Построение графика функции

Page 1

1
6 МОДЕЛИ РЫНКОВ
6.1. П
РОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ РЫНКОВ
6.1.1 Модель распределения
Самой простой и начальной моделью рынка является следующая.
Участники экономики, рынка, их всего т, хотят разделить между собой то-
вары в количестве
)
,...,
(
1
n
Ω
Ω
=
Ω
. При этом система предпочтений каждого уча-
стника задана на пространстве размерности
m
n×
(n видов товаров, т участни-
ков), т.е. каждого участника интересует распределение товаров по всей группе
участников. Итак, i -й участник (как и любой другой) сравнивает наборы векто-
ров:
)
,...,
(
)
,...,
(
1
1
m
i
m
Y
Y
X
X
p
, где
i
i
Y
X ,
– то, что достается i -му участнику. Ко-
нечно, предполагается, что
Видно, что речь идет о выработке группового решения, которое учитывало
бы предпочтения участников группы. Согласно теореме Эрроу (см. п. 2 лекции
4.1), никакого приемлемого автоматического механизма формирования группово-
го решения нет (кроме диктатуры, но это неприемлемо) и в каждой конкретной
группе дележ может произойти по-своему. Единственная научная рекомендация,
носящая всеобщий характер, состоит в том, что искомое распределение должно
быть оптимальным по Парето. Применительно к рассматриваемой ситуации это
выглядит так.
Сначала скажем, что распределение
)
,...,
(
1
m
X
X
допустимо, если
Ω
≤
∑
i
i
X
.
Распределение
)
,...,
(
1
m
Z
Z
называется оптимальным по Парето, если, во-первых,
оно допустимо, и, во-вторых, не существует допустимого распределения
)
,...,
(
1
m
Y
Y
, такого, что
)
,...,
(
)
,...,
(
1
1
m
i
m
Y
Y
Z
Z
p
для каждого
m
i
,...,
1
=
, и хотя бы
одно из этих неравенств-предпочтений строгое.
Можно представить себе следующую ситуацию.
Участники рынка сидят перед богатством, которое им предстоит разделить.
Ни у кого нет на это богатство никаких особенных прав. Они обсуждают, как это
богатство разделить. Для начала обсуждается совершенно произвольное разделе-
ние. Затем постепенно оно улучшается. Наконец, все признают, что лучшего ва-
рианта раздела не существует, и раздел совершается.
Ясно, что оптимумов Парето много. Чисто экономические соображения, в
общем, не дают однозначной рекомендации. Фактически экономист следит только
Ω.
Y
,
X
i
i
i
=
∑
∑
1

---

Page 2

2
за тем, чтобы не было разбазаривания. Затем на смену экономисту приходит по-
литик, чтобы выбрать оптимум Парето, один из многих.
6.1.2 Модель обмена, цены
Рассмотрим довольно реалистическую ситуацию. Пусть т участников эко-
номики имеют каждый уже какие-то наборы товаров. Это их частная собствен-
ность, охраняемая, кроме всего прочего, законом. Все они пришли в "Лужники",
ходят по полю и присматриваются, как бы чего поменять (известно, что такие
рынки вполне могут существовать в военное время, например). При этом они за-
конченные эгоисты, т.е. система предпочтений каждого замкнута только на себя,
набор соседа их интересует только с прицелом на возможный обмен (в этом одно
из отличий от предыдущей модели). Денег нет, только натуральный обмен. Легко
понять, что такие обмены могут оказаться чрезвычайно выгодными обеим ме-
няющимся сторонам. Классический пример самого А. Смита, когда дальнозоркий
и близорукий имеют каждый не те очки, что надо, и в результате обмена полу ча-
ют для себя ценнейшие вещи!
Подчеркнем, что пока люди ходят и присматриваются, прицениваются, об-
говаривают условия обмена, но обмена пока не совершают. Происходит, таким
образом, пока обмен информацией. При этом условия сделок, вообще говоря, ме-
няются. Но вот к 17.00 все более-менее уже утряслось, условия сделок перестали
меняться. Тогда совершаются все сделки, и люди расходятся.
Ясно, что окончательное распределение опять оптимально по Паре-то, но,
кроме того, ни для одного участника оно не хуже первоначального, ибо обмены
совершаются только добровольно.
Пусть
i
X , было у i-го участника, a
i
Z – окончательное распределение, то-
гда
i
i
i
Z
X p
. Но это еще не все! Если есть коалиции, то они также могут влиять
на обмены (простейший пример, когда члены одной семьи участвуют в обменах).
Складывая вместе свои начальные ресурсы, члены коалиции А могут реализовать
для обмена любой набор товаров из своего суммарного запаса. Коалиция значи-
тельно расширяет возможности ее членов для обменов. Если какой-то обмен ока-
жется для коалиции невыгодным, то она участвовать в нем не будет, и этот обмен
не состоится. Говорят в таком случае, что коалиция заблокировала этот обмен, а
вместе с тем и некоторое распределение, которое имело шанс быть окончатель-
ным.
Как и в случае кооперативной игры (см. п. 5 лекции 4.2), можно определить
ядро рынка (описанный рынок еще называют экономикой частной собственно-
сти).

---

Page 3

3
Ядром экономики, рынка называется множество допустимых распределе-
ний, которые не блокируются никакой коалицией. По существу ядро представляет
собой множество распределений, приемлемых для всех коалиций.
В п. 5 лекции 4.2 был приведен пример кооперативной игры с пустым
ядром. А как обстоит дело в экономике, рынке с частной собственностью?
Математики оказались на высоте и нашли хорошие достаточные условия
непустоты ядра экономики частной собственности.
Теорема 1. Если предпочтения участников экономики непрерывны, то ядро
непусто, замкнуто и ограничено.
Это условие – непрерывность – уже обсуждалось: непрерывность является
достаточным условием для существования функции полезности.
В модели распределения конечное распределение должно быть оптималь-
ным по Парето. В данной рассматриваемой модели с частной собственностью это
тоже имеет место.
При дальнейшем развитии математической теории в предположении боль-
шого количества участников (что отвечает условиям практики) удается доказать
следующую теорему.
Теорема 2. Если предпочтения участников экономики непрерывны и перед
обменом каждый участник имеет все товары (хотя бы и в небольшом количестве),
т.е.
0
>
i
X
, то конечные распределения существуют, т.е. ядро экономики не пусто;
более того, допустимое распределение
)
,...,
(
1
m
Z
Z
таково, т.е. может быть конеч-
ным, если и только если найдутся неотрицательные числа
)
,...,
(
1
n
p
p
P =
, не все
равные нулю, и такие, что для всех
m
i
,...,
1
=
i
i
PX
PZ =
и для любого другого до-
пустимого распределения
)
,...,
(
1
m
Y
Y
, если
i
i
PX
PY ≤
, то
i
i
i
Z
Y p
для любого
m
i
,...,
1
=
.
Теорема эта весьма сильная. Она устанавливает, что наступит ситуация
равновесия и каждый участник "выжмет" из своего начального набора
i
X макси-
мум полезности. При этом возникают особые числа
)
,...,
(
1
n
p
p
P =
, которые по
смыслу являются ценами. Итак, теорема утверждает, что должна сложиться такая
система цен Р , что если каждый участник продаст свой начальный набор X
i
по
этим ценам, то на вырученные деньги РХ
i
он купит набор, являющийся наилуч-
шим в смысле его системы предпочтений.
6.1.3 Равновесие на рынке, теорема Дебре
Продолжим рассмотрение этой модели. В теме 1 был изучен спрос потреби-

---

Page 4

4
теля, зависящий от цен Р и дохода Q. В данной ситуации доход Q
i
,которым рас-
полагает i -й участник, есть РХ
i
,тем самым его спрос
i
D есть фактически функ-
ция цен (которые могут быть пока неизвестны). Вектор суммарного спроса также
есть функция цен:
∑
=
i
i
P
D
P
D
)
(
)
(
. В то же время предложение товаров фиксиро-
вано, ибо весь их запас Ω находится на руках у участников экономики и равен
∑
i
i
X .
Введем
в
рассмотрение
вектор-функцию
избыточного
спроса
Ω
−
=
)
(
)
(
P
D
P
I
. Ясно, что компонента
k
k
k
P
D
P
I
Ω
−
=
)
(
)
(
представляет собой
превышение спроса на k-й товар на всем рынке
)
(P
D
k
над предложением
k
Ω и ра-
венство спроса и предложения на всем рынке, т.е. равновесие на рынке выражает-
ся равенством
0
)
( =
P
I
или
0
)
( =
P
I
k
для всякого k= 1,..., п.
Определение. Если вектор цен
∗
P удовлетворяет равенству
0
)
(
=
∗
P
I
, то он
называется системой равновесных цен, а вектор
))
(
),...,
(
(
)
(
1
∗
∗
∗
∗
=
=
P
D
P
D
P
D
D
n
– равновесным распределением.
Итак, в ситуации равновесия суммарный спрос на каждый товар в точности
равен предложению этого товара:
k
k
P
D
Ω
=
∗
)
(
для каждого k= 1,..., п.
Но при каких же условиях существуют ситуации равновесия? Первыми ре-
шили эту проблему А. Вальд в 1933–1936 гг. и Дж. фон Нейман в 1937 г. Но еще в
1874 г. Л. Вальрас несколько упростил задачу, сведя ее к решению нескольких
обычных уравнений, причем число уравнений и число неизвестных оказалось
одинаковым. Он же открыл закон, относящийся к рассматриваемой ситуации и
носящий сейчас его имя.
Предложение. Функция избыточного спроса удовлетворяет закону Вальраса
0
)
( =
P
PI
.
Действительно,
i
i
X
P
P
D
P
⋅
=
⋅
)
(
, значит,
0
)
)
(
(
=
−
i
i
X
P
D
P
для каждого
i =1,..., п. Складывая эти равенства, получим и
∑
=
−
i
i
i
X
P
D
P
0
)
)
(
(
, и оконча-
тельно
0
)
)
(
(
=
−
∑
∑
i
i
i
i
X
P
D
P
, т.е. Р1(Р) = 0.
Пример 1. Рассмотрим рынок с тремя участниками (i = 1, 2, 3), у каждого из
которых одна и та же функция полезности
3
2
1
3
2
1
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
u
=
.
Пусть начальное имущество первого, второго и третьего участников есть

---

Page 5

5
соответственно (1,2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5). Предположим, что на рынке цены тако-
вы:
1
p = 1,
2
p = 2,
3
p = 3. Посмотрим, равновесно ли положение, и проверим, вы-
полнен ли закон Вальраса об избыточном спросе.
Решение. Для функции полезности
3
2
1
3
2
1
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
u
=
найдем точку
спроса (напомним, что эта точка характеризуется пропорциональностью частных
производных и цен). Имеем:
)
2
/(
/
1
3
2
1
x
x
x
x
u
=
∂
∂
;
)
2
/(
/
2
3
1
2
x
x
x
x
u
=
∂
∂
откуда
2
1
2
1
/
)
/
/(
)
/
(
p
p
x
u
x
u
=
∂
∂
∂
∂
т.е.
2
1
1
2
/
/
p
p
x
x
=
или
2
2
1
1
x
p
x
p
=
. Остальные
два соотношения аналогичны, так что в итоге получаем точку спроса:
)
3
/(
1
1
p
Q
x =
∗
)
3
/(
2
2
p
Q
x =
∗
)
3
/(
3
3
p
Q
x =
∗
.
При указанных выше ценах начальное имущество участников оценивается:
первого участника – суммой
1
Q = 1 + 4 + 9 = 14, второго Q
2
= 20, третьего –
3
Q
=
26, так что вектора спроса таковы: первого участника – (14/3, 14/6, 14/9),
второго участника – (20/3, 20/6, 20/9), третьего участника – (26/3, 26/6, 26/9). Сле-
довательно, суммарный спрос есть (20, 10, 20/3). Видно, что равновесия нет: по
первому товару избыточный спрос равен 14, по второму товару – единице, по
третьему товару – -16/3.
Проверим выполнение закона Вальраса: скалярное произведение вектора
цен на вектор избыточного спроса равно нулю. Имеем: 1·14+2·1 + 3(-16/3) = 0.
Заметим теперь следующее. Как известно, функция спроса зависит только
от соотношения цен, а не от их абсолютных значений. Это замечание позволяет
ввести в рассмотрение и деньги как некоторый особый, но в общем-то такой же
товар, как и остальные.
Применяя закон Вальраса, получаем, что имеющееся на руках количество
денег равно
∑
+
=
k
k
k
s
P
I
p
M
)
(
где s – спрос на деньги. В частности, если спрос s
равен нулю, т.е. никто не хочет иметь деньги для их хранения или еще для чего-
нибудь долговременного, например для трат вне рынка, то стоимость неудовле-
творенного спроса в точности равна количеству денег на руках у участников рын-
ка. Это и есть ситуация равновесия. Представьте, что вдруг "мешок" денег пропал
("челнок" по рассеянности засунул его куда-то в своей палатке). Немедленно ста-
нет ощущаться дефицит денег, и их "цена" возрастет, т.е. упадут остальные цены.
Продолжим. В общем случае доказательство существования ситуации рав-
новесия довольно трудно и использует весьма сложные математические понятия
(см., например, [17, с. 98–101]. Сформулируем без доказательства теорему о рав-

---

Page 6

6
новесии, принадлежащую Дебре.
Теорема 3. Если системы предпочтений участников непрерывны, строго
выпуклы и в начале каждый участник обладает всеми товарами (хотя бы в не-
больших количествах), то существует ситуация равновесия, т.е. система равно-
весных цен и равновесное распределение.
Доказывается также, что любое равновесное распределение оптимально по
Парето и не блокируется никакой коалицией, т.е. принадлежит ядру экономики.
Пример 2. Рассмотрим рынок с тремя участниками
)3,
2,
1
( =
i
, у каждого одна
и та же функция полезности
3
2
1
3
2
1
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
u
=
.
Пусть начальное имущество первого, второго и третьего участников есть
соответственно (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5). Найдем равновесные цены и равновес-
ное конечное распределение.
Решение. Для функции полезности
3
2
1
3
2
1
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
u
=
точка спроса
была найдена в примере 1:
)
3
/(
1
1
p
Q
x =
∗
)
3
/(
2
2
p
Q
x =
∗
)
3
/(
3
3
p
Q
x =
∗
.
Сумма, в которую равновесный рынок оценивает начальное богатство, есть:
первого
участника
–
)
3
2
(
3
2
1
1
p
p
p
Q
+
+
=
,
второго
участника
–
)
4
3
2(
3
2
1
2
p
p
p
Q
+
+
=
, третьего участника –
)
5
4
3(
3
2
1
3
p
p
p
Q
+
+
=
, так что сум-
марный спрос есть: на 1-й товар –
)
3
/(
)
3
/(
)
3
/(
1
3
1
2
1
1
1
p
Q
p
Q
p
Q
D
+
+
=
=
)
3
/(
)
12
9
6(
1
3
2
1
p
p
p
p
+
+
=
, на 2-й товар –
)
3
/(
)
12
9
6(
2
3
2
1
2
p
p
p
p
D
+
+
=
,на 3-й то-
вар –
)
3
/(
)
12
9
6(
3
3
2
1
3
p
p
p
p
D
+
+
=
.
Приравнивая суммарный спрос и суммарное предложение каждого товара,
получаем систему уравнений для определения равновесных цен:
)
3
/(
)
12
9
6(
1
3
2
1
p
p
p
p
+
+
= 6
)
3
/(
)
12
9
6(
2
3
2
1
p
p
p
p
+
+
= 9
)
3
/(
)
12
9
6(
3
3
2
1
p
p
p
p
+
+
= 12
или
3
2
1
12
9
6
p
p
p
=
=
.
Понятно, что цены определяются лишь с точностью до пропорционально-
сти, так что, полагая
6
1
=
p
, получаем, что
4
2
=
p
и
3
3
=
p
. Далее находим окон-
чательное распределение: у первого участника – (23/18, 23/12, 23/9), сум-
марное богатство равно 23; у второго участника – (36/18, 36/12, 36/9), суммарное
богатство равно 36; у третьего участника – (49/18, 49/12, 49/9), суммарное богат-
ство равно 49.

---

Page 7

7
Заметим теперь, что начальное богатство по этим ценам оценивается в точ-
ности так же.
6.1.4 Равновесие на рынке с производством
Как и в предыдущей модели общие ресурсы
)
,...,
(
1
m
X
X
=
Ω
с самого нача-
ла распределены между т участниками. Но, кроме того, имеем
r
производствен-
ных единиц, каждая из которых характеризуется производственным множеством
k
τ , k = 1, ...,
r
. Глобальное (общее) производственное множество задается равен-
ством
r
τ
τ
τ
+
+
=
...
1
. При этом каждый производитель руководствуется двумя
правилами:
1) Правило управления: производитель максимизирует свою прибыль, т.е. в
ответ на систему цен Р он выбирает вектор T , максимизирующий прибыль РТ,
где Т– выбранная им технология;
2) Правило распределения прибыли – реализованная прибыль распределя-
ется между участниками согласно фиксированным заранее коэффициентам:
i
k
α
–
доля i -го участника в прибылях k-го производителя; конечно,
1
=
∑
i
i
k
α
для каждо-
го k= 1,...,
r
.
Видно, что участники являются акционерами, а производитель не является,
вообще говоря, каким-то конкретным участником. Это будет так, если все коэф-
фициенты
i
k
α
для данного k равны нулю, кроме какого-нибудь одного, например
1
=
j
k
α
; тогда j -й участник есть владелец k-го производства.
Итак, производители имеют свои собственные правила работы, которые
предполагают знание системы цен на рынке, но не предполагают знание системы
предпочтений других участников экономики.
Для i -го участника денежная сумма РХ
i
, являющаяся оценкой его началь-
ных запасов товаров, пополняется дивидендами, получаемыми от различных про-
изводственных единиц и в целом составит
∑
+
k
k
i
k
i
PT
PX
)
(α
.
Итак, каждый производитель максимизирует свою прибыль и отдает диви-
денды акционерам; потребитель покупает то, что он предпочитает, и столько,
сколько он в состоянии заплатить.
В рассматриваемой модели также можно определить, что такое равновесное
состояние, равновесные цены и доказать теорему о существовании равновесия,
подобную теореме 1 из п.З. Однако эта теорема не гарантирует однозначность в
действиях производителей и потребителей, что может привести к своеобразному

---

Page 8

8
дисбалансу действий участников экономики.
Задача
Рассмотрим рынок с тремя участниками (i = 1, 2, 3), у каждого из которых
одна и та же функция полезности
3
2
1
3
2
1
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
u
=
.
Пусть начальное имущество первого, второго и третьего участников есть
соответственно (а, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, с). Найдем равновесные цены и равновес-
ное конечное распределение.
Решение аналогично решению примера 1.
Для функции полезности
3
2
1
3
2
1
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
u
=
точка спроса есть
)
3
/(
1
1
p
Q
x =
∗
)
3
/(
2
2
p
Q
x =
∗
)
3
/(
3
3
p
Q
x =
∗
.
Суммы, в которые равновесный рынок оценивает начальное богатство уча-
стников, равны соответственно
3
2
1
,
,
cp
bp
ap
так что суммарный спрос на k-й товар
есть
)
3
/(
k
k
p
S
D =
, где
3
2
1
cp
bp
ap
S
+
+
=
.
Приравнивая суммарный спрос и суммарное предложение каждого товара,
получаем систему уравнений для определения равновесных цен:







=
=
=
c
p
S
b
p
S
a
p
S
)
3
/(
)
3
/(
)
3
/(
3
2
1
или
3
2
1
cp
bp
ap
=
=
.
Понятно, что цены определяются лишь с точностью до пропорционально-
сти, так что, полагая
bc
p =
1
, получаем
ac
p =
2
и
ab
p =
3
. Окончательное распре-
деление одно и то же у всех участников: (a/3,b/3,c/3) суммарное богатство также
одинаково и равно численно abc, начальное богатство по этим ценам оценивается
в точности так же.
Таким образом, рынок снивелировал разницу в имуществе участников.
Возможно потому, что участники не имели других товаров, кроме своего, для
ощущения масштаба их полезности. Заметим, что условия теоремы 1 из п. 3 не
выполнены – в теореме как раз требуется, что бы каждый участник имел все това-
ры (хотя бы и в малых количествах).
6.2. Я
ЩИК
Э
ДЖВОРТА
6.2.1 Описание ящика Эджворта
Рассмотрим простейшую модель обмена. Участников обмена двое и това-
ров, которыми они обмениваются, тоже два. Первый участник, как и Второй, име-

---

Page 9

9
ет обоих товаров в каком-то количестве (возможно нулевом). Функции полезно-
стей участников
)
,
(
2
1
x
x
u
i
, i = 1, 2. Напомним, что участники хотят обмениваться
товарами в надежде улучшить свое благосостояние. На невыгодный для себя ва-
риант обмена они не пойдут.
Но могут ли участники обмена улучшить свое благосостояние в результате
обмена? В п. 2 лекции 5.1 уже упоминался пример А. Смита, когда близорукий и
дальнозоркий имеют каждый очки противоположного свойства и в результате об-
мена они приобретают очень ценные для себя вещи (см. также задачу 9 из лекции
1.1).
Весьма удобной моделью исследования таких обменов в рассматриваемом
простейшем варианте (два участника и два вида товаров) является ящик Эджвор-
та. Опишем его.
Обозначим
i
Ω , суммарное количество i-гo товара у обоих участников.
Пусть С =
)
,
(
2
1
c
c
– начальное, до обмена, количество товаров у Первого, тогда у
Второго их будет
)
,
(
2
2
1
1
c
c
−
Ω
−
Ω
. Рассмотрим прямоугольник на плоскости
(рис. 1), одна точка которого есть 0(0, 0), а другая – по диагонали –
)
,
(
2
1
Ω
Ω
=
Ω
,
остальные две точки прямоугольника имеют координаты
)0
,
(
1
Ω
и
)
,0
(
2
Ω
Пред-
полагается, что обе функции полезности являются строго вогнутыми, а также
дифференцируемыми. Это делает выводы более четкими.
Наложим теперь на ящик Эджворта карты предпочтений Первого (относи-
тельно точки 0) и Второго (относительно точки Ω. На рис. 1 нанесены две кри-
вые безразличия Первого – линии уровня его функции полезности и – ближайшие
к точке 0, и две линии безразличия Второго – ближайшие к точке Ω.
)
,
(
2
1
Ω
Ω
=
Ω
B
D
Z
A
C
Ω
1
Ω
2
0
Рисунок –

---

Page 10

10
Две из этих кривых проходят через точку С – кривая CAD для Первого и
кривая CBD для Второго. Вправо и вверх от кривой CAD расположено множест-
во предпочтительности Первого
{
}
)
(
)
(
:
)
(
1
1
1
C
u
X
u
X
C
P
≥
=
, влево и вниз от кри-
вой
CBD
расположено
множество
предпочтительности
Второго
{
}
)
(
)
(
:
)
(
2
2
2
C
u
X
u
X
C
P
≥
=
. Рассмотрим любую точку Y в "линзе" CADB. Легко
видеть, что
)
(
)
(
1
1
C
u
Y
u
≥
,
)
(
)
(
2
2
C
u
Y
u
≥
, т.е. любая точка линзы не хуже точки С
для каждого из участников. Легко видеть, что любая точка линзы, лежащая строго
внутри нее, т.е. не лежащая на кривых CAD и CBD, строго лучше точки С для ка-
ждого участника. Следовательно, оба участника вполне согласятся "перейти" в
точку
)
,
(
2
1
z
z
Z =
, т.е. согласятся на обмен: Первый отдаст Второму
)
(
2
2
z
c −
единиц второго товара и получит взамен
)
(
1
1
c
z −
единиц первого товара.
Но остановятся ли на этом участники? Не найдут ли они еще более хороший ва-
риант обмена?
6.2.2 Множество распределений, оптимальных по Парето
Итак, как уже стало ясно, любое распределение товаров в количестве
1
Ω первого товара и
2
Ω – второго между участниками соответствует некоторой
точке
)
,
(
2
1
x
x
X =
в ящике Эджворта:
)
,
(
2
1
x
x
X =
единиц у Первого, а остальное,
т.е.
)
,
(
2
2
1
1
x
x
X
−
Ω
−
Ω
=
−
Ω
, – У Второго. Специально для этой ситуации кон-
кретизируем общее понятие оптимальности по Парето.
Распределение
)
,
(
2
1
z
z
Z =
называется оптимальным по Парето, если не су-
ществует распределения
)
,
(
2
1
y
y
Y =
, такого, что
2,
1
),
(
)
(
=
≥
i
Z
u
Y
u
i
i
и хотя бы
для одного из участников
)
(
)
(
Z
u
Y
u
i
i
≥
.
Назовем
{
}
)
(
)
(
:
)
(
Z
u
X
u
X
Z
P
i
i
i
>
=
+
множеством строгой предпочтительно-
сти i -го участника. Ясно, что
)
(
)
(
Z
K
P
Z
P
i
i
i
∪
=
+
, где
)
(Z
K
i
– кривая безразли-
чия i-го участника, проходящая через точку Z. Скажем, что кривые безразличия
)
(
1
Z
K
и
)
(
2
Z
K
касаются, если существует прямая, проходящая через точку Z и
разделяющая множества
)
(
1
Z
P
+
и
)
(
2
Z
P
+
.
Предложение 1. Распределение Z = (z
1
, z
2
) является оптимальным по Паре-
то, если и только если в этой точке кривые безразличия
)
(
1
Z
K
и
)
(
2
Z
K
касаются.
Предположение о строгой вогнутости функций полезности влечет строгую

---

Page 11

11
выпуклость множеств
)
(
1
Z
P
2,
1
),
(
2
=
i
Z
P
, в силу чего оказывается справедливым
следующее предложение.
Предложение 2. Распределение Z = (z
1
, z
2
) является оптимальным по Паре-
то, если и только если множества строгой предпочтительности
)
(
1
Z
P
+
и
)
(
2
Z
P
+
не
пересекаются.
Доказательства обоих предложений несложны.
Если функции полезности
)
(X
u
i
дифференцируемы, то введенное только
что понятие касания кривых безразличия совпадает с обычным понятием касания
кривых, как имеющих общую касательную.
Пример 1. Найдем множество оптимальных по Парето точек в случае функ-
ций полезности
2
1
2
1
)
,
(
x
x
x
x
u
i
=
.
Решение.
Для
произвольной
дифференцируемой
функции
)
,
(
2
1
x
x
ν
касательная к линии уровня в точке (a,b) имеет уравнение
0
)
(
/
)
(
/
2
2
1
1
=
−
∂
∂
+
−
∂
∂
b
x
x
a
x
x
ν
ν
, где обе частные производные взяты в точке
(a, b). Следовательно, чтобы в точке (a, b) кривые безразличия (или линии уровня)
функций
2
1
2
1
1
)
,
(
x
x
x
x
u
=
,
)
)(
(
)
,
(
2
2
1
1
2
1
2
x
x
x
x
u
−
Ω
−
Ω
=
имели общую касатель-
ную, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке было выполнено соотноше-
ние
)
/
:
/
(
)
/
:
/
(
2
2
1
2
2
1
1
1
x
u
x
u
x
u
x
u
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
,
Поскольку
b
x
u
=
∂
∂
1
1
/
,
;
/
2
1
a
x
u
=
∂
∂
)
(
/
2
1
2
b
x
u
−
Ω
−
=
∂
∂
)
(
/
,
2
2
2
a
x
u
−
Ω
−
=
∂
∂
,то
должно
быть
1
2
/
/
Ω
Ω
=
a
b
. Итак, множество оптимальных по Парето точек составляют пря-
мую, соединяющую точки 0(0, 0) и
)
,
(
2
1
Ω
Ω
=
Ω
. Для точки С любая точка на от-
резке А, В не хуже ее для любого участника на полуинтервале (A, B], не хуже для
Второго и лучше для Первого на полуинтервале [A, B), не хуже для Первого и
лучше для Второго на интервале (А, В) лучше для обоих участников. Таким обра-
зом, выбор варианта обмена сузился до отрезка [А, В], любая точка которого уже
оптимальна по Парето и представляет собой, следовательно, некоторый неулуч-
шаемый вариант обмена.
6.2.3 Равновесные распределения
Согласно общей теории, в процессе информационного обмена на рассмат-
риваемом рынке должны сложиться определенные цены
∗
P , в соответствии с ко-
торыми и произойдет окончательный обмен, которому в ящике Эджворта будет
соответствовать некоторая точка
∗
Z . При этом цены будут таковы, что если уча-

---

Page 12

12
стник оценит по ним свои начальные запасы товаров, то на эту сумму как раз
сможет приобрести указанные конечные количества товаров и более хорошего
варианта обмена для него нет. Но это значит, что конечный вариант обмена есть
точка спроса для каждого из участников при сложившейся ситуации на рынке, т.е.
при сложившихся ценах. При этом суммарный спрос окажется равным суммар-
ному предложению, т.е. на рынке сложится равновесие. Указанные цены и конеч-
ное состояние и образуют равновесие.
Таким образом, если начальное состояние есть точка С, то начальное иму-
щество, или богатство, Первого будет оценено
2
2
1
1
1
c
p
c
p
PC
Q
+
=
=
, а Второго –
)
(
)
(
)
(
2
2
2
1
1
1
2
c
p
c
p
C
P
Q
−
Ω
+
−
Ω
=
−
Ω
=
.
Конечное богатство каждого оказывается тогда точкой спроса при данных
ценах Р и доходах
2
1
,Q
Q
– оцененной суммой их богатства.
Пример 2. Продолжим рассмотрение примера 1. Для функции полезности
2
1
2
1
)
,
(
x
x
x
x
u
=
точка спроса есть
)
2
/(
),
2
/(
2
2
1
1
p
Q
x
p
Q
x
=
=
∗
∗
. Таким образом,
суммарный
спрос
обоих
участников
на
1-й
товар
есть
)
2
/(
)
2
/(
)
(
)
2
/(
1
1
1
1
p
P
p
C
P
p
PC
D
Ω
=
−
Ω
+
=
,
на
2-й
товар
есть
)
2
/(
)
2
/(
)
(
)
2
/(
2
2
2
2
p
P
p
C
P
p
PC
D
Ω
=
−
Ω
+
=
. Приравнивая суммарный спрос и
суммарное предложение получаем систему уравнений для определения равновес-
ных цен:





Ω
=
Ω
Ω
=
Ω
2
2
1
1
)
2
/(
)
2
/(
p
P
p
P
, или
2
2
1
1
Ω
=
Ω
p
p
, т.е. равновесные цены оказываются
обратно пропорциональными суммарному предложению товаров. Далее находим
окончательное распределение:
у Первого –
1-го товара
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
/
)2
/
(
2/
)
2
/(
)
(
)
2
/(
p
p
c
c
p
c
p
c
p
p
Q
x
z
⋅
+
=
+
=
=
=
∗
∗
,
2-го товара
2/
/
)2
/
(
)
2
/(
)
(
)
2
/(
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
c
p
p
c
p
c
p
c
p
p
Q
x
z
+
⋅
=
+
=
=
=
∗
∗
;
у Второго все остальное, т.е.
1-го товара
)
/
)2
/
(
2/
(
1
2
2
1
1
1
1
p
p
c
c
z
⋅
+
−
Ω
=
−
Ω
,
2-го товара
)2
/
/
)2
/
((
2
2
1
1
2
2
2
c
p
p
c
z
+
⋅
−
Ω
=
−
Ω
.
Из общей теории следует, что окончательное распределение оптимально по
Парето, т.е. в рассматриваемом случае должно находиться на диагонали "ящика"–
1
2
1
2
/
/
Ω
Ω
=
z
z
.
Проверка подтверждает это.
Найти графически равновесное распределение несложно.

---

Page 13

13
Предложение 3. Если функции полезности участников вогнуты и диффе-
ренцируемы, то Z есть конечное распределение если и только если кривые безраз-
личия в точке Z имеют общую касательную, проходящую к тому же через началь-
ную точку С.
Из этого предложения также видно, что окончательное распределение оп-
тимально по Парето.
Задачи
1. Пусть функции полезности обоих участников есть
=
)
,
(
2
1
x
x
u
i
)
2,
min(
2
1
x
x
=
и начальное распределение есть точка С (рис. 2). Убедитесь, что
точки, оптимальные по Парето, для этого начального распределения составляют
параллелограмм EBDA, ядро конечных распределений пусто. Отметьте, что функ-
ции полезности не дифференцируемы и не строго вогнуты, так что условия тео-
ремы 3 из п. 2 лекции 5.1 не выполнены.
2. Пусть функция полезности первого участника есть
2
1
2
1
1
)
,
(
x
x
x
x
u
=
, а
второго –
}
2,
min{
)
,
(
2
1
2
1
2
x
x
x
x
u
=
и начальное распределение есть точка С (рис.
3). Убедитесь, что точки, оптимальные по Парето, для этого начального распреде-
ления составляют сектор АВК, ядро конечных распределений включает точку R,
касательная в которой к кривой безразличия первого участника проходит через
точку С. Отметьте, что функция полезности второго участника не дифференци-
руема и не строго вогнута, так что условия теоремы 3 из п. 2 лекции 5.1 не вы-
полнены.
3. Пусть функция полезности первого участника есть
2
1
2
1
1
3
)
,
(
x
x
x
x
u
+
=
, а
второго –
2
1
2
1
2
2
)
,
(
x
x
x
x
u
+
=
и начальное распределение есть точка С (рис. 4),
Убедитесь, что точки, оптимальные по Парето, для этого начального распределе-
C
B
D
A
E
C
R
A
K
B
A
B
C
B
Рисунок
Рисунок
Рисунок

---

Page 14

14
ния составляют ломаную линию ABR, ядро конечных распределений пусто. От-
метьте, что функции полезности не строго вогнуты, так что условия теоремы 3 из
п. 2 лекции 5.1 не выполнены.
4. Изобразите с помощью соответствующего ящика Эджворта пример
А. Cмита (см. начало п. 1),
6.3. К
ЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВАЖНЕЙШИХ РЫНКОВ
6.3.1 Рынок рабочей силы
В классической модели принимаются следующие аксиомы:
а) фирмы свободны при найме рабочей силы, т.е. могут свободно нанимать
и увольнять рабочих;
б) при прочих равных условиях предельный продукт труда снижается по
мере роста рабочей силы;
в) предложение рабочей силы возрастает с ростом реальной заработной
платы.
Модель вполне можно рассмотреть на примере какой-нибудь типичной
фирмы. Пусть
)
,(L
F
y
⋅
=
– ее производственная функция, L – величина потребляе-
мых фирмой трудовых ресурсов, т.е. рабочей силы. Предельный продукт труда
есть
L
F ∂
∂ /
.
Условие "б" есть общее требование к производственным функциям и из-
вестно как закон убывающей отдачи труда (см. п. 3 лекции 2.1). В дифференци-
альной форме это условие имеет вид
0
/
2
2
<
∂
∂
L
F
.
(1)
Из общей теории фирмы (см. п. 1 лекции 2.2) известно условие равновесия
для фирмы по трудовым ресурсам:
p
L
F
=
∂
∂
)
/
(ν
,
(2)
где ν – цена производимой продукции, р – ставка заработной платы.
Неформально условие (2) очень понятно: если при данной величине L имеет
место неравенство
p
L
F
>
∂
∂
)
/
(ν
, то выгодно нанять еще одного работника, так
как цена дополнительного продукта, произведенного им, больше его зарплаты;
если же верно противоположное неравенство, то надо сократить работника.
Напомним вывод условия (2). Прибыль фирмы есть
pL
L
F
L
W
−
⋅
=
⋅
)
,(
)
,(
ν
.
Для определения условия максимизации прибыли найдем частную производную
прибыли по труду и приравняем ее нулю – получим как раз условие (2). А усло-
вие (1) гарантирует именно максимальность прибыли при выполнении условия
(2).

---

Page 15

15
Найденная из (2) величина L есть спрос на рабочую силу со стороны произ-
водителей. Найдем производную L по заработной плате р, для чего продифферен-
цируем по р равенство (2):
ν/1
/
/
/)
/
(
2
2
=
∂
∂
×
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
p
L
L
F
p
L
F
. Поскольку
0
/
2
2
<
∂
∂
L
F
(см. условие (1)), то
0
/
<
∂
∂
p
L
, т.е. спрос на рабочую силу падает с
ростом заработной платы.
Отношение
ν/p
называется реальной заработной платой. Его экономиче-
ский смысл – сколько единиц производимого товара может купить рабочий на
свою
зарплату.
Продифференцировав
равенство
(2)
по
ν/p
:
1
))
/
(
/
(
)
/
(
2
2
=
∂
∂
⋅
∂
∂
ν
p
L
L
F
,видим, что
0
)
/
(
/
<
∂
∂
ν
p
L
, т.е. спрос на рабочую силу
падает с ростом реальной заработной платы. Суммарный спрос
D
L на рабочую си-
лу и занятость – это, в сущности одно и то же. Пусть L
S
обозначает суммарное
предложение рабочей силы. Примерные зависимости L
D
и L
S
от реальной заработ-
ной платы
ν/p
показаны на рис. 1. Равновесие на рынке труда характеризуется
равенством спроса
D
L и предложения L
S
. Пусть
∗
)
/
( ν
p
и
∗
L – соответственно ре-
альная заработная плата и суммарный спрос на рабочую силу, т.е. занятость при
равновесии.
Классическое объяснение устойчивости равновесного состояния таково.
При превышении реальной заработной платы равновесной, т.е. при
ν/p
> >
∗
)
/
( ν
p
, возникает избыточное предложение рабочей силы, что приводит к
уменьшению предпринимателями заработной платы р и тем самым и реальной за-
работной платы
∗
)
/
( ν
p
, т.е. происходит возврат к равновесию.
L
D
L
S
(p/ν)
*
(p/ν)
L

---

Page 16

16
Если бы оказалось
∗
∗
<
)
/
(
)
/
(
ν
ν
p
p
, то уменьшилось бы предложение рабо-
чей силы. Недостаток рабочей силы вынудил бы предпринимателей повысить за-
работную плату, а тем самым и реальную заработную плату
∗
)
/
( ν
p
, т.е. произо-
шел бы возврат к равновесию.
Из рис. 1 видно, что состояние равновесия единственно.
Замечание. Аксиома в) модели рынка рабочей силы требует пояснения. Да,
человек хочет получать за свой труд как можно большее вознаграждение. Но если
он безработный и не может найти работу, какую он хотел бы, или зарплату, какую
бы он хотел, то он вполне может согласиться работать за меньшую зарплату.
Безработица бывает нескольких видов. Фрикционная – это когда работник
оказывается "между работами". Одни добровольно меняют работу, другие ищут
новую работу из-за увольнения, третьи временно теряют сезонную работу (на-
пример, в строительстве с приближением зимы) и т.д.
Структурная безработица. С течением времени в экономике, обществе
происходят изменения. Часть профессий постепенно отмирает, и работникам этих
профессий надо их менять. Спрос на другие профессии увеличивается, и таких
работников требуется все больше. Если вся безработица сводится к сумме указан-
ных двух видов, то говорят о полной занятости.
Так вот. В рассматриваемой классической модели колебания спроса и пред-
ложения рабочей силы нарушают полную занятость лишь в кратковременном ас-
пекте – в период перехода к новому равновесию. Так сказать, массовой длитель-
ной безработицы в этой модели не бывает (см. начало замечания). Однако этому
положению классической модели упорно противоречил факт повторяющихся пе-
риодов длительной безработицы, особенно в годы "Великой депрессии" 1930-х гг.
Это очевидное несоответствие классической модели реальности и послужило од-
ним из истоков кейнсианства (см. п. 5).
6.3.2 Рынок денег
Согласно количественной теории денег спрос на них определяется форму-
лой
kPY
M =
,
(3)
где Y – национальный продукт (все готовые товары и услуги, произведен-
ные в экономической системе); Р – уровень цен (среднее взвешенное значение
цен готовых товаров и услуг, выраженное относительно базового показателя,
принятого за единицу); k – некоторая постоянная.
Существуют два варианта количественной теории денег. Один из них исхо-
дит из уравнения обмена Фишера MV= PY, где V– скорость обращения денег

---

Page 17

17
(сколько раз каждый рубль, доллар участвуют в расчетах в среднем за год), а М–
требуемое количество денег для обслуживания расчетов, т.е. спрос на деньги вы-
ражается формулой
V
PY
M
/
=
. Таким образом, константа k= 1/V.
Из этого уравнения следует, что при прочих равных условиях:
чем больше товаров и услуг, тем больше надо денег;
чем выше цены, тем больше надо денег;
чем быстрее обращаются деньги, тем их надо меньше.
Что касается предложения денег, то считается, что оно жестко регулируется
государством, которое определяет его, исходя часто из внеэкономических требо-
ваний. Обозначим его
S
M .
Равновесие на денежном рынке определяется равенством
S
D
M
M =
. Один
из постулатов классической денежной теории гласит, что денежный рынок всегда
находится в равновесии, что денег всегда ровно столько, сколько экономике надо.
Из этого вытекают, например, следующие выводы:
печатая деньги, правительство способствует повышению цен (ибо величины
Y и V гораздо более инерционны, чем цены);
принимая меры по убыстрению обращения денег, правительство способст-
вует снижению цен (через увеличение скорости оборота, что не дает уменьшиться
рентабельности).
Конечно, выше сформулированный постулат действует в определенных
пределах – денег (бумажек, монет) все же должно быть физически достаточно
много.
В другом варианте количественной теории денег, связанной с именем
А. Маршалла и кембриджской школой, вместо скорости обращения денег V
используется другое понятие – предпочтение ликвидности. В этом варианте кон-
станта k есть доля собственно денег как наиболее ликвидных финансовых акти-
вов, которые население предпочитает иметь (в роли других финансовых активов
выступают чеки, аккредитивы, вклады в банках и т.п.). Эта доля определяется
удобствами иметь именно деньги для расплаты за покупки, услуги и т.п. С другой
стороны, деньги не приносят дополнительного дохода, как другие финансовые
активы (акции, облигации, вклады в банках и т.п.).
Изменяя норму процента, правительство (центральный банк) может воздей-
ствовать на величину k – с увеличением нормы процента уменьшается k, и наобо-
рот.
6.3.3 Рынок товаров
Под товарами понимаются потребительские и инвестиционные товары. На

---

Page 18

18
первые предъявляют спрос в основном домашние хозяйства, а также многие фир-
мы. На вторые предъявляют спрос в основном фирмы, расширяющие производст-
во и услуги. Таким образом, суммарный спрос на товары есть сумма спроса на по-
требительские С и инвестиционные I товары.
В классической модели действует так называемый закон Сэя. Этот закон
воплощает исключительно простую идею о том, что сам процесс производства
товаров создает доход, в точности равный стоимости произведенных товаров. Ес-
ли кратко, то предложение создает спрос. Отсюда вытекает, что национальный
доход Y должен быть равен объему национальных расходов Е: Y = Е.
Но Е есть сумма расходов домашних хозяйств и фирм на потребление С и
расходов фирм в форме инвестиций I.
Национальный доход тоже подразделяется на потребление С и сбережение
S. Отсюда получаем условие равновесия на рынке товаров: I = S, т.е. спрос на ин-
вестиции должен обеспечиваться объемом сбережений.
Постулируется, что при прочих равных условиях спрос на потребительские
С и инвестиционные I товары зависит от нормы процента
)
(
),
(
r
I
r
C
r −
, а именно,
каждый спрос убывает с ростом r.
В самом деле, чем больше r , тем выгоднее сберегать, а не расходовать свой
доход на потребление. Верно и обратное: чем менее r , тем меньше смысла сбере-
гать и все большая часть дохода может быть направлена на потребление.
Аналогично обстоит дело и с инвестиционными товарами. Любой проект,
требующий инвестиций, оценивается по его приведенной стоимости – все буду-
щие расходы и доходы по нему дисконтируются к сегодняшнему моменту. Чем
больше r , тем меньше сегодня будет оценена будущая прибыль от проекта. Про-
ект, который считался выгодным, может не оказаться таковым при повышении
нормы процента и в итоге будет отвергнут инвестором, т.е. не куплен им как ин-
вестиционный товар.
С другой стороны, объем сбережений зависит от многих факторов и не
только от нормы процента, но и от уровня занятости.
Рынок обладает некоторой способностью к устойчивости своего состояния
равновесия. Например, при понижении нормы процента увеличивается потребле-
ние как обычных товаров, так и инвестиционных. Но это способствует большей
занятости и, значит, большему предложению товаров. Наоборот, при повышении
нормы процента потребление уменьшается, это влечет уменьшение занятости и в
конечном итоге к уменьшению предложения товаров.
Государство (в лице центрального банка) может регулировать норму про-
цента r и тем самым воздействовать на рынок товаров.

---

Page 19

19
6.3.4 Объединенная модель рынков
Суммируем описание всех трех рынков вместе.
Рынок рабочей силы. Спрос L
D
=L
D
)
/
( ν
p
, предложение
)
/
( ν
p
L
L
S
S
=
, рав-
новесие
∗
∗
∗
=
=
L
p
L
p
L
S
D
)
)
/
((
)
/
((
ν
ν
.
Рынок денег. Спрос
V
PY
M
D
/
=
, предложение
S
M = const, равновесие
S
D
M
M
V
PY
=
=
/
.
Рынок товаров. Спрос
)
(
),
(
r
I
I
r
C
C
=
=
, объем сбережений S = S(r, L), рав-
новесие I = S.
Каждый из рынков характеризуется своими кривыми спроса и предложения
и точками равновесия. Все три рынка связаны друг с другом. Стоит какому-то из
них выйти из равновесия, как это скажется на других. Например, пусть прави-
тельство напечатает больше денег. Денежный рынок очень быстро отреагирует на
это повышением цен, а на рынке товаров коммерческие банки повысят норму
процента, иначе денежный поток к ним уменьшится. На рынке рабочей силы че-
рез повысившиеся цены произойдет уменьшение реальной заработной платы, и
если предприниматели не примут мер к ее повышению, то уменьшится предложе-
ние рабочей силы. И т.д.
6.3.5 Кейнсианский взгляд на экономику
В п. 1 уже отмечалось несоответствие некоторых положений классической
модели рынка рабочей силы реальности. По классической модели не должно было
быть массовой длительной безработицы, а в реальности периоды такой безрабо-
тицы регулярно повторялись. Классическая теория считала, что рыночная система
автоматически возвращается к положению полной занятости, но реальность это
не подтверждала.
Особенно сильный удар по классической теории нанесла "Великая депрес-
сия" 1930-х гг. В 1936 г. известный английский экономист Джон Кейнс выдвинул
новое объяснение действия механизмов рыночной экономики. Он утверждал, что
рыночная система сама по себе не способна обеспечить полную занятость, что
полная занятость скорее случайна, чем закономерна, что государство должно про-
водить особую политику для достижения полной занятости.
Рынок товаров по Кейнсу выглядит иначе, чем в классической модели, – за-
кон Сэя у Кейнса перевернут и имеет вид спрос создает предложение. На рынке
рабочей силы у Кейнса полная занятость необязательна, и сама модель Кейнса
значительно сложнее классической (см. п. 1). Денежный рынок включает, кроме
денег, еще один финансовый актив – облигации.

---

Page 20

20
Идеи Кейнса появились очень вовремя. В короткий срок после выхода его
книги "Общая теория занятости, процента и денег" его идеи были приняты самы-
ми широкими кругами экономистов, более того, экономическая политика самых
развитых стран стала опираться на модели, созданные на основе его идей. В наши
дни Кейнс считается самым выдающимся экономистом XX в.
6 МОДЕЛИ РЫНКОВ................................................................................................................................................. 1
6.1. П
РОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ РЫНКОВ
............................................................................................................................ 1
6.1.1 Модель распределения................................................................................................................................ 1
6.1.2 Модель обмена, цены.................................................................................................................................. 2
6.1.3 Равновесие на рынке, теорема Дебре........................................................................................................ 3
6.1.4 Равновесие на рынке с производством ...................................................................................................... 7
6.2. Я
ЩИК
Э
ДЖВОРТА
................................................................................................................................................. 8
6.2.1 Описание ящика Эджворта....................................................................................................................... 8
6.2.2 Множество распределений, оптимальных по Парето........................................................................... 10
6.2.3 Равновесные распределения ..................................................................................................................... 11
6.3. К
ЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВАЖНЕЙШИХ РЫНКОВ
................................................................................................. 14
6.3.1 Рынок рабочей силы ................................................................................................................................. 14
6.3.2 Рынок денег .............................................................................................................................................. 16
6.3.3 Рынок товаров ......................................................................................................................................... 17
6.3.4 Объединенная модель рынков .................................................................................................................. 19
6.3.5 Кейнсианский взгляд на экономику .......................................................................................................... 19