
1
2
0
1
0
=
+
−
=
x
x
y
является также глобальным (на рис. 15 линия Н,
которая есть график функции
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
).
Других
локальных
и
глобальных
экстремумов
функция
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
не имеет, ибо не существует точек, отличных от точки
0
1
x
,
в которых бы производная
2
4
1
−
= x
y
обращалась в нуль.
Из полученного следует, что
)
2
1
,2
1
(
)
,
(
0
2
0
1
=
x
x
- точка условного гло-
бального минимума функции (5), сам условный минимум равен
2
1
)
(
)
(
2
0
1
2
0
1
0
=
+
=
x
x
y
.
На рис. 16 дана геометрическая иллюстрация решения задачи (5), (6).
На линии L, по которой пересекаются вертикальная плоскость Q и график
f
Γ
функции
(5),
самой
низкой
точкой
является
точка
).
2
1
,
2
1
,
2
1
(
)
,
,
(
0
0
2
0
1
0
=
=
y
x
x
P
На поверхности
f
Γ
самой низкой является
точка 0 = (0,0,0). Таким образом, на рис. 16 видно, что условный глобальный
минимум функции (5), который равен
2
1
не совпадает с ее абсолютным (без-
условным) минимумом, равным нулю. На рис. 16 также хорошо видно, что
ни на линии L, ни на графике
f
Γ
нет самых высоких точек, т.е. функция (5) не
имеет условного глобального максимума и абсолютного глобального макси-
мума.
Решение примера 12 подсказывает следующий естественный на первый
взгляд способ решения задачи (1), (2). С помощью уравнения (2) сначала вы-
x
1
1/2
1/2
1
H
1
y
Рис. 15 – График функции
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
).

---

Page 25

25
разить переменную
2
x через переменную
1
x (или переменную
1
x через пере-
менную
2
x ). Затем полученное выражение
)
(
1
2
x
h
x =
подставить в функцию
(1), которая после этого станет функцией
))
(
,
(
1
1
x
h
x
f
одной переменной
1
x , и
эту функцию исследовать на (безусловный) экстремум. Из отсутствия точки
(точек) экстремума у функции
))
(
,
(
1
1
x
h
x
f
следует отсутствие точки (точек)
условного экстремума у функции (1.1). Если
0
1
x
– точка экстремума функ-
ции
)),
(
,
(
1
1
x
h
x
f
y =
то точка
))
(
,
(
)
,
(
0
1
0
1
0
2
0
1
x
h
x
x
x
=
– точка условного экстре-
мума функции (1) при наличии ограничения (2).
Однако, к сожалению, выразить аналитически переменную
2
x через
переменную
1
x (или переменную
1
x через переменную
)
2
x
часто бывает
сложно, а то и невозможно. По этой причине только что описанная простая
идея сведения задачи на условный экстремум для функции (1) двух перемен-
ных к задаче на безусловный экстремум для функции
))
(
,
(
1
1
x
h
x
f
одной пере-
менной не может быть использована в качестве основы универсального ме-
тода решения задачи (1), (2) на условный экстремум.
6 М
ЕТОД
Л
АГРАНЖА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ОПТИМИЗАЦИИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Суть метода Лагранжа состоит в построении функции вида
(
) (
)
(
)
2
1
2
1
2
1
,
,
,
,
x
x
g
x
x
f
x
x
L
λ
λ
+
=
от трех переменных
,
,
,
2
1
λ
x
x
называе-
мой функцией Лагранжа, и в сведении задачи на условный экстремум в слу-
L
P
Q
0
M
M
1
1
1
1
x
2
x
y
0
P
0
1
2
1
=
+ x
x
Рисунок 16 – Геометрическая иллюстрация решения задачи (5), (6).

---

Page 26

26
чае двух независимых переменных к задаче на абсолютный экстремум функ-
ции L
(
)
λ,
,
2
1
x
x
трех независимых переменных
λ,
,
2
1
x
x
.
Функция Лагранжа L
(
)
λ,
,
2
1
x
x
представляет собой сумму целевой
функции (1) и функции ограничения (2), умножений на новую независимую
переменную
λ
, называемую множителем Лагранжа, входящую обязательно
в первой степени:
Необходимое условие локального условного экстремума функции (1)
при наличии ограничения (2) в аналитической форме имеет следующий вид:
пусть функции
(
) (
)
2
1
2
1
,
,
,
x
x
g
x
x
f
непрерывны и имеют непрерывные частные
производные первого порядка по переменным x
1
и x
2
; пусть
(
)
0
2
0
1
,x
x
- точка
условного локального экстремума функции (7) при наличии ограничения (8)
и пусть grad
(
)
0
,
0
2
0
1
=
x
x
g
. Тогда существует единственное число
0
λ , такое,
что (трехмерная) точка
(
)
0
0
2
0
1
,
,
λ
x
x
удовлетворяет следующей системе трех
уравнений с тремя неизвестными
λ,
,
2
1
x
x
:





=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
0
/)
,
,
(
;0
/)
,
,
(
;0
/)
,
,
(
2
1
2
2
1
1
2
1
λ
λ
λ
λ
x
x
L
x
x
x
L
x
x
x
L
(отметим, что всегда
(
)
(
)
2
1
2
1
,
/
,
,
x
x
g
x
x
L
=
∂
∂
λ
λ
).
Иначе говоря, если двумерная точка
( )
0
2
0
1
,x
x
есть точка локального экс-
тремума функции (1) при наличии ограничения (2), то трехмерная точка
(
)
0
0
2
0
1
,
,
λ
x
x
- критическая точка функции Лагранжа. Отсюда следует, что для
нахождения точек (условного) локального экстремума функции (1) при нали-
чии ограничения (2) прежде всего следует найти критические точки функции
Лагранжа, т. е. найти все решения системы уравнений (7). Далее критические
точки функции Лагранжа следует укоротить, удалив из них последние коор-
динаты
0
λ . Затем каждую укороченную критическую точку необходимо про-
анализировать, является ли она в действительности точкой (условного) ло-
кального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) или не явля-
ется. При этом используют геометрические или содержательные экономиче-
ские соображения.
В некоторых новых задачах на условный экстремум, появляющихся в
экономике, обычно укороченная критическая точка функции Лагранжа дей-
ствительно является точкой условного локального (и глобального) экстрему-
ма функции (1).
(7)

---

Page 27

27
Пример 12. (продолжение) Решить задачу (5), (6) на условный экстре-
мум методом Лагранжа.
Решение. Имеем
(
)
(
)
1
,
,
2
1
2
2
2
1
2
1
−
+
+
+
=
x
x
x
x
x
x
L
λ
λ
, откуда следует,
что
(
)
(
)
(
)





=
−
+
=
∂
∂
=
+
=
∂
∂
=
+
=
∂
∂
.0
1
/
,
,
;0
2
/
,
,
;0
2
/
,
,
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
x
x
x
x
L
x
x
x
x
L
x
x
x
x
L
λ
λ
λ
λ
λ
λ
Из первых двух уравнений получаем, что
2
1
x
x = , откуда, используя
третье уравнение, получаем, что
2/
1
0
2
0
1
=
= x
x
Таким образом, система уравнений (8) имеет единственное решение, т.
е. дает единственную критическую точку функции Лагранжа (1/2, 1/2, –1)
(
0
λ =
0
1
2x
−
=
1
2/
1
2
−
=
⋅
−
). Укороченная критическая точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
= (1/2;
1/2) есть точка условного локального (также и глобального) минимума за-
данной функции при ее заданном ограничении, так как непосредственно про-
веряется,
что
при
)
,
(
2
1
x
x
)
,
(
0
2
0
1
x
x
справедливо
неравенство
(
)
( )
2/
1
,
,
0
2
0
1
2
1
=
>
x
x
f
x
x
f
.
Если задана общая задача с ограничениями на определение условного
экстремума:
(
)
( )
min
max
,...,
1
→
n
x
x
f
при условиях
(
)
(
)





=
=
0
,...,
........
,0
,...
1
1
1
n
n
n
x
x
g
x
x
g
(обычно m<n), то функция Лагранжа имеет вид:
(
) (
)
(
)
(
)
.
,...,
...
,...,
,...,
,...,
,
,...,
1
1
1
1
1
1
n
m
m
n
n
m
n
x
x
g
x
x
g
x
x
f
x
x
L
λ
λ
λ
λ
+
+
+
=
При этом система (8) переписывается в виде системы п+m уравнений с
п+m неизвестными
m
n
x
x
λ
λ ,..,
,
,...,
1
1
.
Критическая
(
)
m
n +
-мерная точка
(
)
0
0
1
0
0
1
,...,
,
,...,
m
n
x
x
λ
λ
функции Лагран-
жа после операции укорачивания приобретает вид n-мерной точки.
Если использовать понятие градиента, то условия локального экстре-
мума для функции
(
)
2
1
, x
x
f
можно представить в компактной векторной
форме:
0
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
=
+
x
x
g
grad
x
x
f
grad
λ
.
(8)
(9)
(10)

---

Page 28

28
Для критической точки
(
)
0
0
2
0
1
,
,
λ
x
x
функции Лагранжа имеем:
grad
( )
0
0
2
0
1
,
λ−
=
x
x
f
grad
( )
,
,
0
2
0
1
x
x
что эквивалентно тому, что в точке
)
,
(
0
2
0
1
x
x
линии уровней
( )
0
2
0
1
,x
x
f
и 0
функций
(
)
2
1
, x
x
f
и
(
)
2
1
,x
x
g
соответственно касаются.
Теперь приведем необходимое условие локального условного экстре-
мума функции (1) при наличии ограничения (2) в геометрической форме.
Пусть функции
(
)
,
,
2
1
x
x
f
(
)
2
1
, x
x
g
непрерывны и имеют непрерывные
частные производные первого порядка по переменным x
1
и x
2
; пусть
)
,
(
0
2
0
1
x
x
— точка условного локального экстремума функции (1) при наличии ограни-
чения (2) и пусть
0
)
,
(
0
2
0
1
=
x
x
f
grad
и
0
)
,
(
0
2
0
1
=
x
x
g
grad
.
Тогда
)
,
(
0
2
0
1
x
x
f
grad
и
)
,
(
0
2
0
1
x
x
g
grad
, выходящие из точки
)
,
(
0
2
0
1
x
x
,
обязательно расположены на одной прямой с противоположными направле-
ниями, что эквивалентно тому, что линии уровней функций
)
,
(
2
1
x
x
f
и
)
,
(
2
1
x
x
g
, содержащие точку
)
,
(
0
2
0
1
x
x
, касаются в этой точке (рис. 17), яв-
ляющейся точкой условного локального максимума.
Фрагмент карты линий уровня целевой функции
)
,
(
2
1
x
x
f
типичен для
экономической теории. Однако необходимое условие (в том числе и геомет-
рическое) локального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2),
вообще говоря, не является достаточным.
В случае касания в точке
)
,
(
0
2
0
1
x
x
линий уровня функций
)
,
(
2
1
x
x
f
и
)
,
(
2
1
x
x
g
(это эквивалентно расположению на одной прямой градиентов
)
,
(
0
2
0
1
x
x
f
grad
и
)
,
(
0
2
0
1
x
x
g
grad
исходящих из точки
)
,
(
0
2
0
1
x
x
), точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
может и не являться точкой условного локального экстремума функции (1)
0
τ
l
2
τ
l
1
τ
l
(
)
0
2
0
1
;x
x
A
(
)
0
2
0
1
;x
x
f
grad
(
)
0
2
0
1
;x
x
g
grad
)
,
(
2
1
x
x
2
x
1
x
Рисунок 17 – Градиенты функций
)
;
(
0
2
0
1
x
x
f
y =
и
)
;
(
0
2
0
1
x
x
g
;
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g

---

Page 29

29
при наличии ограничения (2). Иллюстрацией этому может служить точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
на рис. 18 – укороченная критическая точка функции Лагранжа, ко-
торая не является точкой локального экстремума функции (1) при наличии
ограничения (2).
Это очевидно из наглядных геометрических построений, так как в точ-
ках
)
,
(
2
1
x
x
, расположенных на линии
)
,
(
2
1
x
x
g
=0 строго выше точки
)
,
(
0
2
0
1
x
x
,
справедливо неравенство
)
)(
,
(
)
,
(
0
1
0
2
0
1
2
1
t
t
x
x
f
x
x
f
<
<
, а в точках
)
,
(
2
1
x
x
рас-
положенных на линии
)
,
(
2
1
x
x
g
=0 строго ниже точки
)
,
(
0
2
0
1
x
x
справедливо
неравенство
)
)(
,
(
)
,
(
0
1
0
2
0
1
2
1
t
t
x
x
f
x
x
f
>
>
(заметим, что фрагмент на рис. 18
нетипичен для экономической теории).
Пример 12 (продолжение). Приведем аналог рис. 17 для задачи (5), (6)
на условный экстремум (рис. 19).
0
τ
l
2
τ
l
1
τ
l
(
)
0
2
0
1
; x
x
(
)
0
2
0
1
; x
x
f
grad
)
,
(
2
1
x
x
2
x
1
x
Рисунок 18 – «Укороченная» критическая точка;
(
)
0
2
0
1
; x
x
g
grad
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g
)
,
(
2
1
x
x
2
0
1
τ
τ
τ
>
>
0
( ) ( )
(
)
1
0
2
0
1
2
0
2
2
0
1
−
+
=






+
x
x
grad
x
x
grad
2
x
1
x
Рисунок 19 – Поиск условного экстремума
1,5
1
0,5
1,5
1
0,5
0

---

Page 30

30
В случае рис. 17:
( )) ( )) (
)
(
)
( )
(
) ( )
,1
,1
1
,1
,1
2
1
2,
2
1
2
2,
2
0
0
0
0
0
0
2
1
2
1
2
2
2
1
=
−
+
=
⋅
⋅
=
=
+
x
x
grad
x
x
x
x
grad
1
0
−
=
λ
7 П
ОНЯТИЕ О ЗАДАЧЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Если в задаче (1), (2) на условный экстремум ограничение (2) в виде
равенства заменяется на ограничение
0
)
,
(
2
1
≤
x
x
g
в виде неравенства, то
мы получаем частный случай задачи математического программирования:
max
)
,
(
2
1
→
x
x
f
(min)
при условии
0
)
,
(
2
1
≤
x
x
g
В случае функции двух переменных задача математического програм-
мирования (для определенности - задача на максимум) имеет вид:
max
)
,
(
2
1
→
x
x
f
при условиях
.
,0
)
,
(
....
..........
,0
)
,
(
2
1
2
1
1





≤
≤
x
x
g
x
x
g
m
0
,0
2
1
≥
≥ x
x
.
Функцию
)
,
(
2
1
x
x
f
принято называть целевой, неравенства (14) – спе-
циальными ограничениями задачи математического программирования, нера-
венства (15) – общими ограничениями задачи математического программиро-
вания.
Точка
)
,
(
2
1
x
x
, удовлетворяющая специальным и общим ограничениям,
называется допустимым решением задачи математического программирова-
ния.
Множество всех допустимых решений задачи математического про-
граммирования (далее, для краткости, ЗМП) называется допустимым мно-
жеством этой задачи.
Если ЗМП имеет хотя бы одно допустимое решение (т.е. ее допустимое
множество не пусто), она называется допустимой, если ЗМП не имеет ни од-
(13)
(14)
(15)
(11)
(12)

---

Page 31

31
ного допустимого решения (т.е. ее допустимое множество пусто), она назы-
вается недопустимой.
Точка
)
,
(
0
0
2
1
x
x
называется оптимальным решением ЗМП, если, во-
первых, она есть допустимое решение этой ЗМП и если, во-вторых, на этой
точке целевая функция достигает глобального максимума (в случае задачи
максимизации) или глобального минимума (в случае задачи минимизации)
среди всех точек, удовлетворяющих ограничениям, т.е. для всех
)
,
(
2
1
x
x
,
удовлетворяющих неравенствам (14)-(15), справедливо неравенство
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
0
0
x
x
f
x
x
f
≥
(в случае задачи максимизации),
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
0
0
x
x
f
x
x
f
≤
(в случае задачи минимизации).
На первый взгляд, ЗМП может рассматриваться как задача более общая
по сравнению с задачами на абсолютный (если убрать все специальные и
общие ограничения) и условный (если убрать все общие ограничения, а из
специальных оставить одно в виде равенства) экстремумы. Однако в дейст-
вительности полное обобщение места не имеет, ибо в случае ЗМП речь идет
только о глобальном экстремуме, в то время как в случае задачи на абсолют-
ный и условный экстремум речь идет как о глобальном, так и о локальном
экстремуме.
8 В
ОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что называется графиком функции двух переменных? Приведите приме-
ры (не менее двух) графиков.
2. Сформулируйте определение множества (линии) уровня функции двух
переменных. Может ли множество уровня функции двух переменных не быть
линией? Если может, приведите примеры. Могут ли множества (линии) двух раз-
личныхуровнейиметьобщие точки? Дайте обоснование ответа.
3. Как в терминах линий уровня описать подъем туриста на гору (холм)?
4. В чем отличие (первой) частной производной от (первой) производной?
5. Опишите взаимосвязь между градиентом функции двух переменных и
ее линией уровня.
6. Приведите формулу производной неявной функции.
7. Сформулируйте определение (первого) полного дифференциала.
8. Сформулируйте определение однородной функции степени р.
9. В чем суть теоремы Эйлера?
10.Сформулируйте определение локального и глобального экстремума
функции двух и n переменных. Может ли глобальный экстремум не быть локаль-

---

Page 32

32
ным?
11.Что такое задача на условный экстремум?
12.Сопоставьте задачи на условный и абсолютный экстремум.
13.Напишите функцию Лагранжа.
14.Сформулируйте необходимое условие локального условного экс-
тремума (аналитическая форма).
15.Сформулируйте необходимое условие локального условного экс-
тремума (геометрическая форма).
16.Приведите формулировку задачи математического программирова-
ния.
17.Приведите формулировку задачи линейного программирования.
9 Л
АБОРАТОРНАЯ РАБОТА
1. Цель работы
Цель лабораторной работы – приобрести практические навыки работы
по поиску условного и абсолютного экстремумов.
2. Порядок выполнения лабораторной работы
1. Изучить методические указания к данной лабораторной работе.
2. Ответить на вопросы для самопроверки.
3. Выполнить предложенные задания согласно своему варианту.
4. Каждый пункт задания должен быть озаглавлен и снабжен краткими
комментариями.
5. Результаты выполнения работы должны быть отпечатаны на принте-
ре.
3. Необходимое оборудование
Для выполнения лабораторной работы необходим компьютер IВМ с
Pentium процессором и объемом оперативной памяти не менее 64 Мбайт. На
компьютере должна быть установлена операционная система Windows-98
или выше, пакет прикладных программ Mathcad 2000.
Задание №1. Графики и линии уровня функций
двух переменных (2 часа)
Задание предлагается выполнять в следующей последовательности.
1. Загрузите пакет прикладных программ Mathcad 2000.
2. Постройте графики и линии уровня для следующих функций:
1) z=x
0,25
+y
0,25
;
2) z=x
2
-y
2
;

---

Page 33

33
3) z=2x+3y;
4) z=x
2
+y
2
;
5) z=2+2x+2y-x
2
-y
2
.
3. Прокомментируйте полученные результаты.
Задание №2. Задачи нелинейной оптимизации (2 часа)
Задание предлагается выполнять в следующей последовательности.
1. Для своего варианта задания решить задачу нелинейной оптимиза-
ции методом Лагранжа.
2. Загрузите пакет прикладных программ Mathcad 2000.
3. Постройте графики и линии уровня для оптимизируемой функции.
4. Найдите точки безусловного и условного глобального минимума
функции.
5. Прокомментируйте полученные результаты.
Пример задачи нелинейной оптимизации
По плану производства продукции предприятию необходимо изгото-
вить 180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологиче-
скими способами. Стало известно, что при производстве
1
x изделий первым
способом затраты равны:
2
1
1
4
x
x +
руб.
При изготовлении
2
x изделий вторым способом они составляют:
2
2
2
8
x
x +
руб.
Необходимо определить, сколько изделий каждым из способов следует
изготовить, так чтобы общие затраты на производство продукции были ми-
нимальными.
Решение.
Видно, что затраты в первом случае растут медленнее, чем во втором.
Поэтому, на первый взгляд кажется, что выгоднее изготовить все 180 единиц
только первым способом. Покажем, что это ошибка.
Например, сумма затрат при производстве 5 единиц изделий только
первым способом будет:
45
5
5
4
2
=
+
×
руб.
А если изготовить 3 единицы первым способом, а 2 единицы вторым, то за-
траты будут меньше:

---

Page 34

34
грн
Сумма
грн
грн
41
:
20
2
2
8
21
3
3
4
2
2
=
+
×
=
+
×
Экономия, как видно, составляет 4 грн. В случаях, когда необходимо
изготавливать тысячи единиц, экономия становится более ощутимой.
Очевидно, что существует какие-то оптимальные числа произведенной
продукции первым и вторым способом, при которых суммарные затраты бу-
дут минимальны. Покажем, как ищутся эти числа.
Математическая постановка задачи заключается в определении мини-
мального значения суммарных затрат при производстве первым и вторым
способами:
Суммарные затраты
2
2
2
2
1
1
8
4
x
x
x
x
+
+
+
=
при условиях ограниченности выпуска:
.0
,0
180
2
1
2
1
≥
≥
=
+
x
x
ед
x
x
Таким образом, нам необходимо минимизировать целевую функцию
2
2
2
2
1
1
8
4
x
x
x
x
f
+
+
+
=
при двух условиях
.0
,0
180
2
1
2
1
≥
≥
=
+
x
x
x
x
Нарисуем ограничительную линию выпуска изделий
180
2
1
=
+ x
x
(см.
рисунок). При
0
1
=
x
,
180
2
=
x
отметим первую точку. При
0
2
=
x
,
180
1
=
x
отметим вторую точку. Соединим их.
2
x
1
x
A
D
B
0
180
2
1
=
+ x
x
180
180
Рисунок – Геометрическая интерпретация задачи
нелинейного программирования

---

Page 35

35
Как видно из рисунка, областью допустимых решений является отрезок
прямой AB. Именно на нем где-то находится точка, по которой можно легко
найти оптимальные значения
1
x и
2
x .
Внимательно посмотрев на вид этой функции, можно убедиться, что
это окружность, каноническое уравнение которой:
(
) (
)
2
2
2
r
b
y
a
x
=
−
+
−
,
где
b
a, — координаты центра окружности с радиусом
y
x
r ,
,
— коор-
динаты окружности.
Действительно, заменяя переменную
y
на
2
x при координатах центра
окружности:
4
,2
−
=
−
=
b
a
,
получаем наше исходное уравнение суммарных затрат:
( )
(
)
( )
(
)
.
20
8
4
или
,
16
8
4
4
4
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−
−
+
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
,
Число справа (20) – это величина квадрата радиуса окружности (см. ка-
ноническое уравнение окружности). Одновременно это и значение целевой
функции f .
20
2
=
r
,
Проводя из найденного центра
( ) (
)
4
,2
,
−
−
=
b
a
окружности разных
радиусов, мы увидим, что минимальное значение целевая функция принима-
ет в точке D на пересечении с построенной ограничительной прямой
180
2
1
=
+ x
x
.
Найдем методом Лагранжа экстремум функции
2
2
2
2
1
1
8
4
x
x
x
x
f
+
+
+
=
при условии, что
.0
,0
180
2
1
2
1
≥
≥
=
+
x
x
ед
x
x
Запишем функцию Лагранжа.
(
)
(
)
180
8
4
,
,
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
−
+
+
+
+
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
L
λ
λ
, откуда следует, что
(
)
(
)
(
)





=
−
+
=
∂
∂
=
+
+
=
∂
∂
=
+
+
=
∂
∂
.0
180
/
,
,
;0
2
8
/
,
,
;0
2
4
/
,
,
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
x
x
x
x
L
x
x
x
x
L
x
x
x
x
L
λ
λ
λ
λ
λ
λ

---

Page 36

36
Из первых двух уравнений получаем, что
2
1
2 x
x
+
=
, откуда, используя
третье уравнение, получаем, что
.
89
,
91
0
2
0
1
=
=
x
x
Таким образом, система уравнений имеет единственное решение, т. е.
дает единственную критическую точку функции Лагранжа (91, 89, -186)
(
0
λ =
)
2
4(
0
1
x
+
−
=
186
)
91
2
4(
−
=
⋅
+
−
). Укороченная
критическая
точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
= (91; 89) есть точка условного локального (также и глобального)
минимума заданной функции при ее заданном ограничении, так как непо-
средственно проверяется, что при
)
,
(
2
1
x
x
и
)
,
(
0
2
0
1
x
x
справедливо неравенство
(
)
( )
.
17278
,
,
0
2
0
1
2
1
=
>
x
x
f
x
x
f
В заключение объясним некоторые причины нелинейного изменения затрат.
• Возможности производства (мощности, количество единиц оборудо-
вания, энергообеспечение и т.д.) не всегда соответствуют поставленным за-
дачам; поэтому часто приходится "на ходу", параллельно с выпуском ограни-
ченного количества продукции перестраивать производство под большие
объемы; затраты при этом растут непропорционально количеству выпускае-
мого товара.
• Некоторые технологические процессы изготовления продукции тре-
буют непрерывного потока материальных ресурсов (сырья, материалов, энер-
горесурсов, химических веществ и т.д.), причем эти потоки со временем мо-
гут увеличиваться непропорционально количеству выпускаемой продукции,
а следовательно, нелинейно увеличиваются и затраты.
• В некоторых случаях износ оборудования в производстве требует за-
трат, которые растут непропорционально количеству производимой на этом
оборудовании продукции.
• На заключительных стадиях внедрения и эксплуатации высокопроиз-
водительного оборудования, когда оно уже окупает себя, затраты могут не-
линейно уменьшаться с увеличением выпуска продукции.
• При закупке товаров оптом затраты могут нелинейно расти или па-
дать, в зависимости от частоты и величины оптовых закупок.

---

Page 37

37
Решение задачи с помощью пакета Mathcad 2000.
Минимизируемая функция
Z(x,y):=4⋅x+x
2
+8⋅y+y
2
Безусловный глобальный минимум
x:=1
y:=1
начальное приближение
p:=Minimize(z, x, y)








−
−
=
4
2
p
20
)
,
(
1
0
−
=
p
p
z
Условный глобальный минимум
начальное приближение
x:=10
y:=10
Ограничения
Given
(x+y)=180
0
≥
x
0
≥
y
p:=Minimize(z, x, p)








=
89
91
p
17278
)
,
(
1
0
=
p
p
z
z
z
График функции
Линии уровня

---

Page 38

38
Варианты заданий
В условиях предыдущей задачи требуется определить оптимальное
число изделий, изготовленных различными способами, так чтобы общие за-
траты на производство продукции были минимальными. Вычислить полу-
чаемую экономию от такого решения задачи.
Вариант 1
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
2x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
16x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 100 шт.
Вариант 2
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
25x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
5x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 150 шт.
Вариант 3
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
2x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
10x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 68 шт.
Вариант 4
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
2x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
22x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 75 шт.
Вариант 5
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
3x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
21x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 50 шт.
Вариант 6
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
4x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
24x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 90 шт.

---

Page 39

39
Вариант 7
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
3x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
12x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 37 шт.
Вариант 8
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
15x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
5x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 45 шт.
Вариант 9
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
3x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
9x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 90 шт.
Вариант 10
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
9x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
27x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 38 шт.
Вариант 11
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
2x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
14x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 137 шт.
Вариант 12
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
4x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
16x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 77 шт.
Вариант 13
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
2x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
10x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 44 шт.

---

Page 40

40
Вариант 14
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
12x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
2x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 83 шт.
Вариант 15
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
4x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
20x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 150 шт.
Вариант 16
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
3x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
12x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 100 шт.
Вариант 17
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
2x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
18x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 90 шт.
Вариант 18
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
5x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
25x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 155 шт.
Вариант 19
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
6x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
18x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 130 шт.
Вариант 20
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
21x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
7x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 75 шт.

---

Page 41

41
Вариант 21
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
12x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
3x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 56 шт.
Вариант 22
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
4x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
24x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 97 шт.
Вариант 23
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
6x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
30x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 95 шт.
Вариант 24
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
14x
x +
руб.
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
2x
x +
руб.
Общий объем выпуска: 138 шт.
Л
ИТЕРАТУРА
1. Замков О.О. Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические
методы в экономике. Учебник. Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича,
МГУ им. М.В. Ломоносова.– 3-е изд., перераб.– М.: Издательство «Дело и
слово», 2001.– 368с.– (Серия «Учебники МГУ им. М.В. Ломоносова»)
2. Математическая экономика на персональном компьютере: Пер. с
яп./ М. Кубонива и др.; Под ред. и с предисл. Е.З. Демиденко. – М.: Финан-
сы и статистика, 1991. – 304 с.: с ил.
3. Колемаев В.А. Математическая экономика. М., 1996
4. Раяцкас Р. Л., Плакунов М. К. Количественный анализ в экономике.
– Г.: Наука, 1987. – 390 с.

---

Page 42

42
О
ГЛАВЛЕНИЕ
1 Ф
УНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ МНОЖЕСТВА
(
ЛИНИИ
)
УРОВНЯ
..................................... 3
2 Ч
АСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
,
ГРАДИЕНТ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
...................................................... 7
3 О
ДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
.................................................................................................... 13
4 П
ОНЯТИЕ ЭКСТРЕМУМА
..................................................................................................... 14
5 З
АДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
.................................................................................. 20
6 М
ЕТОД
Л
АГРАНЖА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
....... 25
7 П
ОНЯТИЕ О ЗАДАЧЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
........................................ 30
8 В
ОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
.......................................................................................... 31
9 Л
АБОРАТОРНАЯ РАБОТА
.................................................................................................... 32
Л
ИТЕРАТУРА
......................................................................................................................... 41
О
ГЛАВЛЕНИЕ
........................................................................................................................ 42