Построение графика функции

Page 1

5 ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ СОТРУДНИЧЕСТВА И КОНКУРЕНЦИИ
5.1 П
РИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ГРУППОЙ ЛИЦ
5.1.1 Возможные правила принятия решений группой лиц
В темах 1 и 2 было с исчерпывающей полнотой смоделировано поведе-
ние индивида-потребителя и индивида-производителя: первого – посредством
функции его спроса на товары потребления, второго – посредством его функ-
ции спроса на ресурсы, необходимые ему для производства. В основе этого мо-
делирования лежат аксиомы поведения этих индивидов. Так, индивид-
потребитель принимает свои решения на основе своей системы предпочтений
или функции полезности. Важно отметить, что эта система предпочтений выра-
батывается индивидом в ходе ознакомления с товарами и их свойствами, с на-
борами этих товаров и их ценами и т.п. (частично это происходит, когда люди
"ходят по магазинам"). Было даже отмечено, что моделирование поведения ин-
дивидов (потребителя и производителя) оказалось столь успешным, что позво-
лило полностью описать их поведение как некий автоматический процесс-
отклик на изменение соответствующих условий, в которых вырабатывается
решение.
Но очень часто решения принимает группа лиц: совет директоров акцио-
нерного общества, общее собрание акционеров, коллегия министерства, ученый
совет вуза, семья и т.п. При принятии решений группой каждый ее член по-
прежнему руководствуется исключительно своей системой предпочтений.
Нельзя ли по этим системам предпочтений сформировать систему предпочте-
ний всей группы? Другими словами, нельзя ли разработать процедуру принятия
решений группой, исходя из системы предпочтений ее членов? Такая процеду-
ра чаще называется правилом принятия решений в группе, или группой. Тогда
технический секретарь, получив решение каждого члена группы, использовал
бы это правило и просто свел бы все отдельные решения в решение всей груп-
пы. В наше время – с развитием средств связи, электронной техники – можно
было бы обойтись и без технического секретаря как живого человека: надо про-
сто оформить это правило в виде компьютерной программы по обработке ре-
шений членов группы и выдачи в результате решения всей группы.
В 1951 г. К. Эрроу (К. Arrow) провел анализ возможных правил принятия
решений в группах и пришел к важным выводам (позднее за эти исследования
он получил Нобелевскую премию). Изложим его выводы.
Перечислим сначала некоторые возможные правила принятия решений в

---

Page 2

группе:
а) простое большинство;
б) квалифицированное большинство, например две трети;
в) консенсус, т.е. полное согласие всех членов группы;
г) обычай;
д) идеологические соображения;
е) религиозные соображения;
ж) авторитет, т.е. добровольное присоединение к мнению одного из чле-
нов группы;
з) диктатура в какой-нибудь форме одного из членов группы или какой-
нибудь подгруппы;
и) экономическая рыночная система.
При внимательном анализе этих правил обнаруживаются некоторые их
недостатки. Рассмотрим, например, такое хорошо известное правило, как "про-
стое большинство".
Пусть группа состоит из трех участников –
III
II
I
,
,
, предпочтения каж-
дого из которых по трем альтернативам
x
,
y
,
z
таковы:
y
x
z
x
z
y
z
y
x
III
II
I
(лучшая альтернатива написана выше.) Видим, что для двух участников
x
лучше
y
, следовательно, и вся группа должна так считать.
Аналогично обстоит дело и для альтернатив
y
,
z
и
z
,
x
. Получается по-
рочный круг:
x
y p
,
z
x p ,
y
z p
– нарушение транзитивности системы пред-
почтений, но это надо трактовать как то, что правило "простого большинства"
не может служить безукоризненным основанием для формирования групповой
системы предпочтений.
5.1.2 Теорема Эрроу
Кроме транзитивности, групповая система предпочтений должна удовле-
творять и другому известному требованию к системе предпочтений – полноте
(или совершенности), т.е. для любых двух альтернатив группа должна указать
лучшую. Кроме этих двух естественных и уже известных свойств, система
предпочтений группы должна удовлетворять еще двум требованиям, которые
проистекают уже из ее природы.

---

Page 3

Аксиома единогласия. Если все члены группы считают, что
y
xp , то и
группа должна так считать.
Аксиома независимости. При сравнении
x
и
y
группа забывает о других
альтернативах, т.е. важно лишь знать, кто из членов группы считает, что
y
xp , а
кто – наоборот ("когда обсуждают достоинства Пьера и Поля, то достоинства
Жана при этом абсолютно ни причем" – пишет И. Экланд, один из известных
исследователей в области математической экономики). Эта аксиома распро-
страняется и на большее число альтернатив.
При анализе возможных правил принятия решений в группах на ум при-
ходит и еще одно возможное правило, которое выше было названо диктатурой
– группа всегда принимает решение, совпадающее с мнением одного из ее чле-
нов, который и называется диктатором.
Эрроу установил, что если групповое правило принятия решений удовле-
творяет требованиям полноты, транзитивности, единогласия и независимости,
то это – диктатура. Следовательно, если считать диктатуру неприемлемой, то
теорему Эрроу надо считать теоремой о несуществовании демократической
процедуры принятия решений в группе. Понятно поэтому, что теорема Эрроу в
советское время была в сущности под запретом.
Но можно придать теореме Эрроу и некоторый другой смысл. Она утвер-
ждает, что не существует демократической процедуры принятия решений, а ес-
ли диктатура отвергается, то значит не существует никакого группового прави-
ла принятия решений, т.е. не существует никакого автоматического правила
принятия решений в группе, учитывающего предпочтения членов группы. Сле-
довательно, выработка группового решения не происходит автоматически, тре-
буется обсуждение, согласование, обмен мнениями, возможно и изменение
мнения некоторых членов группы и т.д. Другими словами, для выработки груп-
пового решения члены группы должны сотрудничать друг с другом. Выработка
группового решения – это творческий процесс.
5.1.3 Оптимальность по Парето
Продолжим рассмотрение принятия решений группой лиц. В группе все-
го
m
членов. Пусть A есть множество возможных альтернатив, на котором у
каждого i -го члена группы есть своя система предпочтений
i
p . Теорема Эрроу
утверждает, что не существует группового правила выработки решений, значит,
надо искать какие-то частичные возможности согласования интересов членов
группы. Это приводит к следующему понятию, введенному В. Парето (итальян-
ский экономист и социолог, 1848—1923).

---

Page 4

Элемент
A
a∈
называется оптимальным по Парето, если не существует
A
b∈
, такого, что
b
a
i
p
для всякого
m
i
,
,1K
=
и
b
a
i
p
хотя бы для какого-то
m
i
,
,1K
=
. Все элементы, оптимальные по Парето, образуют множество опти-
мальности по Парето.
Пример 1. Пусть группа состоит из двух членов. Множество альтернатив
A
есть че-
тырехугольник
OABC
(рис. 1). Пусть
(
)
( )
'
2
'
1
2
1
,
,
x
x
x
x
i
p
, если
'
i
i
x
x ≤
и
(
)
( )
'
2
'
1
2
1
,
,
x
x
x
x
i
p
, если
'
i
i
x
x <
. Для
2,
1
=
i
. Найдем множество оптимальности по Паре-
то.
Решение. Легко видеть, что точка К оптимальна по Парето, если построенный в ней
"уголок" пересекается с множеством
A
только по этой точке. Значит, множество оптималь-
ности по Парето есть ломаная
ABC
.
Рассмотрим теперь для каждого i -го участника его функцию полезности
i
u вместо его системы предпочтений. Часто в роли групповой функции полез-
ности
u
берут взвешенную сумму функций полезности членов группы, т.е.
m
m
u
u
u
α
α
+
+
=
K
1
1
, где
m
α
α
,
,
1
K
– набор неотрицательных чисел, сумма ко-
торых равна единице. Эти числа называются весами.
Такая функция удовлетворяет требованиям полноты, транзитивности и
единогласия. Если положить какой-то из весов
m
α
α
,
,
1
K
равным, единице, то
получится диктатура соответствующего члена группы.] Можно также отметить,
что эта функция не удовлетворяет аксиоме независимости. Действительно, рас-
смотрим частный случай такой функции и с равными весами
m
i
/1
=
α
и пусть
X , Y – две альтернативы, такие, что
( )
( )
0
,
1
1
>
−
=
r
r
Y
u
X
u
,a для всех осталь-
ных членов группы
( )
( )
1
1
1
+
=
Y
u
X
u
, тогда
( ) ( )
Y
u
X
u
>
, если
1
−
< m
r
,
A
B
C
K
x
1
x
2
Рисунок –

---

Page 5

( ) ( )
Y
u
X
u
<
, если
1
−
> m
r
, хотя при всех
0
>
r
индивидуальные предпочтения
на X , Y одни и те же: Первый считает, что X лучше Y , а остальные – наобо-
рот.
Хотя эта функция не удовлетворяет аксиоме, она вполне может быть при-
годна для исследования процессов принятия решений в группе.
Если фиксировать какую-то функцию
m
m
u
u
u
α
α
+
+
=
K
1
1
в роли груп-
повой функции полезности (несмотря на ее неполное соответствие этому стату-
су), то найти наилучшую альтернативу для всей группы несложно – надо найти
максимум этой функции.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Множество оптимальности по Парето совпадает с множеством
максимумов функций
m
m
u
u
u
α
α
+
+
=
K
1
1
при всевозможных весах
m
α
α
,
,
1
K
.
Пример 2. Для функций полезности участников из примера 1 максимум функции
(
)
x
x
u
λ
λ
−
+
=
1
на четырехугольнике
OABC
можно найти графически: надо двигать ли-
нию уровня этой функции в направлении вектора
(
)
λ
λ −
1,
и последняя точка четырех-
угольника, по которой линия уровня еще пересекается с ним, и есть точка максимума. Пусть
(
)
0
0
1, λ
λ
−
– направляющий вектор прямой, проходящей через отрезок
AB
,
(
)
1
1
1, λ
λ
−
–
направляющий вектор прямой, проходящей через отрезок
BC
. Тогда максимум функции
(
)
x
x
u
λ
λ
−
+
=
1
при
0
0
λ
λ <
≤
в точке
A
, при
0
λ
λ =
– в любой точке отрезка
AB
,
при
1
0
λ
λ
λ
<
<
, в точке
B
, при
1
λ
λ =
– в любой точке отрезка
BC
и при
1
1
≤
< λ
λ
в
точке
C
.
Что касается весов
m
α
α
,
,
1
K
, то в реальности они могут отражать, на-
пример, количество акций, которыми владеют члены группы.
5.1.4 Коалиции и их роль в принятии решений в группе
Коалицией может быть любое подмножество группы, однако реально
коалиция образуется на основе общего интереса. В группе могут быть несколь-
ко коалиций, члены группы могут входить в несколько коалиций. Образование
коалиции приводит к изменению групповой функции полезности в интересах
членов коалиции.
Пример 3.
Группа из трех лиц – Первого, Второго и Третьего – распределяет диви-
денды. Множество возможных дивидендов – это множество
D
всевозможных неотрица-
тельных троек
(
)
3
2
1
,
,
d
d
d
, таких, что
2
2
3
2
2
2
1
R
d
d
d
=
+
+
, т.е.
D
– это часть сферы ра-
диуса
R
, лежащая в 1-м октанте. Пусть функции полезности лиц есть
i
i
x
u =
. Тогда множе-
ство оптимальности по Парето есть все
D
. В роли групповой функции полезности возьмем
3
3
2
2
1
1
x
x
x
u
α
α
α
+
+
=
. Как уже указывалось, максимумы этой функции при всевозмож-

---

Page 6

ных
0
,
,
3
2
1
≥
α
α
α
,
1
3
2
1
=
+
+
α
α
α
как раз образуют все множество
D
. Например, при
3/
1
3
2
1
=
=
=
α
α
α
получим, что
3
/
*
3
*
2
*
1
R
d
d
d
=
=
=
, сумма дивидендов составит
3
/R
. Пусть теперь Первый и Второй образуют коалицию. Это выразится в том, что груп-
повая функция полезности будет
2
2
1
1
x
x α
α
ν
+
=
, где
0
,
2
1
≥
α
α
,
1
2
1
=
+α
α
. Третий
остался ни с чем! Теперь максимумы функции
ν
при всевозможных
1
α
,
2
α
образуют часть
окружности радиуса
R
на плоскости
2
1
X
OX
. При равноправии Первого и Второго диви-
денды
2
/
*
2
*
1
R
d
d
=
=
,
0
*
3
=
d
. Дивиденды Первого и Второго стали больше:
3
/
2
/
R
R
>
. Однако сумма дивидендов уменьшилась:
3
/
2
/
R
R
<
. Поэтому есть
основа для торга – вернуться к дивидендам
3
/
*
3
*
2
*
1
R
d
d
d
=
=
=
с суммой
3
R
, но за
это пусть Третий заплатит какую-то сумму Первому и Второму.
5.2. К
ООПЕРАТИВНЫЕ И НЕКООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ
5.2.1 Конфликтные ситуации
Конфликт – это такая ситуация, когда имеется более одного участника,
цели которых не совпадают и действия которых не являются совершенно неза-
висимыми. Такое понимание конфликта шире обыденного представления, при
котором в конфликте цели участников непримиримо противоположны.
Пример 1.
Конфликт "Семейный спор". Муж и жена размышляют о том, как провес-
ти вечер. Они могли бы посетить спортивные соревнования по боксу или балетное выступ-
ление. Мужу больше хотелось бы пойти на бокс, жене – на балет. Количественные предпоч-
тения участников приведены в таблице.
Жена
Бокс
Балет
Бокс
( )
1,
2
(
)
1
,1 −
−
Муж
Балет
(
)
1
,1 −
−
( )
2,
1
Элемент
(
)
ij
ij
b
a ,
показывает полезность соответствующего выбора для
мужа
( )
ij
a
и для жены
( )
ij
b
. Из таблицы видно, что супругам важно провести
вечер вместе, так как в противном случае каждый, из них получит даже "отри-
цательное" удовольствие. Ясно, что им нет никакого смысла проводить вечер
порознь, но куда же им пойти вместе?
Перечислим некоторые общие понятия конфликтных ситуаций.
Участники конфликта (их не менее двух). При числе участников более
двух конфликт называется многосторонним. Справедливо, что с ростом числа
участников растет и сложность конфликта.

---

Page 7

Конфликт называется разрешимым, если существует его решение, с кото-
рым согласны все участники конфликта, и неразрешимым в противном случае.
Каждый из участников имеет свою цель в конфликте и перечень возмож-
ных действий. Можно сказать и по-другому: каждый из участников действует в
соответствии со своей системой предпочтений, желая максимизировать полез-
ность для него того или иного решения конфликта.
В реальной жизни это часто не выполняется по многим причинам: участ-
ники не осознают полностью полезности принимаемых решений, не учитывают
решений, принимаемых другими участниками, действуют во гневе или расте-
рянности, вызванными, между прочим, иногда и расчетливыми действиями
других участников.
Конфликты бывают разовыми и неоднократными. В неоднократных кон-
фликтах участники могут попытаться найти для себя наиболее правильную ли-
нию поведения, или стратегию разрешения данного конфликта. Скажем, в кон-
фликте "Семейный спор" при его многократном повторении супруги могут ус-
тановить некоторую очередность уступок друг другу.
В лекции 4.1, п. 3 уже упоминались коалиции и их роль в принятии реше-
ний. Коалиции действуют как единый участник конфликта, отстаивая интересы
членов коалиции. Это придает дополнительную сложность анализу конфликта.
Хорошей моделью конфликта являются игры, кооперативные и некоопе-
ративные. Вначале рассмотрим такие игры всего с двумя участниками.
5.2.2 Модель конфликта или сотрудничества двух участников
Абстрактной моделью такого конфликта является так называемая бимат-
ричная игра, основу которой составляет таблица - биматрица.
Здесь
m
i
,
,1K
=
– множество возможных выборов 1-го участника,
n
j
,
,1K
=
– то же для 2-го участника;
ij
a
,
ij
b
– выигрыши 1-го и 2-го участни-
ков игры. Получилась таблица, которая и называется биматрица.
2-й участник
n
j K
K
1
1-й участник
m
i
M
M
1
(
)
ij
ij
b
a ,

---

Page 8

Ход первого игрока состоит в выборе им какой-то строки, ход второго – в
выборе им какого-то столбца. Если первый выбрал i -ю строку, а второй – j -й
столбец, то первый получает
ij
a
, а второй –
ij
b
. В этом и состоит партия игры.
Каждый из игроков хочет выиграть как можно больше. Вообще говоря, удается
установить некоторые закономерности таких игр, лишь, если игрокам предсто-
ит сыграть достаточно много партий. В таком случае "как можно больше" озна-
чает "как можно больше в среднем за партию игры". Для этого игроки должны
найти некоторую разумную манеру игры или, по-другому, стратегию игры.
Простейшими стратегиями являются вероятностные стратегии или, сме-
шанные, и их частный случай – чистые стратегии.
Стратегия первого называется смешанной, если выбор i -й строки произ-
водится им с некоторой вероятностью
i
p ; такую стратегию можно отождест-
вить с распределением вероятностей
(
)
m
p
p
P
,...,
1
=
на множестве строк.
Аналогично определяются смешанные стратегии второго.
Чистая стратегия тоже подпадает под определение смешанной, когда все
вероятности равны нулю, кроме одной, равной единице. Если
1
=
i
p
, то – это i -
я чистая стратегия.
Предположим, что первый играет со стратегией P, а второй со стратеги-
ей
(
)
n
i
q
q
Q
,...,
=
. Если первый играет по i -й чистой стратегии, а второй – по j -
й, то выигрыши игроков неизменны: первого –
ij
a
второго –
ij
b
. Если же хотя
бы одна из стратегий чистой не является, то выигрыши игроков являются слу-
чайными величинами (с.в.). Именно, в игре с указанными стратегиями выиг-
рыш первого есть с.в.
( )
Q
P
W
,
1
с рядом распределения:
11
a
12
a
ij
a
mn
a
(
)
:
,
1
Q
P
W
1
1
q
p
2
2
q
p
K
j
i
q
p
K
n
m
q
p
Математическое ожидание этой с. в. есть
( )
∑∑
=
i j
j
i
ij
q
p
a
Q
P
M
,
1
.
Аналогично определяется случайный выигрыш второго.
Напомним, что по свойствам математического ожидания
( )
Q
P
M
,
1
будет
близко к среднему выигрышу первого в расчете на партию за большое число
сыгранных партий. Следовательно, можно теперь более точно определить цели
игроков: например, для первого – найти такую стратегию игры
*
P , при которой
( )
Q
P
M
,
*
1
было бы максимальным. Аналогично формулируется цель второго.
При этом остается неясной стратегия другого участника. Таким образом, игро-
ки в своих действиях зависимы друг от друга, что и составляет суть конфликта.

---

Page 9

Что еще входит в понятие биматричной игры?
1. Устройство матрицы
(
)
ij
ij
b
a
A
,
=
сильно влияет на всю игру. Напри-
мер, если
0
=
+
ij
ij
b
a
, то выигрыш 1-го игрока есть в точности проигрыш 2-го.
Это так называемая игра с нулевой суммой, являющаяся игрой со строгим со-
перничеством (такие игры подробно рассмотрены в следующей лекции).
2. Допускается ли сотрудничество в ходе игры?
3. Можно ли сообщать друг другу какую-нибудь информацию во время
игры или нельзя ? Допускаются ли угрозы игроков друг другу и т.п.
Эти моменты весьма существенны и приводят к следующей классифика-
ции биматричных игр:
игры со строгим и нестрогим соперничеством;
кооперативные и некооперативные игры;
коалиционные и бескоалиционные игры;
игры с полной и неполной информацией;
конечные и бесконечные игры ...
5.2.3 Кооперативные игры
. Рассмотрим только кооперативные биматричные игры. В правила таких
игр входят, например, следующие:
1) все сообщения до игры, сформулированные одним участником, пере-
даются другому без всяких искажений и понимаются ими;
2) все соглашения, достигнутые игроками, затем ими соблюдаются;
3) переговоры, проводимые до игры, не нарушают полезности матрицы
игры;
4) уклониться от переговоров до игры нельзя;
5) игра происходит с достаточно большим числом партий.
В кооперативных играх игроки обычно действуют по согласованной со-
вместной стратегии. Чистая совместная стратегия есть просто указание совме-
стного выбора игроками какого-нибудь элемента биматрицы. Совместная сме-
шанная стратегия есть распределение вероятностей на множестве элементов
биматрицы.
Рассмотрим опять "Семейный спор". Вполне очевидные соображения
влекут следующее возможное решение этого конфликта: с вероятностью 1/2
супруги вместе идут на бокс и с такой же вероятностью идут на балет, при этом
средний выигрыш каждого участника равен 3/2.
Этот вывод можно подкрепить и следующими рассуждениями

---

Page 10

Кооперативная игра с биматрицей
( )
(
)
(
)
( )






−
−
−
−
2,
1
1
,1
1
,1
1,
2
, т.е. "Семейный
спор", сводится фактически к нахождению оптимальной, в некотором смысле,
для участников игры смешанной стратегии
(
)
22
21
12
11
,
,
,
p
p
p
p
, в которой
ij
p
есть вероятность совместного выбора участниками игры элемента
(
)
ij
ij
b
a ,
би-
матрицы выигрышей.
Множество точек плоскости, координаты которых есть пары сумм
,
2
22
21
12
11
p
p
p
p
+
−
−
22
21
12
11
2p
p
p
p
+
−
−
, где числа
ij
p
есть вероятности,
т.е.
0
≥
ij
p
и
1
22
21
12
11
=
+
+
+
p
p
p
p
. есть треугольник
ABC
, "натянутый" на
точки
( ) (
) ( )
2,
1,
1
,1
,1
,2
−
−
. Любая точка отрезка
BC
может семейной парой счи-
таться решением рассматриваемого конфликта. При равноправии участников
решением естественно считать точку
(
)
2/
3
,2
/3
D
.
5.2.4 Оптимальность по Парето, переговорное множество
Примерно так же проводится анализ кооперативной биматричной игры
двух лиц в общем случае. Для матрицы игры
(
)
ij
ij
b
a ,
находится на плоскости
многоугольник
ABCD
(рис. 2) – выпуклая оболочка множества всех точек
(
)
ij
ij
b
a ,
. Каждая точка
( )
y
x,
этого многоугольника может трактоваться как
средний выигрыш игроков при некоторой смешанной совместной стратегии иг-
2
2
B
D
C
A
-1
-1
1
3/2
3/2
Рисунок –
1

---

Page 11

роков. При этом точка
( )
y
x,
доминирует точку
( )
'
'
, y
x
, если
'
x
x ≥
и
'
y
y ≥
и
хотя бы одно из этих неравенств строгое. Сама точка
( )
'
'
, y
x
называется доми-
нируемой. Понятно, что оптимальная стратегия игроков не может дать домини-
руемую точку.
Множество недоминируемых точек называется множеством оптимально-
сти по Парето (на рис. 2 – ломаная
BCD
). Как указано выше, оптимальная стра-
тегия должна определяться точкой из множества Парето.
Существует еще меньшее множество, чем множество Парето. Оно назы-
вается переговорным множеством. Определяется оно следующим образом.
Определим выигрыш
k
k
ν
- го игрока, который он может обеспечить себе
независимо от действий другого игрока. Для этого предположим, что никакого
сотрудничества между игроками нет, каждый из них действует независимо от
другого.
Несложно доказать, что если игрок при своей стратегии T обеспечивает
себе какой-то выигрыш t при любой чистой стратегии другого игрока, то этот
игрок при этой стратегии обеспечивает себе выигрыш t при любой смешанной
стратегии другого игрока.
Поэтому для нахождения выигрыша
k
k
ν
- й игрок должен обеспечить
себе этот выигрыш при любой чистой стратегии другого игрока.
Пусть
(
)
m
p
p
P
,...,
1
=
– произвольная смешанная стратегия 1-го игрока,
тогда в игре против j - й чистой стратегии 2-го игрока средний выигрыш 1-го
равен
∑
i
i
ij
p
a
, поэтому для нахождения ν надо решить следующую задачу
x
1
B
D
C
A
ν
2
Рисунок –
M
N
ν
1
x
2

---

Page 12

максимизации:
ν
ν
≥
→
∑
i
i
ij
p
a
max,
для всякого
,1
,...,
1
=
=
∑
i
i
p
n
j
все
0
≥
i
p
Найденная из этой задачи стратегия игрока называется его максиминной
стратегией, а соответствующие выигрыши – максиминными выигрышами иг-
роков. Ясно, что при любом исходе переговоров игроков друг с другом ни один
из них не согласится получить меньше своего "максиминного выигрыша. Это
обстоятельство урезает множество Парето до меньшего множества, которое и
называется переговорным: точка
( )
b
a,
из множества Парето принадлежит пере-
говорному множеству если и только если
2
1
,
ν
ν
≥
≥
b
a
. На рис. 2 переговорное
множество есть ломаная
NCM
(для нахождения переговорного множества
нужно знать не многоугольник
ABCD
, а матрицу выигрышей).
Отметим теперь, что при выборе точки – оптимальной стратегии – в пере-
говорном множестве сотрудничество игроков кончается и их интересы стано-
вятся противоположными: Первый тянет точку вправо, Второй – вверх.
Многие исследователи теории игр считают, что дальнейший анализ коо-
перативной игры, т.е. обоснование выбора точки – решения уже из переговор-
ного множества, невозможен, ибо слишком большое значение приобретают
трудно формализуемые факторы, возникающие в игре, например, различные
психологические моменты.
Рассмотрим, например, игру с матрицей:
(
)
(
)
(
)
(
)






−
−
−
−
400
,
40
0,
100
200
,.
1
100
,0
Конфронтация невыгодна игрокам (хотя каждый имеет рычаги влияния
на другого). Разумной следует признать чистую стратегию выбора элемента
(
)
0,
100
с передачей части дохода Первым игроком Второму.
Для разрешения всяческих спорных вопросов в теории кооперативных
игр придумано много арбитражных схем. Каждая арбитражная схема есть неко-
торая целостная система для разрешения подобных вопросов, основанная на
некоторых разумных принципах. Для кооперативных игр с двумя участниками
наиболее известна арбитражная схема Нэша. К сожалению, нужно констатиро-
вать, что арбитражная схема Нэша (как, впрочем, и другие подобные схемы)
имеет исключительно теоретический интерес и не привела к какому-то замет-
ному вкладу в теорию кооперативных игр.
5.2.5 Кооперативные игры со многими участниками, ядро игры.
Обратимся теперь к моделям сотрудничества с большим количеством
участников, к кооперативным играм с произвольным количеством игроков.
Обозначим множество игроков в кооперативной игре через
S
. Пусть их

---

Page 13

всего m. Когда игроков много, они начинают образовывать коалиции. Это по-
нятие уже рассматривалось в лекции 4.1. Коалицией может быть любое под-
множество множества игроков.
Примеры коалиций. Само
S
есть коалиция. Каждый, i - й участник сам
по себе тоже образует коалицию
{ }
i . Пустое множество тоже есть пример коа-
лиции (из нуля участников).
Так как всех различных подмножеств множества из m участников
m
2 , то
и различных коалиций не может быть больше. Скорее всего, реально дейст-
вующих коалиций будет не так уж много, ибо для образования коалиций нужна
некоторая общность интересов составляющих коалицию членов. В конце кон-
цов, формируются лишь некоторые коалиции.
Коалиции участников являются теоретическими аналогами синдикатов,
картелей, трестов и других объединений реальной экономики.
В кооперативной игре двух участников игроки выбирают точку из неко-
торого множества D на плоскости (типичное множество изображено на рис.3).
Выбирая точку
( )
D
x
x
∈
2
,1
, игроки получают выигрыши: Первый —
1
x ,
Второй –
2
x . В кооперативной игре двух лиц не много может образоваться коа-
лиций: или игроки поодиночке или оба образуют коалицию.
Так же выглядит и кооперативная игра с
2
>
m
участниками. Каждой коа-
лиции, вернее, просто каждому подмножеству
S
A ⊆
сопоставлено свое мно-
жество выигрышей
( )
A
V
. Правила игры разрешают заключение союзов, т.е. об-
разование коалиций. Предполагается, что никаких тайн нет, задача игрока со-
стоит, следовательно, в том, чтобы решить, в какие союзы ему войти.
Каждая коалиция A может гарантировать своим членам любой платеж из
x
2
x
1
D
Рисунок –

---

Page 14

множества
( )
A
V
, и только из него. Иными словами, если коалиция A образует-
ся и если ее члены согласились на платеж из
( )
A
V
, то этот платеж они могут
обеспечить себе независимо от действий других участников.
Итак, коалиция заботится только о своих членах. Что же касается осталь-
ных игроков, не членов коалиции, то она им ничего не может и не пытается га-
рантировать.
Разумеется, при образовании коалиции ее члены могут согласиться пере-
распределять свой выигрыш определенным образом. Иногда такие соглашения
и приводят к образованию коалиций.
Кооперативная игра происходит следующим образом. Арбитр собирает
всех т игроков и предлагает им платеж
{
}
m
i
w
i
,...,
1
: =
Для того чтобы это пред-
ложение было принято, прежде всего необходимо, чтобы
i
i
v
w ≥ , для всякого
m
i
,...,
1
=
. Здесь
i
ν , – максимальная полезность, которую i -й игрок может га-
рантировать себе сам, независимо от действий остальных – это его максимин-
ный выигрыш. Однако так же должно быть и для каждой сложившейся и даже
еще не сложившейся коалиции, т.е. если несколько членов группы замечают,
что, действуя сообща, они могут получить больше, чем им предложено, то они
образуют коалицию и откажутся от предложенного платежа. Будем говорить,
что коалиция A блокирует платеж
W
, если существует такой платеж
{
} ( )
A
V
A
i
u
i
∈
∈
:
, что
i
i
u
w ≤
для всякого
A
i∈
и
i
i
u
w < , хотя бы для одного
A
i∈
.
Приходим к следующему определению: ядром игры называется множе-
ство платежей, которые не блокируются никакой коалицией.
По существу, ядро представляет собой множество приемлемых для всех
коалиций платежей.
Важнейшим вопросом в теории кооперативных игр остается вопрос о не-
пустоте ядра. Приведем один пример, когда ядро пусто.
Тяжба из-за наследства (см. [17, с. 85]). Представим себе миллиардера,
имеющего трех племянников и завещающего свое наследство тому, кого они
назовут большинством голосов. По-видимому, двое из племянников договорят-
ся голосовать за одного из них с тем, чтобы наследник перечислил половину
(или сколько?) наследства своему партнеру. Но третий, оставшийся в стороне,
возможно, не позволит столь просто это сделать, и попытается переманить од-
ного из сообщников, обещая ему большую часть наследства! Пусть размер на-
следства а. Обозначая размеры наследства через
,
,
,
3
2
1
w
w
w
, получим равенства,
отражающие возможные коалиции:
.
,
,
1
3
3
2
2
1
a
w
w
a
w
w
a
w
w
=
+
=
+
=
+
. Скла-

---

Page 15

дывая эти равенства, получим
2/
3
3
2
1
a
w
w
w
=
+
+
, что является противоречи-
ем. Итак, любой платеж блокируется какой-нибудь коалицией и ядро пусто.
За д а чи
1. Рассмотрите следующие биматричные игры в некооперативном вари-
анте и выясните особенности действий игроков в этих играх:
( ) (
)
(
)(
)






−
−
−
−
3
,3
4
,6
6,
4
5,
5
(
)( )
( )
( )






−
4,
5
8,
12
6,
10
3000
,4
( )
( )
(
)(
)






−
−
300
,2
200
,0
1,
5
2,
1
2. Найдите множество оптимальности по Парето и переговорное множе-
ство в играх из предыдущей задачи.
3. Игра в загрязнение (см. [17, с. 85—86]). У каждого из
m
игроков име-
ются свой садик и ведро с мусором. Игра состоит в том, чтобы высыпать свой
мусор в чей-либо садик. Если в садик игрока высыпано
n
ведер, то его "выиг-
рыш" равен
( )
n
− . Докажите, что ядро игры пусто.
4. Рассмотрите задачу 6 из лекции 4.1 и докажите, что ее ядро пусто.
5. Вернемся к модели взаимодействия двух фирм на рынке одного товара
(см. лекцию 3.2). Пусть
i
x – выпуск i -й фирмы. Произведенный обеими фир-
мами товар поступает на общий рынок. Прибыль i -й фирмы равна
(
)
(
)
(
)
2
1
2
1
,
x
x
d
bx
x
x
W
i
i
+
−
=
=
, где
0
>
d
.
Предположим, что возможные выпуски фирм есть
2/
,3
/
,4
/
,0
d
d
d
. Тогда
моделью их взаимодействия будет биматричная игра с матрицей
4
4× , в кото-
рой элемент
(
)
(
) (
)
(
)
4/
,4
/
,4
/
,4
/
,
2
1
id
jd
W
jd
id
W
b
a
ij
ij
=
. Найдите несколько эле-
ментов этой матрицы, например, вблизи точек Курно и Стакельберга.
Если же предположить, что выпуски фирм могут принимать всевозмож-
ные значения в промежутке
[ ]
d,0 , то получится непрерывный аналог бимат-
ричной игры.
5.3. И
ГРЫ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ
В теории игр наиболее хорошо разработана математическая теория игр
двух лиц с нулевой суммой.
5.3.1 Условия игры двух лиц с нулевой суммой
Для этой игры нужна матрица, которая так и называется – матрица игры;
обозначим ее A. Игра происходит партиями. Партия игры состоит в том, что
игроки одновременно называют свой выбор – Первый называет какой-нибудь
номер строки матрицы A, Второй – столбца этой матрицы. После этого проис-

---

Page 16

ходит расплата. Пусть, например, Первый назвал номер i , а Второй — j Тогда
Второй платит Первому
( )
ij
a
денежных единиц (или еще какой-нибудь платеж,
как они договорились). На этом партия игры закончилась, можно играть сле-
дующую партию. Заметим, что в одной партии сумма выигрышей игроков рав-
на
( )
0
=
−
+
ij
ij
a
a
– отсюда и название игры.
Цели игроков – побольше выиграть. Предполагается, что будет сыграно
достаточно много партий, так что "побольше выиграть" это побольше выиграть
в среднем на партию.
Свои ходы игроки должны держать в тайне. Если, скажем, Второй сумеет
предугадывать ходы Первого, то он обратит это себе на пользу, а Первому во
вред.
Рассмотрим пример игры. Матрица игры










−
−
−
=
2
2
8
3
7
4
1
1
2
A
. Предполо-
жим, что Первый избрал нехитрую стратегию: два раза подряд выбирать 1-ю
строку, потом два раза – 2-ю, затем – два раза 3-ю, затем эти выборы повторя-
ются. Анализируя статистику сделанных ходов, Второй обнаружит эту страте-
гию Первого и будет, предугадывая ходы Первого, называть 2-й столбец, когда
Первый, следуя вышеуказанной стратегии, будет называть 1-ю строку; он будет
называть 1-й столбец при выборе Первым 2-й строки, а 3-й столбец – при выбо-
ре Первым 3-й строки.
Выбор
(1,2)
(1,2)
(2,1)
(2,1)
(3,3)
(3,3)
(1,2)
(1,2)
Выигрыш
-1
-1
-4
-4
-2
-2
-1
-1
Одни проигрыши! А ведь Первый может выиграть. Если бы он случай-
ным образом чередовал выбор 2-й и 3-й строк, например, бросая монету и вы-
бирая 2-ю строку при выпадении герба и 3-ю строку при выпадении решки, то
его выигрыш был бы не менее единицы в среднем на партию игры! (Докажем
это в дальнейшем). Таким образом ,проигрыш – его и только его вина, при ра-
зумной игре выигрыш Первому обеспечен (см. далее).
Отметим, что несимметричность игроков кажущаяся, ведь если элемент
матрицы, являющийся очередным платежом, отрицателен, то выплата его Вто-
рым Первому на самом деле есть обратное: Первый платит абсолютную вели-
чину этого элемента Второму.
5.3.2 Чистые и смешанные стратегии
Желание выиграть побольше, да еще то, что предстоит сыграть много
партий, приводит игроков к необходимости иметь какую-то стратегию своих

---

Page 17

ходов. Простота анализируемой игры кажущаяся. Для анализа этой игры необ-
ходимо отказаться от учета, например, психологических факторов, и ограни-
читься рассмотрением только очень простых стратегий игроков. Эти стратегии
уже были введены в лекции 4.2. Однако здесь имеет смысл их повторить.
Стратегия называется чистой, если выбор игрока неизменен от партии к
партии. Легко видеть, что у Первого всего m чистых стратегий: выбирать не-
изменно 1-ю строку, выбирать неизменно 2-ю и т.д., у Второго – n : выбирать
неизменно 1-й столбец, 2-й и т.д. Выбор
k
-й строки (столбца) называется
k
-й
чистой стратегией.
Стратегия Первого называется смешанной, если выбор i -й строки произ-
водится им с некоторой вероятностью
i
p ; такую стратегию можно отождест-
вить с распределением вероятностей
(
)
m
i
p
p
P
,...,
=
на множестве строк.
Аналогично определяются смешанные стратегии Второго.
Чистая стратегия тоже подпадает под определение смешанной (когда все
вероятности равны нулю, кроме одной, равной единице).
Предположим, что Первый играет со стратегией P, а Второй – со страте-
гией
(
)
n
q
q
Q
,...,
=
. Если обе стратегии чистые, то выигрыш Первого неизменен
– он равен
ij
a
, если Первый играет по i -й чистой стратегии, а Второй – по j -й.
Если же хотя бы одна из стратегией чистой не является, то выигрыш Первого
является случайной величиной (с.в.). Обозначим ее
( )
Q
P
W , . Она имеет такой
ряд распределения:
11
a
12
a
ij
a
mn
a
( )
:
,Q
P
W
1
1
q
p
2
1
q
p
…
j
i
q
p
…
n
m
q
p
Математическое ожидание этой с. в. есть
(
)
∑∑
=
i j
j
i
ij
q
p
a
M
P
M ,
.
Пример 1. Рассмотрим игру с матрицей










−
−
−
=
2
2
8
3
7
1
1
1
2
A
.
Пусть Первый играет со стратегией
(
)
2/
1,
2/
1,
0
'
=
P
, а Второй использу-
ет стратегию
(
)
3
2
1
'
,
,
q
q
q
Q =
. Выигрыш Первого имеет такой ряд распределе-
ния:
-4
7
3
8
2
-2
( )
:
,
'
'
Q
P
W
2/
1
q
2/
2
q
2/
3
q
2/
1
q
2/
2
q
2/
3
q

---

Page 18

Далее имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
2/
2
4
2/
2
7
2/
8
4
,
3
2
1
3
2
1
'
'
=
+
+
≥
−
+
+
+
+
−
=
q
q
q
q
q
q
Q
P
M
Таким образом, при приведенной стратегии игры Первого, какую бы
стратегию ни использовал Второй, он проиграет в среднем за партию не менее
единицы. Это и есть обещанное ранее доказательство возможности для Первого
выиграть в этой игре.
Напомним, что по свойствам математического ожидания
( )
Q
P
M ,
будет
близко к среднему выигрышу Первого в расчете на партию за большое число
сыгранных партий. Следовательно, можно теперь более точно определить цели
игроков: например, для Первого – найти такую стратегию игры
*
P , при кото-
рой
( )
Q
P
M
,
*
было бы максимальным. Однако при этом непонятно, против ка-
кой стратегии Q Второго он будет играть. Аналогично формулируется цель
Второго, но при этом остается неясным стратегия Первого.
5.3.3 Определение оптимальных стратегий и цены игры
Выход состоит в определении оптимальных стратегий сразу обоих игро-
ков.
Стратегии
*
P – Первого и Q – Второго называются оптимальными, если
( ) (
) ( )
Q
P
M
Q
P
M
Q
P
M
,
,
,
*
*
*
*
≤
≤
для любых стратегий P – Первого и Q –
Второго игроков.
Величина
(
)
*
*
,Q
P
M
, т.е. средний выигрыш Первого при игре обоих иг-
роков с оптимальными стратегиями, называется ценой игры и обозначается ν .
Из определения оптимальных стратегий видно, что они образуют ситуа-
цию равновесия в смысле Нэша в матричной игре – ни одному из игроков не-
выгодно отходить от своей оптимальной стратегии, если другой будет продол-
жать придерживаться своей оптимальной стратегии. Напомним, что с ситуаци-
ей равновесия по Нэшу мы уже имели дело в лекциях 3.2 и 4.2.
Теорема 1. В матричной игре с нулевой суммой у игроков есть опти-
мальные стратегии, следовательно, игра имеет цену. Доказательство этой тео-
ремы непросто и опускается.
Пример 3.
Докажем, что цена игры с матрицей
A
из п. 1 положительна. Действи-
тельно, пусть Первый играет со стратегией
'
P
из примера 1, тогда, как доказано в примере 1,
( )
1
,
'
≥
Q
P
M
для любой стратегии
Q
Второго, следовательно,
( )
1
,
*
'
≥
Q
P
M
также. Но, по
определению,
( ) (
)
ν
=
≤
*
*
*
'
,
,
Q
P
M
Q
P
M
, что и требовалось доказать.

---

Page 19

Пусть
( )
Q
i
W ,
– выигрыш Первого при использовании им чистой P-й
стратегии, а Вторым – стратегии Q ,
( )
j
P
W ,
– выигрыш Первого при использо-
вании им стратегии P, а Вторым – чистой j -й стратегии,
( )
Q
i
W ,
,
( )
j
P
W ,
–
математические ожидания выигрышей Первого при таких стратегиях.
Имеют
место
следующие
легко
проверяемые
соотношения:
( )
( )
( )
( )
∑
∑
∑∑
∑∑
=
=
=
=
i
j
i j
i j
j
i
ij
j
i
j
i
q
p
a
q
p
j
i
M
j
P
M
q
Q
i
M
p
Q
P
M
,
,
,
,
.
Предложение 1. Пусть
*
P ,
*
Q
– оптимальные стратегии Первого и Вто-
рого соответственно, ν – цена игры. Если
0
*
>
k
p
, то
( )
ν
=
*
,Q
k
M
; аналогично,
если
0
*
>
l
q
, то
( )
ν
=
l
P
M
,
*
.
Доказательство. Из определения оптимальных стратегий имеем
( )
ν
≤
*
,Q
i
M
для
любого
m
i
,
,1K
=
.
Отсюда
получаем
( )
( )
∑
∑
∑
≠
≠
=
+
≤
+
≤
=
k
i
k
i
i
k
i
k
i
i
p
p
Q
k
M
p
p
Q
i
M
p
ν
ν
ν
ν
ν
*
*
*
*
*
*
,
,
. Значит, все неравенст-
ва есть равенства и потому
( )
ν
*
*
*
,
k
k
p
Q
k
M
p
=
, a поскольку
0
*
>
k
p
, то
( )
ν
=
*
,Q
k
M
.
Другое утверждение доказывается аналогично.
5.3.4 Решение игр в чистых стратегиях и седловые точки матрицы игры
Элемент
0
0
j
i
a
матрицы
A называется седловой точкой, если
j
i
j
i
ij
a
a
a
0
0
0
0
≤
≤
для любых
n
j
,
,1K
=
и
m
i
,
,1K
=
.
Пример 4. Построить матрицу с седловой точкой.
Решение. Пишем любой элемент
a
. Затем по горизонтали пишем не-
сколько чисел, не меньших
a
, а по вертикали – несколько чисел, не больших
a
. Затем дополняем построенный "крест" любыми числами до прямоугольной
таблицы чисел, которая и есть матрица, в которой элемент
a
есть седловая
точка. Вот матрица с седловой точкой














−
−
−
=
0
2
7
3
1
6
0
0
2
1
1
2
:1
32
a
.
Теорема 2. Матричная игра имеет решение в чистых стратегиях если и
только если в матрице игры есть седловая точка.
Доказательство. Пусть
(
)
0
0
, j
i
– пара оптимальных чистых стратегий.
Тогда, по определению оптимальных стратегий,
( )
(
)
( )
j
i
M
j
i
M
j
i
M
,
,
,
0
0
0
0
≤
≤

---

Page 20

для любых
m
i
,
,1K
=
и
n
j
,
,1K
=
. Но
( )
ij
a
j
i
M
=
,
, так что имеем
j
i
j
i
ij
a
a
a
0
0
0
0
≤
≤
для любых
m
i
,
,1K
=
и
n
j
,
,1K
=
, а это и есть характеристика
того, что
0
0
j
i
a
есть седловая точка.
Доказательство того, что если
0
0
j
i
a
– седловая точка, то пара чистых
стратегий
(
)
0
0
, j
i
есть пара оптимальных стратегий, еще проще.
5.3.5 Решение игр 2х2, 2хn и mх2
Решением игры называется нахождение оптимальных стратегий игроков
и цены игры. Покажем на примере, как решить игру
2
2× .
Пример 5.
Решить игру








−
−
7
4
1
2
– левый верхний угол матрицы из п. 1. Сначала
проверим, нет ли седловой точки; ведь если седловая точка есть, то решение игры ясно.
Убеждаемся, что седловой точки нет. Обозначим искомую оптимальную стратегию Первого
(
)
x
x −
1,
– это вектор-столбец, но для удобства записываем его в виде строки, искомую оп-
тимальную стратегии Второго обозначим
(
)
y
y −
1,
. Выигрыш Первого есть случайная ве-
личина с таким рядом распределения:
2
1
−
4
−
7
( )
y
x
W ,
y
x
(
)
y
x −
1
(
)
y
x
−
1
( )(
)
y
x −
− 1
1
Находим средний выигрыш за партию Первого – математическое ожидание случай-
ной величины
( )
y
x
W ,
.
( )
(
) (
)
(
)(
)
−
+
+
−
+
−
=
−
−
+
−
−
−
−
=
7
4
4
2
1
1
7
1
4
1
2
,
xy
y
xy
x
xy
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
M
(
) (
)
=
+
−
−
−
=
+
−
−
=
+
−
−
13
/3
13
/8
11
13
/8
13
7
11
8
13
7
7
7
y
y
x
y
x
xy
xy
y
x
(
)(
)
13
/3
13
/
11
13
/8
13
+
−
−
=
x
y
.
Докажем, что оптимальные стратегии игроков есть: Первого
(
)
13
/2
,
13
/
11
*
=
P
;
Второго –
(
)
13
/5
,
13
/8
*
=
Q
; цена игры
13
/3
=
ν
. Для этого надо просто убедиться в вы-
полнении необходимых требований, предъявляемых к оптимальным стратегиям, т.е. в вы-
полнении неравенств
(
)
(
)
(
)
y
M
M
x
M
,
13
/
11
13
/8
,
13
/
11
13
/8
,
≤
≤
для любых вероятно-
стей
x
и
y
. Но в этом нетрудно убедиться, анализируя формулу для среднего выигрыша
Первого:
( )
(
)(
)
13
/3
13
/
11
13
/8
13
,
+
−
−
=
x
y
y
x
M
.
Действительно,
имеем
(
)
(
)
(
)
13
/3
,
13
/
11
13
/3
13
/8
,
13
/
11
13
/8
,
13
/3
=
=
=
=
=
y
M
M
x
M
.
Формально условия оптимальности стратегий выполняются, значит, нужно признать
стратегии
(
)
13
/2
,
13
/
11
*
=
P
и
(
)
13
/5
,
13
/8
*
=
Q
оптимальными для игроков, а
13
/3
нужно признать ценой игры
ν
.
Решение игр
n
×
2
покажем на примере.

---

Page 21

Пример 6.
Решить игру








−
−
2
2
8
4
7
4
две нижние строки матрицы из п.1. Сначала
проверим, нет ли седловой точки; ведь если седловая точка есть, то решение игры ясно.
Убеждаемся, что седловой точки нет. Обозначим искомую оптимальную стратегию Первого
(
)
x
x −
1,
– это вектор-столбец, но для удобства записываем его в виде строки.
Обозначим
( )
x
j
ν
– средний выигрыш Первого в расчете на партию, когда Первый
использует стратегию
(
)
x
x −
1,
, а Второй –
j
-ю чистую стратегию. Имеем
( )
( )
x
x
x
−
+
−
=
1
8
4
1
ν
,
( )
( )
x
x
x
−
+
=
1
2
7
2
ν
,
( )
( )
x
x
x
−
−
=
1
2
3
3
ν
. Возьмем на плоско-
сти систему координат (рис. 1), по горизонтальной оси вправо отложим
x
, по вертикальной
оси значения функций
( )
x
j
ν
. Масштаб по осям сделаем разный, ведь графики нужны толь-
ко над отрезком [0, 1].
Функции
( )
x
i
ν
,
3,
2,
1
=
i
линейные, значит, их графики – прямые линии
I
,
II
,
III
соответственно. Находим верхнюю огибающую семейства этих трех прямых над отрезком [0,
1] – это ломаная
ABC
. Находим самую низшую точку этой ломаной, это точка В. Она и дает
решение игры. Координаты этой точки получаются решением уравнения
( )
( )
x
x
2
1
ν
ν
=
, от-
куда
17
/6
*
=
x
,
( ) ( )
17
/
64
*
2
*
1
=
=
=
x
x
ν
ν
ν
.
Таким образом, оптимальная стратегия Первого есть
(
)
17
/
11
,
17
/6
*
=
P
, а цена иг-
ры
17
/
64
=
ν
.
Заметим теперь, что при этой стратегии Первого Второй игрок не выбирает свой 3-й
столбец. Обозначим вероятность выбора Вторым 1 -го столбца через
y
, а 1-го столбца через
(
)
y
−
1
. Теперь учтем, что, например,
0
*
*
1
>
= x
p
и воспользуемся предложением 1 (см.
конец п. 3). Получаем
( )
ν
=
y
M ,1
, т.е.
(
)
17
/
64
1
7
4
=
−
+
−
y
y
, откуда
17
/5
*
=
y
.
A
B
C
II
III
I
x
1
x
2
Рисунок –

---

Page 22

Окончательный ответ: оптимальная стратегия Первого








=
17
11
17
6
*
P
оптимальная
стратегия Второго
(
)
0,
17
/
12
,
17
/5
*
=
Q
, цена игры
17
/
64
=
ν
.
В начале п. 2 уже указывалось, что простота матричных игр кажущаяся.
На примере только что решенной игры покажем, что игрокам нужно быть очень
внимательными. Заметим сначала, что если Первый использует оптимальную
стратегию, то он безусловно будет выигрывать
17
/
64
в среднем за партию.
Представим, однако, что Первый почему-либо перестал придерживаться опти-
мальной стратегии и стал чаще выбирать 2-ю строку. Анализируя статистику
ходов, Второй это уловил. Он немедленно начнет чаще выбирать 1-й столбец.
Из рис. 1 видно, что выигрыш Первого уменьшится. Обнаружив это, Первый
постарается вернуться к оптимальной стратегии. Примерно также Первый дол-
жен следить, придерживается ли Второй своей оптимальной стратегии.
Аналогично решаются и анализируются игры
2
×
m
.
Отметим в заключение, что решение матричных игр с большим числом
строк и столбцов находится методами линейного программирования.
Задачи
1. Найти решение матричной игры










−
−
2
7
1
0
3
4
1
2
1
.
Решение. Видим, что 1-я строка матрицы покомпонентно меньше 2-й
строки. Следовательно, Первый никогда не будет ее выбирать и потому матри-
цу игры можно упростить, удалив 1-ю строку. Получилась матрица








−
2
7
1
0
3
4
. Теперь уже можно воспользоваться графическим методом реше-
ния игр
3
2×
из п. 5 и найти решение этой игры. Но можно еще более упростить
полученную матрицу. В ней 1-й столбец больше 3-го. Следовательно, Второй
никогда не будет выбирать 1-й столбец и потому матрицу игры можно упро-
стить, удалив 1-й столбец. Получилась матрица








−
2
7
0
3
, имеющая размеры
2
2× . Ее решение можно найти методом, изложенным в начале п. 5 или графи-
ческим методом же из этого пункта. Ответ к первоначальной игре: оптимальная
стратегия
Первого








=
4
1
4
3
P
,
оптимальная
стратегия
Второго

---

Page 23

(
)
6/
5
,6
/1
,0
=
Q
, цена игры
2/
1
=
ν
.
Замечание 1. Прием, который был применен для упрощения матрицы иг-
ры, называется доминированием.
2. Укажите какие-нибудь границы для цены игры










−
−
−
1
5
1
0
4
4
2
2
2
.
Решение. Будем считать, что Второй каким-то образом играет наиболее
плохо для Первого: когда Первый выбирает 1-ю строку, Второй выбирает 3-й
столбец и Первый проигрывает два и т.д. Таким образом, Первый находит в
каждой строке наименьший элемент
ij
i
a
a
min
=
. Но теперь Первый из этих чи-
сел выбирает наибольшее
(
)
ij
i
a
a
min
max
max
1
=
=
ν
. Ясно, что цена игры
ν
не
может быть меньше
1
ν . Аналогично, становясь Вторым, можно найти
(
)
ij
a
max
min
2
=
ν
и тогда
2
ν
ν ≤
. Итак
1
2
2
1
=
≤
≤
=
−
ν
ν
ν
.
Замечание 2. Числа
1
ν ,
2
ν называются соответственно нижней и верхней
ценой игры. Можно доказать, что их совпадение эквивалентно наличию в мат-
рице седловой точки.
3. В матричной игре










−
−
−
10
25
10
2
10
8
6
0
2
игроки играют со стратегиями:
Первый










0
5,
0
5,
0
, Второй
(
)
0
5,
0
5,
0
. Найдите средний выигрыш Первого при
такой игре. Является ли указанная стратегия оптимальной для 1 -го игрока?
4. Решите матричную игру:














−
−
2
6
0
4
3
2
6
1
. С помощью каких случайных ме-
ханизмов игроки могут реализовать свои оптимальные стратегии?
5. Докажите, что цена матричной игры










−
−
3
2
4
3
5
0
2
0
6
больше двух.
5 ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ СОТРУДНИЧЕСТВА И КОНКУРЕНЦИИ................................................................1

---

Page 24

5.1 П
РИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ГРУППОЙ ЛИЦ
..................................................................................................................1
5.1.1 Возможные правила принятия решений группой лиц...........................................................................1
5.1.2 Теорема Эрроу .......................................................................................................................................2
5.1.3 Оптимальность по Парето ..................................................................................................................3
5.1.4 Коалиции и их роль в принятии решений в группе.................................................................................5
5.2. К
ООПЕРАТИВНЫЕ И НЕКООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ
.................................................................................................6
5.2.1 Конфликтные ситуации........................................................................................................................6
5.2.2 Модель конфликта или сотрудничества двух участников...................................................................7
5.2.3 Кооперативные игры.............................................................................................................................9
5.2.4 Оптимальность по Парето, переговорное множество.....................................................................10
5.2.5 Кооперативные игры со многими участниками, ядро игры...............................................................12
5.3. И
ГРЫ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ
.............................................................................................................................15
5.3.1 Условия игры двух лиц с нулевой суммой.............................................................................................15
5.3.2 Чистые и смешанные стратегии .......................................................................................................16
5.3.3 Определение оптимальных стратегий и цены игры...........................................................................18
5.3.4 Решение игр в чистых стратегиях и седловые точки матрицы игры...............................................19
5.3.5 Решение игр 2х2, 2хn и mх2..................................................................................................................20