Построение графика функции

Page 1

ДОНБАССКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ
ЗАЙЦЕВ С.И., ШИКОВ Н.Н.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ И
САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ ЗАНЯТИЯМ
по дисциплине «Моделирование экономики»
(для студентов экономических специальностей)
АЛЧЕВСК 2003

---

Page 2

2
Методические указания написаны в соответствии с требованиями
образовательно-профессиональной программы по дисциплине «Моделирование
экономики». Материал содержит задания для лабораторных и практических
работ, примеры решения, вопросы для самоконтроля.
Для студентов экономических специальностей/Сост.:С.И. ЗАЙЦЕВ,
Н.Н. Шиков.-Алчевск: ДГМИ. 2004.-31 с.
В методических указаниях представлены основные модели экономики,
которые отражают многообразие рыночных структур, а также поведение
потребителей и производителей товаров. Построенные модели обладают
достаточной идентичностью реальным объектам, и поэтому полученные
результаты могут быть использованы для оценки поведения потребителей и
производителей в рыночных условиях.
Составитель
С.И. Зайцев, проф., Н.Н. Шиков, доц.
Ответственный редактор
С.И. Зайцев, проф.
Ответственный за выпуск
Л.А. Мотченко, инж.

---

Page 3

3
ВВЕДЕНИЕ
Особенностью дисциплины «Моделирование экономики» является
то, что она не ограничивается фиксацией факторов, определяющих поведение
потребителей и производителей, а выявляет закономерности взаимодействия и
взаимовлияния рынков и его участников. Чем удачнее будет построена модель ,
тем успешнее
будет ее исследование и полезнее вытекающие из этого
исследования выводы и рекомендации. Противоречие в области моделирования
основывается на том, что экономические модели должны быть доступны для
моделирования, в силу чего они не должны быть очень сложными, но с другой
стороны, результаты полученные при моделировании должны быть применимы
к реальным объектам, а поэтому модели в достаточной мере должны отражать
существенные черты реального объекта.
Задания к лабораторным и самостоятельным занятиям
1.Лабораторная работа №1 . Тема: Математические основы экономических
моделей. Элементы теории экстремума
1.1 Теоретические основы. Функции двух переменных и их множества
,линии уровня
В функции двух переменных независимых переменных две, а не одна
как в случае функции одной переменной:
(
)
2
1
, x
x
f
y =
- функция двух переменных
1
x и
2
x .
Переменные x
1
и х
2
изменяются независимо друг от друга.
Если “независимых” переменных несколько
n
x
x
,
,
1
K
, имеем функцию n
переменных.
Пример
1.
Функции
n
n
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
a
y
...
,
1
1
0
2
2
1
1
0
+
+
=
+
+
=
–
линейные функции двух и n переменных.
Функции
n
n
n
n
x
x
x
a
y
x
x
y
x
x
y
x
x
y
α
α
α
...
,
,
...
,
2
1
2
1
0
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
=
−
=
+
+
=
+
=






=
n
n
b
x
b
x
b
x
y
,
,
,
min
2
2
1
1
K
являются нелинейными.
Графиком функции f двух переменных
1
x и
2
x называется множество
точек
(
)
2
1
, x
x
трехмерного пространства таких, что
(
)
2
1
, x
x
f
y =
, т.е. множество
точек
(
)
2
1
2
1
,
,
,
x
x
f
x
x
. Обычно в экономических приложениях
0
1
>
x
,
0
2
>
x
.

---

Page 4

4
График Г функции двух переменных можно наглядно представить в виде
двумерной поверхности в трехмерном пространстве. Для функции трех и более
переменных понятие графика определяется аналогично как множество точек
(n+1) -мерного пространства
(
)
n
n
x
x
f
x
x
,....,
,
....
,
1
1
.
Пример 2. Построим график Г функции
0
,0
2
1
2/
1
2
2/
1
1
≥
≥
=
x
x
при
x
x
y
(эта функция представляет собой конкретный пример производственной
функции Кобба-Дугласа (ПФ КД), когда
2
1
2
1
=
= a
a
,
1
0
=
a
) (рис. 1).
Очевидно, при
0
1
≥
x
,
0
2
≥
x
график Г есть коническая поверхность,
образующие которой - лучи, выходящие из точки O, а направляющая есть
линия H (рис. 5). В вертикальной плоскости
1
2
1
=
+ x
x
линия H имеет
уравнение
(
)
2
1
1
2
1
1
1 x
x
y
−
=
.
Пример 3. Построить график
Г
функции
4/
1
2
4/
1
1
x
x
y =
при
0
,0
2
1
≥
≥ x
x
(здесь
4
1
2
1
=
= a
a
,
1
0
=
a
) (рис. 2). В вертикальной плоскости
1
2
1
=
+ x
x
линия
H имеет уравнение
(
)
4
1
1
4
1
1
1 x
x
y
−
=
.
2
x
1
x
1
1
2
1
=
+x
x
1
2
x
x =
2
1
x
x
y
=
=
Рисунок 1 – График функции Кобба-
y
2
x
1
x
1
1
1
2
1
=
+x
x
1
2
x
x =
2
1
x
x
y
=
=
Рисунок 2 – График функции
4/
1
2
4/
1
1
x
x
y =
y

---

Page 5

5
В экономических приложениях широко используются понятия выпуклого
множества и выпуклой функции двух и нескольких переменных. Сначала
приведём определение для случая, когда
2
=
n
.
Определение1.
Множество называется выпуклым, если оно вместе с двумя любыми
своими точками содержит отрезок, их соединяющий (рис. 3).
Множество, которое не является выпуклым, называется невыпуклым (рис.
4). Приведённое определение выглядит одинаково для случая двух переменных и
для случая
n
(нескольких) переменных.
Наглядно понятие выпуклого множества можно пояснить так: выпуклое
множество - это множество, которое не имеет вмятин и дыр. На рис. 3
изображено выпуклое множество, на рис. 4 представлено невыпуклое
множество M , которое имеет одну вмятину и одну дыру.
Определение 2.
Функция
( )
x
f
, определённая на выпуклом множестве M , называется
выпуклой вниз (вогнутой вверх), если для любых двух точек
0
x и
1
x из
множества M и для любого числа
λ
,
1
0
≤
≤ λ
справедливо неравенство
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
1
0
1
0
1
1
x
f
x
f
x
x
f
λ
λ
λ
λ
+
−
≤
+
−
Например, функции
( )
,
3
2
2
1
1
a
x
a
x
a
x
f
+
+
=
( )
2
2
2
1
x
x
x
f
+
=
выпуклы вниз
на всём пространстве
2
E .
График
f
Г
выпуклой вниз функции
( )
x
f
расположен ниже (точнее не
выше) любой своей хорды (рис. 5).
M
0
x
1
x
1
x
2
x
1
x
2
x
0
x
1
x
2
x
M
Рисунок 3 – Выпуклое множество
Рисунок 4 – Невыпуклое множество

---

Page 6

6
Определение 3.
Функция
( )
x
g
, определённая на выпуклом множестве M , называется
выпуклой вверх (вогнутой вниз), если функция
( )
( )
x
f
x
g
−
=
, где функция
( )
x
f
выпукла
вниз.
Например,
функции
3
2
2
1
1
a
x
a
x
a
y
+
+
=
,
(
)
1
0
2
1
2
0
2
1
<
+
<
=
α
α
α
α
x
x
a
y
l
выпуклывверх.
Термины "выпуклый вниз" ("вогнутый вверх"), "выпуклый вверх"
("вогнутый вниз") применяются также к графикам соответствующих функций.
Для случая
2
>
n
приведённые определения функции выпуклой вниз и
выпуклой вверх переписываются с незначительными корректировками.
Множеством (чаще говорят - линией) уровня
q
(
q
- число, в
экономических приложениях
q
≥0) функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
называется множество
(совокупность) всех пар
(
)
2
1
,x
x
такое, что
(
)
q
x
x
f
=
2
1
,
, т.е. во всех точках
(
)
2
1
,x
x
, принадлежащих множеству уровня
q
, частное значение функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
одно и то же и равно
q
. Множество уровня q функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
обозначается символом
q
l
. На рис. 6 наглядно иллюстрируется это важное
1
x
2
x
y
1
x
λ
x
0
x
H
( )
(
)
0
0
,
x
f
x
(
)
( ) ( )
1
0
1
x
λf
x
f
λ
+
−
( )
λ
x
f
f
Γ
Рисунок 5 – Выпуклая вниз функция
( )
(
)
1
1
,
x
f
x

---

Page 7

7
математическое понятие.
Горизонтальная плоскость P пересекается с графиком Г по плоской
горизонтальной линии
q
L
, которая вся "зависает" над плоскостью
2
1
x
Ox
на высоте
q
. Проектируя
q
L
на плоскость
2
1
x
Ox
, получаем линию
q
l
, которая и есть
множество уровня
q
функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
. Специально отметим, что все точки
линии
q
L
принадлежат графику Г .
Множество всех множеств (линий) уровня функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
называется картой линий уровня функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
. По карте можно
получить довольно точное представление о характере графика Г функции
(
)
2
1
,x
x
f
. Фрагмент карты линий уровня
(
)
2
1
, x
x
f
y =
функции, график Г
которой представлен на рис. 6, изображен на рис. 7.
1
q
l
q
l
2
q
l
1
x
2
x
Рисунок 7 – Карта линий уровня
0
1
x
2
x
y
1
q
q
2
q
1
q
L
q
L
2
q
L
Г
1
p
p
2
p
2
q
l
q
l
1
q
l
Рисунок 6 – Линии уровня

---

Page 8

8
График Г имеет вид "горки" (рис. 6), поэтому линия
2q
l
соответствует
уровню
2
q который больше уровня
q
, т.е.
q
q >
2
. Аналогично,
q
q >
1
. Таким
образом, если график Г имеет вид "горки", то линии уровня
2q
l
,
расположенной северо-восточнее линии уровня
q
l
(или
1q
l
,), соответствует и
больший уровень
2
q т.е.
q
q >
2
(
1
2
q
q > ). Верноиобратное (рис. 6).
Если линия
1q
l
(или линия
q
l
или линия
2q
l
,) выглядит так, как на рис. 7, то
говорят, что эта линия выпукла к точке О.
1.2 Частные производные, градиент и дифференциал
Определение 4.
Пусть
(
)
2
1
, x
x
f
y =
- функция двух переменных. Первая производная
функции
(
)
2
1
,x
x
f
по переменной х
1
при фиксированной второй переменной х
2
называется (первой) частной производной функции
(
)
2
1
,x
x
f
по переменной х
1
что символически записывается так:
(
)
1
2
1
,
x
x
x
f
∂
∂
, или
(
)
1
2
1
,
x
x
x
y
∂
∂
или просто
1
x
y
∂
∂
Аналогично определяется (первая) частная производная функции
(
)
2
1
,x
x
f
по
переменной х
2
:
(
)
2
2
1
,
x
x
x
f
∂
∂
, или
(
)
2
2
1
,
x
x
x
y
∂
∂
или просто
2
x
y
∂
∂
Обратим внимание, что в символике частных производных используются
круглые
∂
, а не прямые
d
. В случае (первой) частной производной
(
)
i
n
i
x
x
x
x
f
∂
∂
K
K ,
,
,
1
по переменной
i
x функции
(
)
n
x
x
x
f
n
i
K
K ,
,
1
переменных роль
постоянных играют все переменные, кроме переменной
i
x .
Первая частная производная по переменной
1
x , представляет собой,
вообще говоря, новую функцию двух (нескольких) переменных. Если нет
специальной оговорки, мы будем полагать, что частные производные
принимают только конечные значения, т.е. речь идёт только о конечных
частных производных.
Если в точке
( )
0
2
0
1
, x
x
значение (первой) частной производной функции

---

Page 9

9
(
)
2
1
, x
x
f
по переменной
( )
2
1
x
x
положительно, т.е. если
( )
0
,
1
0
2
0
1
>
∂
∂
x
x
x
f
,
( )








>
∂
∂
0
,
2
0
2
0
1
x
x
x
f
, при малом росте переменной
( )
2
1
x
x
относительно
( )
0
2
0
1
x
x
при
фиксированной переменной
( )
0
2
0
1
x
x
значение у функции
(
)
2
1
, x
x
f
растет, т.е. из
того, что (первая) частная производная по переменной
( )
2
1
x
x
положительная,
следует свойство (локальной) монотонности функции
(
)
2
1
, x
x
f
по переменной
( )
2
1
x
x
.
Пример 4. Имеем
2
2
1
1
0
x
a
x
a
a
y
+
+
=
, тогда
1
1
a
x
y
=
∂
∂
,
2
2
a
x
y
=
∂
∂
.
При нахождении частной производной
1
x
y
∂
∂
– слагаемое
2
2
x
a
фиксировано, т.е. играет роль постоянной, как и слагаемое
0
a , поэтому
производная по
1
x , суммы ("хвоста") (
2
2
0
x
a
a +
) равна нулю. Аналогично
поясняется
ответ
2
2
a
x
y
=
∂
∂
.
Также
по
аналогии,
в
случае
n
n
i
i
x
a
x
a
x
a
a
y
+
+
+
+
+
=
K
K
1
1
0
имеем n штук (первых) частных производных
i
i
a
x
y
=
∂
∂
,
n
i
,
,1K
=
.
Пример 5. Производная степенной функции
1
0
a
x
b
y =
одной переменной
x равна
1
1
0
1
−
=
∂
∂
a
x
a
b
x
y
. (Первая) частная производная функции
2
1
2
1
0
α
α
x
x
a
по
переменной
1
x , равна
2
1
2
1
1
1
0
1
a
a
x
x
a
a
x
y
−
=
∂
∂
.
Аналогично
1
2
1
2
0
2
2
1
−
=
∂
∂
a
a
x
x
a
a
x
y
.
Определение 5.
Упорядоченная пара (первых) частных производных
(
) (
)








∂
∂
∂
∂
2
2
1
1
2
1
,
,
,
x
x
x
f
x
x
x
f
или
(
) (
)








∂
∂
∂
∂
2
2
1
1
2
1
,
,
,
x
x
x
y
x
x
x
y
функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
двух переменных
1
x и
2
x
обозначается символом
(
)
2
1
,x
x
f
grad
(или
(
)
2
1
,x
x
f ′
или
(
)
2
1
, x
x
y
grad
) и

---

Page 10

10
называется градиентом функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
двух переменных. Градиент
функции двух переменных есть двумерный вектор, функции
(
)
n
x
x
f
n
K
,
1
переменных –
n
-мерный вектор
(
)
(
)
(
)








∂
∂
∂
∂
=
n
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
grad
K
K
K
K
,
,
,
,
,
1
1
1
1
.
Градиент
( )
0
0
2
1
, x
x
f
grad
функции
(
)
2
1
,x
x
f
в точке
(
)
0
0
2
1
,x
x
показывает
направление самого быстрого роста функции
(
)
2
1
, x
x
f
в точке
( )
0
0
2
1
, x
x
.
Задача 1. Для функции
2/
1
2
2/
1
1
x
x
y =
двух переменных
1
x и
2
x
а) построить линию уровня
0q
l
проходящую через точку
( )
( )
1,
4
,
0
0
2
1
=
x
x
;
б) найти градиент
( ) ( )








∂
∂
∂
∂
2
0
0
1
0
0
2
1
2
1
,
,
,
x
x
x
y
x
x
x
y
этой точке (4, 1);
в) построить этот градиент.
Решение задачи 1.
а) Сначала найдем уровень
0
q
, который равен частному значению
функции
2/
1
2
2/
1
1
x
x
y =
в точке (4, 1). Имеем:
( ) ( )
2
1
4
2/
1
2/
1
2/
1
0
2
2/
1
0
1
0
=
=
=
x
x
q
.
Построим на плоскости
2
1
x
Ox
линию
2
0
q
q
l
l =
, уравнение которой имеет вид:
2/
1
2
2/
1
1
0
x
x
q =
, или
2/
1
2
2/
1
1
2
x
x
=
или
2
1
4
x
x
=
, или, наконец
1
2
4
x
x =
(рис. 8).
б) Имеем:
(
)
2/
1
2
2/
1
1
1
2
1
2/
1
,
x
x
x
x
x
y
−
=
∂
∂
,
(
)
2/
1
2
2/
1
1
2
2
1
2/
1
,
−
−
=
∂
∂
x
x
x
x
x
y
,
( )
( )
4
1
2
1
2
1
1
4
2
1
4,
1
,
2
1
2
1
1
1
0
0
2
1
=
=
=
∂
∂
=
∂
∂
−
x
y
x
x
x
y
,
( )
( )
1
2
2
1
4
2
1
4,
1
,
2
1
2
1
2
2
0
0
2
1
=
=
=
∂
∂
=
∂
∂
−
x
y
x
x
x
y
в) Строим градиент
( )
( )
1,
4
1
,
0
0
2
1
=
x
x
y
grad
на плоскости
2
1
x
Ox
, сначала
выходящим из точки (0, 0), а затем из точки
( )
1,
4
(рис. 8). Следует обратить
внимание, что на рис. 8
( )
( )
1,
4
,
0
0
2
1
=
x
x
y
grad
перпендикулярен (ортогонален)
касательной K к линии (гиперболе)
0
2
q
l
l =
в точке
( )
1,
4 , т.е. ортогонален линии
2
l , проходящей через точку
( )
1,
4 . Этот частный факт есть иллюстрация общего

---

Page 11

11
случая: градиент
( )
0
0
2
1
, x
x
y
grad
в точке
( )
0
0
2
1
, x
x
всегда ортогонален линии
0q
l
уровня
0
q , проходящей через точку
( )
0
0
2
1
, x
x
.
Задача 2. Для функции
2/
1
2
2/
1
1
x
x
y =
двух переменных
1
x и
2
x :
а) построить (дополнив рис.8) линию уровня
1q
l
, проходящую через
точку
( )
( )
2,
4
,
1
1
2
1
=
x
x
;
б) найти градиент
( ) ( )








∂
∂
∂
∂
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
,
,
,
x
x
x
y
x
x
x
y
в точке (4,2);
в) построить этот градиент (дополнив рис. 8);
г) убедиться, что
2
0
1
=
> q
q
и что линия
1q
l
расположена "северо-
восточнее" линии
0q
l
;
д) убедиться, что действительно,
( )
1,
4
y
grad
показывает направление, в
котором функция
2/
1
2
2/
1
1
x
x
y =
растет.
Эту задачу предлагается решить самостоятельно.
Говорят, что уравнение
(
)
2
1
, x
x
f
q =
задает неявную функцию
( )
1
2
x
h
x =
как функцию переменной
1
x , ибо в уравнении
(
)
2
1
, x
x
f
q =
еще не выделена
переменная
2
x , как это имеет место в случае уравнения
( )
1
2
x
h
x =
. Аналогично
можно говорить о неявной функции
( )
2
1
x
g
x =
как функции переменной
2
x .
Отметим, что если (первые) частные производные функции
(
)
2
1
, x
x
f
непрерывны в точке
( )
0
0
2
1
, x
x
и в близких к ней точках и если для
2
4
2
(2,2
(4,25;2
(4;1
1
(0,25;1
( )
(
)
1
25
0
14
;
,
,
y
grad
=
( )
(
)
1
25
0
14
;
,
,
y
grad
=
1
x
2
x
Рисунок 8 – График к задаче 1
K
l
2

---

Page 12

12
определенности
( )
0
,
2
0
0
2
1
≠
∂
∂
x
x
x
f
, то неявная функция
( )
1
2
x
h
x =
существует при
всех
1
x , близких к
0
1
x . Однако далеко не всегда на основании аналитического
выражения
(
)
2
1
, x
x
f
можно выписать аналитическое выражение для функции
( )
1
2
x
h
x =
.
Если линии уровня функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
являются нисходящими, т.е.
линиями типа тех, что изображены на рис. 7 или на рис. 8, то для уравнения
(
)
2
1
, x
x
f
q =
неявная функция
( )
1
2
x
h
x =
(или
( )
2
1
x
g
x =
) существует. Таким
образом одна и та же нисходящая линия l (рис. 9) описывается уравнением
(
)
2
1
, x
x
f
q =
, еще не разрешенным относительно переменной
2
x , (или
переменной
1
x ), и уравнением
( )
1
2
x
h
x =
(или уравнением
( )
2
1
x
g
x =
), уже
разрешенным относительно переменной
2
x , (переменной
1
x ).
Пример 3. Уравнение
2/
1
2
2/
1
1
2
x
x
=
можно переписать, выделив явно
переменную
2
x (переменную
1
x ):
1
2
4
x
x =








=
2
1
4
x
x
Если (первые) частные производные
(
)
1
2
1
,
x
x
x
f
∂
∂
и
(
)
2
2
1
,
x
x
x
f
∂
∂
непрерывны в
точке
(
)
0
0
2
1
,x
x
(см. рис. 9) и в близких к ней точках, то производную
( )
0
1
'
x
h
можно выписать, не используя явной формулы
( )
1
2
x
h
x =
, следующим образом:
1
x
2
x
0
1
x
0
2
x
K
α
(
)
( )
( )










=
=
=
2
1
1
2
2
1
x
g
x
x
h
x
q
,x
x
f
0
l
Рисунок 9 – Неявные функции

---

Page 13

13
( )
( )
(
)
(
)








∂
∂








∂
∂
−
=
=
2
0
2
0
1
1
0
2
0
1
1
0
1
0
1
'
,
/
,
x
x
x
f
x
x
x
f
dx
x
dh
x
h
Таким образом,
α
tg
(и, следовательно, наклон касательной К ), равный
( )
0
1
'
x
h
может быть найден как отношение (первых) частных производных
функции
(
)
2
1
, x
x
f
в точке
( )
0
0
2
1
, x
x
, взятое со знаком минус, т.е. без
использования явного выражения
( )
1
x
h
. Выписанная формула называется
производной неявной функции
Производная неявной функции
( )
2
1
x
g
x =
выписывается аналогично
(числитель и знаменатель меняются местами).
Пример 4. Пусть
2
2
1
2
2
1
1
=
x
x
и
(
)
( )
1,
4
,
0
0
2
1
=
x
x
. Имеем
(
)
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
1
,
x
x
x
x
x
f
−
=
∂
∂
,
(
)
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
,
−
=
∂
∂
x
x
x
x
x
f
,
( )
( ) ( )
( ) ( )
4
1
5,
0
5,
0
4
0
1
0
2
2
1
0
2
2
1
0
1
2
1
0
2
2
1
0
1
'
=
−
=
−
=
−
−
x
x
x
x
x
x
h
.
Определение 6.
По аналогии с (первым), дифференциалом
( ) ( )
dx
x
f
x
df
=
(или
( )
( )
dx
x
y
x
dy
,
=
или
dx
y
dy
,
=
функции
( )
x
f
y =
одной переменной
x
выражение
(
)
(
)
1
1
2
1
2
1
1
,
,
dx
x
x
x
f
x
x
f
d
∂
∂
=
(или
(
)
(
)
1
1
2
1
2
1
1
,
,
dx
x
x
x
y
x
x
y
d
∂
∂
=
, или
1
1
1
dx
x
y
y
d
∂
∂
=
)
называется (первым) частным дифференциалом функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
,
соответствующим переменной
1
x .
Первый частный дифференциал функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, соответствующий
переменной
2
x , имеет вид
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
,
,
dx
x
x
x
f
x
x
f
d
∂
∂
=
(или
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
,
,
dx
x
x
x
y
x
x
y
d
∂
∂
=
, или
2
2
2
dx
x
y
y
d
∂
∂
=
)
Определение 7.
Сумма двух (первых) частных дифференциалов называется (первым)
полным дифференциалом (символика:
(
)
2
1
,x
x
df
,
(
)
2
1
, x
x
dy
, dy) функции

---

Page 14

14
(
)
2
1
,x
x
f
y =
двух переменных
1
x и
2
x :
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
1
,
,
,
dx
x
x
x
f
dx
x
x
x
f
x
x
f
d
∂
∂
+
∂
∂
=
По аналогии для функции
(
)
n
x
x
f
y
n
,
,
1
K
=
переменных имеем
следующее выражение для (первого) полного дифференциала:
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
,
,
,
,
,
,
dx
x
x
x
f
dx
x
x
x
f
x
x
df
n
n
n
∂
∂
+
+
∂
∂
=
K
K
K
K
Пример 5. Для функции
2
1
2
2
1
1
x
x
y
⋅
=
имеем
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
,
,
,
dx
x
x
x
y
dx
x
x
x
y
x
x
dy
∂
∂
+
∂
∂
=
или
(
)
2
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
,
dx
x
x
dx
x
x
x
x
dy






⋅
+






⋅
=
−
−
В точке
( )
( )
1,
4
,
0
0
2
1
=
x
x
(первый) полный дифференциал имеет вид
( )
( )
( )
2
2
0
0
1
1
0
0
0
0
2
1
2
1
2
1
,
,
,
dx
x
x
x
y
dx
x
x
x
y
x
x
dy
∂
∂
+
∂
∂
=
или
( )
2
1
4
1
1,
4
dx
dx
dy
+
=
.
1.3 Однородные функции
Определение 8.
Функция
(
)
2
1
, x
x
f
y =
определенная при
0
1
≥
x
,
0
2
≥
x
называется
однородной функцией степени
p
, если для любого числа
0
>
t
и любых
0
1
≥
x
и
0
2
≥
x
выполняется равенство
(
)
(
)
2
1
2
1
,
,
x
x
f
t
tx
tx
f
p
=
Для функции
(
)
n
x
x
f
y
n
,
,
1
K
=
переменных определение аналогично
(
)
(
)
n
p
n
x
x
f
t
tx
tx
f
,
,
,
,
1
1
K
K
=
Для однородных функций степени
p
(двух переменных) справедлива
формула
(
)
(
)
(
)
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
,
,
,
x
x
pf
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
=
∂
∂
+
∂
∂
Аналогичная формула имеет место и для однородной функции степени
n
p
переменных

---

Page 15

15
(
)
(
)
(
)
n
n
n
x
x
pf
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
,
,
,
,
,
,
1
2
2
1
1
1
1
K
K
K
K
=
∂
∂
+
+
∂
∂
Приведенные для однородных функций степени
p
двух и
n
переменных формулы имеют место, если (первые) частные производные
существуют и непрерывны (эти условия для многих производственных
функций и функции полезности выполняются). Эти формулы называются
формулами Эйлера, и утверждение об их справедливости - теоремой Эйлера.
Формулы Эйлера существенно используются в микроэкономическом
анализе.
Пример 6. Линейная функция вида
2
2
1
1
x
a
x
a
y
+
=
(она называется
линейной формой) однородна первой степени, ибо
( )
( ) (
)
2
2
1
1
2
2
1
1
x
a
x
a
t
tx
a
tx
a
+
=
+
.
Пример 7. Квадратичная форма, т.е. функция вида
2
2
22
2
1
12
2
1
11
2
x
a
x
x
a
x
a
y
+
+
=
,
однородна второй степени, ибо
( )
( )( )
( )
(
)
2
22
22
2
1
12
2
11
2
2
2
22
2
1
12
2
1
11
2
2
1
x
a
x
x
a
x
a
t
tx
a
tx
tx
a
tx
a
+
+
=
+
+
.
1.4 Понятие экстремума
Определение 9.
Двумерной
δ
-окрестностью точки
( )
0
2
0
1
,x
x
(символика:
(
)
0
2
0
1
2
,
,
x
x
U δ
)
называется множество точек
(
)
0
2
0
1
,x
x
, принадлежащих открытому кругу радиуса
0
>
δ
с центром в точке
(
)
0
2
0
1
,x
x
, т.е.
(рис. 10).
Аналогично,
Если при фиксированном числе
0
>
δ
точка
(
)
(
)
0
2
0
1
2
2
1
,
,
,
x
x
U
x
x
δ
∈
, то
говорят, что точка
(
)
2
1
,x
x
близка к точке
( )
0
2
0
1
,x
x
. Если точка
(
)
(
)
0
2
0
1
2
2
1
,
,
,
x
x
U
x
x
δ
∉
, то говорят, что точка
(
)
2
1
,x
x
далека от точки
( )
0
2
0
1
,x
x
.
Если точка
( )
0
2
0
1
,x
x
принадлежит множеству M вместе со своей некоторой
δ
-
(
)
( )
(
)
(
) (
)
{
}
U
2
2
2
0
2
2
2
0
1
1
2
1
0
2
0
1
δ
x
x
x
x
,x
x
,x
δ,x
fe
d
<
−
+
−
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
{
}
.
,
,
,
,
,
,
2
2
0
2
0
1
1
2
1
0
0
1
U
K
K
K
n
n
n
n
fe
d
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
δ
δ
<
−
+
+
−

---

Page 16

16
окрестностью
(
)
2
0
1
2
,
,
x
x
U δ
, т.е. со всеми своими близкими точками
(
)
2
1
,x
x
, она
(точка
( )
0
2
0
1
,x
x
называется внутренней для множества M .
Определение 10.
Точка
( )
0
2
0
1
,x
x
называется точкой локального максимума (минимума)
функции
(
)
2
1
,x
x
f
двух переменных
1
x и
2
x , если для всех точек
(
)
2
1
,x
x
из
области определения функции f близких к точке
( )
0
2
0
1
,x
x
, справедливо
неравенство
( )
(
)
( )
(
)
(
)
2
1
0
2
0
1
2
1
0
2
0
1
,
,
,
,
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
≤
≥
.
Само частное значение
( )
0
0
2
1
,x
x
f
называется локальным максимумом
(локальным минимумом) функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
.
Если
( )
0
2
0
1
,x
x
- точка локального максимума (минимума) функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, то около точки
( )
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,
,
,
x
x
f
x
x
трехмерного пространства
график Г функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
имеет вид "шапочки" (перевернутой
"шапочки") (рис. 11 и рис. 12).
Отметим, что вместо двух терминов (максимума и минимума)
используют один термин экстремум.
Определение 11.
( )
0
2
0
1
,x
x
(
)
2
1
,x
x
δ
1
x
2
x
0
Рисунок 10 – Двумерная
δ
-окрестность точки
( )
0
2
0
1
,x
x

---

Page 17

17
Точка
( )
0
2
0
1
,x
x
называется точкой глобального максимума (глобального
минимума) функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
двух переменных
1
x и
2
x , если для всех точек
(
)
2
1
,x
x
, для которых функция
(
)
2
1
,x
x
f
определена, справедливо неравенство
( )
(
)
( )
(
)
(
)
2
1
0
2
0
1
2
1
0
2
0
1
,
,
,
,
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
≤
≥
.
Само частное значение
( )
0
0
2
1
,x
x
f
называется глобальным максимумом
(глобальнымминимумом)функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
.
Если функция
(
)
2
1
,x
x
f
выпукла вниз и имеет локальный минимум, то он
является глобальным минимумом. Если функция
(
)
2
1
,x
x
f
выпукла вверх и имеет
локальный максимум, то он является глобальныммаксимумом.
Необходимое условие локального экстремума формулируется следующим
образом.
Пусть функция
(
)
2
1
,x
x
f
y =
в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
имеет локальный экстремум
(точка
( )
0
2
0
1
,x
x
- внутренняя для области определения функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, тогда
(
)
(
)
0
,
,0
,
2
0
2
0
1
1
0
2
0
1
=
∂
∂
=
∂
∂
x
x
x
f
x
x
x
f
(предполагаетсясуществование (первых) частных производных в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
).
Определение12.
Точка
(
)
0
2
0
1
,x
x
называется критической для функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, если
( )
0
2
0
1
,x
x
( )
0
2
0
1
,x
x
(
)
2
1
,x
x
(
)
2
1
,x
x
(
)
(
)
2
1
2
1
,x
x
,f
,x
x
( )
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,x
x
,f
,x
x
( )
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,x
x
,f
,x
x
(
)
(
)
2
1
2
1
,x
x
,f
,x
x
2
x
2
x
1
x
1
x
y
y
Рисунок 11
Рисунок 12

---

Page 18

18
координаты
0
1
x
и
0
2
x
этой точки удовлетворяют системе уравнении
(
)
0
,
1
2
1
=
∂
∂
x
x
x
f
,
(
)
0
,
2
2
1
=
∂
∂
x
x
x
f
.
Поэтому точки локального экстремума функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, лежащие
внутри её области определения, следует искать только среди критических точек этой
функции.
Критическая точка не обязана быть точкой (локального) экстремума, как
показывает следующий пример.
Пример 8. Для функции
2
2
2
1
x
x
y
−
=
имеем
0
2
1
1
=
=
∂
∂
x
x
y
,
0
2
2
2
=
−
=
∂
∂
x
x
y
,
откуда получаем критическую точку
( )
0,
0
( )
(
)
0
0,
0 =
y
. Однако точка
( )
0,
0
не есть
ни точка максимума, ни минимума, ибо при
( )
0
0,
2
1
1
>
= x
y
x
, при
( )
0
,0
2
2
2
<
−
= x
y
x
, а при
( )
0
0,
0
=
y
. График функции
2
2
2
1
x
x
y
−
=
называется
седловой поверхностью (на рис. 1.13 хорошо видно, что около трехмерной точки
(
)
0.
0,
0
поверхность сильно отличается по своему виду от "шапочки" и перевернутой
"шапочки").
Определение1.13.
Второй частной производной функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
двух переменных
называется (первая) частная производная от (первой) частной производной.
Таким образом имеем четыре вторых частных производных
1
x
2
x
2
2
x
y =
2
1
x
y =
(
)
0,
1
x
(
)
2
,0 x
0
y
Рисунок 13 – График седловой поверхности

---

Page 19

19
(
)
2
1
2
1
2
,
x
x
x
f
∂
∂
,
(
)
2
1
2
1
2
,
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
,
(
)
1
2
2
1
2
,
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
,
(
)
2
2
2
1
2
,
x
x
x
f
∂
∂
Если смешанные вторые частные производные
(
)
2
1
2
1
2
,
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
и
(
)
1
2
2
1
2
,
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
непрерывны, то они обязательно равны. В отличие от смешанных вторые частные
производные
(
)
2
1
2
1
2
,
x
x
x
f
∂
∂
,
(
)
2
2
2
1
2
,
x
x
x
f
∂
∂
принято называть чистыми.
В случае функции
(
)
n
x
x
f
n
,
,
1
K
переменных имеем
2
n штук вторых
частных производных:
(
)
(
)
2
1
2
2
1
1
2
,
,
,
,
,
,
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
f
∂
∂
∂
∂
K
K
K
,
(
)
(
)
,
,
,
,
,
,
,
,
1
1
2
2
1
1
2
K
K
K
K
n
n
n
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(
)
(
)
1
1
2
1
1
2
,
,
,
,
,
,
−
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
K
K
K
Если смешанные вторые частные производные
(
)
j
i
n
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
,
,
1
2
K
и
(
)
i
j
n
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
,
,
1
2
K
(
)
n
j
ij
i
,
,1
,;
K
=
≠
непрерывны, то они равны.
Пример 9. Пусть функция
(
)
2
1
, x
x
f
есть квадратичная форма
2
2
2
1
2
1
4
x
x
x
x
y
+
−
=
. Здесь
(
)
2,
1
=
∞
+
<
∞
−
i
x
i
. Тогда
2
1
1
4
2
x
x
x
y
−
=
∂
∂
,
2
1
2
2
4
x
x
x
y
+
−
=
∂
∂
.
(
)
2
4
2
1
2
1
1
1
2
1
2
=
∂
−
∂
=








∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
x
x
x
y
x
x
y
,
(
)
4
2
4
1
2
1
2
1
2
1
2
−
=
∂
+
−
∂
=








∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
x
x
x
x
y
x
x
x
y
,
(
)
4
4
2
2
2
1
1
2
1
2
2
−
=
∂
−
∂
=








∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
x
x
x
x
y
x
x
x
y
,
(
)
2
2
4
2
2
1
2
2
2
2
2
=
∂
+
−
∂
=








∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
x
x
x
y
x
x
y
.

---

Page 20

20
Достаточное условие локального экстремума формулируется следующим
образом.
Пусть функция
(
)
2
1
, x
x
f
y =
имеет критическую точку
( )
0
2
0
1
,x
x
(т.е.
( ) ( )
0
,
,
2
0
2
0
1
1
0
2
0
1
=
∂
∂
=
∂
∂
x
x
x
f
x
x
x
f
)
1) Пусть
( )
0
,
2
1
0
0
2
2
1
>
∂
∂
x
x
x
f
(или
( )
0
,
2
2
0
0
2
2
1
>
∂
∂
x
x
x
f
),
( )
( )
( )
0
,
,
,
2
2
1
0
0
2
2
2
0
0
2
2
1
0
0
2
2
1
2
1
2
1
>








∂
∂
∂
−








∂
∂








∂
∂
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
, тогда
( )
0
2
0
1
,x
x
- точка
локального минимума функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
.
2) Пусть
(
)
0
,
2
1
0
0
2
2
1
<
∂
∂
x
x
x
f
(или
( )
0
,
2
2
0
0
2
2
1
<
∂
∂
x
x
x
f
),
( )
( )
( )
0
,
,
,
2
2
1
0
0
2
2
2
0
0
2
2
1
0
0
2
2
1
2
1
2
1
>








∂
∂
∂
−








∂
∂








∂
∂
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
, тогда
( )
0
2
0
1
,x
x
- точка
локального максимума функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
,
3) Пусть
( )
( )
( )
0
,
,
,
2
2
1
0
0
2
2
2
0
0
2
2
1
0
0
2
2
1
2
1
2
1
<








∂
∂
∂
−








∂
∂








∂
∂
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
, тогда в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
y
функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
локального и, следовательно, глобального
экстремума нет.
В приведённом достаточном условии предполагается, что точка
( )
0
2
0
1
,x
x
-
внутренняя для области определения функции
(
)
2
1
,x
x
f
и что вторые частные
производные функции
(
)
2
1
,x
x
f
определены в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
и во всех близких к ней
точках
(
)
2
1
,x
x
и непрерывны в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
.
Пример 10. Продолжим пример 9. Имеем
0
4
2
2
1
1
=
−
=
∂
∂
x
x
x
y
,
0
2
4
2
1
2
=
+
−
=
∂
∂
x
x
x
y
,
откуда получаем единственную критическую точку
( )
0,
0 . Для этой точки (и любой
другой точки
(
)
2
1
,x
x
имеем
0
12
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
<
−
=








∂
∂
∂
−








∂
∂








∂
∂
x
x
y
x
y
x
y
, т.е. в точке
( )
0,
0
локального и глобальногоэкстремума нет.

---

Page 21

21
Задача 3. Исследовать на экстремум следующую квадратичнуюфункциюдвух
переменных:
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
y
−
−
+
−
=
. Эту задачу предлагается решить
самостоятельно!
Определения локального и глобального экстремума и необходимое условие
локального экстремума функции
(
)
n
x
x
f
y
n
,
,
1
K
=
переменных
n
x
x
,
,
1
K
повторяются почти дословно.
В заключение этого раздела отметим, что более точными являются термины:
безусловный локальный максимум (минимум), точка безусловного локального
максимума (минимума), безусловный глобальный максимум (минимум), точка
безусловного глобального максимума (минимума). Вместо термина безусловный
используется менее удачный (недостаточно выразительный) термин абсолютный.
Пример 11. Прибыль
(
)
2
1
, x
x
PR
вычисляется по следующей формуле
(
)
(
)
)
(
,
,
2
2
1
1
2
1
0
2
1
x
p
x
p
x
x
f
p
x
x
PR
+
−
=
, где
(
)
2
1
,x
x
f
- производственная функция
фирмы,
0
p - рыночная цена продукции, выпускаемой фирмой,
1
p и
2
p –
соответственно рыночные цены первого и второго ресурсов {факторов производства).
Выражение
(
)
2
1
0
,x
x
f
p
называется выручкой фирмы,
2
2
1
1
x
p
x
p
+
- издержками
производства фирмы, если для выпуска продукции фирма затрачивает первый и
второй ресурсы в количествах
1
x и
2
x единиц. Задача ставится так. Определить
комбинацию
( )
0
2
0
1
,x
x
ресурсов, при которой фирма получит наибольшую прибыль.
Для решения этой задачи следует найти критические точки функции
(
)
2
1
, x
x
PR
, т.е.
следует решить систему уравнений
(
)
(
)
0
,
,
1
1
2
1
0
1
2
1
=
−
∂
∂
=
∂
∂
p
x
x
x
f
p
x
x
x
PR
,
(
)
(
)
0
,
,
2
2
2
1
0
2
2
1
=
−
∂
∂
=
∂
∂
p
x
x
x
f
p
x
x
x
PR
.
Поскольку производственная функция
(
)
2
1
, x
x
f
y =
обладает рядом
специфических условий (в частности, если ее график напоминает горку), постольку
часто критическая точка
( )
0
2
0
1
,x
x
является единственной и обязательно точкой
(глобального) максимума прибыли
(
)
2
1
,x
x
PR
y =
.
1.5 Задачи на условный экстремум
В теории безусловного локального экстремума сравнивают частное
значение
)
,x
f(x
0
2
0
1
функции
)
,
(
2
1
x
x
f
y =
в точке
)
,
(
0
2
0
1
x
x
с частными значениями
)
,
(
2
1
x
x
f
этой функции во всех точках
)
,
(
2
1
x
x
, близких к точке. Другими

---

Page 22

22
словами, в теории локального безусловного экстремума на независимые
переменные
1
x и
2
x не накладываются никакие дополнительные условия, т.е.
не требуется, чтобы переменные
1
x
и
2
x
удовлетворяли некоторым
дополнительным ограничениям.
Рассмотрим теперь другую задачу.
Найти локальный максимум (или локальный минимум) функции
)
,
(
2
1
x
x
f
y =
при условии, что независимые переменные
1
x и
2
x удовлетворяют
ограничению
0
)
,
(
2
1
=
x
x
g
в виде равенства, т.е.
max
)
,
(
2
1
→
x
x
f
(min)
при условии:
0
)
,
(
2
1
=
x
x
g
.
Задача (1), (2) называется задачей на условный локальный максимум
(минимум). Термин условный здесь появляется в связи с тем, что независимые
переменные
1
x и
2
x удовлетворяют условию (ограничению) (2). Вместо двух
терминов (максимум и минимум) используется обобщенный термин
экстремум. В задаче (1), (2) на условный экстремум функцию
)
,
(
2
1
x
x
f
принято
называть целевой, ибо ее максимизация (или минимизация) часто есть
формальное выражение какой-то цели (например, максимизации объема
производства при фиксированных затратах). Функцию
g
называют функцией,
задающей ограничение, или функцией связи.
Уравнение (2) есть уравнение нулевой линии (точнее множества) уровня
функции
)
,
(
2
1
x
x
g
, ибо,
=
)
,
(
2
1
x
x
g
τ , где τ
0
=
. Поэтому задачу на условный
локальный максимум (минимум) можно еще сформулировать так: среди точек
нулевой линии уровня функции
)
,
(
2
1
x
x
g
y =
найти точку
)
,
(
0
2
0
1
x
x
, в которой
частное значение
)
,
(
0
2
0
1
x
x
f
функции
)
,
(
2
1
x
x
f
y =
больше (или меньше) ее
частных значений
)
,
(
2
1
x
x
f
в остальных точках
)
,
(
2
1
x
x
этой линии, близких к
точке. Точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
называется точкой условного локального максимума
(минимума) функции
)
,
(
2
1
x
x
f
, само частное значение
)
,
(
0
2
0
1
x
x
f
- условным
локальным максимумом (минимумом) функции
)
,
(
2
1
x
x
f
при наличии
ограничения
0
)
,
(
2
1
=
x
x
g
.
Проиллюстрируем задачу на условный максимум в трехмерном
пространстве (рис. 14).
Точка
)
,
(
2
1
∗
∗
x
x
точка абсолютного локального максимума функции
(1)
(2)

---

Page 23

23
)
,
(
2
1
x
x
f
, ибо точка
))
,
(
,
,
(
2
1
2
1
∗
∗
∗
∗
x
x
f
x
x
- локальная (т.е. местная) "макушка"
графика
f
Γ
этой функции
).
,
(
2
1
x
x
f
Точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
- точка условного локального
максимума функции
),
,
(
2
1
x
x
f
ибо точка
,
(
0
1
x
(
)
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,
,
,
x
x
f
x
x
- самая высокая
точка "тропинки" L, которая проходит через "перевал" графика Г
f
.
На рис. 14 четко видно, что точка
(
)
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,
,
,
x
x
f
x
x
"макушкой" не
является, т.е. точка
(
)
0
2
0
1
,x
x
условного локального максимума может не быть
точкой безусловного локального максимума. Линия
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g
есть проекция
"тропинки" L на координатную плоскость
2
1
x
Ox .
Отметим, что если известен график Г
f
функции
(
)
2
1
, x
x
f
двух
переменных
1
x и
2
x то, глядя на него, можно сразу понять, есть ли точки
абсолютного и условного локального экстремума или какие-то из них (а,
возможно, все) отсутствуют.
Если значение
(
)
0
...,
,
1
1
=
n
x
x
g
функции
(
)
2
1
, x
x
f
больше (меньше)
значений
(
)
2
1
, x
x
f
этой функции во всех точках
(
)
2
1
, x
x
линии
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g
, то
значение
(
)
0
2
0
1
,x
x
f
называется условным глобальным максимумом
(минимумом) функции
(
)
2
1
, x
x
f
при наличии ограничения
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g
, а
точка
(
)
0
2
0
1
,x
x
- точкой условного глобального максимума (минимума)
функции
(
)
2
1
, x
x
f
.
Точка условного глобального максимума (минимума) функции
(
)
2
1
, x
x
f
является точкой условного локального максимума (минимума) этой
( )
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,x
x
f,
,x
x
( )
(
)
*
2
*
1
*
2
*
1
,x
x
f,
,x
x
( )
0
2
0
1
,x
x
( )
*
2
*
1
,x
x
(
)
2
1
,x
x
(
)
(
)
2
1
2
1
,x
x
f,
,x
x
(
)
0
2
1
=
,x
x
g
1
x
2
x
y
Рисунок 14 –Абсолютный и условный локальные максимумы
Г
f

---

Page 24

24
функции. Обратное, вообще говоря, неверно. На рис. 14 точка
(
)
0
2
0
1
,x
x
является точкой не только локального, но и глобального условного
максимума функции
(
)
2
1
,x
x
f
при наличии ограничения ,
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g
.
В случае функции
(
)
n
x
x
f
...,
,
1
п независимых переменных
n
x
x ...,
,
1
задача на условный максимум (минимум) формулируется так:
(
)
( )
min
max
...,
,
1
→
n
x
x
f
при условиях
(
)
(
)





=
=
0
...,
,
......
..........
,0
...,
,
1
1
1
n
m
n
x
x
g
x
x
g
(обычно т<п).
Если частное значение
(
)
0
0
1
...,
,
n
x
x
f
сравниваются со значениями
(
)
n
x
x
f
...,
,
1
в точках
(
)
n
x
x ...,
,
1
, удовлетворяющих уравнениям (4) и близких к
точке
(
)
0
0
1
...,
,
n
x
x
, то имеем задачу на условный локальный экстремум
(максимум или минимум) функции
(
)
n
x
x
f
...,
,
1
.
Если значение
(
)
0
0
1
...,
,
n
x
x
f
сравнивается с значениями во всех точках
(
)
n
x
x ...,
,
1
, удовлетворяющих уравнениям (4), то имеем задачу на условный
глобальный экстремум (максимум или минимум) функции
(
)
n
x
x
f
...,
,
1
.
Теория условного экстремума часто используется в микро- и
макроэкономической теории. В задачах этой теории обычно локальный
условный экстремум является также и глобальным условным экстремумом.
Разберем конкретный пример.
Пример 12. Найти экстремум функции
2
2
2
1
x
x
y
+
=
при условии, что
,0
1
2
1
=
−
+ x
x
т.е. решить задачу на условный экстремум.
Решение примера 12. Отметим прежде всего, что экстремум
(экстремумы) функции (5) отыскиваются не на всей плоскости
2
1
x
Ox , а
только на прямой (6).
(3)
(4)
(5)
(6)

---

Page 25

25
Естественным является следующий способ решения задачи (5), (6) на
условный экстремум. Выразить из уравнения (6) переменную
2
x через
переменную
1
x , и подставить полученное выражение
1
2
1 x
x
−
=
в функцию
(5). Тогда задача на условный экстремум функции (5) двух переменных
сведется к задаче на безусловный экстремум функции
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
одной переменной
1
x .
Для решения задачи на безусловный экстремум найдем первую
производную
2
4
1
−
=′ x
y
функции
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
и приравняем первую
производную к нулю:
0
2
4
1
=
−
x
, откуда получим, что
2/
1
0
1
=
x
. При
переходе (слева направо) переменной
1
x , через точку
0
1
x
первая производная
у' меняет знак с минуса на плюс, поэтому критическая точка
0
1
x
есть точка
локального минимума функции
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
. Очевидно, этот локальный
минимум
( )
2/
1
1
2
2
0
1
2
0
1
0
=
+
−
=
x
x
y
является также глобальным (на рис. 15
линия Н, которая есть график функции
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
).
Других локальных и глобальных экстремумов функция
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
не имеет, ибо не существует точек, отличных от точки
0
1
x
,
в которых бы производная
2
4
1
−
= x
y
обращалась в нуль.
Из полученного следует, что
)
2
1
,2
1
(
)
,
(
0
2
0
1
=
x
x
- точка условного
глобального минимума функции (5), сам условный минимум равен
x
1
1/2
1/2
1
H
1
y
Рис. 15 – График функции
2
+
−
=
).

---

Page 26

26
2
1
)
(
)
(
2
0
1
2
0
1
0
=
+
=
x
x
y
.
На рис. 16 дана геометрическая иллюстрация решения задачи (5), (6). На
линии L, по которой пересекаются вертикальная плоскость Q и график
f
Γ
функции (5), самой низкой точкой является точка
).
2
1
,
2
1
,
2
1
(
)
,
,
(
0
0
2
0
1
0
=
=
y
x
x
P
На поверхности
f
Γ
самой низкой является точка 0 = (0,0,0). Таким образом, на
рис. 16 видно, что условный глобальный минимум функции (5), который равен
2
1
не совпадает с ее абсолютным (безусловным) минимумом, равным нулю. На
рис. 16 также хорошо видно, что ни на линии L, ни на графике
f
Γ
нет самых
высоких точек, т.е. функция (5) не имеет условного глобального максимума и
абсолютного глобального максимума.
Решение примера 12 подсказывает следующий естественный на первый
взгляд способ решения задачи (1), (2). С помощью уравнения (2) сначала
выразить переменную
2
x через переменную
1
x (или переменную
1
x через
переменную
2
x ). Затем полученное выражение
)
(
1
2
x
h
x =
подставить в
функцию (1), которая после этого станет функцией
))
(
,
(
1
1
x
h
x
f
одной
переменной
1
x , и эту функцию исследовать на (безусловный) экстремум. Из
отсутствия точки (точек) экстремума у функции
))
(
,
(
1
1
x
h
x
f
следует отсутствие
точки (точек) условного экстремума у функции (1.1). Если
0
1
x
– точка
экстремума функции
)),
(
,
(
1
1
x
h
x
f
y =
то точка
))
(
,
(
)
,
(
0
1
0
1
0
2
0
1
x
h
x
x
x
=
– точка
условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2).
L
P
Q
0
M
M
1
1
1
1
x
2
x
y
0
P
0
1
2
1
=
+ x
x
Рисунок 16 – Геометрическая иллюстрация решения задачи (5), (6).

---

Page 27

27
Однако, к сожалению, выразить аналитически переменную
2
x через
переменную
1
x (или переменную
1
x через переменную
)
2
x
часто бывает
сложно, а то и невозможно. По этой причине только что описанная простая
идея сведения задачи на условный экстремум для функции (1) двух переменных
к задаче на безусловный экстремум для функции
))
(
,
(
1
1
x
h
x
f
одной переменной
не может быть использована в качестве основы универсального метода
решения задачи (1), (2) на условный экстремум.
1.6 Метод Лагранжа для решения задач
оптимизации на условный экстремум
Суть метода Лагранжа состоит в построении функции вида
(
) (
)
(
)
2
1
2
1
2
1
,
,
,
,
x
x
g
x
x
f
x
x
L
λ
λ
+
=
от трех переменных
,
,
,
2
1
λ
x
x
называемой
функцией Лагранжа, и в сведении задачи на условный экстремум в случае двух
независимых переменных к задаче на абсолютный экстремум функции
L
(
)
λ,
,
2
1
x
x
трех независимых переменных
λ,
,
2
1
x
x
.
Функция Лагранжа L
(
)
λ,
,
2
1
x
x
представляет собой сумму целевой
функции (1) и функции ограничения (2), умножений на новую независимую
переменную
λ
, называемую множителем Лагранжа, входящую обязательно в
первой степени:
Необходимое условие локального условного экстремума функции (1) при
наличии ограничения (2) в аналитической форме имеет следующий вид: пусть
функции
(
) (
)
2
1
2
1
,
,
,
x
x
g
x
x
f
непрерывны и имеют непрерывные частные
производные первого порядка по переменным x
1
и x
2
; пусть
(
)
0
2
0
1
,x
x
- точка
условного локального экстремума функции (7) при наличии ограничения (8) и
пусть grad
(
)
0
,
0
2
0
1
=
x
x
g
. Тогда существует единственное число
0
λ , такое, что
(трехмерная) точка
(
)
0
0
2
0
1
,
,
λ
x
x
удовлетворяет следующей системе трех
уравнений с тремя неизвестными
λ,
,
2
1
x
x
:





=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
0
/)
,
,
(
;0
/)
,
,
(
;0
/)
,
,
(
2
1
2
2
1
1
2
1
λ
λ
λ
λ
x
x
L
x
x
x
L
x
x
x
L
(отметим, что всегда
(
)
(
)
2
1
2
1
,
/
,
,
x
x
g
x
x
L
=
∂
∂
λ
λ
).
Иначе говоря, если двумерная точка
( )
0
2
0
1
,x
x
есть точка локального
экстремума функции (1) при наличии ограничения (2), то трехмерная точка
(
)
0
0
2
0
1
,
,
λ
x
x
- критическая точка функции Лагранжа. Отсюда следует, что для
(7)

---

Page 28

28
нахождения точек (условного) локального экстремума функции (1) при
наличии ограничения (2) прежде всего следует найти критические точки
функции Лагранжа, т. е. найти все решения системы уравнений (7). Далее
критические точки функции Лагранжа следует укоротить, удалив из них
последние координаты
0
λ . Затем каждую укороченную критическую точку
необходимо проанализировать, является ли она в действительности точкой
(условного) локального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2)
или не является. При этом используют геометрические или содержательные
экономические соображения.
В некоторых новых задачах на условный экстремум, появляющихся в
экономике, обычно укороченная критическая точка функции Лагранжа
действительно является точкой условного локального (и глобального)
экстремума функции (1).
Пример 12. (продолжение) Решить задачу (5), (6) на условный экстремум
методом Лагранжа.
Решение. Имеем
(
)
(
)
1
,
,
2
1
2
2
2
1
2
1
−
+
+
+
=
x
x
x
x
x
x
L
λ
λ
, откуда следует, что
(
)
(
)
(
)





=
−
+
=
∂
∂
=
+
=
∂
∂
=
+
=
∂
∂
.0
1
/
,
,
;0
2
/
,
,
;0
2
/
,
,
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
x
x
x
x
L
x
x
x
x
L
x
x
x
x
L
λ
λ
λ
λ
λ
λ
Из первых двух уравнений получаем, что
2
1
x
x = , откуда, используя
третье уравнение, получаем, что
2/
1
0
2
0
1
=
= x
x
Таким образом, система уравнений (8) имеет единственное решение, т. е.
дает единственную критическую точку функции Лагранжа (1/2, 1/2, –1)
(
0
λ =
0
1
2x
−
=
1
2/
1
2
−
=
⋅
−
). Укороченная критическая точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
= (1/2; 1/2)
есть точка условного локального (также и глобального) минимума заданной
функции при ее заданном ограничении, так как непосредственно проверяется,
что при
)
,
(
2
1
x
x
)
,
(
0
2
0
1
x
x
справедливо неравенство
(
)
( )
2/
1
,
,
0
2
0
1
2
1
=
>
x
x
f
x
x
f
.
Если задана общая задача с ограничениями на определение условного
экстремума:
(
)
( )
min
max
,...,
1
→
n
x
x
f
при условиях
(
)
(
)





=
=
0
,...,
........
,0
,...
1
1
1
n
n
n
x
x
g
x
x
g
(обычно m<n), то функция Лагранжа имеет вид:
(8)
(9)
(10)

---

Page 29

29
(
) (
)
(
)
(
)
.
,...,
...
,...,
,...,
,...,
,
,...,
1
1
1
1
1
1
n
m
m
n
n
m
n
x
x
g
x
x
g
x
x
f
x
x
L
λ
λ
λ
λ
+
+
+
=
При этом система (8) переписывается в виде системы п+m уравнений с
п+m неизвестными
m
n
x
x
λ
λ ,..,
,
,...,
1
1
.
Критическая
(
)
m
n +
-мерная точка
(
)
0
0
1
0
0
1
,...,
,
,...,
m
n
x
x
λ
λ
функции Лагранжа
после операции укорачивания приобретает вид n-мерной точки.
Если использовать понятие градиента, то условия локального экстремума
для функции
(
)
2
1
, x
x
f
можно представить в компактной векторной форме:
0
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
=
+
x
x
g
grad
x
x
f
grad
λ
.
Для критической точки
(
)
0
0
2
0
1
,
,
λ
x
x
функции Лагранжа имеем:
grad
( )
0
0
2
0
1
,
λ−
=
x
x
f
grad
( )
,
,
0
2
0
1
x
x
что эквивалентно тому, что в точке
)
,
(
0
2
0
1
x
x
линии уровней
( )
0
2
0
1
,x
x
f
и 0
функций
(
)
2
1
, x
x
f
и
(
)
2
1
,x
x
g
соответственно касаются.
Теперь приведем необходимое условие локального условного экстремума
функции (1) при наличии ограничения (2) в геометрической форме.
Пусть функции
(
)
,
,
2
1
x
x
f
(
)
2
1
, x
x
g
непрерывны и имеют непрерывные
частные производные первого порядка по переменным x
1
и x
2
; пусть
)
,
(
0
2
0
1
x
x
—
точка условного локального экстремума функции (1) при наличии ограничения
(2) и пусть
0
)
,
(
0
2
0
1
=
x
x
f
grad
и
0
)
,
(
0
2
0
1
=
x
x
g
grad
.
Тогда
)
,
(
0
2
0
1
x
x
f
grad
и
)
,
(
0
2
0
1
x
x
g
grad
, выходящие из точки
)
,
(
0
2
0
1
x
x
,
обязательно
расположены
на
одной прямой с
противоположными
направлениями, что эквивалентно тому, что линии уровней функций
)
,
(
2
1
x
x
f
и
)
,
(
2
1
x
x
g
, содержащие точку
)
,
(
0
2
0
1
x
x
, касаются в этой точке (рис. 17),
являющейся точкой условного локального максимума.
0
τ
l
2
τ
l
1
τ
l
(
)
0
2
0
1
;x
x
A
(
)
0
2
0
1
;x
x
f
grad
(
)
0
2
0
1
;x
x
g
grad
)
,
(
2
1
x
x
2
x
1
x
Рисунок 17 – Градиенты функций
)
;
(
0
2
0
1
x
x
f
y =
и
)
;
(
0
2
0
1
x
x
g
;
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g

---

Page 30

30
Фрагмент карты линий уровня целевой функции
)
,
(
2
1
x
x
f
типичен для
экономической теории. Однако необходимое условие (в том числе и
геометрическое) локального экстремума функции (1) при наличии ограничения
(2), вообще говоря, не является достаточным.
В случае касания в точке
)
,
(
0
2
0
1
x
x
линий уровня функций
)
,
(
2
1
x
x
f
и
)
,
(
2
1
x
x
g
(это эквивалентно расположению на одной прямой градиентов
)
,
(
0
2
0
1
x
x
f
grad
и
)
,
(
0
2
0
1
x
x
g
grad
исходящих из точки
)
,
(
0
2
0
1
x
x
), точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
может и не являться точкой условного локального экстремума функции (1) при
наличии ограничения (2). Иллюстрацией этому может служить точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
на
рис. 18 – укороченная критическая точка функции Лагранжа, которая не
является точкой локального экстремума функции (1) при наличии ограничения
(2).
Это очевидно из наглядных геометрических построений, так как в точках
)
,
(
2
1
x
x
, расположенных на линии
)
,
(
2
1
x
x
g
=0 строго выше точки
)
,
(
0
2
0
1
x
x
,
справедливо неравенство
)
)(
,
(
)
,
(
0
1
0
2
0
1
2
1
t
t
x
x
f
x
x
f
<
<
, а в точках
)
,
(
2
1
x
x
расположенных на линии
)
,
(
2
1
x
x
g
=0 строго ниже точки
)
,
(
0
2
0
1
x
x
справедливо
неравенство
)
)(
,
(
)
,
(
0
1
0
2
0
1
2
1
t
t
x
x
f
x
x
f
>
>
(заметим, что фрагмент на рис. 18
нетипичен для экономической теории).
Пример 12 (продолжение). Приведем аналог рис. 17 для задачи (5), (6) на
условный экстремум (рис. 19).
0
τ
l
2
τ
l
1
τ
l
(
)
0
2
0
1
; x
x
(
)
0
2
0
1
; x
x
f
grad
)
,
(
2
1
x
x
2
x
1
x
Рисунок 18 – «Укороченная» критическая точка;
(
)
0
2
0
1
; x
x
g
grad
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g
)
,
(
2
1
x
x
2
0
1
τ
τ
τ
>
>
0

---

Page 31

31
В случае рис. 17:
( )) ( )) (
)
(
)
( )
(
) ( )
,1
,1
1
,1
,1
2
1
2,
2
1
2
2,
2
0
0
0
0
0
0
2
1
2
1
2
2
2
1
=
−
+
=
⋅
⋅
=
=
+
x
x
grad
x
x
x
x
grad
1
0
−
=
λ
1.7 Понятие о задаче математического программирования
Если в задаче (1), (2) на условный экстремум ограничение (2) в виде
равенства заменяется на ограничение
0
)
,
(
2
1
≤
x
x
g
в виде неравенства, то мы
получаем частный случай задачи математического программирования:
max
)
,
(
2
1
→
x
x
f
(min)
при условии
0
)
,
(
2
1
≤
x
x
g
В случае функции двух переменных задача математического
программирования (для определенности - задача на максимум) имеет вид:
max
)
,
(
2
1
→
x
x
f
при условиях
(13)
(11)
(12)
( ) ( )
(
)
1
0
2
0
1
2
0
2
2
0
1
−
+
=






+
x
x
grad
x
x
grad
2
x
1
x
Рисунок 19 – Поиск условного экстремума
1,5
1
0,5
1,5
1
0,5
0

---

Page 32

32
.
,0
)
,
(
....
..........
,0
)
,
(
2
1
2
1
1





≤
≤
x
x
g
x
x
g
m
0
,0
2
1
≥
≥ x
x
.
Функцию
)
,
(
2
1
x
x
f
принято называть целевой, неравенства (14) –
специальными ограничениями задачи математического программирования,
неравенства (15) – общими ограничениями задачи математического
программирования.
Точка
)
,
(
2
1
x
x
, удовлетворяющая специальным и общим ограничениям,
называется допустимым решением задачи математического программирования.
Множество всех допустимых решений задачи математического
программирования (далее, для краткости, ЗМП) называется допустимым
множеством этой задачи.
Если ЗМП имеет хотя бы одно допустимое решение (т.е. ее допустимое
множество не пусто), она называется допустимой, если ЗМП не имеет ни
одного допустимого решения (т.е. ее допустимое множество пусто), она
называется недопустимой.
Точка
)
,
(
0
0
2
1
x
x
называется оптимальным решением ЗМП, если, во-первых,
она есть допустимое решение этой ЗМП и если, во-вторых, на этой точке
целевая функция достигает глобального максимума (в случае задачи
максимизации) или глобального минимума (в случае задачи минимизации)
среди всех точек, удовлетворяющих ограничениям, т.е. для всех
)
,
(
2
1
x
x
,
удовлетворяющих неравенствам (14)-(15), справедливо неравенство
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
0
0
x
x
f
x
x
f
≥
(в случае задачи максимизации),
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
0
0
x
x
f
x
x
f
≤
(в случае задачи минимизации).
На первый взгляд, ЗМП может рассматриваться как задача более общая
по сравнению с задачами на абсолютный (если убрать все специальные и общие
ограничения) и условный (если убрать все общие ограничения, а из
специальных оставить одно в виде равенства) экстремумы. Однако в
действительности полное обобщение места не имеет, ибо в случае ЗМП речь
идет только о глобальном экстремуме, в то время как в случае задачи на
абсолютный и условный экстремум речь идет как о глобальном, так и о
локальном экстремуме.
(14)
(15)

---

Page 33

33
1.8 Вопросы для самопроверки
1. Что называется графиком функции двух переменных? Приведите примеры
(не менее двух) графиков.
2. Сформулируйте определение множества (линии) уровня функции двух
переменных. Может ли множество уровня функции двух переменных не быть
линией? Если может, приведите примеры. Могут ли множества (линии) двух
различныхуровнейиметьобщие точки? Дайте обоснование ответа.
3. Как в терминах линий уровня описать подъем туриста на гору (холм)?
4. В чем отличие (первой) частной производной от (первой) производной?
5. Опишите взаимосвязь между градиентом функции двух переменных и ее
линией уровня.
6. Приведите формулу производной неявной функции.
7. Сформулируйте определение (первого) полного дифференциала.
8. Сформулируйте определение однородной функции степени р.
9. В чем суть теоремы Эйлера?
10.Сформулируйте определение локального и глобального экстремума
функции двух и n переменных. Может ли глобальный экстремум не быть
локальным?
11.Что такое задача на условный экстремум?
12.Сопоставьте задачи на условный и абсолютный экстремум.
13.Напишите функцию Лагранжа.
14.Сформулируйте необходимое условие локального условного
экстремума (аналитическая форма).
15.Сформулируйте необходимое условие локального условного
экстремума (геометрическая форма).
16.Приведите формулировку задачи математического программирования.
17.Приведите формулировку задачи линейного программирования.
1.9 Индивидуальные задания к лабораторным работам
1. Цель работы
Цель лабораторной работы – приобрести практические навыки работы по
поиску условного и абсолютного экстремумов.
2. Порядок выполнения лабораторной работы
1. Изучить методические указания к данной лабораторной работе.
2. Ответить на вопросы для самопроверки.
3. Выполнить предложенные задания согласно своему варианту.

---

Page 34

34
4. Каждый пункт задания должен быть озаглавлен и снабжен краткими
комментариями.
5. Результаты выполнения работы должны быть отпечатаны на принтере.
3. Необходимое оборудование
Для выполнения лабораторной работы необходим компьютер IВМ с
Pentium процессором и объемом оперативной памяти не менее 64 Мбайт. На
компьютере должна быть установлена операционная система Windows-98 или
выше, пакет прикладных программ Mathcad 2000.
1.10 Задание №1. Графики и линии уровня функций
двух переменных (2 часа)
Задание предлагается выполнять в следующей последовательности.
1. Загрузите пакет прикладных программ Mathcad 2000.
2. Постройте графики и линии уровня для следующих функций:
1) z=x
0,25
+y
0,25
;
2) z=x
2
-y
2
;
3) z=2x+3y;
4) z=x
2
+y
2
;
5) z=2+2x+2y-x
2
-y
2
.
3. Прокомментируйте полученные результаты.
1.11 Задание №2. Задачи нелинейной оптимизации (2 часа
)
Задание предлагается выполнять в следующей последовательности.
1. Для своего варианта задания решить задачу нелинейной оптимизации
методом Лагранжа.
2. Загрузите пакет прикладных программ Mathcad 2000.
3. Постройте графики и линии уровня для оптимизируемой функции.
4. Найдите точки безусловного и условного глобального минимума
функции.
5. Прокомментируйте полученные результаты.
Пример задачи нелинейной оптимизации
По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить
180 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены двумя технологическими
способами. Стало известно, что при производстве
1
x изделий первым способом
затраты равны:
2
1
1
4
x
x +
руб.
При изготовлении
2
x изделий вторым способом они составляют:

---

Page 35

35
2
2
2
8
x
x +
руб.
Необходимо определить, сколько изделий каждым из способов следует
изготовить, так чтобы общие затраты на производство продукции были
минимальными.
Решение.
Видно, что затраты в первом случае растут медленнее, чем во втором.
Поэтому, на первый взгляд кажется, что выгоднее изготовить все 180 единиц
только первым способом. Покажем, что это ошибка.
Например, сумма затрат при производстве 5 единиц изделий только
первым способом будет:
45
5
5
4
2
=
+
×
руб.
А если изготовить 3 единицы первым способом, а 2 единицы вторым, то
затраты будут меньше:
грн
Сумма
грн
грн
41
:
20
2
2
8
21
3
3
4
2
2
=
+
×
=
+
×
Экономия, как видно, составляет 4 грн. В случаях, когда необходимо
изготавливать тысячи единиц, экономия становится более ощутимой.
Очевидно, что существует какие-то оптимальные числа произведенной
продукции первым и вторым способом, при которых суммарные затраты будут
минимальны. Покажем, как ищутся эти числа.
Математическая постановка задачи заключается в определении
минимального значения суммарных затрат при производстве первым и вторым
способами:
Суммарные затраты
2
2
2
2
1
1
8
4
x
x
x
x
+
+
+
=
при условиях ограниченности выпуска:
.0
,0
180
2
1
2
1
≥
≥
=
+
x
x
ед
x
x
Таким образом, нам необходимо минимизировать целевую функцию
2
2
2
2
1
1
8
4
x
x
x
x
f
+
+
+
=
при двух условиях
.0
,0
180
2
1
2
1
≥
≥
=
+
x
x
x
x

---

Page 36

36
Нарисуем ограничительную линию выпуска изделий
180
2
1
=
+ x
x
(см.
рисунок). При
0
1
=
x
,
180
2
=
x
отметим первую точку. При
0
2
=
x
,
180
1
=
x
отметим вторую точку. Соединим их.
Как видно из рисунка, областью допустимых решений является отрезок
прямой AB. Именно на нем где-то находится точка, по которой можно легко
найти оптимальные значения
1
x и
2
x .
Внимательно посмотрев на вид этой функции, можно убедиться, что это
окружность, каноническое уравнение которой:
(
) (
)
2
2
2
r
b
y
a
x
=
−
+
−
,
где
b
a, — координаты центра окружности с радиусом
y
x
r ,
,
—
координаты окружности.
Действительно, заменяя переменную
y
на
2
x при координатах центра
окружности:
4
,2
−
=
−
=
b
a
,
получаем наше исходное уравнение суммарных затрат:
( )
(
)
( )
(
)
.
20
8
4
или
,
16
8
4
4
4
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−
−
+
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
,
2
x
1
x
A
D
B
0
180
2
1
=
+ x
x
180
180
Рисунок 20 Геометрическая интерпретация
задачи нелинейного программирования

---

Page 37

37
Число справа (20) – это величина квадрата радиуса окружности (см.
каноническое уравнение окружности). Одновременно это и значение целевой
функции f .
20
2
=
r
,
Проводя из найденного центра
( ) (
)
4
,2
,
−
−
=
b
a
окружности разных
радиусов, мы увидим, что минимальное значение целевая функция принимает в
точке D на пересечении с построенной ограничительной прямой
180
2
1
=
+ x
x
.
Найдем методом Лагранжа экстремум функции
2
2
2
2
1
1
8
4
x
x
x
x
f
+
+
+
=
при условии, что
.0
,0
180
2
1
2
1
≥
≥
=
+
x
x
ед
x
x
Запишем функцию Лагранжа.
(
)
(
)
180
8
4
,
,
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
−
+
+
+
+
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
L
λ
λ
, откуда следует, что
(
)
(
)
(
)





=
−
+
=
∂
∂
=
+
+
=
∂
∂
=
+
+
=
∂
∂
.0
180
/
,
,
;0
2
8
/
,
,
;0
2
4
/
,
,
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
x
x
x
x
L
x
x
x
x
L
x
x
x
x
L
λ
λ
λ
λ
λ
λ
Из первых двух уравнений получаем, что
2
1
2 x
x
+
=
, откуда, используя
третье уравнение, получаем, что
.
89
,
91
0
2
0
1
=
=
x
x
Таким образом, система уравнений имеет единственное решение, т. е.
дает единственную критическую точку функции Лагранжа (91, 89, -186)
(
0
λ =
)
2
4(
0
1
x
+
−
=
186
)
91
2
4(
−
=
⋅
+
−
). Укороченная критическая точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
= (91; 89) есть точка условного локального (также и глобального) минимума
заданной функции при ее заданном ограничении, так как непосредственно
проверяется, что при
)
,
(
2
1
x
x
и
)
,
(
0
2
0
1
x
x
справедливо неравенство
(
)
( )
.
17278
,
,
0
2
0
1
2
1
=
>
x
x
f
x
x
f
В заключение объясним некоторые причины нелинейного изменения
затрат.
• Возможности
производства
(мощности, количество
единиц
оборудования, энергообеспечение
и
т.д.) не
всегда
соответствуют
поставленным задачам; поэтому часто приходится "на ходу", параллельно с
выпуском ограниченного количества продукции перестраивать производство
под большие объемы; затраты при этом растут непропорционально количеству
выпускаемого товара.

---

Page 38

38
• Некоторые технологические процессы изготовления продукции требуют
непрерывного
потока
материальных
ресурсов
(сырья, материалов,
энергоресурсов, химических веществ и т.д.), причем эти потоки со временем
могут увеличиваться непропорционально количеству выпускаемой продукции,
а следовательно, нелинейно увеличиваются и затраты.
• В некоторых случаях износ оборудования в производстве требует
затрат, которые растут непропорционально количеству производимой на этом
оборудовании продукции.
• На
заключительных
стадиях
внедрения
и
эксплуатации
высокопроизводительного оборудования, когда оно уже окупает себя, затраты
могут нелинейно уменьшаться с увеличением выпуска продукции.
• При закупке товаров оптом затраты могут нелинейно расти или падать,
в зависимости от частоты и величины оптовых закупок.

---

Page 39

39
1.12 Решение задачи с помощью пакета Mathcad 2000
Минимизируемая функция
Z(x,y):=4⋅x+x
2
+8⋅y+y
2
Безусловный глобальный минимум
x:=1
y:=1
начальное приближение
p:=Minimize(z, x, y)








−
−
=
4
2
p
20
)
,
(
1
0
−
=
p
p
z
Условный глобальный минимум
начальное приближение
x:=10
y:=10
Ограничения
Given
(x+y)=180
0
≥
x
0
≥
y
p:=Minimize(z, x, p)








=
89
91
p
17278
)
,
(
1
0
=
p
p
z
z
z
Г
РАФИК ФУНКЦИИ
Линии уровня

---

Page 40

40
1.13 Варианты заданий
В условиях предыдущей задачи требуется определить оптимальное число
изделий, изготовленных различными способами, так чтобы общие затраты на
производство продукции были минимальными. Вычислить получаемую
экономию от такого решения задачи.
Вариант 1
Затраты для производства первым способом:
1
2
1
2x
x +
руб (а=2).
Затраты для производства вторым способом:
2
2
2
16x
x +
руб(б=16).
Общий объем выпуска: 100 шт(с=100).
Варианты заданий представлены в таблице
Ва
риа
нт
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
а
3
4
5
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
б
15 17 18 29 19 20 21 22 23 24 25 26 27 30
с
70 80 90 100 95 80 81 50 60 90 110 60 75 85
2.Лабораторная работа №2
Тема :"Основные элементы и приемы моделирования экономических
систем. Предельные значения"
Цель–получение практических навыков использования основных
элементов и приемов моделирования экономических систем
2.1 Индивидуальное задание
Задание1. Определение надбавки на цену при монопольном
функционировании производителя на рынке
Известно, что цена (р) на продукцию определяется на основе предельных
затрат (МС).
.
MC
p
c
=
Вместе с тем, монополист назначает цену выше предельных затрат, чтобы
получить планируемую прибыль. Тогда цена на продукцию
m
p
рассчитывается
по формуле:

---

Page 41

41
цену.
на
надбавка
S
где
),
1(
−
−
=
S
MC
p
m
Условие максимизации прибыли определяется на основе производной от
прибыли:
продукции.
сть
себестоимо
полная
С
выручка,
В
где
),
(
−
−
−
=
С
В
П
(
)
.
спроса
ть
эластичнос
E,
продукции
объем
q
где
,
E
1
1
p
E
1
1
p
p
)q
(
p
*
q
1
p
)q
(
p
*
q
)q
(p
q
*)
q(
Р
МВ
,0
МС
МВ
С
В
П
D
D
D
1
1
1
1
1
1
−
−








−
=






+
=






+
=
=
+
=
=
=
−
=
−
=
Приравняв МВ=МС можно установить максимальную цену:
.С/
П
ость
рентабельн
тогда
,
E
1
1
МС
p
D
m
=
−
=
Исходные данные для моделирования
Проведите анализ, используя исходные данные (табл.1), и приняв во
внимание, что функция спроса имеет вид Д=а–р*в ,
где а- функция затрат на единицу продукции для различной мощности
предприятия (к). Ее значение можно найти по выражению а=С–к*Е
(Е- параметр снижения постоянных затрат).
Таблица 1 – Исходные данные
Варианты
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
а
10
11
12
13
14
15
16
17
18
18
в
.2
.3
.4
.3
.2
.4
.5
.2
.3
.4
с
6
7
8
5
4
3
6
5
4
3
е
.1
.5
.6
1
.6
0.7
0.8
0.9
0.3
0.4
к
1
1.2
1.1
1
.9
.8
1.1
1.2
1.3
1.1
Q*10 10
12
13
15
16
13
11
12
13
17
Продолжение таблицы 1
Варианты
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
а
19
20
21
22
22
23
24
25
26
27
в
.1
.3
.2
.4
.5
.2
.3
.4
.6
.2
с
7
4
6
4
7
8
5
6
6
7

---

Page 42

42
е
0.6
0.7
0.3
0.8
0.7
0.6
0.8
.6
.8
.9
к
1.4
1.2
1.2
1.3
1.4
1.2
1.2
0.11 1.2
1.3
Q*10 18
19
12
13
14
18
11
13
14
15
От вас требуется
1.Составить модель исследования цены
2.Установить максимальную цену.
3.Оценить рентабельность продукции.
4.Провести исследования максимальной цены и рентабельности
в
зависимости от параметров функции
спроса (этот этап выполните с
использованием приложения Excel).
Задание 2- Сегментация рынка
При неизменных затратах (МС=0) и возможной сегментации рынка
одного товара (два рынка) суммарная выручка от продаж на этих рынках будет
максимальной, если равны предельные доходы от каждого из рынков.
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
МР
Е
р
Е
р
МР
Д
Д
=










−
=










−
=
, поэтому
.
1
1
1
1
1
2
2
1
Д
Д
Е
Е
р
р
−
−
=
Следовательно, те покупатели, спрос которых
на товар менее эластичен будут платить за него большую цену. Параметры
функции спроса на втором сегменте приведены в таблице2
Таблица 2- Спрос на втором рынке
Вариа
нт
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
А1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
2 3 4 5 6 7
В1
.5 1 1
.
5
2 3 4 3 5 6 7 3
1 2 6 5 2 3
От Вас требуется определить цену на втором сегменте и графически
представить в системе EXCEL изменение цены при вариации параметров
эластичности на втором рынке.
Задание 3 Предельные значения

---

Page 43

43
Совокупный доход (TR) и общие затраты (TC) фирмы ( для объема
производства
1000-1300ед.
продукции)
выражены
следующими
функциями:
,
415000
330
,
1500
2
+
=
+
−
=
x
TC
x
a
x
TR
где x–объем производства.
От вас требуется , используя исходные данные(табл1)
Ва
риа
нт
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
а
1
2
3
4
5
1.3 1.4 1.7 1.9 1.2 1.1 2.5 2.4 3.5
1 .Найти выражение для совокупной прибыли.
2.Используя дифференциальное исчисление определить выражение для
предельного дохода и приростной прибыли; найти объем производства ,
максимизирующий прибыль.
3.Используя графические редакторы исследовать предельный доход и
предельные затраты для заданного объема производства
Методические указания.
ПО п2 выражения для предельного и приростной прибыли могу быть
получены на основе дифференцирования совокупного дохода и общей
прибыли. Максимум прибыли может быть найден на основе приравнивания к
нулю приростной прибыли.
3 Лабораторная работа №3
Тема “Модель потребительского спроса (линии безразличия, уравнение
Слуцкого)”
Цель-получение практических навыков в выборе потребительского
спроса на товар
3.1 Теоретические основы
Индивиды потребляют различные потребительские стоимости (блага и услуги), чтобы в ответ на
возникающие у них разнообразные желания получить полезный эффект, или, иными словами, удовлетворить эти
желания. Основой изучения личного потребления (индивидуальных потребителей и домашних хозяйств) служат
кривые безразличия.
Рассмотрим простой пример. Допустим, домашнее хозяйство может потреблять два вида благ (благо 1
и благо 2). Пусть в течение некоторого периода первое благо потребляется в количестве
1
X
, авторое– вколичестве
2
X
. Двумерныйвектор
(
)
2
1
, X
X
назовем планом потребления. Домашнее хозяйство сравнивает вектор
потребления (набор потребляемых благ)
(
)
A
A
X
X
A
2
1
,
=
с другим вектором потребления
(
)
B
B
X
X
B
2
1
,
=
и
выносит одно из следующих суждений:
а) вектор А предпочтительнее, чем вектор В;
б) вектор В предпочтительнее, чем вектор А;

---

Page 44

44
в) векторы А и В равнопредпочтительны (потребителю безразлично, какой из векторов А или В выбрать).
Кривая безразличия – это все планы потребления, которые находятся в отношениях безразличия с
рассматриваемым планом потребления.
Если обозначить через
(
)
2
1
,Y
U
U =
функцию, или, иначе говоря, индекс полезности, которую можно
получить от потребления благ, заданных вектором
(
)
2
1
, X
X
, то кривая безразличия это набор значений
(
)
2
1
, X
X
, которые приводят к одномуи томуже значению
*
U
. Существуют различные виды кривых
безразличия, определяемые способом задания функции полезности. Приведем четыре типа функции полезности,
содержательных с точки зрения экономической науки и наиболее часто используемых на практике.
1. Функции с полным взаимозамещением благ, например,
2
2
1
1
X
b
X
b
U
+
=
.
2. Неоклассическая функция полезности, например,
2
2
1
b
b
X
X
U =
, где
1
2
1
≤
+ b
b
3. Функции с полным взаимодополнением благ, например,



≥
≥
=
⇔








=
.
;
:
,
min
2
2
1
1
2
2
1
1
u
b
X
u
b
X
u
U
b
X
b
X
U
4. Функции смешанного замещающе-дополняющего типа, например,



+
≥
+
≥
+
=
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
1
;
u
c
u
b
Y
u
c
u
b
Y
u
u
U
Заметим, что функцию (2) обычно приводят в учебниках по микроэкономической теории. Функции (1),
(3), (4) – это функции полезности из линейной экономики, которая включает такие разделы, как линейное
программирование и анализ деятельности.
Вид кривых безразличия станет понятен, как только мы изобразим их с помощью средств
компьютерной графики.
Задача
Составим программу, изображающую с помощью средств компьютерной графики кривые безразличия,
соответствующие приведенным выше функциям полезности. На каждом графике разместим по три кривых.
( )
( )
i
i
c
I
C
b
I
B
=
= ,
– параметры функций полезности;
2
1
,U
U
– минимальное и максимальное значение функции полезности.
Чтобы построить кривую безразличия, необходимо выразить один из аргументов функции полезности через
другой аргумент и значение функции полезности U. Так, для функции полезности (1) получаем
(
)
,
2
1
1
2
b
X
b
U
X
−
=
а для функции (2) –
2
1
/1
1
2
b
b
X
U
X








=
2. В общем виде неоклассическая функция полезности гладкая (дифференцируемая, строго говоря,
непрерывно дифференцируемая) функция второго порядка, удовлетворяющая гипотезе об убивающей
предельной полезности. Если зафиксировать потребление второго блага на постоянном уровне и увеличивать
при этом потребление первого блага, то полезность для домашнего хозяйства будет возрастать (иначе говоря,
предельная полезность
0
/
1
>
∆
∆
X
U
). Вместе с тем эта полезность (независимо от того, потребление
какого из двух благ мы будем увеличивать) не будет расти в той же степени, что и объем потребления (т. е.
(
)
0
/
/
1
1
<
∆
∆
∆
∆
X
X
U
), в чем и заключается смысл убывающей предельной полезности. Используя
обозначения дифференциального счисления, упомянутую гипотезу можно записать следующим образом:
.2,
1
,0
/
,0
/
2
1
2
=
<
∂
∂
>
∂
∂
i
X
U
X
U
i
За исключением функции (2), все остальные функции полезности рассматриваемой гипотезе не
удовлетворяют. Однако обратим внимание на следующее. Глядя на графики функции полезности (рис. 21 – 24),
можно предположить, что, во-первых, ни одна из трех кривых для каждой из функций полезности не пересекается
с другими кривыми той же функции, во-вторых, в широком смысле все четыре функции (включая линейную

---

Page 45

45
функцию (1)) являются вогнутыми. Функции полезности, не отвечающие упомянутым двум условиям, трудно
назвать удовлетворительными, и с ними трудно иметь дело. Однако руководствоваться этими двумя условиями на
практике отнюдь не просто – построение конкретной формы функции полезности для отдельного индивида
является одной из самых сложных проблем экономической науки (до сих пор это никому не удалось).
1.
Если увеличение спроса на одно из двух благ сопровождается падением спроса на другое благо,
то эти два блага находятся в отношениях взаимозаменяемости и называются взаимозаменяемыми благами (в
качестве, примера можно привести кофе и чай). Если же при увеличении спроса на одно из двух благ растет
спрос и на второе благо, то они находятся в отношениях взаимодополнения и называются взаимодополняющими
благами (это, например, чай и сахар). В случае функции полезности (1) при фиксированной полезности U
увеличение
1
X
обязательно повлечет за собой уменьшение
2
X
, вслучае же функции (3) при фиксации отношения
2
1
/ X
X
на уровне
2
1
/b
b
увеличение
1
X
обязательновызывает пропорциональный рост
2
X
. Строго говоря,
неоклассическая функция полезности является одной из функций смешанного типа, однако для удобства мы
дали функциям (2) и (4) разные названия.
Рисунок 21

---

Page 46

46
Рисунок 23
Рисунок 22

---

Page 47

47
Задачи к самостоятельной работе
1. В пространстве двух товаров с ценами (3, 5) укажите несколько наборов товаров стоимостью 15, 30,
45. Пусть цены изменились и стали (4, 4). Приведите примеры наборов товаров, которые подешевели,
подорожали, остались той же стоимости.
2. Потребительская корзина есть некоторый набор фиксированные количеств основных товаров,
необходимых абстрактному "среднему" человеку на месяц –
(
)
a
a
A
,
,
1
K
=
. Пусть
n
p
p
,
,
1
K
– цены на
эти товары. Найдите цену всей корзины. Можно ли сравнение стоимостей потребительской корзины положить
в основу определения курса различных валют?
3. На двух разных рынках цены разные. На первом –
(
)
2
1
, p
p
, на втором –
(
)
'
2
'
1
, p
p
. Пусть S –
некоторая начальная денежная сумма, На эту сумму покупают товары на первом рынке, затем эти товару
продают на втором, на вырученную сумму снова покупают товары на первом .... и т.д. При каких соотношениях
между ценами на рынках можно разбогатеть в результате таких действий (в советское время это называлось
спекуляцией). Опишите разные стратегии действий при различных соотношениях между ценами на рынках.
4. Убедиться, что завышенный курс гривны (т.е. когда за гривну дают больше долларов, чем
"следовало бы") выгоден украинским импортерам, а заниженный – украинским экспортерам. Кому выгоден
фиксированный курс гривны при инфляции на Украине? (импортерам или экспортерам).
Указание. Импортер за доллары покупает товары за границей, продает их в Украине за гривны,
покупает в Украине за гривны доллары и т.д.
5. Магазин торгует гвоздями двух видов: 25 и 40 мм. Масса гвоздей соответственно 5 и 10 г, цена 5 и 7
грн. за кг. Покупатель, ведущий ремонт, хотел бы купить гвоздей на 10 грн. Описать доступные ему на эту
сумму наборы гвоздей. Подскажите покупателю, сколько и каких гвоздей ему купить, если бы он хотел купить
гвоздей: а) как можно меньше по массе, б) как можно больше по длине, в) длиной 40 мм в два раза больше по
массе, чем гвоздей 25 мм.
6. Что представляет собой с геометрической точки зрения бюджетное множество в пространстве трех
товаров?
7. Объем бюджетного множества В(Р,Q) можно считать мерой возможностей обладателя дохода Q в
части покупок товаров по ценам Р. Во сколько раз возрастет объем бюджетного множества при увеличении
дохода в два раза, всех цен в два раза? Решите эту задачу хотя бы для двух–трех товаров.
Рисунок 24

---

Page 48

48
8. Предпочтения разных людей различны. Пусть у Первого предпочтения таковы: м(андарины)
p
а(пельсины)
p
я(блоки), у Второго – а
p
я
p
м, у Третьего – я
p
м
p
а. Пусть у каждого вначале по 1 кг
фруктов каждого вида. Могут ли они в результате обмена стать "богаче" (т.е. иметь больше любимых фруктов)?
9. Найдите геометрическое выражение свойства желательности каждого товара (хотя бы для случая
двух товаров). Влечет ли это свойство выпуклость системы предпочтений? Верно ли обратное, т.е. следует ли
свойство желательности из свойства выпуклости?
3.2 Программное обеспечение
FrmVvod
Option Explicit
Dim Msg, Style, Title, Soob
Private Sub cmdPolnZam_Click()
Kluch = 1
Call VvodDan
If B1 = 0 Or B2 = 0 Or U1 = 0 Or U2 = 0 Then
Title = "Один из параметров равен 0"
SoobDan (Title)
Exit Sub
End If
Load frmGrafic
End Sub
Private Sub cmdNeoklas_Click()
'Text1.Text.SetFocus
Kluch = 2
Call VvodDan
If B1 = 0 Or B2 = 0 Or U1 = 0 Or U2 = 0 Then
Title = "Один из параметров равен 0"
SoobDan (Title)
Exit Sub
End If
If B1 + B2 > 1 Then
Title = "Параметры B(1)+B(2)<=1"
SoobDan (Title)
Exit Sub
End If
Load frmGrafic
End Sub

---

Page 49

49
Private Sub cmdPolnDop_Click()
'Text1.Text.SetFocus
Kluch = 3
Call VvodDan
If B1 = 0 Or B2 = 0 Or U1 = 0 Or U2 = 0 Then
Title = "Один из параметров равен 0"
SoobDan (Title)
Exit Sub
End If
Load frmGrafic
End Sub
Private Sub cmdSmeshan_Click()
'Text1.Text.SetFocus
Kluch = 4
Call VvodDan
If B1 = 0 Or B2 = 0 Or C1 = 0 Or C2 = 0 _
Or U1 = 0 Or U2 = 0 Then
Title = "Один из параметров равен 0"
SoobDan (Title)
Exit Sub
End If
If B2 <> C1 Then
Title = "Параметр B(2) не равен C(1)"
SoobDan (Title)
Exit Sub
End If
If B2 > B1 Or C2 < C1 Then
Title = "Параметры B(1)>B(2) и C(2)>C(1)"
SoobDan (Title)
Exit Sub
End If
Load frmGrafic
End Sub
Private Sub VvodDan()
B1 = Text1.Text
B2 = Text2.Text
C1 = Text3.Text
C2 = Text4.Text
U1 = Text5.Text
U2 = Text6.Text
End Sub
Private Sub SoobDan(Title)
Msg = "Измените данные" ' Определим сообщение
Style = vbOKOnly + vbExclamation ' Определим кнопки.
'Title = "Предупреждение" ' Определим заголовок.
Soob = MsgBox(Msg, Style, Title)
End Sub
Private Sub CmdVixod_Click()

---

Page 50

50
Unload frmVvod
Unload frmGrafic
End ' Ends the application.
End Sub
frmGrafic
Option Explicit
Dim X0, Y0, XX, YY, SX, SY, I, DelY, DelX
Dim Msg, Style, Title, Soob
Private Sub Form_Load()
ScaleMode = 3 ' устанавливаем измерение в пикселях.
ScaleWidth = 1000 ' ширина окна
ScaleHeight = 750 ' высота окна
X0 = 100 'ось Y от левого края
Y0 = ScaleHeight - 100 ' ось Х
FontSize = 10 ' устанавливаем размер фонта.
FontName = Screen.Fonts(5) 'устанавливаем фонт Courier
frmGrafic.Show
Select Case Kluch ' Evaluate Number.
Case 1
Call PolnZam
Case 2
Call Neoklas
Case 3
Call PolnDop
Case Else
Call Smeshan
End Select
Call Pechat
End Sub
Private Sub PolnZam()
'ТИП С ПОЛНЫМ ЗАМЕЩЕНИЕМ
Dim U, X, Y
Call Osi(X0, Y0)
CurrentX = 600
CurrentY = 20
Print "ТИП С ПОЛНЫМ ЗАМЕЩЕНИЕМ "
CurrentX = 600
CurrentY = 40
Print "U ="; B1; "* Y(1)+"; B2; "* Y(2)";
CurrentX = 600
CurrentY = 60
Print "MinU = "; U1, "MaxU = "; U2
DrawWidth = 2 ' толщина линии
XX = U2 / B1 ' максимальное значение X
YY = U2 / B2 ' максимальное значение Y
SX = XX / (ScaleWidth - X0 - 20) ' Масштаб по X
SY = YY / (ScaleHeight - X0 - 20) ' Масштаб по Y
For U = U1 To U2 Step (U2 - U1) / 2 '
For X = 0 To U / B1 Step SX '

---

Page 51

51
Y = (U - B1 * X) / B2
PSet (X / SX + X0, Y0 - Y / SY), 1
Next X
Next U
DelenOsi
End Sub
' НЕОКЛАССИЧЕСКОГО ТИПА
Private Sub Neoklas()
Dim U, X, Y
Call Osi(X0, Y0)
CurrentX = 600
CurrentY = 20
Print "НЕОКЛАССИЧЕСКОГО ТИПА"
CurrentX = 600
CurrentY = 40
Print "U=Y(1)^"; B1; "+Y(2)^"; B2
CurrentX = 600
CurrentY = 60
Print "MinU = "; U1, "MaxU = "; U2
XX = 20 ' максимальное значение X
YY = (U2 ^ (B1 + B2)) ^ (1 / B2) ' максимальное значение Y
SX = XX / (ScaleWidth - X0 - 20) ' Масштаб по X
SY = YY / (ScaleHeight - X0 - 20) ' Масштаб по Y
DrawWidth = 2 ' толщина линии
For U = U1 To U2 Step (U2 - U1) / 2 'Задаем 3 значения U
For X = 0.1 To XX Step SX / 5 'Рисуем график
Y = (U ^ (B1 + B2) / X ^ B1) ^ (1 / B2)
If Y0 - Y / SY > 20 Then
PSet (X / SX + X0, Y0 - Y / SY), 1
End If
Next X
Next U
DelenOsi
End Sub
' ТИП С ПОЛНЫМ ДОПОЛНЕНИЕМ
Private Sub PolnDop()
Dim X1, U, X, Y
Call Osi(X0, Y0)
CurrentX = 600
CurrentY = 20
Print "ТИП С ПОЛНЫМ ДОПОЛНЕНИЕМ "
CurrentX = 600
CurrentY = 40
Print "U=Min{ Y(1)/B(1), Y(2)/B(2) }"
CurrentX = 600
CurrentY = 60
Print "Y(1) >="; B1; "*u"
CurrentX = 600
CurrentY = 80
Print "Y(2) >="; B2; "*u"
CurrentX = 600
CurrentY = 100

---

Page 52

52
Print "MinU = "; U1, "MaxU = "; U2
XX = B1 * U2 * 3 ' максимальное значение X
YY = B2 * U2 * 3 'максимальное значение Y
SX = XX / (ScaleWidth - X0 - 20) ' Масштаб по X
SY = YY / (ScaleHeight - X0 - 20) ' Масштаб по Y
DrawWidth = 2 ' толщина линии
For U = U1 To U2 Step (U2 - U1) / 2 'Рисуем график
X = B1 * U
For Y = YY To B2 * U Step -SY
If Y0 - Y / SY > 20 Then
PSet (X / SX + X0, Y0 - Y / SY), 1
End If
Next Y
X1 = B1 * U
Y = B2 * U
For X = X1 To XX Step SX
PSet (X / SX + X0, Y0 - Y / SY), 1
Next X
Next U
DrawWidth = 1 ' толщина линии
For X = 0 To XX ' - 2 * X0 Step SX 'Рисуем диагональ
Y = B2 / B1 * X
If Y0 - Y / SY > 0 Then
PSet (X / SX + X0, Y0 - Y / SY), 1
End If
Next X
DelenOsi
End Sub
' СМЕШАННОГО ТИПА
Private Sub Smeshan()
Dim X1, X2, U, X, Y, Y2
Call Osi(X0, Y0)
CurrentX = 600
CurrentY = 20
Print "СМЕШАННОГО ТИПА "
CurrentX = 600
CurrentY = 40
Print "U=u(1)+u(2)"
CurrentX = 600
CurrentY = 60
Print "Y(1) >="; B1; "*u(1)+"; C1; "*u(2)";
CurrentX = 600
CurrentY = 80
Print "Y(2) >="; B2; "*u(1)+"; C2; "*u(2)"
CurrentX = 600
CurrentY = 100
Print "MinU = "; U1, "MaxU = "; U2
XX = B1 * U2 + C1 * U2 ' максимальное значение X
YY = B2 * U2 + C2 * U2 'максимальное значение Y
SX = XX / (ScaleWidth - X0 - 20) ' Масштаб по X
SY = YY / (ScaleHeight - X0 - 20) ' Масштаб по Y
DrawWidth = 2 ' толщина линии
For U = U1 To U2 Step (U2 - U1) / 2 '

---

Page 53

53
Y2 = C2 * U
X = C1 * U
For Y = YY To Y2 Step -SY
If Y0 / 2 - Y / SY / 2 > 20 Then
PSet (X / SX + X0, Y0 - Y / SY), 1
End If
Next Y
X1 = C1 * U
X2 = B1 * U
For X = X1 To X2 Step SX
Y = C2 * U + (B2 - C2) / (B1 - C1) * (X - C1 * U)
PSet (X / SX + X0, Y0 - Y / SY), 1
Next X
X1 = B1 * U
X2 = XX
Y = B2 * U
For X = X1 To X2 Step SX
PSet (X / SX + X0, Y0 - Y / SY), 1
Next X
Next U
DelenOsi
End Sub
' Рисуем оси
Private Sub Osi(X0, Y0)
Dim Del, I
Cls
DrawWidth = 1
frmGrafic.Line (X0, 20)-(X0, ScaleHeight - 20), 1
Del = (Y0 - 20) / 10
For I = 1 To 10
frmGrafic.Line (X0 - 10, Y0 - (Del * I))-(X0, Y0 - (Del * I)),
1
Next I
frmGrafic.Line (20, Y0)-(ScaleWidth - 20, Y0), 1
Del = (ScaleWidth - X0 - 20) / 10
For I = 1 To 10
frmGrafic.Line (X0 + Del * I, Y0)-(X0 + Del * I, Y0 + 10), 1
Next I
CurrentX = X0 - 50
CurrentY = 30
Print "X(2)"
CurrentX = ScaleWidth - 60
CurrentY = Y0 + 10
Print "X(1)"
End Sub
Private Sub DelenOsi()
DelX = XX / 10
DelY = YY / 10
For I = 1 To 9 'Ось Y
CurrentX = X0 - 70
CurrentY = Y0 - (DelY * I) / SY - 10
Print Int(DelY * I)

---

Page 54

54
Next I
For I = 1 To 9 'Ось X
CurrentX = X0 + DelX * I / SX - 25
CurrentY = Y0 + 10
Print Int(DelX * I)
Next I
End Sub
Private Sub Pechat()
Dim Response
Msg = "Печатать?" ' Определим сообщение
Style = vbOKCancel + vbExclamation ' Определим кнопки.
Title = "Окно печати" ' Определим заголовок.
Response = MsgBox(Msg, Style, Title)
If Response = vbOK Then ' User chose Yes.
frmGrafic.PrintForm
End If
End Sub
3.3 Теория потребления. Графики
Отношения предпочтения, характерные для каждого индивида, отражают
посредством кривой безразличия, а условия, ограничивающие потребительское
поведение, задают уравнением бюджетного ограничения. Если обозначить
рыночные цены первого и второго блага через
1
p и
2
p , а доход потребителя
через Q, то для плана потребления
(
)
2
1
, x
x
уравнение бюджетного ограничения,
или уравнение бюджетной прямой данного индивида, будет выглядеть
следующим образом:
Q
x
p
x
p
=
+
2
2
1
1
(в более общем случае справедливо неравенство) .
Будем считать, что каждый индивид в рамках бюджетного ограничения
старается распределить свой доход между различными потребительскими
благами таким образом, чтобы максимизировать полезность:
max
→
U
.
Соответствующий набор благ
( )
*
2
*
1
,x
x
называется оптимальным планом
потребления и обычно обозначает точку касания бюджетной линии и кривой
безразличия. Итак, в условиях, когда рыночные цены и доход индивида заданы
извне, оптимальный план потребления индивида определяется на основе принципа
максимизации полезности. Оптимальный план потребления изменяется в
зависимости от цен и дохода. Этот факт в виде функции можно записать так:
(
)
(
)
.
,
,
,
,
,
2
1
2
*
2
2
1
1
*
1
Q
p
p
x
x
Q
p
p
x
x
=
=
Приведенные функции называют функциями спроса домашнего хозяйства.
Они являются разновидностью функций потребления. Суть функции спроса

---

Page 55

55
отражена в кривых «доход-потребление» и «цены-потребление». Первая
показывает, каким образом при фиксированных ценах объем потребления
каждого из благ меняется в зависимости от изменения дохода. Вторая кривая
демонстрирует, как при фиксированном доходе объем потребления каждого из
благ меняется в зависимости от изменения цен. Все изложенное выше можно
проиллюстрировать на основе компьютерной графики.
Задание
Составить программу, которая последовательно изображает на экране
монитора следующие кривые.
1. Четыре кривые безразличия, касательными к которым служат четыре
бюджетные прямые, а также кривую доход-потребление. В качестве функции
полезности возьмем
2
2
1
1
ln
ln
x
b
x
b
U
+
=
(
1
b и
2
b постоянные).
2. Кривые, описанные в предыдущем пункте, но с учетом того, что
коэффициент
1
b функции полезности, отражающий важность первого блага,
меняется в зависимости от размера дохода. Иными словами, в зависимости от
дохода изменяются предпочтения. Положим
(
)
.
40
/
sin
05
.0
5.
0
1
Q
b
⋅
+
=
3. Четыре кривые безразличия и касательные к ним четыре бюджетные
прямые, а также кривую цены-потребление, зафиксировав доход Q и цену
второго блага
2
p и изменяя цену первого блага
1
p .
4. Кривые, описанные в п. (3); однако коэффициент
1
b , отражающий
важность первого блага, уменьшается по мере роста цены этого блага. Положим
1
1
/1 p
b =
5. Кривую цены-потребление, описанную в третьем пункте, как кривую
спроса, отложив по оси Y цену первого блага
1
p .
Список переменных:
U
–
индекс полезности;
( )
i
Y
I
Y
=
–
потребление i-го блага;
( )
i
b
I
B
=
–
коэффициенты функции полезности;
( )
i
P
I
P
–
цена i-го блага;
IN
–
доход;
3
,2
,1
I
I
I
–
начальный, конечный размер дохода и величина шага прироста
дохода;
3
,2
,1
J
J
J
–
начальная (1000/J = Pi), конечная цена и величина шага
прироста цены.
Комментарии

---

Page 56

56
Если форма кривых безразличия (предпочтения индивида) не зависит от
изменений дохода или цен, то кривые доход-потребление и цены-потребление
представляют собой прямые линии (случаи 1 и 3). Обычно в учебниках по
микроэкономическому анализу внимание на таких случаях не акцентируют,
соответствующие примеры не приводят, и эти кривые изображают в виде
изогнутых линий. В нашей программе коэффициент функции полезности
1
b
изменяется в зависимости от дохода и цен (случаи 2 и 4). Мы просмотрели
литературу и провели несколько самостоятельных экспериментов, однако не
смогли найти конкретные функции полезности, достаточно убедительные с точки
зрения экономической науки, которые задавали бы кривые доход-потребление и
цены-потребление изогнутой формы. Попытайтесь сами подобрать подходящие
формулы для
( )
Q
f
b =
1
и
( )
1
1
p
f
b =
, которые задавали бы кривую доход-
потребление изогнутой формы.
3. Процедура поиска точек касания кривых безразличия и бюджетных
прямых, основана на следующих рассуждениях.
Согласно формуле предельной нормы замещения
2
1
1
2
/
/
x
U
x
U
dx
dx
∂
∂
∂
∂
=
−
и учитывая, что частные производные функции
2
2
1
1
ln
ln
Y
b
Y
b
U
+
=
равны
соответственно
1
1
1
/
/
x
b
x
U
=
∂
∂
2
2
2
/
/
x
b
x
U
=
∂
∂
имеем:
(
) (
)
1
2
2
1
1
2
/
/
/
x
x
b
b
dx
dx
⋅
=
−
.
С другой стороны, согласно уравнению бюджетной прямой
2
1
1
2
/
/
p
p
dx
dx
=
−
.
Следовательно,
(
) (
)
2
1
1
2
2
1
/
/
/
p
p
x
x
b
b
=
⋅
.
Подставив это выражение в уравнение дохода
2
2
1
1
x
p
x
p
Q
+
=
и выполнив
необходимые преобразования, получаем:
.
;
2
1
2
2
*
2
2
1
1
1
*
1
b
b
b
p
Q
x
b
b
b
p
Q
x
+
⋅
=
+
⋅
=

---

Page 57

57

---

Page 58

58
3.4 Программная реализация
'ТЕОРИЯ ПОТРЕБЛЕНИЯ
Option Explicit
Dim X0, Y0, XX, YY, SX, SY

---

Page 59

59
Dim B(2), C(2), P(2)
Private Sub Form_Load()
ScaleMode = 3 ' устанавливаем измерение в пикселях.
X0 = 100 'ось Y от левого края
Y0 = 800
XX = 400
YY = 400
SX = XX / (600 - X0)
SY = YY / (Y0 - 16)
FontSize = 10 ' устанавливаем размер фонта.
FontName = Screen.Fonts(5) 'устанавливаем фонт Sans Serif
End Sub
'КРИВАЯ ДОХОД-ПОТРЕБЛЕНИЕ 1
Private Sub Command1_Click()
Dim U1, U2, X1, U, X
Dim I, IT, I1, I2, I3, YZ
Dim Y(2)
Call Osi(X0, Y0)
B(1) = 1: B(2) = 1: P(1) = 3: P(2) = 2
CurrentX = 300
CurrentY = 20
Print "КРИВАЯ ДОХОД-ПОТРЕБЛЕНИЕ"
CurrentX = 300
CurrentY = 40
Print "ПОЛЕЗНОСТЬ="; B(1); "*LogX(1)+ "; B(2); "* LogX(2)"
CurrentX = 300
CurrentY = 60
Print "ДОХОД = P(1)*X(1)+P(2)*X(2)"
CurrentX = 300
CurrentY = 80
Print "P(1)="; P(1); "( const. )";
CurrentX = 300
CurrentY = 100
Print "P(2)="; P(2); "( const. )"
I1 = 200: I2 = 500: I3 = 100
DrawWidth = 2
For IT = I1 To I2 Step I3 ' строим 4 графика
For I = 1 To 2
Y(I) = IT * B(I) / P(I) / (B(1) + B(2))
Next I
U = B(1) * Log(Y(1)) + B(2) * Log(Y(2))
Line (X0, Y0 / 2 - IT / P(2) / SY / 2)-(IT / P(1) / SX +
X0, Y0 / 2), 1

---

Page 60

60
For X = 1 To XX Step SX
YZ = (Exp(U) / X ^ B(1)) ^ (1 / B(2))
PSet (X / SX + X0, Y0 / 2 - YZ / SY / 2), 1
Next X
Next IT
CurrentX = 300
CurrentY = 140
Print " "
I1 = 100: I2 = 550: I3 = 1
DrawWidth = 1
For IT = I1 To I2 Step I3
For I = 1 To 2
Y(I) = IT * B(I) / P(I) / (B(1) + B(2))
Next I
PSet (Y(1) / SX + X0, Y0 / 2 - Y(2) / SY / 2), 1
Next IT
End Sub
'КРИВАЯ ДОХОД-ПОТРЕБЛЕНИЕ 2
Private Sub Command2_Click()
Dim U1, U2, X1, U, X
Dim I, IT, I1, I2, I3, YZ
Dim Y(2)
Call Osi(X0, Y0)
Cls 'Очистка формы.
Call Osi(X0, Y0)
B(2) = 1: P(1) = 3: P(2) = 2
CurrentX = 200
CurrentY = 20
Print "КРИВАЯ ДОХОД-ПОТРЕБЛЕНИЕ"
CurrentX = 200
CurrentY = 40
Print "ИЗМЕНЕНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ДОХОДА"
CurrentX = 200
CurrentY = 60
Print "ДОХОД=P(1)*X(1)+P(2)*X(2)";
CurrentX = 200
CurrentY = 80
Print " P(1)="; P(1); "( const. )"
CurrentX = 200
CurrentY = 100
Print " P(2)="; P(2); "( const. )"
I1 = 200: I2 = 500: I3 = 100
DrawWidth = 2 ' Толщина линий
For IT = I1 To I2 Step I3 '

---

Page 61

61
B(1) = 0.5 + 0.05 * Sin(IT / 40)
For I = 1 To 2
Y(I) = IT * B(I) / P(I) / (B(1) + B(2))
Next I
U = B(1) * Log(Y(1)) + B(2) * Log(Y(2))
Line (X0, Y0 / 2 - IT / P(2) / SY / 2)-(IT / P(1) / SX +
X0, Y0 / 2), 1
For X = 1 To XX Step SX
YZ = (Exp(U) / X ^ B(1)) ^ (1 / B(2))
If X < 16 Then GoTo 73
PSet (X / SX + X0, Y0 / 2 - YZ / SY / 2), 1
73 Next X
Next IT
I1 = 100: I2 = 550: I3 = 1
DrawWidth = 1
For IT = I1 To I2 Step I3
B(1) = 0.5 + 0.05 * Sin(IT / 40)
For I = 1 To 2
Y(I) = IT * B(I) / P(I) / (B(1) + B(2))
Next I
PSet (Y(1) / SX + X0, Y0 / 2 - Y(2) / SY / 2), 1
Next IT
End Sub
'КРИВАЯ ЦЕНЫ-ПОТРЕБЛЕНИЕ
Private Sub Command3_Click()
Dim U1, U2, X1, U, YZ, X, J1, J2, J3, J, IT, I
Dim Y(2)
Call Osi(X0, Y0)
B(2) = 1
B(1) = 1: P(2) = 1.5: IT = 400
CurrentX = 300
CurrentY = 20
Print "КРИВАЯ ЦЕНЫ-ПОТРЕБЛЕНИЕ"
CurrentX = 300
CurrentY = 40
Print "Полезность"; B(1); "*LogX(1)+"; B(2); "*LogX(2)"
CurrentX = 300
CurrentY = 60
Print "Доход=P(1)*X(1)+P(2)*X(2)"
CurrentX = 300
CurrentY = 80
Print "ДОХОД="; IT; "( const. )"
CurrentX = 300
CurrentY = 100

---

Page 62

62
Print " P(2)="; P(2); "( const. )"
J1 = 1000: J2 = 250: J3 = 250
DrawWidth = 2
For J = J1 To J2 Step -J3
P(1) = 1000 / J
For I = 1 To 2
Y(I) = IT * B(I) / P(I) / (B(1) + B(2))
Next I
U = B(1) * Log(Y(1)) + B(2) * Log(Y(2))
Line (X0, Y0 / 2 - IT / P(2) / SY / 2)-(IT / P(1) / SX +
X0, Y0 / 2), 1
For X = 1 To XX Step SX
YZ = (Exp(U) / X ^ B(1)) ^ (1 / B(2))
PSet (X / SX + X0, Y0 / 2 - YZ / SY / 2), 1
Next X
Next J
J1 = 1200: J2 = 40: J3 = 4
DrawWidth = 1
For J = J1 To J2 Step -J3
P(1) = 1000 / J
For I = 1 To 2
Y(I) = IT * B(I) / P(I) / (B(1) + B(2))
Next I
PSet (Y(1) / SX + X0, Y0 / 2 - Y(2) / SY / 2), 2
Next J
End Sub
'КРИВАЯ ЦЕНЫ-ПОТРЕБЛЕНИЕ
Private Sub Command4_Click()
Dim Y2, X2
Dim U1, U2, X1, U, YZ, X, J1, J2, J3, J, IT, I
Dim Y(2)
B(2) = 2: C(1) = 2: C(2) = 4:
IT = 400: P(1) = 3: P(2) = 1.5
Call Osi(X0, Y0)
CurrentX = 200
CurrentY = 20
Print "КРИВАЯ ЦЕНЫ-ПОТРЕБЛЕНИЕ"
CurrentX = 200
CurrentY = 40
Print "СПРОС НА БЛАГО 1 ИЗМЕНЯЕТСЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ P(1)"
CurrentX = 200
CurrentY = 60
Print "Доход = P(1)*X(1)+P(2)*X(2)"
CurrentX = 200

---

Page 63

63
CurrentY = 80
Print "Доход="; IT; "( const. )"
CurrentX = 200
CurrentY = 100
Print "P(2)="; P(2); "( const. )"
J1 = 1000: J2 = 250: J3 = 250
DrawWidth = 1
For J = J1 To J2 Step -J3
P(1) = 1000 / J
B(1) = 1 / Sqr(P(1))
For I = 1 To 2
Y(I) = IT * B(I) / P(I) / (B(1) + B(2))
Next I
U = B(1) * Log(Y(1)) + B(2) * Log(Y(2))
Line (X0, Y0 / 2 - IT / P(2) / SY / 2)-(IT / P(1) / SX +
X0, Y0 / 2), 1
For X = 1 To XX Step SX
YZ = (Exp(U) / X ^ B(1)) ^ (1 / B(2))
PSet (X / SX + X0, Y0 / 2 - YZ / SY / 2), 1
Next X
Next J
J1 = 1200: J2 = 40: J3 = 4
DrawWidth = 1
For J = J1 To J2 Step -J3
P(1) = 1000 / J
B(1) = 1 / Sqr(P(1))
For I = 1 To 2
Y(I) = IT * B(I) / P(I) / (B(1) + B(2))
Next I
PSet (Y(1) / SX + X0, Y0 / 2 - Y(2) / SY / 2), 2
Next J
End Sub
Private Sub Osi(X0, Y0)
Cls
DrawWidth = 1
Line (X0, 16)-(X0, 450), 1
Line (10, Y0 / 2)-(650, Y0 / 2), 1
CurrentX = 60
CurrentY = X0 / 8 - 3
Print "X(2)"
CurrentX = 600
CurrentY = Y0 / 2 + 10
Print "X(1)"

---

Page 64

64
End Sub
Private Sub Command5_Click()
Unload Form1
End ' Ends the application.
End Sub
3.5 Индивидуальное задание к лабораторной работе
Постановка задачи. Потребитель, имея определенный доход, желает его
потратить с максимальной пользой. То есть набор товаров Х=(х
1
,..х
n
) должен
максимизировать функцию полезности U(x
1
,…x
n
) при выполнении бюджетного
ограничения p
1
x
1
+…p
n
x
n
<=J. (p-цены на товар) Решением задачи является
точка Х
*
, лежащая на границе бюджетного множества (рис.25).
Рисунок 25- Точка спроса
Для решения этой задачи на условный экстремум применяется метод
Лагранжа . Функция Лагранжа (L(x
1
,x
2
, z)) имеет вид:
U
J
X
2
X*
X
1

---

Page 65

65
L(x
1
,x
2
, z)=U(x
1
,x
2
)+χ(p
1
x
1
+p
2
x
2
-J), где χ-множитель Лагранжа.
Этапы решения .
1.
Найдите первые частные производные функции Лагранжа.
.
χ
;0
χ
;0
χ
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
J
x
P
x
P
L
P
U
x
L
P
U
x
L
−
+
=
∂
∂
=
−
=
∂
∂
=
−
=
∂
∂
2.
Исключите χ и получите систему уравнений.
.
*
*
,
2
2
1
1
2
1
1
2
1
1
J
X
P
X
P
P
P
U
U
=
+
=
3.Найдите оптимальную точку потребительского спроса.
Замечание. В точке спроса отношение предельной полезности товара к
его цене есть величина постоянной
.
товара
любого
для
P/
X
U
^
i
i
χ
=
∂
∂
Задание 1 Решите задачу потребительского выбора, найдя функцию
спроса при ценах на товар р
1
=10, р
2
=2 и доходе J=60 грн. со следующей
функцией полезности:
U=A(4 –X
1
)
2
+(20 –X
2
)
2
→ min.
Используя программную оболочку EXCEL , изобразите допустимое
множество и кривые безразличия. Исходные данные представлены в табл.3.
Таблица 3- Исходные данные для индивидуального задания
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12
13
А 2 3 5 4 6 7 8 9 4.5 1
1.5
2.5
3.5
Взаимозаменяемость и взаимодополняемость благ
Если при росте цены на товар i и при снижении спроса на товар i , растет
спрос на j товар, то это товары взаимозаменяемые; если на товар j также падает
спрос при тех же условиях, то товары взаимодополняемые. Реальная
взаимозаменяемость может искажаться общим снижением благосостояния при
росте цены i-го блага; j-е благо может заменять i-й товар, но спрос на него
может не расти, поскольку снизилось общее благосостояние потребителя. Для
снятия этого искажения используется понятие компенсированного изменения
цены, то есть такого, которое сопровождается увеличением дохода потребителя
, позволяющим ему поддерживать прежний уровень благосостояния (Рис.26).

---

Page 66

66
Чтобы компенсировать потребителю потерю благосостояния, ему
необходимо увеличить свой доход, так , чтобы новая бюджетная прямая 3
коснулась точки С, при этом благосостояние остается неизменным . СВ–это
эффект изменения потребительского спроса при сохранении соотношения цен
благ и изменения уровня дохода.
Задание 2 Дана функция полезности и другие показатели потребителя.
U(x
1
,x
2
)=X
1*
X
2
*A, р
1
=10грн., р
2
=2грн., J=60грн. Для коэффициента А=1
функция спроса имеет вид Х
i
=J/(n*p
i
) и для двух товаров Х
1
=60/2*3=3,
Х
2
=60/2*2=15, U(x
1
,x
2
)=45.
На рынке произошли изменения–цена на второй товар повысилась
( p
2
=7грн.) Каков необходим размер компенсации в доходе, дабы
обеспечить прежнее благо(45).
Чтобы приобрести прежний оптимальный набор потребления,
необходимо дополнительно (7-2)*15=75грн. Но прежняя структура будет не
оптимальной при новых ценах. Определим новую структуру товаров.
Пусть потребителю необходимо дополнительно М количество денег для
получения тех же благ, тогда
A
C
B
1
τ
l
2
τ
l
1
1
p
Q
2
1
p
Q
1
2
x
0
2
3
1
2
p
Q
1
x
2
x
Кривые
безразличия
Компенсированная
бюджетная линия
Старая бюджетная
линия
Новая бюджетная
линия
эффект
общий
AB
дохода
влияние
CB
замены
влияние
AC
−
−
−
Рисунок 26-Эффект компенсации

---

Page 67

67
(
)
(
)
.8
X
,6.
5
2*
10
/
25
.
52
60
X
составит
товаров
набор
й
оптимальны
этого,
из
Исходя
75.
чем
,
меньше
о
существенн
что
52,25,
M
отсюда
4*
7*
10
M
60
равна
кция
целеваяфун
тогда
,
2*
7
M
60
X
,
2*
10
M
60
X
2
'
'
1
2
2
1
=
=
+
=
=
=
+
+
=
+
=
То есть, происходит перераспределение покупаемого товара в связи с
изменением цены на один товар.
Для своего варианта, используя приложение Excel, исследуйте процесс
компенсации увеличения цены на второй товар в диапазоне от 2 до 15 грн.
3.6 Методические указания. Предельная полезность
Основными понятиями теории потребления являются предельная
полезность и предельная норма замещения. Пусть
(
)
2
1
,Y
Y
U
U =
–
функция
полезности. Достигаемый при фиксированном уровне потребления первого блага
и незначительном изменении уровня потребления второго блага прирост функции
полезности называется предельной полезностью (marginal utility) второго блага.
Дифференцирование функции полезности по одной из переменных, т. e.
вычисление частной производной
i
Y
U ∂
∂ /
, дает нам предельную полезность i-го
блага. При сокращении потребления первого блага на
–
1
dY для поддержания
прежнего уровня полезности необходимо увеличить потребление второго блага
на величину
2
dY , осуществив таким образом замещение первого блага вторым.
Отношение, отражающее эту замену, называется предельной нормой замещения
(marginal rate of substitution; MRS) потребительских благ. Таким образом:
const
U
dY
dY
MRS
=
−
=
1
2
Учитывая, что точки
(
)
2
1
,Y
Y
A =
и
(
)
2
2
1
1
,
dY
Y
dY
Y
B
+
+
=
лежат на одной и
той же кривой безразличия (т. e. соответствуют одному уровню полезности),
имеем
(
) (
)
2
2
1
1
2
1
,
,
dY
Y
dY
Y
U
Y
Y
U
+
+
=
откуда следует, что
0
2
2
1
1
=
∂
∂
+
∂
∂
dY
Y
U
dY
Y
U
С учетом последней формулы получаем окончательное выражение для
MRS:

---

Page 68

68
2
1
/
/
Y
U
Y
U
MRS
∂
∂
∂
∂
=
.
Итак, предельная норма замещения выражается через отношение
предельных полезностей. При задании конкретной формы функции полезности
для вычисления предельной полезности и предельной нормы замещения совсем
не обязательно использовать формулы дифференцирования типа
( )
x
x
/1
ln
'
=
.
Вычислительный
метод,
известный
под
названием
численное
дифференцирование, позволяет с помощью персонального компьютера получить
значение производной или частных производных любой функции, если, конечно,
они существуют.
Попробуем вычислить предельные величины из теории потребления путем
численного дифференцирования.
Задача
Составим программу (MARG1), вычисляющую при некотором
фиксированном значении функции полезности
(
)
2
1
,Y
Y
U
U =
предельную
полезность каждого из благ и предельную норму замещения на основе методов
численного дифференцирования.
Зададим какую-нибудь функцию полезности, например функцию
неоклассического типа
2
1
ln
6
ln
4
Y
Y
U
+
=
, которую и будем использовать в
нашей программе.
Комментарии
1. Частные производные вычисляются приближенно, путем численного
дифференцирования. Обозначим через h шаг дифференцирования. Тогда
приближенное значение производной вычисляется так:
(
) (
) (
)
h
x
x
f
x
h
x
f
x
x
x
f
2
1
2
1
1
2
1
,
,
,
−
+
≈
∂
∂
Если ваш персональный компьютер работает с точностью до семи знаков
после запятой (с нормальной точностью), то считается, что вполне допустимым
будет шаг
3
10
−
=
h
. Если же точность составляет 16 знаков после запятой
(двойная точность), то стоит взять
6
10
−
=
h
.
2. Если использовать функцию полезности неоклассического типа, то
можно убедиться в существовании закона убывающей предельной нормы
замещения. Этот закон явился результатом переформулировки закона
убывающей предельной полезности с позиций теории выбора (теории
порядковой полезности) и считается одной из центральных идей современной
микроэкономической теории. Закон убывающей предельной нормы замещения

---

Page 69

69
может быть сформулирован следующим образом: при стремлении
поддерживать неизменным уровень полезности путем замещения первого блага
вторым субъективное удовлетворение, получаемое от предельного потребления
первого блага, в сравнении с удовлетворением, получаемым от предельного
потребления второго блага, будет неуклонно уменьшаться. Запустив нашу
программу, вы сможете в этом убедиться.
Замечания
Если нам известно значение функции полезности U, то, присвоив
некоторое значение переменной
1
Y , мы автоматически определяем значение
переменной
2
Y . Поэтому для вычисления предельной нормы замещения лучше
всего выбирать такую формулу, которая выражает
2
Y через
1
Y и U.
На первый взгляд может показаться, что чем меньшим выбран шаг
дифференцирования h, тем точнее будет найдено значение производной.
Однако в отличие от чисто математического подхода вычисления на
персональном компьютере проводятся с определенной погрешностью, поэтому
если значение h будет очень мало, то результат будет неточным (с этим тезисом
легко согласиться, проведя небольшой эксперимент с помощью представленной
выше программы численного дифференцирования).
Option Explicit
Dim H, UU, D1, D2, MR, Y1, Y2, U
Dim Soob, Msg, Style, Title, Help, Ctxt, Stroka
Private Sub CmdRaschet_Click()
'ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Cls
U = Text1.Text
Y1 = Text2.Text
Stroka = "U=" & U & vbCrLf
Stroka = Stroka & "Y1=" & Y1 & vbCrLf
If Y1 = 0 Then
Msg = "Введите данные" ' Определим сообщение
Style = vbOKOnly + vbExclamation ' Определим кнопки.
Title = "Предупреждение" ' Определим заголовок.
Soob = MsgBox(Msg, Style, Title)
Exit Sub
End If
Stroka = Stroka & "ПРЕДЕЛЬНАЯ НОРМА ЗАМЕЩЕНИЯ" & _
" ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ БЛАГ" & vbCrLf
Stroka = Stroka & "U =4*LOG( Y1 )+6*LOG( Y2 )" & vbCrLf
H = 0.001
Y2 = (Exp(U) / (Y1 ^ 4)) ^ (1 / 6)
Stroka = Stroka & "Y2=" & Format(Y2, "###0.0##") & vbCrLf
UU = Fynk(Y1, Y2)

---

Page 70

70
D1 = (Fynk(Y1 + H, Y2) - UU) / H
D2 = (Fynk(Y1, Y2 + H) - UU) / H
MR = D1 / D2
Stroka = Stroka & "----- РЕЗУЛЬТАТ ------" & vbCrLf
Stroka = Stroka & "dU / dY1=" & Format(D1, "###0.0##") & vbCrLf
Stroka = Stroka & "dU / dY2=" & Format(D2, "###0.0##") & vbCrLf
Stroka = Stroka & "MRS =" & Format(MR, "###0.0##") & vbCrLf
LblVivod.Caption = Stroka
End Sub
Private Sub CmdPechat_Click()
Dim BeginPage, EndPage, NumCopies, Orientation, i, Number
CommonDialog1.CancelError = True
On Error GoTo SubHandler
CommonDialog1.ShowPrinter
BeginPage = CommonDialog1.FromPage
EndPage = CommonDialog1.ToPage
NumCopies = CommonDialog1.Copies
Orientation = CommonDialog1.Orientation
For i = 1 To NumCopies
Printer.Print Stroka
Next i
Printer.EndDoc
Exit Sub
SubHandler:
End Sub
Function Fynk(Y1, Y2)
Fynk = 4 * Log(Y1) + 6 * Log(Y2)
End Function
Private Sub CmdVix_Click()
Unload FrmVvod
End ' Конец приложения
End Sub
4.Лабораторная работа №4
Тема: «Производственные функции»
4.1Теоретические основы
Цель–получение практических навыков в выборе параметров модели
производственной функции.
Постановка задачи: Производитель определяет свое производство исходя
из получения максимальной прибыли. Варьируя объемом выпуска продукции,

---

Page 71

71
необходимо решить проблему количественного выпуска каждого вида
продукции.
Иллюстрация постановки задачи
На
рисунке
27 показана
кривая
производственных возможностей предприятия
при выпуске двух товаров(Y
1
,Y
2
) Рассмотрим
теперь вопрос о так называемых вмененных
затратах.
Предположим,
что
выпуск
фиксирован в точке A(y
1
y
2
.). Теперь возникла
необходимость увеличить выпуск 2-го товара
на Δy
2
используя, конечно, прежний набор
ресурсов затрат. Сделать это можно но, как
видно из рисунка. , перенеся технологию в точку В, для чего с увеличением
выпуска 2-го товара на Δу
2
придется уменьшить выпуск 1-го товара на Δу
1
.
Вмененными затратами 1-го товара по отношению ко 2-му в точке А
называется
lim(Δу
1
., / Δу
2
), при этом Δ стремиться к нулю. Если задана
производственная функция (F) , то вмененные затраты равны (дF/ду
2
)/(дF/ду
1
),
где частные производные взяты в точке А.
Одной из распространенных производственных функций является
модель Кобба—Дугласа , которая имеет вид :Y=AK
а
L
р
,где А, а, р > 0 —
константы, а + р < 1; К— объем фондов либо в стоимостном выражении, либо
в натуральном количестве, скажем, число станков; L — объем трудовых
ресурсов, также либо в стоимостном выражении, либо в натуральном
количестве — число рабочих, число человеко-дней и т.п. и, наконец, Y —
выпуск продукции в стоимостном или натуральном выражении.
Основные характеристики функции Кобба—Дугласа.
Средняя производительность труда определяется как y=Y/L —
отношение объема произведенного продукта к количеству затраченного труда;
средняя фондоотдача (k = Y/K — это отношение объема произведенного
продукта к величине фондов).
Предельная производительность труда dYldL = A р K
а
L
P-1
.
Фондовооруженность
(f=К/L
), показывающая
объем
фондов,
приходящийся на одного работника (на одну единицу труда).
Эластичность продукции по труду: (dYldL): (Y/L) =р, а - эластичность по
фондам.
Производствен
ные
возможности
Рисунок 27 Изменение производства

---

Page 72

72
4.2 Индивидуальные задания
Задание 1 Завод продавал за месяц продукции на 10 млн грн. и имел на
10 млн грн. основных фондов. Экономисты подсчитали, что для увеличения
выпуска на 1 млн грн. надо приобрести оборудования на 3 млн грн. Нет ли
здесь парадокса?
1.Найдите производственную функцию Кобба— Дугласа, если
численность рабочих на предприятии 1000 человек (считайте, что а + р = 1).
Расчеты выполните с использованием приложения табличного процессора.
Другой разновидностью задач предприятия является выбор технологии,
которая обеспечила бы максимальную прибыль.
В данной ситуации обозначим через Р вектор цен на товары — затраты и
пусть ν — цена единицы выпускаемого товара. Следовательно, прибыль W,
являющаяся в итоге функцией X (и цен, но они считаются постоянными), есть
W(X) =vY-PX= vf(X} - РХ. Приходим к задаче фирмы: W(X)→ max, X > 0.
Приравняв частные производные нулю , получим:
v(df/dx
j
) =
P
J
для = 1, ..., т или v (df/dX) = P.
Задание 2. Объем добычи щебня Y (т/ч) зависит от количества
вложенного труда х (чел. * ч) так: Y = 6
.x
. Цена щебня v = 40 грн./т, зарплата
работника-30 грн./ч. Кроме зарплаты, другие издержки не учитываются. Найти
оптимальное количество х вложенного труда.
Этапы решения.
1.Сделайте аналитическое описание прибыли предприятия.
2.Проведите аналитическое исследование этой функции на экстремум.
Наконец , третьей проблемой для предприятия является установление
функции спроса на ресурсы (для упрощения расчетов
производственная
функция взята другая).
Задание3 Найдите функцию спроса на ресурс и функцию предложения
продукции для фирмы с производственной функцией у= lп(х + 1), при этом v
— цена единицы продукции, р — цена единицы ресурса и v >p.
Решение. Находим оптимальный размер фирмы, используя соотношение
между ценами на единицу продукции и на единицу ресурса: v ду/дх = р
v/(x + 1) = р → х* = v/p - 1 — это функция спроса на ресурс. Функция
предложения продукции есть у = ln (х*+ 1)=ln(v /р).
Этапы решения.
Построить зависимости : спроса на ресурсы и предложения на продукцию
,используя диапазон параметров 1< v <=5, 0.1<p<=1 и табличный процессор.

---

Page 73

73
4.3 Методические замечания и пояснения Изокванты и предельная
производительность
Хотя предмет теории производства иной – проблемы производственной
деятельности предприятий, ход рассуждений здесь очень близок к теории
потребления. Функциям полезности и кривым безразличия, описывающим
потребление, соответствуют производственные функции и изокванты,
описывающие производство. Более того, свойства этих функций и формы
кривых одинаковы. Следовательно, в программах построения графиков кривых
безразличия
и
приближенных
вычислений
по
методу
численного
дифференцирования, составленных нами для исследования потребления,
достаточно поменять лишь заголовки, названия переменных и определения
функций, чтобы применить весь арсенал уже имеющихся у нас средств для
анализа производства. Прежде чем обратиться к программе, сделаем небольшие
пояснения по поводу производственных функций и изоквант, и тогда все
сказанное выше сразу станет понятным.
Начнем с того, что определим производственную деятельность как
процесс, в ходе которого предприятия затрачивают различные ресурсы –
вещественные блага и услуги (факторы производства), например труд и
капитальное оборудование, и в результате выпускают разнообразную,
ориентированную на рынок продукцию (продукты производства). Отправной
точкой теории производства является идея о том, что технологически
эффективная производственная деятельность предприятия, в ходе которой для
выпуска, например, одного вида продукции Y затрачивается два вида
ресурсов
2
1
, X
X
может быть описана с помощью производственной функции
)
,
(
2
1
X
X
F
Y =
. Если для фиксированного выпуска Y изобразить на плоскости
)
,
(
2
1
X
X
все возможные сочетания необходимых ресурсов
)
,
(
2
1
X
X
, мы
получим кривую, называемую изоквантой. Так же как и для функций
полезности и кривых безразличия, можно выделить по крайней мере четыре
типа производственных функций и изоквант.
1. Функции с полным взаимозамещением ресурсов, например,

---

Page 74

74
2
2
1
1
X
a
X
a
Y
+
=
.
2. Неоклассическая производственная функция, например,
1
;
2
1
2
1
2
1
≤
+
=
a
a
X
X
Y
а
а
.
3. Функции с полным взаимодополнением ресурсов, например,
)
,
min(
2
2
1
1
a
X
a
X
Y =
.
4. Функции смешанного типа, например,
2,
1
,
:
2
1
2
1
=
+
≥
+
=
i
y
b
y
a
X
y
y
Y
i
i
i
.
Нетрудно заметить, что формы этих функций полностью совпадают с
формами
функций
полезности. Если
говорить
о
неоклассической
производственной функции, то понятию предельной полезности из теории
потребления в теории производства соответствует понятие предельной
производительности
)
/
(
i
X
Y ∂
∂
, которое является здесь одним из ключевых.
Законы же убывающей предельной полезности и убывающей предельной
нормы
замещения
потребительских
благ
в
теории
производства
сформулированы как закон убывающей предельной производительности и
закон убывающей предельной нормы взаимного замещения ресурсов. Первый из
них гласит, что при росте затрат одного из ресурсов (первого или второго) его
предельная
производительность,
1
/ X
Y ∂
∂
или
2
/ X
Y ∂
∂
,
падает. Если
представить этот факт в виде формулы, то мы получим
2,
1
,0
/
2
2
=
<
∂
∂
i
X
Y
i
.
Предельная норма замещения (MRS) ресурсов – это предельное
отношение замены первого ресурса вторым, –
1
2
/ dX
dX
, в ситуации, когда при
постоянном выпуске Y сокращение затрат первого ресурса на – dX
1
компенсируется ростом затрат второго ресурса на dX
2
. Подобно теории
потребления, это отношение равно отношению частных производных
производственной функции, т. е. предельных производительностей ресурсов:

---

Page 75

75
2
1
1
2
/
/
X
Y
X
Y
const
Y
dX
dX
MRS
∂
∂
∂
∂
=
=
−
=
Изокванты неоклассической производственной функции, также как и
кривые безразличия, являются гладкими вогнутыми кривыми, а предельная
норма замещения ресурсов MRS постепенно убывает.
Как уже говорилось, для графического представления изоквант,
предельных производительностей и предельной нормы замещения, а также для
выполнения численного дифференцирования вполне достаточно применить те
же средства, которые использовались нами в теории потребления. Чтобы
получить программу построения изоквант, необходимо в программе
построения кривых безразличия поменять старое название графика на
«Изокванты» и переименовать переменные U, Y1, Y2 и В на Y, X1, Х2 и А
соответственно (попробуйте мысленно представить себе кривые безразличия
как изокванты).
Поскольку предельные вычисления в теории производства играют очень
важную роль, мы рассмотрим здесь исправленный вариант написанной нами
ранее программы, которая выполняет аналогичные вычисления.
4.4 Агоритмизация программных процедур
Составим программу, позволяющую при фиксированном значении
производственной
функции
)
,
(
2
1
X
X
F
Y =
вычислить
предельную
производительность каждого из ресурсов, а также предельную норму
замещения ресурсов. В качестве конкретной производственной функции
возьмем функцию Кобба-Дугласа:
4
1
2
4
3
1
X
X
Y =
.
Список переменных:
X1 = X
1
; X2= X
2
;
MR = MRS – предельная норма замещения;
D1 =
1
/ X
Y ∂
∂
; D2=
2
/ X
Y ∂
∂
;

---

Page 76

76
Н – шаг дифференцирования (h).
Комментарии
2. Производственная функция Кобба-Дугласа – самая известная из всех
производственных функций неоклассического типа – была открыта в 20-х годах
нашего века экономистом Дугласом в сотрудничестве с математиком Коббом и
получила широкое применение в эмпирических исследованиях. В нашу
программу включена производственная функция, оцененная Дугласом на
основе данных по обрабатывающей промышленности США. Y – индекс
производства, X
1
и Х
2
– соответственно индексы наемной рабочей силы и
капитального оборудования. Если считать, что X
1
и Х
2
– это затраты труда и
капитала, то, используя
производственную функцию Кобба-Дугласа
)1
0(
1
2
1
<
<
=
−
α
α
α
X
AX
Y
, предельную производительность и предельную норму
замещения можно представить следующим образом.
Предельная производительность труда:
α
α
−
=
∂
∂
1
1
2
1
)
/
(
/
X
X
A
X
Y
.
Предельная производительность капитала:
α
α
)
/
(
)
1(
/
2
1
2
X
X
A
X
Y
−
=
∂
∂
.
Предельная норма замещения:
1
2
2
1
1
/
/
X
X
X
Y
X
Y
MRS
⋅
−
=
∂
∂
∂
∂
=
α
α
.
Рекомендуем вам сравнить результаты, полученные путем численного
дифференцирования, с результатами вычислений по этим формулам.
3. Подобно тому, как предельная норма замещения в теории потребления
равна отношению цен потребительских благ (относительной цене), в теории
производства предельная норма замещения равна отношению факторных цен
ресурсов. Кроме того, в микроэкономической теории производства считается,
что предельная производительность труда равна цене труда (заработной плате),
а предельная производительность капитала – цене услуг капитальных благ
(рентным платежам).
Предпосылкой для такого вывода является то, что предприятия
составляют свои производственные планы (Y, X
1
, Х
2
), руководствуясь прежде

---

Page 77

77
всего принципом максимизации прибыли. Если обозначить через р, q
1
и q
2
соответственно цены продукции, первого и второго ресурсов, то оптимальным
производственным планом для предприятия будет решение (
∗
∗
∗
2
1
,
,
X
X
Y
) задачи
максимизации прибыли П =
2
2
1
1
X
q
X
q
pY
−
−
при ограничении Y = F(X
1
, X
2
).
Выполнив необходимые подстановки, имеем П =
2
2
1
1
2
1
)
,
(
X
q
X
q
X
X
pF
−
−
.
Продифференцировав это выражение по каждому из факторов производства,
мы получим формальное подтверждение сделанному ранее выводу. Иными
словами, поскольку
,0
/
/
,0
/
/
2
2
2
1
1
1
=
−
∂
∂⋅
=
∂
∂
=
−
∂
∂⋅
=
∂
∂
q
X
F
p
X
П
q
X
F
p
X
П
то, сократив p, мы убеждаемся, что
2
1
2
1
/
/
q
q
X
F
X
F
=
∂
∂
∂
∂
.
4.5 Программное обеспечение по теории производства. Графики
Используя краткосрочную производственную функцию неоклассического
типа, изобразим изокванты и изокосты, а также графики средних и предельных
затрат и проиллюстрируем таким образом основы теории производства.
Составим программу, которая один за другим строит графики,
изображающие следующие кривые.
1. Четыре изокванты (T = 1), используя для этого производственную
функцию
)1
(
2
1
2
1
0
2
1
<
+
=
a
a
X
X
a
Y
a
a
.
2. Четыре изокванты и четыре изокосты
2
2
1
1
X
q
X
q
C
+
=
, являющиеся
касательными к этим изоквантам (T =2).
3. Отрезок, соединяющий все четыре точки касания изокост и изоквант
(траекторию точек касания, T = 3).
4. Кривую средних затрат, кривую предельных затрат и кривую
предложения (T = 4). В качестве функции издержек возьмем
0
2
2
1
1
C
X
q
X
q
C
+
+
=
,

---

Page 78

78
где C
0
– фиксированные издержки.
Список переменных и функций:
Т
– переменная выбора номера графика;
А(I) =
i
a –– коэффициенты производственной функции
2
1
2
1
0
a
a
X
X
a
Y =
;
Y
– выпуск;
Х(I) = Х
i
– затраты i-го ресурса;
Q(I) = q
i
– факторная цена i-го ресурса;
С
– издержки;
С0 = С
0
– фиксированные издержки;
C1, C2, С3 – начальная, конечная величина издержек и величина
шагового прироста издержек;
2
1
/1
1
2
)
(
a
a
X
BB
X
X
F








=
=
где
2
1
*
2
*
1
a
a
X
X
BB =
, а
)
,
(
*
2
*
1
X
X
– –– точка касания изокванты и изокосты;
,
/
)
(
0
/1
1
1
Y
C
AA
Y
a
A
q
AC
Y
F
A








+






⋅
⋅
=
=
,
)
(
)1
/1
(
1
1
−






⋅
⋅
=
=
A
AA
Y
AA
a
q
MC
Y
F
где
.
,
2
2
1
1
2
0
2
1
a
q
q
a
a
a
AA
a
a
A








⋅
⋅
=
+
=
Комментарии
1. Параллельные прямые линии, отражающие отношение факторных цен,
q
2
/q
1
, изображенные нами на графике изоквант, называются изокостами.
Траектория точек касания изоквант и изокост указывает такое сочетание

---

Page 79

79
ресурсов, при котором затраты, необходимые для каждого из выпусков,
минимальны. Зная точку
)
,
(
2
1
X
X
пересечения этой траектории с изоквантой,
соответствующей выпуску
Y
, можно определить объем переменной части
затрат,
2
2
1
1
X
q
X
q
+
, необходимых для выпуска
Y
. Если к этому объему
добавить фиксированные издержки, мы получим совокупные затраты,
необходимые для производства продукции. Сказанное является схематичным
описанием краткосрочной функции издержек. Таким образом, краткосрочная
функция издержек производства выражает отношение затрат и выпуска для
того случая, когда при минимизации издержек регулируется только их
переменная часть.
2. Издержки производства на единицу выпуска, C/Y, называют средними
затратами (АС). Возьмем следующие производственную функцию и функцию
издержек:
2
1
2
1
0
a
a
X
X
a
Y =
и
0
2
2
1
1
C
X
q
X
q
C
+
+
=
.
Учитывая, что dX
2
/dX
1
=q
1
/q
2
, после сокращения в этих формулах X
1
и X
2
получим
,
/
0
)
/(
1
1
2
1
1
2
1
Y
C
AA
Y
a
a
a
q
Y
C
AC
a
a










+






⋅
+
⋅
=
=
+
ГДЕ
2
2
1
1
2
0
a
q
q
a
a
a
AA








⋅
⋅
=
.
В отличие от средних затрат предельными затратами (МС) называется
производная совокупных издержек по выпуску, dC/dY. Для выбранных нами
производственной функции и кривой затрат
.
1
)
/(
1
1
1
2
1
−
+






⋅
⋅
=
=
a
a
AA
Y
AA
a
q
dY
dC
MC

---

Page 80

80
Учитывая, что точка пересечения АС и МС определяется по формуле
,
1
2
1
1
0
2
1
1
a
a
q
C
a
a
a
AA
Y
+








⋅
−
−
⋅
=
можно построить и кривую предложения, являющуюся частью кривой
предельных затрат.
Замечание
«Краткосрочная
производственная
функция»
описывает
производственный цикл, начинающийся с момента, когда предприятие,
обладающее неизменными факторами производства, начинает осуществлять на
их основе производство, и заканчивающийся моментом выхода предприятия со
своей продукцией на рынок. В противоположность краткосрочной функции
«долгосрочная производственная функция» описывает период, достаточный
для принятия и реализации решений по поводу инвестиций, наращивания
(сокращения) основных производственных фондов и изменения их структуры.
В долгосрочной производственной функции все без исключения факторы
производства рассматриваются как переменные затраты.
Программа
' ТЕОРИЯ ПРОИЗВОДСТВА
Option Explicit
Dim X0, Y0, XX, YY, SX, SY, X1, AD, XP, BB, C0
Dim A(2), X(2), Q(2)
Private Sub Form_Load()
ScaleMode = 3 ' устанавливаем измерение в пикселях.
X0 = 100 'ось Y от левого края
Y0 = 800
XX = 400
YY = 400
X1 = 1
XX = 500
YY = 500
SX = XX / (600 - X0)

---

Page 81

81
SY = YY / (Y0 - 16)
FontSize = 10 ' устанавливаем размер фонта.
FontName = Screen.Fonts(5) 'устанавливаем фонт Sans Serif
A(0) = 1: A(1) = 0.15: A(2) = 0.2
Q(1) = 6: Q(2) = 4: C0 = 20
AD = A(1) + A(2)
End Sub
'ИЗОКВАНТЫ
Private Sub Command1_Click()
Dim C, C0, C1, C2, C3, I, Y
'Dim I, IT, I1, I2, I3, YZ
'Dim Y(2)
Call Osi(X0, Y0)
CurrentX = 300
CurrentY = 20
Print "ИЗОКВАНТЫ"
CurrentX = 300
CurrentY = 40
Print "Y ="; A(0); " *Х(1)^"; A(1); "*Х(2)^"; A(2)
C0 = 6: C1 = 500: C2 = 2000: C3 = 500
For C = C1 To C2 Step C3
For I = 1 To 2
X(I) = C * A(I) / Q(I) / AD
Next I
BB = X(1) ^ A(1) * X(2) ^ A(2)
For XP = X1 To XX Step SX
Y = (BB / XP ^ A(1)) ^ (1 / A(2))
PSet (XP / SX + X0, Y0 / 2 - Y / SY / 2), 1
Next XP
Next C
End Sub
'ИЗОКВАНТЫ ИЗОКОСТЫ
Private Sub Command2_Click()
Dim C, C0, C1, C2, C3, I, Y
Call Osi(X0, Y0)
CurrentX = 300
CurrentY = 20
Print "ИЗОКВАНТЫ ИЗОКОСТЫ"
CurrentX = 300

---

Page 82

82
CurrentY = 40
Print "ИЗДЕРЖКИ"; Q(1); "*Х(1)+"; Q(2); "*Х(2)"
C0 = 6: C1 = 500: C2 = 2000: C3 = 500
For C = C1 To C2 Step C3
DrawWidth = 2 ' Толщина линий
Line (X0, Y0 / 2 - C / Q(2) / SY / 2)-(C / Q(1) / SX + X0, Y0 / 2), 1
For I = 1 To 2
X(I) = C * A(I) / Q(I) / AD
Next I
BB = X(1) ^ A(1) * X(2) ^ A(2)
For XP = X1 To XX Step SX
Y = (BB / XP ^ A(1)) ^ (1 / A(2))
PSet (XP / SX + X0, Y0 / 2 - Y / SY / 2), 1
Next XP
Next C
For C = 400 To 2100 Step 5
For I = 1 To 2
X(I) = C * A(I) / Q(I) / AD
Next I
BB = X(1) ^ A(1) * X(2) ^ A(2)
Y = (BB / XP ^ A(1)) ^ (1 / A(2))
PSet (X(1) / SX + X0, Y0 / 2 - X(2) / SY / 2), 1
Next C
End Sub
'ИЗДЕРЖКИ
Private Sub Command3_Click()
Dim C, C0, C1, C2, C3, I, Y, AA
Call Osi1(X0, Y0)
CurrentX = 300
CurrentY = 20
Print "ИЗДЕРЖКИ"; Q(1); "*X(1)+"; Q(2); "*Х(2)+"; C0
X1 = 0.3
XX = 3
YY = 40
SX = XX / (600 - X0)
SY = YY / (Y0 - 16)
'КРИВАЯ СРЕДНИХ ИЗДЕРЖЕК
AA = A(0) * (A(2) / A(1) * Q(1) / Q(2)) ^ A(2)
C0 = 6
For XP = X1 To XX Step SX
Y = (Q(1) * AD / A(1) * (XP / AA) ^ (1 / AD) + C0) / XP

---

Page 83

83
PSet (XP / SX + X0, Y0 / 2 - Y / SY / 2), 1
Next XP
'КРИВАЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ИЗДЕРЖЕК
C0 = 2
For XP = X1 To XX Step SX
Y = Q(1) / A(1) / AA * (XP / AA) ^ (1 / AD - 1)
PSet (XP / SX + X0, Y0 / 2 - Y / SY / 2), 1
Next
'КРИВАЯ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
X1 = AA * (A(1) / (1 - AD) * C0 / Q(1)) ^ AD
C0 = 5
DrawWidth = 2 ' Толщина линий
ForeColor = QBColor(5) ' Set pen color.
For XP = X1 To XX Step SX
Y = Q(1) / A(1) / AA * (XP / AA) ^ (1 / AD - 1)
PSet ((XP + 0.005) / SX + X0, Y0 / 2 - Y / SY / 2)
Next XP
End Sub
Private Sub Osi(X0, Y0)
Cls
DrawWidth = 1
Line (X0, 16)-(X0, 450), 1
Line (10, Y0 / 2)-(650, Y0 / 2), 1
CurrentX = 60
CurrentY = X0 / 8 - 3
Print "X(2)"
CurrentX = 600
CurrentY = Y0 / 2 + 10
Print "X(1)"
End Sub
Private Sub Osi1(X0, Y0)
Cls
DrawWidth = 1
Line (X0, 16)-(X0, 450), 1
Line (10, Y0 / 2)-(650, Y0 / 2), 1
CurrentX = 60
CurrentY = X0 / 8 - 3
Print "C"
CurrentX = 600
CurrentY = Y0 / 2 + 10
Print "Y"
End Sub

---

Page 84

84
Private Sub Command4_Click()
Unload Form1
End ' Ends the application.
End Sub
' ************** ДАННЫЕ ****************
'End
'Sub Osi(X0, Y0, A())
'Cls
'Line (X0, 16)-(X0, 199)
'Line (0, Y0 / 2)-(600, Y0 / 2)
'LOCATE 2, 35
'Print USING; "Y =##.# *Х(1)^#.## *Х(2)^#.##"; A(0); A(1); A(2)
'End Sub
'Sub Prodol()
'LOCATE 12, 60
'INPUT "НАЖМИТЕ RETURN "; H$
'End Sub
5 Лабораторная работа №5
Тема "Исследование равновесной цены"
Цель-получение практических навыков в выборе
параметров
модели функции спроса и предложения. Установление равновесной цены.
5.1Исходные данные
Фактический спрос и предложение на определенный товар
представлены в таблицах 1
Таблица1- Исходные данные
Р(цена)
1
5
9
13
Д(спрос)
20
8
4
2
S(предложение)
2
5
7
8

---

Page 85

85
Задание к лабораторной работе
1.
С помощью ПК проведите аппроксимацию функций спроса и
предложения на основе линейных функций (у=а
0
+а
1
*р).
Коэффициенты линейной функции можно вычислить по формулам
( )
∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
−
−
=
2
2
2
0
х
х
п
ух
х
х
у
а
,
( )
.
2
2
1
∑
∑
∑
∑ ∑
−
−
=
х
х
п
у
х
ух
п
a
.
Надежность результатов проверяется по коэффициенту
r
xy
r
σ
η
/
/
=
,
.,
/)
1(
2
n
r
xy
r
−
=
σ
),
*
/(
y
x
xy
xy
k
r
σ
σ
=
)
(
1
yx
y
х
п
к
i
i
ху
∑
−
=
,
.)
(
1
2
2
∑
−
=
x
x
n
i
x
σ
2.
Установите эластичность спроса и предложения и объясните
экономический смысл (
.
)
(
)
(
)
(
1
x
x
f
x
f
у
Е
х
=
).
3.Найдите равновесную цену (р
*)
4.Вычислите выручку на предприятии W=p*D(p*).
5.Найдите цену, при которой выручка максимальна, а также найдите
величину выручки.
Вопросы для самоконтроля.
1.
Экономический смысл эластичности спроса.
2.Экономический смысл обратной функции спроса.
3.При увеличение покупаемости товара спрос увеличился на 10% .
Покажите на графике изменение спроса (спрос до увеличения покупаемости и
после).
Индивидуальные задания вычислите на основе базовой таблицы по
алготитму
А
i
=А
б
*К, где К- номер студента в журнале.

---

Page 86

86
6 Лабораторная работа №6
Тема" Устойчивость в дуполии Курно. Выбор объема продукции на рынке "
Цель-получение практических навыков в выборе стратегии участников
рынка и оценки устойчивости их стратегий.
В процедурах «нащупывания» устойчивости по Курно каждое
предприятие максимизирует свою прибыль, полагая, что стратегии остальных
предприятий фиксированы. Такая процедура имеет описательную силу и
позволяет разделить оптимальные исходы на устойчивые и неустойчивые.
Более того, ее реализация требует минимальной информации для
конкурирующих предприятий (почти неинформируемость), которая сводится к
совместному наблюдений стратегий.
Равновесие по Стакельбергу (олигополия) следует рассматривать по
сценарию. Предприятие –лидер знает обе функции полезности И
1
,И
2
и
использует эту информацию для предсказания реакции предприятия 2.
Предприятие 2 (ведомое) воспринимает стратегию предприятия 1 заданную
экзогенно (обычно он не обращает внимания на функции выигрыша
предприятия 1) и максимизирует свой капитал, полагая что стратегия(Х
1
)
предприятия 1 фиксирована. Таким образом , предприятие 1 , имея первый ход
и предвидя, что игрок 2 использует один из своих наилучших ответов на Х
1
,
найдет оптимальное решение задачи.
6.1 Задание к самостоятельной работе
Два предприятия поставляют на рынок некоторое количество товара Х
1
и
Х
2
, цена на который определяется следующим образом р(Х)=1-Х, где Х=х
1
+х
2
.
Затраты на производство У- единиц продукции оценивается величиной (1/Н)*У,
где Н –номер варианта для индивидуального задания. Максимальные
производственные мощности предприятий равны 1/Н ( поэтому цена и затраты
неотрицательны).
Величина прибыли И(х
1
,х
2
)=х
i
(1-Х)-1/2x
i
, I=1,2 диапазон х
1
=х
2
=(0,1/2).
1. Составьте программу, которая обеспечивает вычисление наилучшего
результата каждого предприятия при изменении стратегий другого
предприятия.
2. Постройте функции полезности (прибыли) каждого игрока в одной
системе координат, а также их суммарное значение.
3. На графике отобразите процесс «нащупывания» устойчивости по
Курно из одной из позиций.

---

Page 87

87
4. Установите цену в точке Курно, а также в графическом виде
представьте зависимость цены от объема выпускаемой продукции .
Методические указания. Для выполнения П1 необходимо найти
производную прибыли и по ней получить зависимость Х
I
=У(Х
I
).
7 Лабораторная работа №7
Тема "Оптимальность по Парето, переговорное пространство"
Цель-получение практических навыков в выборе устойчивых по Парето
стратегий участников рынка
Доминирующие стратегии двух игроков ( V
1
>V, W
1
>W) не являются
оптимальными по Парето. Нарушение хотя бы одного условия – признак
оптимальности. Точка Status quo –это пересечение минимаксных стратегий
игроков.
Постановка задачи. Дана платежная матрица двух игроков
1.Определите области оптимальные по Парето (графически)
2.Найдите точку Status quo для двух игроков
3.Вычислите переговорное пространство двух игроков.
4.Определите максимальные выигрыши игроков и максиминные их
стратегии.
Исходные данные представлены в таблице 4.
Таблица 4-Варианты индивидуальных заданий
№ варианта
а
в
с
1
3
1.5
-4
2
4
2
-5
3
1
0.5
-2
4
4.5
2
-5

---

Page 88

88
5
3.5
2
-5
6
1.5
1
-2
7
3
2
-3
8
3
1
-2
9
4
3
-5
10
3
2
-4
11
4
3
-5
Методические рекомендации
Этапы выполнения 1-го задания.
1.Постройте множество точек плоскости выигрышей 1–го(V) и 2–го(W)
игроков при совместном принятии решений (
1
22
21
12
11
=
+
+
+
P
P
P
P
).
∑
∑
=
=
.
*
*
,
ij
P
ij
b
W
P
a
V
ij
ij
2.Для множества точек выделите область для которой нарушается хотя
бы одно условие
.
,
1
1
W
W
V
V
>=
>=
Эта область указывает на множество точек
оптимальных по Парето.
3.Найдите максиминные стратегии первого игрока при любых стратегиях
второго игрока ( можно графически). Для этого необходимо решить уравнение,
полученное путем приравнивания выигрышей первого игрока при первой и
второй стратегиях ( для биматричной игры). Аналогично получаем
максиминные стратегии второго игрока. Нанесенная на плоскость решений
точка является Status quo.
4.Нарисуйте на этой точке (Status quo) северо-восточную границу, и
точки пересечения границы с областью множества точек оптимальных по
Парето позволит локализовать переговорное пространство.
8 Лабораторная работа №8
Тема: "Равновесие на рынке товаров"
Цель-получение практических навыков в оценке спроса и цен на
комплекс товаров.
Постановка задачи. Рассмотрим рынок двух участников. У каждого из
игроков одна и та же функция полезности
,
*
)
,
(
2
1
2
1
x
x
x
x
U
=

---

Page 89

89
Каждый продавец имеет два вида товара. Так ассортимент первого
продавца (2, к), а второго-(3, в). Цены (р) на товар соответственно равны
.
3
.,
2
2
1
грн
p
грн
p
=
=
Таблица 5 –Индивидуальные задания
№
вар.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
к
3
3
2
1
4
4
1
2
3
2
4
в
4
3
3
2
5
4
1
2
1
4
3
1. По индивидуальному заданию (табл.5) определите точку спроса на
каждый товар.
2. Определите избыточный спрос по каждому товару.
3.Определите равновесные цены на товар,
если на первый товар
установлена цена –5 грн.
Этапы выполнения задания
1.Найдите функциональную зависимость точки спроса (Х
1
,Х
2
)
при
заданной функции полезности.
1.1 Найдите частные производные функции полезности.
1.2 Решая совместно уравнения частных производных и суммарного
дохода, найдите Х
1
,Х
2
.
2.Определите стоимость имущества первого и второго участника торга.
2.1 Установите вектора спроса (первого, второго, суммарный).
2.2 Вычислите избыточность спроса.
2.3 Сделайте проверку избыточности согласно теоремы Дебре.
3. Определите спрос (Д) на каждый товар (в общем виде).
4.Приравняв спрос и предложение, установите функциональную связь
между ценами.
5. При заданной установившейся цене на один товар на рынке
рассчитайте цену на второй вид товара.
9 Лабораторная работа №9
Тема «Межотраслевые балансовые модели»
Цель –получить практические навыки составления межотраслевых
моделей.
Задание1. Заданы коэффициенты прямых материальных затрат

---

Page 90

90










=
0
1.
3.
1.
6.
2.
4.
1.
2.
A
и матрица конечного потребления продукции каждой
отрасли










=
20
10
30
Y
.
1.Определите величину валовой продукции.
2. Составьте блок–схему и программу поиска заданных показателей
балансовой модели.
3.Определите условно чистую продукцию.
4.Заполните таблицу отраслевого баланса. Все расчеты выполните с
помощью табличного процессора, изменив базовые параметры в матрицах в
соответствии с алгоритмом.
N
10
V
V
b
=
, где N-списочный номер студента в журнале.
Задание 2. Дан объем валовой продукции
Х










=
800
500
700
и
объемы
потребления
каждой
отраслью
.
145
100
160
0
40
150
120
50
200
ij










=
Χ
1.Установите объем конечной продукции
2. Составьте блок- схему и программу поиска заданных показателей
балансовой модели .
3.Определите условно чистую продукцию.
4.Заполните таблицу отраслевого баланса.

---

Page 91

91
10 Лабораторная работа № 10
Тема «Игровые модели сотрудничества и конкуренции»
Цель: научиться составлять модели поведения участников рынка на
основе теории игр и проведение исследований в условиях предполагаемых
выгод.
Постановка задачи. Предприятие, имеющее возможность вложения
денежных средств в альтернативные варианты (капиталовложения в
собственное производство или депозит в банке), может ожидать доход в
зависимости от экономического положения в стране (стабильное, рост
инфляции, изменение налогового кодекса, падение спроса). Консалтинговой
фирмой была представлена информация
о прогнозируемом доходе для
предприятия (табл. 6).
Таблица 6-Доход предприятия
Экономические ситуации в окружающей среде
Альтернативы
предприятия
1
2
3
4
1
7
6
2
4
2
4
7
10
6
На основе игровой модели установите.
1.Оптимальную стратегию поведения предприятия .
2.Дать экономическую интерпретацию (гарантированную прибыль )
оптимальной стратегии предприятия.
Методические указания . При отсутствии седловой точки , смешанные
стратегии найдите графическим методом.
11. Программа курса
Тема 1. Модели и моделирование. Понятие экономической модели.
Моделирование
как
неотъемлемый
этап
всякой
целенаправленной
человеческой деятельности. Цели и модели. Познавательные и прагматические
модели. Статические и динамические модели. Способы воплощения моделей.
Материальные модели и виды подобия. Знаковые модели и сигналы.
Соотношение между моделью и действительностью: сходство и различия.
Математические
модели. Математическая
структура
модели
и
ее
содержательная интерпретация.
Тема 2.
Экономика как объект моделирования. Характеристика
экономики как объекта моделирования. Сложность экономических процессов и

---

Page 92

92
явлений. Случайность и неопределенность в экономическом развитии.
Нелинейность связей. Математическое моделирование в экономике. Место и
роль моделирования в исследовании экономических явлений и в системах
управления. Этапы построения экономической модели. Роль моделей в
экономической теории и принятии решений. Основные типы моделей.
Математическая
экономика.
Неполнота
экономической
модели.
Математическая модель и ее основные элементы.
Тема 3. Оптимизационные задачи с ограничениями. Элементы теории
экстремума. Задачи на условный экстремум. Метод Лагранжа для решения
задач оптимизации на условный экстремум.
Тема 4. Потребитель и его поведение. Модели распределения доходов
Cистема предпочтений. Пространство товаров, цены потребителя. Бюджетное
множество. Система предпочтений. Функция полезности и ее свойства.
Определение функции полезности. Свойства функции полезности. Товары-
заменители, предельные нормы замещения.
Теория потребительского спроса. Постановка задачи оптимизации выбора
потребителя. Решение задачи потребительского выбора и его свойства. Общая
модель потребительского выбора. Модель Р. Стоуна. Взаимозаменяемость благ.
Эффекты компенсации. Уравнение Слуцкого.
Тема 5. Производитель и его поведение. Производственные множества
и производственные функции. Производственные множества и их свойства.
”Кривая” производственных
возможностей
и
вмененные
издержки.
Производственные функции и их свойства. Изокванты. Предельные
(маржинальные)
и
средние
значения
производственной
функции.
Производственная
функция
как
объект
моделирования. Однородная
производственная функция. Двухфакторные производственные функции:
функция Леонтьева, функция Кобба-Дугласа, VES (Variable Elastisity of
Substitution) и СES (Constant Elastisity of Substitution) – функции. Учёт научно-
технического
прогресса. Производственные функции в темповой записи.
Эластичность замещения факторов. Многофакторные производственные
функции. Оценка параметров моделей производственных функций.
Тема 6. Теория фирмы. Постановка задачи фирмы. Функция спроса на
ресурсы. Функция предложения продукции. Фирма и ее действия на

---

Page 93

93
конкурентном рынке
в условиях монополии и при налогах. Фирма на
конкурентном рынке. Фирма-монополист. Налоги и действия потребителей при
взимании налогов. Налоги и действия производителей при взимании налогов.
Тема 7. Модели экономического взаимодействия на простейших
рынках. Спрос и предложение на рынке одного товара. Равновесие на рынке
одного товара. Паутинообразная модель рынка.
Сотрудничество и конкуренция двух фирм на рынке одного товара.
Условия работы двух фирм на рынке одного товара. Стратегия Курно.
Стратегия Стакельберга. Объединение двух фирм. Образование картеля.
Стратегия Бертрана. Устойчивость точек взаимодействия по Нэшу.
Тема 8. Игровые модели сотрудничества и конкуренции. Принятие
решений группой лиц. Возможные правила принятия решений группой лиц.
Теорема Эрроу. Оптимальность по Парето. Коалиции и их роль в принятии
решений в группе.
Кооперативные и некооперативные игры. Конфликтные ситуации.
Модель конфликта или сотрудничества двух участников. Кооперативные игры.
Оптимальность по Парето, переговорное множество. Кооперативные игры со
многими участниками, ядро игры.
Тема 9. Модели рынков. Модель распределения. Модель обмена, цены.
Равновесие на рынке, теорема Дебре. Равновесие на рынке с производством.
Ящик Эджворта. Описание ящика Эджворта. Множество распределений,
оптимальных по Парето. Равновесные распределения.
Тема 10. Глобальные модели производства. Модель межотраслевого
баланса Схема межотраслевого баланса. Модель « затраты » - « выпуск ».
Открытые и замкнутые модели. Модель Леонтьева. Ограничения на трудовые
ресурсы. Оптимизационная модель Канторовича. Анализ решений. Модель
Неймана. Модель Эванса. Модель Солоу.

---

Page 94

94
12.Указания, решения и ответы
Модуль 1
Задача 1.
В пространстве трех товаров рассмотрите бюджетное множество при
векторе цен P и доходе Q . Описать его и его границу с помощью обычных и
векторных неравенств и равенств, изобразить бюджетное множество и его
границу графически. В ответе дать число, равное объему бюджетного
множества. Данные:
(
)
6,
5,
2
=
P
;
30
=
Q
.
Решение. Вектор цен
(
)
3
2
1
,
,
p
p
p
P =
, набор товаров
(
)
3
2
1
,
,
x
x
x
X =
.
Бюджетное множество B – это множество всех наборов товаров X , которые
потребитель может купить на данное количество денег Q при данных ценах P
(при этом необязательно тратить все деньги). Бюджетное множество можно
описать неравенствами:
обычными
векторными
3
2
1
3
3
2
2
1
1
,
,
x
x
x
Q
x
p
x
p
x
p
≤
+
+
0
≥
=
⋅
X
Q
X
P
(Набор товаров – это вектор-столбец, но по соображениям экономии
места записываем его в виде вектора-строки.)
Граница бюджетного множества – это его часть, это множество всех
наборов товаров стоимостью Q . Границу бюджетного множества можно
описать равенствами:
обычными
векторными
3
2
1
3
3
2
2
1
1
,
,
x
x
x
Q
x
p
x
p
x
p
=
+
+
0
≥
=
⋅
X
Q
X
P
1
x
2
x
3
x
1
/ p
Q
2
/ p
Q
3
/ p
Q

---

Page 95

95
Для случая трех товаров бюджетное множество представляет собой
трехгранную пирамиду, одна вершина которой есть начало координат, а три
другие – точки
1
/ p
Q
,
2
/ p
Q
,
3
/ p
Q
на осях
1
x ,
2
x ,
3
x . Граница же бюджетного
множества – основание этой пирамиды, если ее вершину считать началом
координат.
Объем
бюджетного
множества
( )(
)
×
=
3
/
3/
1
p
Q
V
( )(
)(
)
[
]
2
1
/
/
2/
1
p
Q
p
Q
×
, при наших данных
75
=
V
.
Ответ: 75.
Задача 2.
Для потребителя с функцией полезности
(
)
2
1
, x
x
u
найдите в общем виде
функцию спроса на оба товара при ценах P и доходе Q . В ответе дать вектор,
равный значению спроса на оба товара при конкретных ценах
0
P и доходе
0
Q .
Данные:
(
)
2
1
2
1
,
x
x
x
x
u
=
;
( )
5,
2
0
=
P
;
40
0
=
Q
.
Решение. Найдем точку спроса потребителя с функцией полезности
(
)
2
1
2
1
,
x
x
x
x
u
⋅
=
. Имеем:
( )
( )



=
∂
∂
=
∂
∂
2
1
2
1
2
1
2
/
/
2
/
/
x
x
x
u
x
x
x
u
(
) (
)



=
+
=
∂
∂
∂
∂
.
,
/
/
/
/
2
2
1
1
1
2
1
2
Q
x
p
x
p
p
p
x
u
x
u
Далее получаем:



=
+
=
,
,
/
/
2
2
1
1
1
2
2
1
Q
x
p
x
p
p
p
x
x
и окончательно
( )
( )



=
=
2
0
2
1
0
1
2
/
2
/
p
Q
x
p
Q
x
При наших данных
15
0
1
=
x
,
10
0
2
=
x
. Это и есть ответ.
Задача 3.
Для функции спроса из задания 2 найдите в общем виде, на сколько
процентов изменится спрос на первый товар при увеличении цены на второй
товар на 1% при компенсации дохода. В ответе дайте число – для точки спроса
из задания 2.

---

Page 96

96
Решение. Для нахождения отклика спроса на 1-й товар при изменении
цены на 2-й товар с компенсацией дохода воспользуемся уравнением Слуцкого
(
)
(
)
*
2
2
2
1
2
1
/
/
/
x
Q
x
p
x
p
x
comp
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
.
Из решения задачи 2 получаем:
0
/
2
1
=
∂
∂
p
x
,
( )
1
1
2
/1
/
p
Q
x
=
∂
∂
.
Следовательно,
(
)
(
)
(
)
2
1
2
1
2
1
4
/
4
/
0
/
p
p
Q
p
p
Q
p
x
comp
=
+
=
∂
∂
.
В задаче речь идет об эластичности спроса на 1-й товар при изменении
цены
на
2-й
товар
с
компенсацией
дохода, т.е. надо
найти
(
) (
)
1
2
2
1
/
/
x
p
p
x
comp
∂
∂
. Подставляя
найденное
ранее
выражение
для
(
)
comp
p
x
2
1
/∂
∂
, получаем
(
)
[
]
(
)
2/
1
/
2
4
/
1
2
2
1
=
Q
p
p
p
p
Q
(для данной функции
полезности вычисляемая эластичность оказалась независящей от точки спроса,
для произвольной функции полезности такая зависимость существует).
Задача 4.
4. Пусть производственная функция есть функция Кобба – Дугласа.
Чтобы увеличить выпуск продукции на %
a , надо увеличить основные фонды
на
%
b
или численность работников на %
c . В настоящее время один работник
за месяц производит продукции на M руб., а всего работников L. Основные
фонды оцениваются в K руб. В ответе дайте производственную функцию и
величину средней фондоотдачи.
Данные:
3
=
a
,
6
=
b
,
9
=
c
,
4
10
=
M
,
1000
=
L
,
8
10
=
K
.
Решение. Производственная функция Кобба – Дугласа имеет вид
β
α
L
AK
Y =
, где A, α , β – константы
(
)
1
,0
,
,
<
+
>
β
α
β
α
A
; K – объем
фондов либо в стоимостном выражении, либо в натуральном количестве,
скажем, число станков; L – объем трудовых ресурсов — число рабочих, число
человеко-дней и т.п.; Y – выпуск продукции в стоимостном или натуральном
выражении. При этом смысл параметра β – эластичность продукции по труду.
Аналогичный смысл имеет параметр α – эластичность продукции по фондам.
Средняя фондоотдача
K
Y
k
/
=
– отношение объема произведенного продукта к
величине фондов.
Учитывая все это, получаем
2/
1
/ =
= b
a
α
,
3/
1
/ =
=
c
a
β
, следовательно,
3/
1
2/
1
L
AK
Y =
.
Для нахождения A подставим в эту формулу значения K , L, и M , имея
в виду, что
( )
3/
1
2/
1
8
4
1000
10
10
1000
:
A
ML
Y
=
⋅
=
. Отсюда
100
=
A
.
Теперь найдем среднюю фондоотдачу:
1,
0
10
/
10
/
8
7
=
=
=
K
Y
k
.

---

Page 97

97
Задача 5.
Для фирмы с производственной функцией из задания 4 найдите
оптимальный размер, если период амортизации основных фондов
N
месяцев,
зарплата работника в месяц
a
руб.
Данные:
12
=
N
,
1000
=
a
.
Решение. Оптимальный размер выпуска или объема производства
находится из следующего правила:
(
)
i
i
p
x
f
=
∂
∂ /
ν
, где f – производственная
функция, X – ресурсы с ценами
p
, Y – выпуск продукции ценой ν .
В нашем случае выпуск продукции измеряется в денежном выражении,
так что
1
=
ν
. Далее. Стоимость месячного содержания одного рубля фондов
N
/1
, т.е. получаем систему уравнений



=
∂
∂
=
∂
∂
a
L
Y
N
K
Y
/
/1
/
решая которую и находим ответ:
( )
( )



=
=
,
10
3/
12
/1
2
/
3
3/
2
2/
1
2/
1
3/
1
K
AL
K
AL
,
10
18
3
⋅
= L
K
6
3
10
144
10
8
⋅
=
⋅
=
K
L
Задача 6.
Объем сбыта зависит от назначаемой цены ν по формуле
( )
ν
Y
.
Зависимость издержек от объема Y выпуска дается формулой
( )
Y
I
. По
критерию максимальной прибыли найдите оптимальный объем производства,
величины прибыли и издержек.
Данные:
( )
ν
ν
−
= 28
Y
;
( )
15
37
6
3/
2
3
+
+
−
=
Y
Y
Y
Y
I
.
Решение. Из условий задачи прибыль
( )
( ) (
)
).
15
37
6
3/
(
28
)
(
2
3
+
+
−
−
−
=
−
⋅
=
Y
Y
Y
Y
Y
Y
I
Y
Y
P
ν
ν
Находим производную от прибыли по объему, приравниваем ее нулю и
находим оптимизирующий объем производства Y :
(
)
0
37
12
28
2
=
+
−
−
−
−
Y
Y
Y
Y
,
откуда
9
*
=
Y
.
Далее
находим
самую
максимальную
прибыль
66
*
=
P
и
соответствующие издержки
105
*
=
I
.

---

Page 98

98
Модуль №2
Задача 1. Даны зависимости спроса D и предложения
S
от цены.
Найдите равновесную цену и выручку при равновесной цене. Найдите цену,
при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.
Данные:
p
D
5
400 −
=
,
p
S
5
100 +
=
.
Решение. Точка равновесия характеризуется равенством спроса и
предложения, т.е.
p
p
5
100
5
400
+
=
−
и
3
*
=
p
0. Выручка при равновесной цене
7500
)
30
5
400
(
30
)
(
*
*
=
⋅
−
⋅
=
⋅
=
p
D
p
W
. В общем же случае при цене
p
выручка
)))
(
),
(
(min(
)
(
p
S
p
D
p
p
W
=
. На рис. 1 показан график выручки в
зависимости от цены. Видно, что максимум
W
достигается при
40
=
p
и равен
8000. Таким образом, максимальная выручка достигается не при равновесной
цене.
Ответ: равновесная цена равна 30, выручка при равновесной цене 7500,
максимальная выручка 8000 при цене 40.
Задача 2. Дана биматрица кооперативной игры двух игроков без
побочных платежей. Найдите выигрыши игроков при использовании ими
совместной стратегии
[
]
22
21
12
11
,
,
,
p
p
p
p
. Найдите множество Парето,
максиминные стратегии игроков и максиминные выигрыши, переговорное
множество.
Данные:
(
) (
)
(
) ( )






−
−
−
−
−
1,
1
3
,2
3
,1
2
,2
,
[
]
5,
0;
0;
0;
5,
0
.
10
3
5
p
250
p•S(p)
p•D(p)
Рисунок 5
W

---

Page 99

99
Решение. Выигрыш первого игрока равен
2/
3
5,
0
2
5,
0
=⋅
+
⋅
, аналогично
выигрыш второго игрока равен -0,5. Для нахождения множества Парето
обратимся к рис. 2, на котором видим, что множество Парето есть отрезок
BC
.
Для нахождения максиминного выигрыша первого игрока и его максиминной
стратегии
решим
задачу
линейного
программирования
( )
[
]
{
}
x
x
x
x
−
+
−
−
−
=
1
,
1
2
2
min
sup
1
ν
Задачу решим графическим методом (рис. 2).
Видно, что решением является
2/
1
*
=
x
и
0
1
=
ν
. Аналогично находим
соответствующие величины для второго игрока. Итак, максиминный выигрыш
первого игрока – нуль, второго игрока – -11/5; максиминная стратегия первого
игрока – (1/2, 1/2), второго – (4/5, 1/5). Переговорное множество есть отрезок
BC
(рис. 1).
Задача 3. Рассмотрите рынок с тремя участниками
(
)
3,
2,
1
=
i
, у каждого
одна и та же функция полезности
(
)
3
2
1
3
2
1
,
,
x
x
x
x
x
x
u
=
.
Пусть начальное имущество первого, второго и третьего участников есть
соответственно
(
)
1
1
1
,
, c
b
a
,
(
)
2
2
2
,
,
c
b
a
,
(
)
3
3
3
,
,
c
b
a
. Найдите равновесные цены и
равновесное конечное распределение.
Данные: три вектора
(
)
c
b
a ,
,
,соответственно (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5).
Решение. Для функции полезности
3
2
1
3
2
1
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
u
=
найдем
точку спроса (напомним, что эта точка характеризуется пропорциональностью
частных
производных
и
цен).
Имеем:
)
2
/(
/
1
3
2
1
x
x
x
x
u
=
∂
∂
;
)
2
/(
/
2
3
1
2
x
x
x
x
u
=
∂
∂
откуда
2
1
2
1
/
)
/
/(
)
/
(
p
p
x
u
x
u
=
∂
∂
∂
∂
т.е.
-1
-2
-3
-1
-2
1
2
3
2
1
x
1
x
2
-1
-2
1
1
x
ν
1
x
*
-1
2
Рис. 1
Рис. 2

---

Page 100

100
2
1
1
2
/
/
p
p
x
x
=
или
2
2
1
1
x
p
x
p
=
. Остальные два соотношения аналогичны, так
что в итоге получаем точку спроса:
)
3
/(
1
1
p
Q
x =
∗
)
3
/(
2
2
p
Q
x =
∗
)
3
/(
3
3
p
Q
x =
∗
.
Сумма, в которую равновесный рынок оценивает начальное богатство,
есть:
первого участника –
)
3
2
(
3
2
1
1
p
p
p
Q
+
+
=
, второго участника –
)
4
3
2(
3
2
1
2
p
p
p
Q
+
+
=
, третьего участника –
)
5
4
3(
3
2
1
3
p
p
p
Q
+
+
=
, так что
суммарный спрос есть: на 1-й товар –
)
3
/(
)
3
/(
)
3
/(
1
3
1
2
1
1
1
p
Q
p
Q
p
Q
D
+
+
=
=
)
3
/(
)
12
9
6(
1
3
2
1
p
p
p
p
+
+
=
, на 2-й товар –
)
3
/(
)
12
9
6(
2
3
2
1
2
p
p
p
p
D
+
+
=
,на 3-й
товар –
)
3
/(
)
12
9
6(
3
3
2
1
3
p
p
p
p
D
+
+
=
.
Приравнивая суммарный спрос и суммарное предложение каждого
товара, получаем систему уравнений для определения равновесных цен:
)
3
/(
)
12
9
6(
1
3
2
1
p
p
p
p
+
+
= 6
)
3
/(
)
12
9
6(
2
3
2
1
p
p
p
p
+
+
= 9
)
3
/(
)
12
9
6(
3
3
2
1
p
p
p
p
+
+
= 12
или
3
2
1
12
9
6
p
p
p
=
=
.
Понятно, что
цены
определяются
лишь
с
точностью
до
пропорциональности, так что, полагая
6
1
=
p
, получаем, что
4
2
=
p
и
3
3
=
p
.
Далее находим окончательное распределение: у первого участника – (23/18,
23/12, 23/9), суммарное богатство равно 23; у второго участника – (36/18, 36/12,
36/9), суммарное богатство равно 36; у третьего участника – (49/18, 49/12, 49/9),
суммарное богатство равно 49.
Модуль № 3
Внимание! Вычисления вести либо в обыкновенных дробях, либо с
точностью до 1-го знака после запятой.
Задача 1. Модель Леонтьева. Даны вектор
C
непроизводственного
потребления и матрица A межотраслевого баланса. Найдите вектор валового
выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления.
Данные:








=
2
3
C
,








=
2/
1
3/
1
4/
1
2/
1
A
Решение. Матрица модели неразложима. Для неразложимых матриц
условие продуктивности выглядит так: если сумма элементов каждой строки не

---

Page 101

101
больше единицы и хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель
Леонтьева с этой матрицей продуктивна.
Сумма элементов, например первой строки, меньше единицы.
Следовательно, модель продуктивна.
Модель Леонтьева с матрицей A продуктивна, если и только если
существует неотрицательная матрица, обратная к
A
E − . Найдем матрицу,
обратную к матрице
A
E − (например, методом миноров):








→








→








→








−
−
3
2
3
2
3
2
1
3
1
4
1
2
1
2
1
4
1
3
1
2
1
2
1
3
1
4
1
2
1
.
Итак, обратная матрица найдена, осталось умножить ее на
C
. Имеем:








=








×








12
12
2
3
3
2
3
2
3
.
Найден искомый вектор производства








=
12
12
X
.
Задача 2. Модель Неймана. Даны матрицы
B
A,
технологических
процессов, вектор P цен и вектор
S
начальных запасов. Найдите интенсивности
2
1
,z
z
, технологических процессов, максимизирующие стоимость выпуска
продукции за один производственный цикл и эту максимальную стоимость.
Данные:








=
10
4
2
5
A








=
15
5
5
5
B








=
28
14
S
( )
5,
1
=
P
Решение. Пусть








=
2
1
z
z
Z
вектор-столбец искомых интенсивностей, тогда
для их нахождения имеем задачу линейного программирования:
0
max
≥
≤
→
Z
S
AZ
PBZ
или в развернутой форме
0
,
28
10
4
14
4
5
max
80
30
2
1
2
1
2
1
2
1
≥
≤
+
≤
+
→
+
z
z
z
z
z
z
z
z

---

Page 102

102
Решим эту задачу графическим методом (см. рисунок). Точка максимума
(
)
8,
2;
0
и максимальная стоимость продукции, которая может быть выпущена за один
цикл, равна224.
Задача 3. Модель Солоу. В модели Солоу с производственной функцией
Кобба—Дугласа
с
α
β
α
−
=
=
=
1
,2
/1
,
10
3
A
найдите
значения
фондовооруженности, производительности труда и удельного потребления на
стационарной траектории, на которой норма накопления равна
2,
0
=
ρ
,
выбытие фондов
2,
0
=
µ
за год, а годовой прирост трудовых ресурсов
05
,0
=
ν
.
Решение.
Рассмотрим
стационарную
траекторию, т.е. такую, на
которой
фондовооруженность
k
постоянна и равна, следовательно, своему начальному
значению:
( )
.
0
k
const
t
k
=
=
Но поскольку таким постоянным значением может быть,
наверное, невсякоеначальное, обозначимего
0
k .
Такое значение фондовооруженности называется стационарным. Конечно,
на стационарной траектории
0
/ =
dt
dk
.
Воспользуемся нужными формулами. На стационарной траектории
фондовооруженность
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
4
5,
0/
1
3
1
/1
0
10
64
05
,0
2,
0
/
10
2,
0
/
⋅
=
+
⋅
=
+
=
−α
ν
µ
ρA
k
,
производительность труда
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
5
5,
0/
5,
0
3
3
1
/
0
10
8
05
,0
2,
0
/
10
2,
0
10
/
⋅
=
+
⋅
=
+
=
−α
α
ν
µ
ρA
A
y
,
Рисунок

---

Page 103

103
удельное потребление
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
4
5,
0/
5,
0
3
3
1
/
10
64
05
,0
2,
0
/
10
2,
0
10
8,
0
/
1
⋅
=
+
⋅
⋅
=
+
−
−α
α
ν
µ
ρ
ρ
A
A
.
13 Вопросы по дисциплине к экзамену
Вопросы по дисциплине « Моделирование экономики» -1я часть
1.Модели и моделирование. Понятие экономической модели.
Моделирование
как
неотъемлемый
этап
всякой
целенаправленной
человеческой деятельности. Цели и модели. Познавательные и прагматические
модели.
2.Статические и динамические модели. Способы воплощения моделей.
Материальные модели и виды подобия. Знаковые модели и сигналы.
Соотношение между моделью и действительностью: сходство и различия.
Математические
модели. Математическая
структура
модели
и
ее
содержательная интерпретация.
3.Экономика как объект моделирования. Характеристика экономики
как объекта моделирования. Сложность описания экономических процессов и
явлений. Случайность и неопределенность в экономическом развитии.
Нелинейность связей.
4.Математическое моделирование в экономике. Место и роль
моделирования в исследовании экономических явлений и в системах
управления. Этапы построения экономической модели. Роль моделей в
экономической теории и принятии решений. Основные типы моделей.
5. Оптимизационные задачи с ограничениями. Элементы теории
экстремума. Задачи на условный экстремум. Метод Лагранжа для решения
задач оптимизации на условный экстремум.
6. Потребитель и его поведение. Модели распределения доходов
Cистема предпочтений. Пространство товаров, цены потребителя.
7.Бюджетное множество. Система предпочтений. Функция полезности и
ее свойства. Определение функции полезности. Свойства функции полезности.
Товары-заменители, предельные нормы замещения.
8.Теория потребительского спроса. Постановка задачи оптимизации
выбора потребителя. Решение задачи потребительского выбора и его свойства.

---

Page 104

104
9.Общая модель потребительского выбора. Модель Р. Стоуна.
Взаимозаменяемость благ. Эффекты компенсации. Уравнение Слуцкого.
10.Производитель и его поведение. Производственные множества и
производственные функции. Производственные множества и их свойства.
”Кривая” производственных
возможностей
и
вмененные
издержки.
Производственные функции и их свойства.
11.Изокванты. Предельные (маржинальные) и средние значения
производственной
функции. Производственная
функция
как
объект
моделирования. Однородная производственная функция.
12.Двухфакторные производственные функции: функция Леонтьева,
функция Кобба-Дугласа, VES (Variable Elastisity of Substitution) и СES (Constant
Elastisity of Substitution) – функции. Учёт научно-технического прогресса.
Производственные функции в темповой записи. Эластичность замещения
факторов.
13.Многофакторные производственные функции. Оценка параметров
моделей производственных функций.
Вопросы по дисциплине « Моделирование экономики» -2-я Часть
1.Спрос и предложение на рынке одного товара.
2.Эластичность спроса и предложения.
3.Равновесие на рынке одного товара . Графическое решения.
4.Паутинообразная модель рынка.
5.Условия работы двух фирм на рынке одного товара.
6.Стратегия Курно.
7.Стратегия Стакельберга.
8.Объединение двух фирм.
9.Образование картеля.
10.Стратегия Бертрана.
11.Устойчивость точек взаимодействия по Нешу.
12.Принятие решения группой лиц . Теорема Эрроу.
13.Оптимальность по Порето.
14.Кооперативные и некоперативные игры .Стратегии игроков. Седловая
точка.
15.Переговорное множество.
16.Ядро игры.
17.Решение игр в чистых стратегиях.
18.Решение игр 2*n,m*2.
19Решение игр с помощью линейного программирования.

---

Page 105

105
20.Простейшие модели рынков.
21. Равновесие на рынке. Теорема Дебре.
22.Равновесие на рынке с производством.
23.Ящик Эджворта.
24Множество распределений, оптимальных по Порето.
25.Равновесное распределение.
26.Модели межотраслевого баланса.
27.Продуктивность модели Леонтьева.
28.Прямые и полные затраты в модели Леонтьева.
29.Модель распределения богатства в обществе. Коэффициент Джинни.
Список рекомендованной литературы
1. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-
практическое пособие.– М.: Изд-во УРАО, 1998. –160 с.
2. М. Кубонива и др. Математическая экономика на персональном
компьютере.– М.: Финансы и статистика, 1991.– 304с.
3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические
методы в экономике.– 3-е изд., перераб.– М.: Издательство «Дело и Сервис»,
2001.–368с.
4. Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические
методы и модели: Учеб. Пособие.– М.: Изд-во РУДН, 1999.–183 с.
5. Г.П. Фомин. Математические методы и модели в коммерческой
деятельности: Учебник.– М.: Финансы и статистика, 2001.–544 с.
6. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие..Под
общ. Ред. А.В.Кузнецова. – Мн.: БГЭУ, 2000.–412 с.
7. Советов Б.Я., Яковлев Г.А. Моделирование систем. М., Высшая
школа, 1985.
8. Кобринский Н.Е., Майминас Е.З., Смирнов А.Д. Экономическая
кибернетика. М., Экономика, 1988.
9.Тарануха Ю.В. Экономика отраслевых рынков (в структурно
логических
схемах): Учебно-методическое
пособие/под
общей
ред.
д.э.н.А.В.Сидоровича; МГУ им М.В.Ломоносова -М.: Дело и сервис, 2002.-
240с.
10/Колемаев В.А. Математическая экономика. М., 1996
11/Раяцкас Р. Л., Плакунов М. К. Количественный анализ в экономике. –
Г.: Наука, 1987. – 390 с.

---

Page 106

106
ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................................................................3
Задания к лабораторным и самостоятельным занятиям........................................................................................3
1.Лабораторная работа №1 . Тема: Математические основы экономических моделей. Элементы теории
экстремума .............................................................................................................................................................3
1.1 Теоретические основы. Функции двух переменных и их множества ,линии уровня.....................................3
1.2 Частные производные, градиент и дифференциал..........................................................................................8
1.3 Однородные функции....................................................................................................................................14
1.4 Понятие экстремума......................................................................................................................................15
1.5 Задачи на условный экстремум.....................................................................................................................21
1.6 Метод Лагранжа для решения задач оптимизации на условный экстремум................................................27
1.7 Понятие о задаче математического программирования ...............................................................................31
1.8 Вопросы для самопроверки...........................................................................................................................33
1.9 Индивидуальные задания к лабораторным работам......................................................................................33
1.10 Задание №1. Графики и линии уровня функций двух переменных (2 часа)...............................................34
1.12 Решение задачи с помощью пакета Mathcad 2000.......................................................................................39
Безусловныйглобальный минимум....................................................................................................................39
1.13 Варианты заданий.........................................................................................................................................40
2.Лабораторная работа №2...................................................................................................................................40
Тема :"Основные элементы и приемы моделирования экономических систем. Предельные значения"...........40
2.1 Индивидуальное задание................................................................................................................................40
3 Лабораторная работа №3...................................................................................................................................43
Тема “Модель потребительского спроса (линии безразличия, уравнение Слуцкого)” ......................................43
3.1 Теоретические основы....................................................................................................................................43
3.2 Программное обеспечение .............................................................................................................................48
3.3 Теория потребления. Графики .......................................................................................................................54
3.4 Программная реализация ...............................................................................................................................58
3.5 Индивидуальное задание к лабораторной работе..........................................................................................64
3.6 Методические указания. Предельная полезность............................................................................................67
4.Лабораторная работа №4...................................................................................................................................70
Тема: «Производственные функции» ..................................................................................................................70
4.1Теоретические основы.....................................................................................................................................70
4.2 Индивидуальные задания...............................................................................................................................72
4.3 Методические замечания и пояснения Изокванты и предельная производительность................................73
4.4 Агоритмизация программных процедур........................................................................................................75
4.5 Программное обеспечение по теории производства. Графики..................................................................77
5 Лабораторная работа №5...................................................................................................................................84
Тема "Исследование равновесной цены"............................................................................................................84
5.1Исходные данные ............................................................................................................................................84
6 Лабораторная работа №6...................................................................................................................................86
Тема" Устойчивость в дуполии Курно. Выбор объема продукции на рынке "..................................................86
6.1 Задание к самостоятельной работе.................................................................................................................86
7 Лабораторная работа №7...................................................................................................................................87
Тема "Оптимальность по Парето, переговорное пространство".........................................................................87
8 Лабораторная работа №8...................................................................................................................................88
Тема: "Равновесие на рынке товаров" .................................................................................................................88
9 Лабораторная работа №9...................................................................................................................................89
Тема «Межотраслевые балансовые модели».......................................................................................................89
10 Лабораторная работа № 10..............................................................................................................................91
Тема «Игровые модели сотрудничества и конкуренции»...................................................................................91
11. Программа курса.........................................................................................................................................91
12.Указания, решения и ответы ...........................................................................................................................94
13 Вопросы по дисциплине к экзамену .............................................................................................................103
Список рекомендованной литературы...............................................................................................................105