Построение графика функции

Page 1

Часть III
ГЛОБАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВА И ПОТРЕБЛЕНИЯ
Вэтойчастирассматриваются модели, описывающие всюэкономикувцелом или
ее весьма большие части. В последней теме рассматриваются начала денежного
обращения инекоторые социально-экономическиехарактеристикиобщества.
ТЕМА 6
ГЛОБАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВА
6.1. Модель межотраслевого баланса
1. Описание модели межотраслевого баланса. Идея межотраслевого баланса
впервыебыласформулированавработахсоветскихэкономистов в 1920-хгг. и получила
затем развитие в трудах американскогоэкономистаВ.В. Леонтьева.
Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбит на
n
чистых
отраслей. Чистая отрасль– этоусловное понятие – некоторая часть народного хозяйства,
более или менее цельная. Например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и
т.п.
Пусть
ij
a
– количество продукции i -й отрасли, расходуемое в j -й отрасли,
i
V
– объем производства i -й отрасли,
i
c – объем потребления продукции i -й отрасли в
непроизводственнойсфере. Ясно, что
∑
−
=
j
ij
i
i
a
V
c .
Матрица
( )
ij
a
A
=
содержит весьма много информации. Так, ее i -я строка
характеризует использование продукции j -й отрасли по всему народному хозяйству, а
j -йстолбецхарактеризует j -юотрасль: что ивкакихколичествахонаиспользует.
Перейдем теперь к безразмерным величинам. Пусть
j
ij
ij
V
a
a
/
=
– количество
единиц продукции j -й отрасли, расходуемое на изготовление, производство одной
единицы продукции j -й отрасли. Числа
ij
a
называются коэффициентами прямых
затратой отрасли и характеризуют технологию этой отрасли, Число же
i
i
V
c /
есть доля
продукции i - й отрасли, идущаянанепроизводственноепотребление.
П р и м е р 1, Пусть всего только две отрасли. Использование продукции
этих отраслей в них таково:
200
100
80
80
50
30
. Составить матрицу A коэффициентов
прямых затрат, найти размеры непроизводственного потребления.
Решение. Найти последнее совсем просто:
(
)
20
50
30
100
1
=
+
−
=
c
,
40
2
=
c
, далее находим коэффициенты прямых затрат:
30
,0
11
=
a
;
80
,0
21
=
a
;
40
,0
22
=
a
.
Для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева сделаем два важных
предположения.
Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производства
считаем неизменной. Таким образом матрица
( )
ij
a
A =
постоянна.

---

Page 2

Второе состоит в постулировали* свойства линейности существующих
технологий. Т.е. для выпуска j -й отраслью продукции объема
x
надо ресурсов
(т.е. продукции других отраслей) в количестве
∑
j
ij
a
x
.
Это требование означает, в частности, что каждая отрасль способна
произвести любой объем своей продукции при условии, что ей будут обеспечены
ресурсы в необходимом количестве. На самом деле это, конечно, не так, ибо
производственные возможности всякой отрасли ограничены имеющимся
объемом трудовых ресурсов и основных фондов.
Есть много общего в рассматриваемой ситуации с задачей оптимального
планирования или оптимального использования ресурсов,
В частности, пусть
( )
j
x
X =
– вектор объемов производства в отраслях,
тогда AX – потребляемые объемы продукции этих отраслей. Таким образом,
вне производственной сферы – на потребление остается только
AX
X −
.
В дальнейшем, исходя из экономического смысла, матрицу, задающую
модель Леонтьева, считаем неотрицательной.
2. ПродуктивностьмоделиЛеонтьева. Пусть потребность непроизводственной
сферы выражается вектором
C
. Существует ли вектор производства, обеспечивающий
это, т.е. удовлетворяющий уравнению
AX
X
C
−
=
? Разумеется, учитывая
экономическую интерпретацию, этот вектор производства должен быть
неотрицательным. Поэтому говорят, что модель Леонтьева продуктивна, если
уравнение
C
AX
X
=
−
имеет неотрицательное решение для любого
0
≥
C
, т.е.
матрица A позволяетпроизвестилюбойнеотрицательныйвекторпотребления.
Т е о р ема . Модель Леонтьева с матрицей A продуктивна, если и
только если существует неотрицательная матрица, обратная к
A
E − .
В самом деле, пусть E имеет обратную матрицу и эта матрица
(
)
1−
− A
E
неотрицательна, тогда
(
)
C
A
E
X
⋅
−
=
−1
и, поскольку
0
≥
C
, то и
0
≥
X
.
Доказательство обратного (т.е. если модель продуктивна, то матрица Е - А имеет
обратную неотрицательную матрицу) опустим.
Только что указанный критерий продуктивности модели Леонтьева не
имеет хорошей экономической интерпретации. Рассмотрим еще один критерий
продуктивности.
Пусть модель Леонтьева задана матрицей A размерами
n
n×
. Обозначим
через
N
множество
{
}
n,
,1K
. Пусть
N
S ⊆
. Говорят, что подмножество
S
изолировано, если
0
=
ij
a
, всякий раз, когда
S
j ∈ ,
S
N
i
\
∈
. Понятие
изолированности подмножества
S
допускает прозрачную экономическую
интерпретацию: отрасли, номера которых принадлежат S, не используют товары,
производимые в отрасляхс номерами, не принадлежащими
S
.
Матрица называется неразложимой, если в ней нет изолированных
подмножеств, кроме
N
и Ø. Понятие неразложимости также имеет прозрачный
экономический смысл: любая отрасль использует, хотя бы косвенно, продукцию
всех отраслей. Ведь если
0
≠
ij
a
, то j - я отрасль непосредственно использует

---

Page 3

продукцию i -й отрасли. Но если даже
0
=
ij
a
, т.е. j -я отрасль не использует
продукцию i -й отрасли непосредственно, все равно при неразложимой матрице от
данной отрасли до любой другой можно найти цепочку отраслей, использующих
продукцию друг друга.
Для неразложимых матриц условие продуктивности выглядит так: если
сумма элементов каждой строки не больше единицы и хотя бы для одной
строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева с этой матрицей
продуктивна.
Для продуктивности действительно есть основания: продукции каждой
отрасли хватает для нужд самого производства, более того, есть отрасль,
продукция которой даже остается на потребление, а неразложимость, т.е.
взаимосвязанность всех отраслей, позволяет надеяться на то, что этот остаток
может преобразоваться в остатки на потребление и продукции других отраслей.
Пример 2. Пусть модель Леонтьева задана матрицей








=
2/
1
3/
1
4/
1
2/
1
A
.
Найти объем производства, обеспечивающий вектор потребления








=
2
3
C
.
Решение. Видно, что матрица модели неразложима и сумма элементов,
например первой строки, меньше единицы. Следовательно, модель продуктивна.
Найдем матрицу, обратную к матрице
A
E − (например, методом миноров):








→








→








→








−
−
−
3
2
3
2
3
2
1
3
1
4
1
2
1
2
1
4
1
3
1
2
1
2
1
3
1
4
1
2
1
.
Итак, обратная матрица найдена, осталось умножить ее на
C
. Имеем:








=








×








12
12
2
3
3
2
3
2
3
.
Найден искомый вектор производства








=
12
12
X
.
3. Прямые и полные затраты в модели Леонтьева. Напомним, что
модель задается матрицей A прямых затрат. В этой матрице
ij
a
– количество единиц
продукции i -й отрасли, расходуемой на изготовление, производство одной единицы
продукции j -й отрасли. Числа
ij
a
называются коэффициентами прямых затрат j -
й отрасли и характеризуют технологию этой отрасли. Пусть
( )
j
x
X =
обозначает
вектор валового производства, тогда AX есть израсходованные в процессе
производства ресурсы и для непроизводственной сферы остается
AX
X
C
−
=
. Но на
производство
C
надо израсходовать
AC
ресурсов. Однако на их производство надо
в свою очередь затратить
( )
C
A
AC
A
2
=
ресурсов, а для их производства еще
израсходовать
( )
C
A
C
A
A
3
2
=
и т.д. Полные затраты, таким образом, есть сумма
бесконечного ряда
∑
∞
=0
n
n
C
A . Но члены этого ряда – конечномерные векторы-

---

Page 4

столбцы, поэтому сумма этого ряда находится как вектор сумм 1-х, 2-х и т.д.
компонент векторов
C
A
n
. Однако можно доказать, что если сумма ряда
∑
∞
=0
n
n
C
A
существует, то ее можно вычислить как произведение
(
)
1
−
− A
E
, т.е.
(
)
C
A
E
C
A
n
n
1
0
−
∞
=
−
=
∑
(1)
Обратите внимание на аналогию с формулой суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии
(
)
q
b
bq
bq
bq
b
n
n
−
=
+
+
+
∑
∞
=
1/
0
K
. Но эта
формула верна, если только если
1
<
q
. Нечто подобное имеет местои для формулы
(1).
Для матрицы A число
λ
называется собственным числом, если найдется
ненулевой вектор Y , такой, что
Y
AY λ
=
. Такой вектор также называется
собственным вектором, отвечающим данному собственному числу
λ
(вектор Y
не определяется по
λ
однозначно – всякий вектор, ему пропорциональный,
также будет собственным вектором, отвечающим этому же собственному числу
λ
). Можно доказать следующее утверждение.
Утверждение. Модель Леонтьева с матрицей A продуктивна, если и
только если матрица имеет собственное число
1
<
A
λ
, которое к тому же является
наибольшим помодулю из всех собственных чиселматрицы.
Если матрица имеет такое число
A
λ , то можно доказать, что
0
lim
=
∞
→
n
n
A
и
формула (1) верна.
Можно доказать также, что модель Леонтьева продуктивна, если она
позволяет произвести хоть какой-нибудь строго положительный вектор
потребления; из этого вытекает, что можно произвести и любой неотрицательный
вектор потребления.
П р и м е р 3. Для матрицы








=
3
1
6
1
3
1
2
1
A
найти собственные числа и
векторы. Согласно определению, собственный вектор Y и собственное число
λ
удовлетворяют уравнению
Y
AY λ
=
, или
(
)
0
=
−
Y
E
A λ
.
Имеем однородную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
(
)
( )
( )
(
)



=
−
+
=
+
−
0
3/
1
6/
1
0
3/
1
2/
1
2
1
2
1
y
y
y
y
λ
λ
. Чтобы такая СЛАУ имела ненулевое решение,
определитель
ее
должен
быть
равен
нулю. Получаем
уравнение
(
)(
)
0
6/
1
3/
1
3/
1
2/
1
=
⋅
−
−
−
λ
λ
. Решая его, находим два собственных числа:
6/
1
1
=
λ
и
3/
2
2
=
λ
. Затем для каждого
1
λ и
2
λ находим собственный вектор:
( )
1,1
1
=
Y
,
( )
1,
2
2
=
Y
.
4. Теория трудовой стоимости Маркса в модели Леонтьева. Вопросы
использования и распределения трудовых ресурсов являются чрезвычайно

---

Page 5

важными, поскольку их решение во многом определяет эффективность
общественного производства. В модели Леонтьева эти вопросы получают
своеобразное освещение.
Сопоставим каждой i -й отрасли число
0
>
i
l
, выражающее потребные
затраты трудовых ресурсов при единичной интенсивности данного технологического
процесса. В зависимости от цели моделирования числа
i
l ,
n
i
,
,1K
=
могут
измеряться либо в человеко-днях (человеко-часах), либо просто числом работающих.
Пусть
(
)
n
l
l
L
,
,
1
K
=
– вектор трудовых ресурсов при единичной интенсивности
технологических процессов (отраслей). Ясно, что
0
>
L
.
После введения вектора L трудовых ресурсов (затрат) модель Леонтьева
можно представить парой
( )
L
A, . Если общий объем трудовых ресурсов народного
хозяйства равен
0
T , то получим следующую экстремальную задачу.
Пусть вектор
C
задает не потребление в непроизводственной сфере, а лишь
его пропорции. Поэтому будем считать, что
1
=
C
. Рассмотрим следующую задачу
составления оптимального плана, в которой
α
– число комплектов продукции,
следовательно, весь объем потребляемой в непроизводственной сфере продукции
есть
C
.
0
,
max
0
≥
α
≤
⋅
⋅α
≥
−
→
α
X
T
X
L
C
AX
X
(2)
Если матрица A продуктивна, то задача (2) допустима, т.е. ее допустимое
множество не пусто. В самом деле, в силу продуктивности уравнение
C
AX
X
=
−
имеет неотрицательное решение
0
X . Поскольку
0
0
>
T
существует
0
0
>
λ
такое, что
T
X
L
≤
λ
0
0
. Следовательно, вектор
0
X принадлежит допустимому
множеству задачи (2). Но ясно, что X ограничено на допустимом множестве
(поскольку каждое
0
>
i
l
, то каждая компонента X ограничена). Отсюда вытекает и
ограниченность а, так что по основным теоремам линейного программирования
задача (2) имеет оптимальное решение. При этом максимальное значение а не
меньше
0
λ ипотому этомаксимальное значение положительно.
Построим к задаче (2) двойственную:
(
)
0
0
0
,
0
max
0
1
≥
≥
≥
α
≤
≤
−
−
α
→
α
−
q
P
X
T
LX
X
A
E
C
(
)
0
,
0
1
min
1
0
≥
≥
−
−
≥
→
−
q
P
A
E
P
qL
PC
qT
или
(
)
0
,
1
min
1
0
≥
−
≥
≥
→
−
q
p
A
E
P
qL
PC
qT
Здесь P – вектор,
q
– число.
Согласно теории двойственности, вектор P и число
q
можно трактовать как
вектор объективно обусловленных цен товаров и трудовых ресурсов.
Из свойствматрицы A вытекает, что
(
)
0
1
>
−
−
A
E
.

---

Page 6

Оптимальные решения исходной и двойственной задач обозначим X , а' и Р',
q'.
Можно доказать, что так как
0
≥
C
и
,0
≠
C
то
(
)
0
1
*
>
−
=
−
C
A
Е
X
.
Уже было выяснено, что
.0
*
>
a
Следовательно, по 1-й и 2-Й теоремам
двойственности имеем:
(
)
.
,
,0
,1
0
*
1
*
*
0
*
*
*
T
LX
A
E
P
L
q
T
q
a
C
P
=
−
=
>
=
=
−
. Из
(
)
1
*
*
−
−
=
A
E
P
L
q
находим
(
)
1
*
*
−
−
=
A
E
L
q
P
. Желая найти
*
q
, подставим
*
P в
равенство
1
*
=
C
P
. Получим
(
)
1
*
*
−
−
=
A
E
P
L
q
, т.е.
(
)
(
)
C
A
E
L
q
1
*
1
−
−
=
Найдем
далее и
(
)
(
)
(
)
C
A
E
L
A
E
L
P
1
1
*
/
−
−
−
−
=
. (Сокращать эту дробь нельзя!)
Каков экономический смысл полученных решений?
Так как
1
*
=
C
P
, то стоимость (цена) 1-го комплекта равна единице, значит
*
a – цена a комплектов товаров. С другой стороны,
0
*
T
q
есть общая заработная
плата, выплаченная за
0
T единиц труда по цене
*
q
за каждую. Таким образом,
равенство
0
*
*
T
q
a =
выражает равенство спроса и предложения в стоимостном
выражении – цена выпущенного объема конечной продукции равна общей сумме
денег, полученной участвующими в процессе производства в качестве заработной
платы.
Напомним далее, что j - я компонента вектора
j
l
L −
есть трудовые
затраты при выпуске одной единицы продукции j - й отрасли. Но, чтобы ее
выпустить, надо сначала сделать
ij
a
единиц каждой, i - й продукции и т.д. (см. п. 3). В
итоге получим, что вектор
(
)
1−
− A
E
L
есть вектор полных трудовых затрат при
производстве единицы продукции каждой отрасли. А теперь вспомним, что
(
)
(
)
(
)
,
/
1
1
*
C
A
E
L
A
E
L
P
−
−
−
−
=
, т.е. цены пропорциональны полным трудовым
затратам.
Этот вывод привлекал и привлекает внимание многих видных экономистов,
ибо он перекликается с трудовой теорией стоимости Маркса, которая утверждает,
что в основе стоимости товара лежит количество общественно необходимого труда,
потребного для производства товара.
Зад а чи
1. Найдите, какиеизнижеприведенныхматрицнеразложимы:








3
1
3
1
4
1
2
1








3
1
3
1
3
1
2
1










2
1
6
1
4
1
5
1
4
1
5
1
2
1
0
0










4
3
3
2
4
1
2
1
3
1
0
0
0
0
Найдите, используя критерий продуктивности для неразложимых матриц,
какие из вышеприведенныхнеразложимыхматриц продуктивны.
2. ПридумайтенесколькоматрицдляпродуктивныхмоделейЛеонтьева. Указание.
Воспользуйтесь критерием продуктивности для неразложимыхматриц.
3. ПустьмодельЛеонтьевазадаетсяматрицей








4
1
2
1
2
1
3
1
. Выяснить, продуктивна

---

Page 7

ли она. Пусть








12
12
есть валовой выпуск. Каков вектор непроизводственного
потребления?
4. Назовем экономику, характеризуемую матрицей A и векторами
C
X, ,
высокоэффективной, если увеличение X на 1% дает большую прибавку
C
, чем
снижение норм
ij
a
;
на
%
1
, и низкоэффективной в противном случае. Какова
экономика из примера 2? Приведите пример высокоэффективнойэкономики.
Решение. Увеличение X на 1 % при неизменных нормах приводит к
увеличению
C
на
%
1
. Если же при неизменном X уменьшить нормы на 1%, то
,
99
,0 AX
X
C
−
=
т.е. увеличение
C
составит
AX
01
,0
.
Следовательно, экономика высокоэффективна, если
C
AX ≤
, т.е. если в
производственной сфере тратится меньше, чем в сфере потребления. В примере 2
( )
( )
2,
3
,
10
,9
=
=
C
AX
, следовательно, экономика низкоэффективная.
Пример высокоэффективной экономики получим, если нормы взять
небольшими. Пусть, например,








=








=
20
20
,
5
1
4
1
4
1
5
1
X
A
, тогда








=








=
11
11
,
9
9
C
AX
значит,
C
AX ≤
, т.е. экономика высокоэффективна.
5. Экономику, заданную матрицей A, назовем более эффективной, чем
заданную матрицей
A′
при данном уровне потребления
C
, если обеспечивающие
уровни производства
X
X
′
≤
. Приведите примеры таких пар экономик. Может ли
экономика быть эффективнее другой при одном уровне потребления и менее
эффективной при другом уровне потребления?
6.2. Модель Неймана
1. Общие сведения. Изложенная в лекции 6.1 модель межотраслевого
баланса носит статический характер, точнее говоря, рассматривается только один
цикл производства-потребления. Имеется более общая модель – модель Неймана,
которую можно использовать и для исследования экономики, меняющейся во
времени.
Рассмотрим экономику, описываемую парой
(
)
K
C,
, где
C
–
пространство товаров, K
– множество производственных процессов,
перерабатывающих некоторые количества товаров в другие количества тех же
товаров. При этом под товаром (продуктом) будем понимать как первичные
факторы производства (земля, труд), сырье (нефть, уголь), так и конечные
продукты производства, услуги и т.п.
Пусть товаров всего n , тогда
C
есть неотрицательный ортант n -
мерного пространства. Множество K производственных процессов имеет в
своей основе конечное число процессов
(
)
m
Q
Q
,
,
1
K
, которые называются
базисными. Каждый базисный процесс представляет собой пару векторов
(
)
j
j
j
B
A
Q
,
из
C
. (Векторы
j
j
B
A ,
– это векторы-столбцы, но в целях экономии
места будем записывать их строками.) Содержательный смысл процесса Q таков:
он затрачивает вектор
( )
ij
j
a
A =
и выпускает вектор
( )
ij
j
b
B
, т.е. перерабатывает

---

Page 8

вектор
j
A
в вектор
j
B
. По смыслу все векторы
j
j
B
A ,
неотрицательны.
Обозначив
(
)
(
)
m
m
B
B
B
A
A
A
K
K
,
,
,
,
1
1
=
=
получаем, что технология нашей
модели задается парой неотрицательных матриц
B
A, ; матрица A называется
матрицей затрат, B – матрицей выпуска. Комбинируя базисные процессы,
можно получить новые процессы. Так, возьмем неотрицательные числа
m
i
z
j
K
,1
, =
, определим новый производственный процесс
m
m
Q
z
Q
z
+
+K
1
1
, в
котором затраты есть вектор , а выпуск есть вектор
∑
=
m
j
j
j
B
z
1
; полученный
производственный процесскратко обозначим через
(
)
BZ
AZ,
.. Вектор-столбец
( )
j
z
Z =
называется вектором интёнсивностей.
Получившееся более широкое множество процессов обозначим K .
Можно заметить, что в то время, как базисные процессы
m
Q
Q
,
,
1
K
соответствуют, вообще говоря, реальным отраслям, заводам, фабрикам, каждый
элемент
(
)
K
Y
X
∈
,
есть некоторый процесс, описывающий определенный
режим совместной работы этих отраслей, заводов, фабрик. При этом X есть
вектор затрат, Y – вектор выпуска.
Пр и м ер 1. Пусть
,
4
2
3
2
1








=
Q
,
3
2
2
1
2








=
Q








=
3
1
Z
– соответственно два
базисных процессаи вектор интенсивностей. Найти векторазатрат и выпуска.
Решение. Здесь








=
2
2
1
2
A
,








=
3
4
2
3
B
, так что режим совместной работы есть
(
)








=
13
8
9
5
,BZ
AZ
. Итак, векторы затрат и выпуска есть








8
5
и








13
9
.
Рассмотренная ранее модель Леонтьева действительно есть частный случай
модели Неймана при
m
n=
,
E
B = . Основное отличие модели Неймана состоит в том,
что всякий базисный процесс может выпускать не один товар. Ясно также, что модель
Нейманалинейна.
Перейдем теперь к описанию динамики модели Неймана. Рассмотрим T
периодов времени, например, лет. В каждый,
t
-й период для производства продукции
применяется один из процессов множества K , характеризующийся вектором
интенсивностей
( )
t
Z .
2. Замкнутость модели Неймана. Кроме линейности, предположим еще, что
модельНейманазамкнута. Этоозначает, чтодляпроизводства в
( )
1
+
t
-й период
(
)
1
, +
tt
можно тратить лишь те товары, которые были произведены в предыдущий
t
-й период.
Поскольку выпуск в
t
-й период равен
( )
t
Z
B⋅
, а затраты в
( )
1
+
t
-й период равны
( )
1+
⋅
t
Z
A
, то математически предположение о замкнутости модели Неймана
записываетсяввидесериинеравенств

---

Page 9

( )
( )
( )
1
,
,1
,
1
−
=
⋅
≤
⋅
≤
+
T
t
Z
B
Z
A
S
AZ
t
t
t
K
M
Вектор
S
представляет собой вектор запасов, имеющихся к началу всего
планового
периода
[ ]
T,0 . Последовательность
векторов
( )
( )
t
Z
Z
,
,
1
K
удовлетворяющих
указанным
выше
неравенствам
будем
называть
(допустимым) планом с началом
S
и обозначать
{ }
t
Z
.
Пример 2. Убедимся, что в модели Неймана из примера 1 с начальным
уровнем запасов








=
9
6
S
план
( )








=
3
1
1
1
Z
,
( )








=
3
2
2
2
Z
допустим.
Решение,
Проверим
выполнение
неравенств:
( )
S
Z
A
≤
⋅
1
и
( )
( )
1
2
Z
B
Z
A
⋅
≤
⋅
. Онивсамомделевыполняются:








≤








9
6
8
5
,








≤








13
9
10
7
.
3. Правило нулевого дохода и его трактовка. При исследовании планов в
модели Неймана оказывается полезным ввести понятие цен на товары.
Пусть
( )
i
t
p
– цена одной единицы i -го товара в
t
-й период.
Соответствующий вектор цен
( )
t
P
есть вектор-строка. Величина
( )
( )
j
t
j
t
A
P
B
P
−
+1
выражает доход процесса
j
Q
за
t
-й период. Таким образом, в начале
t
-го
периода на закупку сырья в количестве
j
A
, тратятся средства по ценам
( )
t
P
данного периода, затем произведенная продукция
j
B
продается уже по ценам
( )
1+t
P
следующего периода. Конечно, векторы цен неотрицательны. Основное
предположение относительно цен при исследовании модели Неймана состоит в
следующем: никакойизпроцессовнеприноситположительногодохода:
( )
( )
( )
( )
1
,1
.
1
,1
;
,
,1
0
1
1
−
=
≥
−
=
=
≤
−
+
+
T
t
B
P
A
P
или
T
t
m
j
A
P
B
P
t
t
j
t
j
t
K
K
K
(1)
Можно по-разному относиться к содержательной трактовке этого
предположения. Иногда говорят, что цены являются лишь математическим
инструментом при доказательстве фактов относительно данной модели. Тогда,
конечно, относительно цен можно делать любые предположения, полезные для
дальнейшего. Однако
можно
попытаться
придать
величинам
( )
t
P
содержательный смысл, трактуя их как реальные цены и истолковывая
полученные математические факты о них, как рекомендацию о рациональной
структуре цен на товары.
Условие (1) часто называют правилом нулевого дохода. На первый взгляд,
оно выглядит парадоксально, особенно если отнести его к капиталистической
экономике. В самом деле, какой смысл капиталисту осуществлять производство,
если оно бесприбыльно? Однако этот парадокс кажущийся. Дело в том, что

---

Page 10

величины дохода
( )
( )
j
t
j
t
A
P
B
P
−
+1
j -го процесса относятся к разным моментам
времени. Допустим, что владелец фирмы обладает капиталом R в начале
t
-го
периода. На эту сумму он закупает сырье, производит товары и продает их. При
нулевом доходе он снова имеет капитал R. Однако цены могут стать другими,
например, ниже. Тогда та же сумма R будет обладать большей покупательной
способностью. В модели Неймана дело обстоит именно так.
Можно было считать, что прибыль каждого процесса ограничена сверху
одним и тем же числом, общим для всех отраслей. Но это и есть основное
содержание правила нулевого дохода: максимально возможная прибыль во всех
отраслях одинакова. При такой трактовке правило нулевого дохода есть лишь
иная форма знаменитой гипотезы Адама Смита о тенденции выравнивания
нормы прибыли в разных отраслях народного хозяйства при его нормальном
функционировании.
4. Стационарные траектории в модели Неймана. Вернемся к ценам.
Их последовательность
( )
T
t
P
t
K
,1
, =
, удовлетворяющую системе неравенств (1).
будем называть траекторией цен и обозначать
{ }
t
P . Теперь запишем явно
предположение, что общая масса денег не меняется и постоянно находится в
обращении:
( )
( )
( )
( )
1
,
,1
,
1
−
=
=
+
T
t
BZ
P
AZ
P
t
t
t
t
K
(2)
т.е. продукции продается ровно на столько, на сколько было куплено сырья
(напомним, что продукция, произведенная в
t
-м периоде, продается по ценам
следующего
( )
1
+
t
-го периода), а вся выручка от продажи продукции идет на
приобретениесырьявследующемпериоде:
( )
( )
( )
( )
1
,
,1
,
1
1
1
−
=
=
+
+
+
T
t
AZ
P
BZ
P
t
t
t
t
K
(3)
Важную роль при изучении траекторий интенсивностей
{ }
t
Z
и цен
{ }
t
P
играют самые простые из возможных динамических траекторий, так называемые
стационарные.
Траектория интенсивностей
{ }
t
Z
называется стационарной, если
существует такое число
0
>
ν
, что
( )
( )
t
t
Z
Z
ν
=
+1
или, что то же самое,
( )
( )
T
t
Z
Z
t
t
,
,1
,
1
1
K
=
=
−
ν
. Будем обозначать ее
{ }
Z,ν
, где
( )
t
Z
Z =
.
Смысл
стационарной
траектории
очень
прост: интенсивность
следующего периода в одно и то же число раз или на одно и то же число
процентов больше интенсивности данного периода.
Для того чтобы последовательность
( )
( )
t
t
t
Z
Z
1−
=ν
была стационарной
траекторией интенсивностей, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
неравенство
Z
B
Z
A
⋅
≤
⋅
ν
.
Действительно, замкнутость модели Неймана выражается неравенствами
( )
( )
t
t
BZ
AZ
≤
+1
, и если
( )
( )
t
t
Z
Z
ν
=
+1
, то эти (необходимые!) неравенства

---

Page 11

выполняются. Обратно, если
Z
B
Z
A
⋅
=
⋅
ν
, то, полагая
( )
( )
( )
1
1
1
Z
Z
Z
t
t
t
−
+
=
=
ν
ν
получим стационарную траекторию интенсивностей.
Далее. Назовем траекторию цен
{ }
t
P стационарной, если существует такое
число
0
>
µ
, что
( )
( )
t
t
P
P
=
+1
µ
или
( )
P
P
t
t
=
−1
µ
, где
( )
1
P
P =
. Будем обозначать ее
{ }
µ,P
.
Как и в случае стационарных траекторий интенсивностей, можно
убедиться, что последовательность цен
( )
1
/
−
=
t
t
P
P
µ
будет стационарной
траекторией цен тогда и только тогда, когда
PB
PA ≥
µ
.
Смысл стационарной траектории очень прост: цены падают от периода к
периоду в одно и то же число раз или на одно и то же число процентов.
Для стационарных траекторий интенсивностей
{ }
Z,ν
и цен
{ }
µ,P
равенства (2) и (3), выражающие предположение о неизменности общей массы
денег и то, что они находятся все в обращении, принимают соответственно вид
PBZ
PAZ =
µ
и
PBZ
PAZ =
ν
. (Напомним, что Z – вектор-столбец, P – вектор-
строка,
µ
и ν – числа.)
5. Динамическое равновесие в модели Неймана. Говорят, что модель
Неймана находится в состоянии динамического равновесия, описываемого
параметрами
(
)
P
Z ,
,λ
, где
λ
– положительное число, Z , P – неотрицательные
ненулевые векторы, если выполнены условия
PBZ
PAZ
PB
PA
BZ
AZ
=
≥
≤
λ
λ
λ
(4)
Величина PBZ представляет собой стоимость выпуска в состоянии
равновесия модели Неймана. Представляется естественным потребовать, чтобы
она была ненулевой. Отметим, кроме того, что P и Z можно пронормировать,
например можно считать, что компоненты каждого из этих векторов в сумме дают
единицу, т.е. они задают структуру векторов интенсивностей и цен.
При каких условиях существует равновесие в модели Неймана? Нейман
нашел такие условия, но они не допускают хорошей экономической
интерпретации и впоследствии были заменены более подходящими условиями
другими исследователями. Вот типичная теорема, отражающая это направление.
Те ор ема. Пусть в матрице A нет нулевых столбцов, а в матрице B нет
нулевых строк. Тогда существует решение системы (4), т.е. динамическое
равновесие, обладающее следующими свойствами:
0
)3
0
)2
0
)1
=
→
>
=
→
<
>
j
j
j
k
k
k
z
PB
PA
p
Z
b
Z
a
PDZ
λ
λ
(5)
Здесь
k
a ,
k
b –
k
-e строки,
j
A
,
j
B
– j -е столбцы матриц A, B.

---

Page 12

Условия теоремы допускают экономическую трактовку. Требование
отсутствия нулевых столбцов в матрице A означает, что нет процессов, которые
ничего не тратят. Требование отсутствия нулевых строк в матрице B означает,
что всякий продукт производится в рассматриваемой модели, что тоже
естественно в силу ее замкнутости.
Остановимся теперь на экономическом смысле и сущности динамического
равновесия, т.е. на том:
что
0
>
PBZ
означает, что состояние равновесия не вырождено, т.е. что
стоимостьвыпуска ненулевая;
что
Z
b
Z
a
k
k
<
<
λ
означает, что
k
-й продукт производится в большем
количестве, чем используется, значит, есть и накапливаются его излишки и
потому цена
k
p
на него равна нулю (вспомните теорию двойственности из
линейного программирования).
Если же
j
j
PB
PA >
λ
, то j -й процесс потребляет больше товаров по
стоимости, чем производит, следовательно, он невыгоден и интенсивность его
применения
j
z
равна нулю (опять вспомните теорию двойственности из
линейного программирования).
П р и м ер 3. Найтидинамическое равновесие вмоделиНеймана из примера 1.
Решение. Конкретизация (4) К условиям примера I дает системы неравенств
(учтем, что
p
p
−
=1
2
, где
1
p
p =
и
z
z
−
=1
2
, где
1
z
z = ; следовательно,
1
0
≤
≤ p
и
1
0
≤
≤ z
):
(
)
(
)
( )
( )
(
)
( )



−
+
≤
−
+
−
+
≤
−
+
≤
z
z
z
z
z
z
z
z
BZ
AZ
1
3
4
1
2
2
1
2
2
1
2
λ
λ
λ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )



−
+
≥
−
+
−
+
≥
−
+
≤
z
p
p
p
p
p
p
p
PB
PA
1
3
2
1
2
1
4
3
1
2
2
λ
λ
λ
или
( )
( )



+
≤
+
≤
+
λ
λ
λ
6
3
2
2
1
z
z
z
( )
(
)



−
≥
−
−
≥
p
p
p
p
3
2
4
2
6
λ
λ
Предположения, что какое-нибудь из ограничений двух пар
( )
λ6 ,
( )
p
6
есть
строгое неравенство, приводит к противоречию. Значит, оба ограничения каждой
пары есть равенства. Решая систему этих уравнений, получим
1
2 −
=
z
. Далее
находим
2
/1
1+
=
λ
,
2
2−
=
p
,
2
2
=
PBZ
.
З а д ачи
1. Решите стандартную задачу на модель Неймана. Даны матрицы -








=
10
4
2
5
A
,








=
15
5
5
5
B
технологических процессов, вектор цен
( )
5,
1
=
P
и
вектор начальных запасов








=
28
14
S
. Найдите интенсивности технологических
процессов, максимизирующие
стоимость
выпуска
продукции
за
один
производственный цикл и эту саму максимальную стоимость.

---

Page 13

Решение. Пусть








=
2
1
z
z
Z
вектор-столбец искомых интенсивностей, тогда
для их нахождения имеем задачу линейного программирования:
0
max
≥
≤
→
Z
S
AZ
PBZ
или в развернутой форме
0
,
28
10
4
14
4
5
max
80
30
2
1
2
1
2
1
2
1
≥
≤
+
≤
+
→
+
z
z
z
z
z
z
z
z
Решим эту задачу графическим методом (см. рисунок). Точка максимума
(
)
8,
2;
0
и максимальная стоимость продукции, которая может быть выпущена за один
цикл, равна224.
2. Проследите несколько периодов работы модели Неймана из примера 1 с
начальными запасами








=
8
5
S
, находя интенсивности из условия полного
использования товаров, произведенных в предыдущем периоде.
3. Докажите, что если в замкнутой модели Неймана матрицы затрат A и
выпуска B таковы, что
B
A ≥ , то при любых интенсивностях выпуск по
периодам может лишь убывать, а если
B
A < , то можно подобрать интенсивности
так, чтобы выпуски возрастали от периода к периоду (для последнего
утверждения матрица A должна удовлетворять некоторому условию, какому?).
4. Пусть вектор цен P неизменен. Рассмотрите модель Неймана из
примера 1. Предположите, что вместо начальных запасов выделена денежная
сумма E. Найдите интенсивности в 1-м периоде, максимизирующие суммарную
стоимость выпуска, если начальные запасы можно приобретать в пределах суммы
E.
5. Пусть
(
)
m
A
A
A
,
,
1
K
=
,
(
)
m
B
B
B
,
,
1
K
=
– матрицы, задающие модель
Неймана. Множество
A
K
всех
векторов
вида
m
m
A
A
λ
λ
+
+K
1
1
с
неотрицательными
m
λ
λ
,
,
1
K
называется конусом. Аналогично множество всех
z
1
z
2
3,5
2,8
2,8
7
Рисунок

---

Page 14

векторов-выпусков есть конус
B
K . Дайте экономическую интерпретацию
выполнению или невыполнению соотношения
A
B
K
K ⊆
.
6.3. Модель Эванса и модель Солоу
В этой лекции изучим две широко известные динамические модели
экономического характера: сначала модель Эванса установления равновесной
цены на рынке одного товара, затем динамическую односекторную модель
экономического роста, известную под названием "базовая модель Солоу".
1. Модель Эванса. Рассматривается рынок одного товара, время
считается непрерывным. Пусть
( )
t
d ,
( )
ts ,
( )
t
p
– соответственно спрос,
предложение и цена этого товара в момент
t
. И спрос, и предложение считаются
линейными функциями цены –
( )
0
,
,
>
−
=
b
a
bp
a
p
d
, т.е. спрос с ростом цены
падает,
( )
0
,0
,
>
<
+
=
β
α
β
α
p
p
s
, т.е. предложение с ростом цены растет.
Естественно считать, что
0
>
a
, т.е. при нулевой цене спрос имеется (по-другому
говоря, товар желателен).
Основное предположение состоит в том, что цена изменяется в
зависимости от соотношений между спросом и предложением:
(
)
t
s
d
p
∆
−
=
∆
γ
, где
0
>
γ
, т.е. увеличение цены прямо пропорционально превышению спроса над
предложением
и
длительности
этого
превышения. Итак,
получаем
дифференциальное уравнение
(
)
s
d
dt
dp
−
= γ
/
. Подставляя в это уравнение линейные
зависимости спроса и предложения от цены, получаем линейное неоднородное
дифференциальное уравнениесначальнымусловием:
(
) (
)
[
]
( )
0
0
,
/
p
p
a
p
b
dt
dp
=
−
−
+
−
=
α
β
γ
(1)
Это уравнение имеет стационарную точку
(
) (
)
0
/
*
>
+
−
=
β
α b
a
p
.
Видно, что
0
/ >
dt
dp
при
p
p >
*
и
0
/ <
dt
dp
при
p
p <
*
. Отсюда следует,
что
( )
*
lim
p
t
p
t
=
∞
→
. При этом при
p
p <
*
цена стремится к *
p возрастая, а при
p
p >
*
– убывая. Сама цена *
p есть равновесная цена – при ней равны спрос и
предложение:
( ) ( )
(
) (
)
β
α
β
α
+
−
=
→
+
=
−
→
=
b
a
p
p
bp
a
p
s
p
d
/
*
. Равновесная
цена может быть найдена также графически как точка пересечения прямых спроса
( )
bp
a
p
d
−
=
и предложения
( )
p
p
s
β
α +
=
(рис. 1).
Обычный метод решения уравнения (1) – метод вариации постоянной.
Согласно этому методу общее решение есть сумма общего решения
соответствующего однородного уравнения
(
)
p
b
dt
dp
β
γ +
−
=
/
и какого-нибудь
частного решения неоднородного уравнения (1). Не останавливаясь на этом
сейчас, напишем решение дифференциального уравнения с начальным условием
(1):
( )
(
)
(
) (
)
[
]
(
)
[
]
t
b
t
b
e
b
a
e
p
tp
β
γ
β
γ
β
α
+
−
+
−
−
−
−
+
=
1
/
0
(2)
или

---

Page 15

( )
(
)
(
)


t
b
t
b
e
p
e
p
tp
β
γ
β
γ
+
−
+
−
−
+
=
1
*
0
Опять же видно, что
( )
*
lim
p
t
p
t
=
∞
→
.
Рис. 1
Рассмотрим дискретный аналог модели Эванса. В дискретной модели
рынок функционирует следующим образом: утром на рынке обнаруживаются
некоторое предложение
1
s и спрос
1
d . В зависимости от их значений цена
начинает равномерно расти или убывать: если утром спрос был больше
предложения, то возрастать, если предложение было больше спроса, то убывать.
Предположим, что начальная цена была
1
p , при этом
( ) ( )
1
1
p
d
p
s
<
.
Следовательно, цена начнет возрастать. За день она возрастет до некоторого
значения
2
p . На следующее утро предложение и спрос будут соответствовать
этой цене
2
p , при этом опять будет
( ) ( )
2
2
p
d
p
s
<
и цена будет возрастать далее и
т.д. (см. рис. 1).
Однако в отличие от паутинообразной модели рынка (см. п. 4 лекции 3.1),
точка равновесия не переходится, т.е. если цена была меньше равновесной, то она
так и останется меньше, и весь процесс изображается слева от точки равновесия, а
если цена была больше равновесной, то она так и останется больше, и весь
процесс изображается справа от точки равновесия.
2. Параметры модели Солоу. Экономика рассматривается как единое целое
(без структурных подразделений), в ней производится единственный
универсальный
продукт,
который
может
потребляться
как
в
непроизводственной сфере, так и в производственной; потребление его в
производственной сфере может рассматриваться как инвестирование (с некоторой
натяжкой таким "продуктом" может выступать денежная оценка всего и вся). Эта
модель достаточно адекватно отражает важнейшие макроэкономические
S
d
p
p
*
p
3
p
2
p
1
s
*
=d
*
s,d

---

Page 16

аспекты, в том числе и процесса воспроизводства.
Состояние экономики в модели Солоу задается пятью переменными
состояния: Y – конечный продукт, L – наличные трудовые ресурсы, K – фонды
(производственные), I – инвестиции,
C
– размер непроизводственного
потребления. Все переменные взаимосвязанно изменяются во времени, т.е.
являются функциями времени
t
, но далее аргумент t часто опускается, хотя и
будет подразумеваться по умолчанию.
Время будет предполагаться непрерывным. Для мгновенных показателей
K , L можно считать, что это соответственно фонды и трудовые ресурсы в
момент
t
, или, чтобы избежать сезонных изменений числа занятых и всплеска
фондов при вводе новых мощностей, K и L можно считать средними
значениями этих величин за год, серединой которого служит
t
. Для величин же
Y ,
C
, I их значение в момент ( можно себе представить, как их объемы,
накопленные за год, серединой которого служит момент
t
(но и в этом случае они
остаются функциями времени и их все же лучше воспринимать как мощность
производства и мгновенные скорости потребления и инвестирования).
Считается, что ресурсы (производственные и трудовые) используются
полностью. Годовой конечный продукт в каждый момент времени является функцией
среднегодовых фондов и труда:
(
)
L
K
F
Y
,
=
; таким образом,
(
)
L
K
F ,
–
производственная функция всего народного хозяйства.
Конечный продукт используется на непроизводственное потребление и
инвестиции:
I
C
Y
+
=
.
Назовем нормой накопления
ρ
долю конечного продукта,
используемого на инвестиции, тогда:
Y
I ρ
=
,
(
)
Y
C
ρ
−
= 1
. В дальнейшем
норма накопления будет считаться постоянной:
const
=
ρ
,
1
0
<
< ρ
.
Инвестиции используются на восстановление выбывших фондов и на их
прирост. Если принять, что выбытие фондов происходит с постоянным
коэффициентом
выбытия
1
0,
<
< µ
µ
(в
расчете
на
год),
то
(
) ( )
t
K
t
Y
t
K
t
t
K
K
∆
−
∆
=
−
∆
+
=
∆
µ
ρ
, поэтому
K
Y
dt
dK
µ
ρ −
=
/
.
Если считать, что прирост трудовых ресурсов пропорционален
наличным трудовым ресурсам
(
)
t
L
L
∆
=
∆
ν
, то получаем дифференциальное
уравнение
L
dt
dL
ν
=
/
и, решая его, получаем
t
e
L
L
ν
0
=
, где
( )
0
0
L
L =
–
трудовые ресурсы в начале наблюдения (при
t
= 0).
Таким образом, модель Солоу задается схемой (рис. 2) или системой
уравнений (3)
(
)
(
)
( )
K
K
K
Y
dt
dK
e
L
L
L
K
F
Y
Y
C
t
=
−
=
=
=
−
=
0
,
/
,
1
0
µ
ρ
ρ
ν
(3)

---

Page 17

Функция
(
)
L
K
F ,
удовлетворяет требованиям к производственным
функциям (см. п. 3 лекции 2.1) и считается однородной первой степени, т.е.
(
)
(
)
L
K
F
L
K
F
,
,
λ
λ
λ
=
. Пользуясь ее однородностью и обозначив среднюю
производительность труда
L
Y
y
/
=
и среднюю фондовооруженность
L
K
k
/
=
,
получаем
(
)
(
) ( )
1,
1,
/
/
,
/
k
F
L
K
F
L
L
K
F
L
Y
y
=
=
=
=
и если обозначим последнюю
функцию
( )
k
f
, то получаем
( )
k
f
y =
.Далее найдем производную от
k
по
t :
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
k
y
L
K
L
K
Y
L
L
K
L
K
L
KL
L
K
dt
L
K
d
dt
dk
ν
µ
ρ
ν
µ
ρ
+
−
=
−
−
=
−
=
−
=
=
/
/
/'
'
/'
'
/
/
/
2
2
Окончательно:
( ) (
) ( )
0
0
0
/
0
,
/
L
K
k
k
k
k
f
dt
dk
=
=
+
−
=
ν
µ
ρ
Поведение
макропоказателей
модели (3) целиком определяется
уравнением (4) и динамикой трудовых ресурсов
t
e
L
L
ν
0
=
.
Уравнение (4) – это уравнение с разделяющимися переменными и начальным
условием, поэтому оно имеет единственное решение. Исследуем только некоторые
специальные решения этого уравнения.
3. Стационарные траектории в модели Солоу. Рассмотрим стационарную
траекторию, т.е. такую, на которой фондовооруженность
k
постоянна и равна,
следовательно, своему начальному значению:
( )
.
0
k
const
t
k
=
=
Но поскольку таким
постоянным значением можетбыть, наверное, невсякоеначальное, обозначимего
0
k .
Такое значение фондовооруженности называется стационарным. Конечно,
на стационарной траектории
0
/ =
dt
dk
.
Рассмотрим, как на стационарной траектории ведут себя макропо-
казатеяи
.
,
,
,
,
Y
I
C
L
K
Согласно уравнению (4), если
0
/ =
dt
dk
, то
( ) (
)
0
=
+
−
k
k
f
ν
µ
ρ
, т.е.
0
k есть решение уравнения
( ) (
)
0
=
+
−
k
k
f
ν
µ
(5)
Докажем, что это уравнение имеет решение.
Так как
( ) ( )
,1
,k
F
k
f
=
то
( )
0
>
′ k
f
, но
( )
0
→
′ k
f
при
∞
→
k
(это следует
из требований к производственной функции – см. выше), т.е.
( )
k
f
– возрастающая
функция, но темп ее роста замедляется. В то же время
(
)
k
ν
µ +
возрастает с
F(K,L)
L
C=(1-ρ)Y
I=ρY
Y

---

Page 18

постоянным темпом. Значит, если
( ) (
)
ν
µ +
>
′ 0
f
, то уравнение (5) имеет
единственное решение при
0
>
k
(рис. 3). Итак, каковы
Y
I
C
L
K
,
,
,
,
на стационарной
траектории?
Поскольку
( )
t
e
L
t
L
ν
0
=
, а
( ) ( )
t
L
t
K
k
/
=
, то
( )
( )
t
e
L
k
t
L
k
t
K
ν
0
0
0
=
=
;
аналогично
( )
( )
( )
( )
t
e
L
k
f
t
L
k
f
t
Y
ν
0
0
0
=
=
Далее,
( ) (
) ( ) (
)
( )
( )
( )
.
,
1
1
0
0
0
0
t
t
e
L
k
f
tI
e
L
k
f
t
Y
t
C
ν
ν
ρ
ρ
ρ
=
−
=
−
=
Сведя все вместе
( )
( )
t
t
e
L
k
t
K
e
L
t
L
ν
ν
0
0
0
;
=
=
( )
( )
( ) (
)
( )
( )
( )
,
;
1
;
0
0
0
0
0
0
t
t
t
e
L
k
f
tI
e
L
k
f
t
C
e
L
k
f
t
Y
ν
ν
ν
ρ
ρ
=
−
=
получаем вывод: на стационарной траектории все основные макропоказатели растут
экспоненциально, пропорциональнотрудовымресурсам.
Конкретизируем
описанный
общий
случай
применительно
к
производственной функции Кобба–Дугласа
(
)
.1
0,
0
,
,
1
<
<
>
=
−
α
α
A
L
AK
L
K
F
a
Поскольку при этом
( ) ( )
α
Ak
k
F
k
f
=
=
1,
, то уравнение (4) принимает вид
(
) ( )
0
0
,
/
k
k
k
Ak
dt
dk
=
+
−
=
ν
µ
ρ
α
.
Это – уравнение с разделяющимися переменными и его можно было
решить по общему правилу решения уравнений такого вида, но оказалось
удобнее решить следующим образом.
Сделав замену переменной
( ) ( )
(
)
t
et
u
tk
ν
µ+
−
=
, где
( )
t
u
– новая функция от г,
получим:
(
)
(
)
(
)
( )
tu
e
e
dt
du
dt
dk
t
t
ν
µ
ν
µ
ν
µ
+
−
+
−
+
−
⋅
=
/
/
. Подставляя вместо
k
его
выражение через u , получим:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
u
e
dt
du
ue
ue
A
t
t
t
t
ν
µ
ν
µ
ν
µ
α
ν
µ
ν
µ
ν
µ
ρ
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
⋅
=
+
−
/
.
Делая дальнейшие преобразования, получим уравнение относительно
ρf(k)
(µ+ν)k
k
k
0

---

Page 19

u :
( )(
)
( )
0
1
0
,
/
k
u
e
Au
dt
du
t
=
=
+
−
ν
µ
α
α
ρ
,
которое
легко
решается:
( )(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
( )(
)
c
e
A
u
Ae
u
du
t
t
+
+
−
=
−
=
+
−
−
+
−
ν
µ
α
α
ν
µ
α
α
ν
µ
α
ρ
α
ρ
1
1
1
1
/
1/
1,
/
. Отсюда
(
)
(
)
(
)
(
)
( )(
)
[
]
α
ν
µ
α
α
α
ν
µ
ρ
α
ν
µ
−
+
−
−
−
+
−
+
=
−
+
−
=
1
0
1
1
1
0
1
/
,
1/
/
k
e
A
u
A
k
c
t
. Окончательно
( )
(
)
( )(
)
[
]
(
)
( )
α
ν
µ
α
α
ν
µ
ρ
−
+
−
−
−
+
+
=
1
/1
1
1
0
1
/
t
e
A
k
t
u
.
Следовательно,
( ) ( )
(
)
t
e
tu
tk
ν
µ+
−
⋅
=
.
Видно, что lim
( )
(
)
[
]
( )
α
ν
µ
ρ
−
+
=
1/
1
/A
t
k
.
Но в нашем случае уравнение (5), т.е.
( ) (
)
0
=
+
−
k
k
f
ν
µ
ρ
, имеет вид
(
)
k
Ak
ν
µ
ρ
α
+
=
, и стационарное значение фондовооруженности для функции
Кобба–Дугласа
(
)
[
]
( )
α
ν
µ
ρ
−
+
=
1/
1
0
/A
k
.
Следовательно, при любом начальном значении
0
k фондовооруженность
( )
t
k
сходится к стационарному значению
0
k .
Поскольку
( )
α
k
A
ty
⋅
=
, то и производительность труда сходится к
стационарному значению
(
)
[
]
( )
α
α
ν
µ
ρ
−
+
=
1
/
0
/A
A
y
.Поэтому и удельное
потребление (на одного работающего) также сходится к стационарному
значению:
( ) ( )
(
) ( ) (
)
(
)
[
]
( )
α
α
ν
µ
ρ
ρ
ρ
−
∞
→
∞
→
+
−
=
−
=
1
/
/
1
1
lim
/
lim
A
A
ty
t
L
t
C
t
t
.
При исследовании модели вполне разумно принять в качестве критерия
успешности развития экономики величину удельного потребления. Найдем, при
каком значении нормы накопления
ρ
предельное удельное потребление,
равное, как мы увидели, удельному потреблению в стационарном режиме,
максимально. Для этого продифференцируем эту величину удельного
потребления
(
)
(
)
[
]
( )
α
α
ν
µ
ρ
ρ
−
+
−
1
/
/
1
A
A
по
ρ
и приравняем производную нулю:
(
)
(
)
[
]
( )
(
)
(
)
( )
(
)
0
1
,0
/
1
1
/
1/
=
′
−
=
′
+
−
−
−
α
α
ρ
α
α
ρ
ρ
ν
µ
ρ
ρ
A
A
. После несложных выкладок
получим
α
ρ =
∗
.
4. "Золотое правило" экономического роста. Итак, оптимальная норма
накопления в стационарном режиме равна коэффициенту эластичности по фондам
("золотое правило" экономического роста). Но это справедливо для
производственной функции Кобба–Дугласа. Для других производственных
функций это правило, вполне возможно, будет другим.
З а д ачи
1. Некоторая популяция животных в данной географической области
растет от начальной величины
0
L к некоторой предельной величине
∗
L .
Вначале скорость роста популяции пропорциональна ее количеству, но после
прохождения
середины
(
)
2/
0
∗
+ L
L
скорость
роста
становится
пропорциональной величине
(
)
0
L
L −
∗
. Найдите зависимость численности
популяции от времени.
2. Коэффициент выбытия фондов равен
10
/1
, а инвестиции постоянны.

---

Page 20

Опишите процесс движения фондов, рассуждая чисто экономически.
Подкрепите затем свое рассуждение математическими выкладками.
3. Предположим, что месячный доход семьи постоянный, а траты
пропорциональны величине накоплений. Стабилизируется ли эта величина?