Построение графика функции

Page 1

3 ПРОИЗВОДИТЕЛЬ И ЕГО ПОВЕДЕНИЕ
Будем считать, что поведение производителя полностью описывается сле-
дующей аксиомой.
Аксиома индивида-производителя. Каждый индивид-производитель при-
нимает решения о производстве, реализации продукции и т.п. исключительно ис-
ходя из максимизации получаемой прибыли.
Далее точно опишем, каким образом этот производитель что-то производит
из ресурсов, как возникает прибыль и т.д.
3.1. П
РОИЗВОДСТВЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
3.1.1 Производственные множества и их свойства
В теме 2 было смоделировано поведение индивидов-потребителей. Теперь
рассмотрим другого важнейшего участника экономических процессов – отдель-
ного производителя.
Третий важнейший участник реальной экономики – торговец – является
посредником между потребителем и производителем. Именно через него произ-
водитель реализует свою продукцию и получает с потребителя деньги. Удовле-
творительной математической формализации торговли, можно сказать, не суще-
ствует, и потому торговец у нас слит с производителем.
Из этого вытекает подчиненная роль производителя в системе потребление–
производство – он реализует свои цели только через потребителя и потому дол-
жен угадать, понять, что тот хочет, и удовлетворить его потребности. В этом
принципиальное отличие классической и неоклассической экономической теории
от марксизма, в котором производство играет самодовлеющую роль.
Напомним, что наша экономика работает в пространстве товаров
{
}
0
,
,
:)
,
,
(
1
1
≥
=
=
n
n
x
x
x
x
X
C
K
K
. Ранее рассматривалось пространство товаров,
состоящее из неотрицательных n-мерных векторов. Рассмотрим теперь вектор Т
размерности п, первые т компонентов которого неположительны:
0
,
,
1
≤
m
x
x K
а
последние
)
(
m
n −
компонентов неотрицательны
0
,
1
≥
+
n
m
x
x
K
. Вектор
)
,
,
(
1
m
x
x
X
K
=
назовем вектором затрат, а вектор
)
,
,
(
1
n
m
x
x
Y
K
+
=
– вектором
выпуска. Сам же вектор
)
,
( Y
X
T =
назовем вектором затрат-выпуска, или техно-
логией.
По своему смыслу технология
)
,
( Y
X
есть способ переработки ресурсов в
готовую продукцию; "смешав" ресурсы в количестве X получим продукцию в
размере Y. Каждый конкретный производитель характеризуется некоторым мно-

---

Page 2

жеством τ технологий, которое называется производственным множеством. Ти-
пичное производственное множество заштриховано на рис. 1. Данный производи-
тель затрачивает один товар для выпуска другого.
Производственное множество отражает широту возможностей производи-
теля: чем оно больше, тем шире эти возможности,
Считается, что производственное множество должно удовлетворять сле-
дующим условиям:
а) оно замкнуто – это означает, что если вектор Т затрат - выпуска сколь
угодно точно приближается векторами из τ то и Т принадлежит τ ;
б)
{ }
,0
=
Ω
∩
τ
где
{
}
0
: ≥
=
Ω
T
T
; это формальное условие понятно с содер-
жательной и экономической точек зрения: если бы в τ был вектор
0
,0 ≠
≥ T
T
, то
это означало бы, что что-то можно производить, ничего не затрачивая;
в)
{ }
0
)
(
=
−
∩ τ
τ
, т.е. если
,0
, ≠
∈ T
T τ
то
τ
∉
−T
– нельзя поменять местами
затраты и выпуск, т.е. производство – необратимый процесс;
г) множество выпукло; это предположение ведет, кроме всего прочего, к
уменьшению отдачи от перерабатываемых ресурсов с ростом объемов производ-
ства (к увеличению норм расхода затрат на готовую продукцию). Так, из рис. 1
ясно, что
x
y/
убывает при
∞
→
x
. В частности, предположение о выпуклости
ведет к уменьшению производительности труда с ростом объема производства.
Часто выпуклости просто бывает недостаточно и тогда требуют строгой выпукло-
сти производственного множества (или некоторой его части).
y
B
C
τ
Рисунок
x

---

Page 3

3.1.2 "Кривая" производственных возможностей и вмененные издержки
Рассматриваемое понятие производственного множества отличается высо-
кой степенью абстрактности и в силу чрезвычайной общности малопригодно для
экономической теории. Рассмотрим, например, рис.1.
Взгляните на точки В, С. Затраты по этим технологиям одинаковы, а выпуск
разный. Производитель, если он не лишен здравого смысла, никогда не выберет
технологию В, раз есть более лучшая технология С.
В данном рассматриваемом случае (см. рис. 1), найдем для каждого
0
≤
x
самую высокую точку
)
,
( y
x
в производственном множестве. Очевидно, при за-
тратах х технология
)
,
( y
х
самая лучшая. Никакая технология
y
b
c
b
x
<
)
,
(
не
должна выбираться производителем по очевидным причинам. Итак, в данном
случае (с двумя товарами) легко получили функцию
)
(x
f
y =
для
0
≤
x
; она назы-
вается производственной функцией. Точное определение производственной
функции таково:
τ
∈
↔
=
)
,
(
)
(
y
x
x
f
y
и если
τ
∈
)
,
( b
x
и
y
b ≥ , то
y
b = .
Из рис. 1 видно, что для всякого
0
≤
x
такая точка
)
(x
f
y =
единственна,
что, собственно, и позволяет говорить о производственной функции.
Но так просто обстоит дело, только если выпускается один товар.
В общем случае для вектора затрат Х обозначим множество
{
}
τ
∈
=
)
,
(: Y
X
Y
M
x
. Множество М
х
– это множество всех возможных выпусков
при затратах Х. В этом множестве рассмотрим "кривую" производственных воз-
можностей
X
X
M
Y
K
∈
= {
: если
X
M
Z ∈
и
Y
Z ≥ , то
}
Y
Z =
, т.е.
X
K – это множе-
ство лучших выпусков при данных затратах X, т.е. таких выпусков, лучше кото-
рых нет. Если выпускаются два товара, то это кривая, если же выпускаются более
двух товаров, то это поверхность, тело или множество еще большей размерности.
Итак, для любого вектора затрат Х все наилучшие выпуски лежат на кривой
(поверхности) производственных возможностей. Поэтому из экономических со-
ображений оттуда и должен производитель выбрать технологию.
Для случая выпуска двух товаров
2
1
, y
y
картина показана на рис. 2.
Если оперировать только натуральными показателями (тоннами, метрами и
т.д.), то для данного вектора затрат Х мы лишь должны выбрать вектор выпуска Y
а кривой производственных возможностей, но какой конкретно выпуск надо вы-
брать, решить еще нельзя.
Если само производственное множество
τ
выпукло, то и
X
M
выпукло для
любого вектора затрат X. Докажем это.
Пусть
X
M
Z
Y
∈
,
. Надо доказать, что
X
M
Z
Y
∈
−
+
)
1( α
α
для любого

---

Page 4

]1,
0[
∈
α
. Так как
τ
∈
)
,
(),
,
(
Z
X
Y
X
и τ выпукло, то
τ
α
α
α
∈
−
+
)
,
)(
1(
)
,
(
Z
X
Y
X
,
т.е.
,
)
1
((
)
,
(
X
Y
X
α
α
α
−
+
τ
α
α
α
∈
−
+
=
−
)
)
1(
,
(
)
)
1(
Z
Y
X
Z
.Следовательно,
X
M
Z
Y
∈
−
+
)
)
1(
(
α
α
.
В дальнейшем нам понадобится даже строгая выпуклость множества
X
M .
В случае выпуска двух товаров это означает, что касательная к кривой про-
изводственных возможностей
X
K имеет с этой кривой только одну общую точку.
Рассмотрим теперь вопрос о так называемых вмененных издержках, Пред-
положим, что выпуск фиксирован в точке
)
,
(
2
1
y
y
A
, см. рис. 2, Теперь возникла
необходимость увеличить выпуск 2-го товара на
2
y∆ , используя, конечно, преж-
ний набор ресурсов затрат. Сделать это можно, как видно из рис. 2, перенеся тех-
нологию в точку В, для чего с увеличением выпуска 2-го товара на
2
y∆ придется
уменьшить выпуск 1-го товара на
1
y∆ .
Вмененными издержками 1-го товара по отношению ко 2-му в точке А на-
зывается
|
/
|
lim
2
1
0
2
y
y ∆
∆
→
∆
– обозначение
)
(
1
2
A
δ
. Если кривая производственых
возможностей задана неявным уравнением
0
)
,
(
2
1
=
y
y
F
,
то
)
/
/()
/
(
)
(
1
2
1
2
y
F
y
F
A
∂
∂
∂
∂
=
δ
,
где частные производные взяты в точке А.
Если внимательно вглядеться в рассматриваемый рисунок, то можно обна-
ружить любопытную закономерность: при движении слева - вниз по кривой про-
Y
2
Y
1
Кривая произ-
водственных
возможностей
K
x
Δy
1
Δy
2
A
B
M
x
Рисунок

---

Page 5

изводственных возможностей вмененные издержки уменьшаются от очень боль-
ших величин до очень малых.
При некоторых естественных предположениях на строение производствен-
ного множества этот факт удается доказать строго математически.
3.1.3 Производственные функции и их свойства
Итак, только с помощью натуральных показателей определить для данных
затрат Х единственный выпуск Y удовлетворительно не удается: наш выбор су-
зился лишь до кривой производственных возможностей
X
K .
В силу этих причин разработана лишь теория производственных функций
производителей, выпуск которых можно охарактеризовать одной величиной – ли-
бо объемом выпуска, если выпускается один товар, либо суммарной стоимостью
всего выпуска.
Кратко повторим основное в этом важном случае.
Итак, пространство затрат m-мерно. Каждой точке пространства затрат
)
,...,
(
1
m
x
x
X =
соответствует единственный максимальный выпуск (см. рис. 1),
произведенный при использовании этих затрат. Эта связь и называется производ-
ственной функцией. Однако обычно производственную функцию понимают не
столь ограничительно и всякую функциональную связь между затратами и вы-
пуском считают производственной функцией. В дальнейшем будем считать, что
производственная функция имеет необходимые производные.
Предполагается, что производственная функция f удовлетворяет двум ак-
сиомам.
Первая из них утверждает, что существует подмножество пространства за-
трат, называемое экономической областью E, в которой увеличение любого вида
затрат не приводит к уменьшению выпуска. Таким образом, если
2
1
, X
X
–две точ-
ки этой области, то
2
1
X
X ≥
влечет
)
(
)
(
2
1
X
f
X
f
≥
.
В дифференциальной форме это выражается в том, что в этой области все
первые частные производные функции
f
неотрицательны:
0
/
≥
∂
∂
i
x
f
. Эти про-
изводные называются предельными продуктами, а вектор
)
/
,...,
/
(
/
1
m
i
x
f
x
f
x
f
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
– вектором предельных продуктов.
Вторая аксиома утверждает, что существует выпуклое подмножество S эко-
номической области, для которой подмножества
}
)
(
:
{
a
X
F
S
X
≥
∈
выпуклы для
всех
0
≥
a
. В этом подможестве S матрица Гессе, составленная из двух производ-
ных функции
f
, отрицательно определена, следовательно,
0
/
2
2
<
∂
∂
i
x
f
для лю-
бого
m
i
,...,
1
=
.

---

Page 6

Остановимся на экономическом содержании этих аксиом.
Первая аксиома утверждает, что производственная функция не какая-то со-
вершенно абстрактная функция, придуманная теоретиком-математиком. Она,
пусть и не на всей своей области определения, а только лишь на ее части, отража-
ет экономически важное, бесспорное и в то же время тривиальное утверждение; в
мало-мальски разумной экономике увеличение затрат не может привести к
уменьшению выпуска.
Из второй аксиомы поясним только экономический смысл требования, что-
бы производная
2
2
/
i
x
f ∂
∂
была меньше нуля для каждого вида затрат. Это свой-
ство называется в экономике законом убывающей отдачи или убывающей доход-
ности: по мере увеличения затрат, начиная с некоторого момента (при входе в об-
ласть S!), начинает уменьшаться предельный продукт. Классическим примером
этого закона является добавление все большего и большего количества труда в
производство зерна на фиксированном участке земли.
В дальнейшем подразумевается, что производственная функция рассматри-
вается на области S, в которой обе аксиомы справедливы.
Составить производственную функцию данного предприятия можно, даже
ничего не зная о предприятии. Надо только поставить у ворот предприятия Счет-
чик (человека или какое-то автоматическое устройство), который будет фиксиро-
вать X – ввозимые ресурсы и Y – количество продукции, которую предприятие
произвело. Если накопить достаточно много такой статистической информации,
учесть работу предприятия в различных режимах, то потом можно прогнозиро-
вать выпуск продукции, зная только объем ввезенных ресурсов, а это и есть зна-
ние производственной функции.
3.1.4 Производственная функция Кобба–Дугласа
В качестве примера рассмотрим одну из наиболее распространенных произ-
водственных функций – функцию Кобба – Дугласа:
β
α
L
AK
Y =
, где
0
,
,
>
β
α
A
–
константы,
1
<
+ β
α
; K – объем фондов либо в стоимостном выражении, либо в
натуральном количестве, скажем, число станков; L – объем трудовых ресурсов,
также либо в стоимостном выражении, либо в натуральном количестве – число
рабочих, число человеко-дней и т.п. и, наконец, Y – выпуск продукции в стоимо-
стном или натуральном выражении.
Проверим, выполняются ли основные требования к производственным
функциям:
положительность
предельных
продуктов
0
1
>
=
∂
∂
− β
α
α
L
K
A
K
Y
,

---

Page 7

0
1
>
=
∂
∂
−
β
α
β
L
K
A
L
Y
;
отрицательность вторых частных производных, т.е. убывание предельных
продуктов,
0
)1
(
2
2
2
<
−
=
∂
∂
−
β
α
α
α
L
K
A
K
Y
,
0
)1
(
2
2
2
<
−
=
∂
∂
−
β
α
β
β
L
K
A
L
Y
.
Перейдем к основным экономико-математическим характеристикам произ-
водственной функции Кобба–Дугласа.
Средняя производительность труда определяется как
L
Y
y =
– отношение
объема произведенного продукта к количеству затраченного труда; средняя фон-
доотдача
K
Y
k =
– это отношение объема произведенного продукта к величине
фондов.
Для
функции
Кобба–Дугласа
средняя
производительность
труда
1−
=
β
α
L
AK
y
и в силу условия
1
<
β
является убывающей функцией L, т.е. с уве-
личением затрат труда средняя производительность труда падает. Этот вывод до-
пускает естественное объяснение – поскольку величина второго фактора K оста-
ется неизменной, то, значит, вновь привлекаемая рабочая сила не обеспечивается
дополнительными средствами производства, что и приводит к снижению произ-
водительности труда (это справедливо и в самом общем случае – на уровне про-
изводственных множеств, см. п. 1).
Предельная производительность труда
1−
=
∂
∂
β
α
β
L
K
A
L
Y
, откуда видно,
что для функции Кобба – Дугласа предельная производительность труда пропор-
циональна средней производительности и меньше ее. Аналогично определяются
средняя и предельная фондоотдачи. Для них также справедливо указанное соот-
ношение – предельная фондоотдача пропорциональна средней фондотдаче и
меньше ее.
Важное значение имеет такая характеристика, как фондовооруженность
L
K
f =
, показывающая объем фондов, приходящийся на одного работника (на
одну единицу труда).
Найдем
теперь
эластичность
продукции
по
тру-
ду:
β
β
β
α
β
α
=
=
∂
∂
=
∂
∂
−
)
/(
)
(
)
(:
)
(
1
L
AK
L
L
K
A
Y
L
L
Y
L
Y
L
Y
.
Итак, ясен смысл параметра β – это эластичность продукции по труду.
Аналогичный смысл имеет параметр α – это эластичность продукции по фондам.
И еще одно замечание представляется интересным. Пусть
1
=
+ β
α
. Легко
проверить, что
L
L
Y
K
K
Y
Y
)
(
)
(
∂
∂
+
∂
∂
=
(подставляя уже вычисленные ранее
L
Y
K
Y
∂
∂
∂
∂
,
в эту формулу). Будем считать, что общество состоит только из
рабочих и предпринимателей. Тогда доход Y распадается на две части – доход ра-
бочих и доход предпринимателей. Поскольку при оптимальном размере фирмы

---

Page 8

величина
L
Y ∂
∂
– предельный продукт по труду – совпадает с заработной платой
(этот вывод будет подкреплен позднее, в лекции 2.2), то
L
L
Y
)
(
∂
∂
представляет
собой доход рабочих. Аналогично величина
)
(
K
Y ∂
∂
есть предельная фондоотда-
ча, экономический смысл которой есть норма прибыли, следовательно,
K
K
Y
)
(
∂
∂
представляет доход предпринимателей.
В заключение отметим, что функция Кобба – Дугласа – наиболее известная
среди всех производственных функций. Были попытки построения функции Коб-
ба – Дугласа для экономики всей страны (см. об этом в [1, с. 151]). На практике
при построении функции Кобба – Дугласа иногда отказываются от некоторых
требований (например, сумма
β
α +
может быть больше единицы и т.п.).
Задачи
1. Доказать, что если
1
=
+ β
α
, то функция Кобба – Дугласа
β
α
L
AK
L
K
F
=)
,
(
является однородной первой степени. Какой в этом экономиче-
ский смысл?
Решение. Сначала напомним, что функция
)
,
( y
x
f
называется однородной
первой степени, если
)
,
(
)
,
(
y
x
f
y
x
f
λ
λ
λ
=
. Для функции Кобба – Дугласа имеем
β
α
β
α
β
α
β
α
λ
λ
λ
λ
L
AK
L
K
A
L
K
A
=
=
+
)
(
)
(
. Экономический же смысл тот, что при
одновременном увеличении фондов и трудовых ресурсов в
λ
раз, выпуск тоже
возрастает в
λ
раз. Кроме того, в этом случае можно перейти к новым перемен-
ным:
)1,
/
(
/)
,
(
/
L
K
F
L
L
K
F
L
Y
y
=
=
=
и, обозначая функцию
)1,
/
(
L
K
F
через
)
(k
f
, получим
)
(k
f
y =
. Напомним, что
y
– производительность труда,
k
– фон-
довооруженность.
2. Найти для функции Кобба – Дугласа
)
,
( L
K
F
нормы и эластичности за-
мещения фондов трудовыми ресурсами и трудовых ресурсов фондами.
Решение. По определению,
)
/(
)
/
/()
/
(
L
K
K
F
L
F
M
K
L
α
β
=
∂
∂
∂
∂
=
,
)
/(
)
/
/()
/
(
K
L
L
F
K
F
M
L
K
β
α
=
∂
∂
∂
∂
=
,
α
β /
)
/
/(
=
=
L
K
M
E
K
L
K
L
,
β
α /
)
/
/(
=
=
K
L
M
E
L
K
L
K
.
3. Пусть цены ресурсов – фондов K и трудовых ресурсов L – есть
1
p и 2p ,
)
,
( L
K
F
Y =
– производственная функция. Рассмотрите две оптимизационные за-
дачи и дайте их экономическую интерпретацию
→
=
)
,
( L
F
Y
max
→
+ L
p
K
p
2
1
min
c
L
p
K
p
=
+
2
1
0
)
,
(
Y
L
K
F
=
Замечание. Если производственная функция есть функция Кобба – Дугласа,
то
оптимальным
оказывается
следующее
соотношение
факто-

---

Page 9

ров:
)
/(
)
(
/
1
2
p
p
L
K
β
α
=
.
4. Завод давал за месяц продукции на 10 млн руб. и основных фондов имел
на 10 млн руб. Экономисты подсчитали, что для увеличения выпуска на 1 млн
руб. надо приобрести оборудования на 3 млн руб. Нет ли здесь парадокса? Найди-
те производственную функцию Кобба – Дугласа, если численность рабочих 1000
человек (считайте, что ее
1
=
+ β
α
).
5. Рассмотрим один цикл работы предприятия с технологической матрицей
A. Следовательно, для производства X продукции надо AX ресурсов. Считаем,
что ресурсы и виды продукции различны. Пусть запасы ресурсов есть B.
Тогда производственное множество τ есть
}
B
AX
X
X
AX
≤
≥
−
,0
:)
,
{(
.
Множество всех возможных выпусков
B
M
есть.
}
:0
{
B
AX
X
≤
≥
В линейном
программировании это множество называется допустимым.
Известно, что это множество есть многогранное тело с конечным числом
граней в пространстве размерности числа видов продукции. Следовательно, кри-
вая производственных возможностей
B
K есть часть границы этого тела. На каж-
дой грани, входящей в
B
K , вмененные издержки одного ресурса по отношению к
другому постоянны.
Охарактеризуем выпуск X величиной
CX
где
C
– вектор цен, или удель-
ных прибылей на продукцию. Тогда задача линейного программирования
0
,
,
max
)
(
≥
≤
=
X
B
AX
CX
B
P
определяет производственную функцию. Много
информации об этой функции содержится в теории двойственности из линейного
программирования.
Рассмотрим случай двух переменных (рис. 3).
S
Q
R
O
x
1
x
2
Рисунок 3

---

Page 10

Пусть








=
2
5
5
2
A
,








=
21
21
B
. Тогда
B
M есть четырехугольник ORSQ . Кри-
вая производственных возможностей
B
K есть ломаная RSQ . На каждом отрезке
RS
QS,
вмененные издержки видов продукции по отношению к друг другу посто-
янны. Так,
5/
2
/
2
1
1
2
=
∆
∆
=
x
x
δ
на
RS
.
3.2. Т
ЕОРИЯ ФИРМЫ
3.2.1 Постановка задачи фирмы
В предыдущей лекции мы, анализируя, моделируя поведение производите-
ля, использовали только натуральные показатели и обошлись без цен, однако не
смогли окончательно решить задачу производителя, т.е. указать единственный
способ действий для него в сложившихся условиях.
Теперь введем в рассмотрение цены. Пусть P – вектор цен. Если
)
,
( Y
X
T =
– технология, т.е. вектор "затраты – выпуск", X – затраты, Y – выпуск, то ска-
лярное произведение
PY
PX
PT
+
=
есть прибыль от использования технологии
T
(не забудьте, что затраты – отрицательные количества). Теперь сформулируем
математическую формализацию аксиомы, описывающей поведение производите-
ля (см. п. 1 лекции 2.1).
Задача производителя: выбирает, ищет технологию из своего производст-
венного множества, стремясь максимизировать прибыль.
Итак, производитель решает следующую задачу:
max
→
PT
,
τ
∈
T
.
(1)
Эта аксиома резко упрощает ситуацию выбора. Так, если цены положитель-
ны, что естественно, то компонента "выпуск" решения этой задачи автоматически
будет лежать на кривой производственных возможностей.
Действительно, пусть
)
,
( Y
X
T =
– какое-нибудь решение задачи (1). Тогда
существует
Y
Z
K
Z
X
≥
∈
,
, следовательно,
)
,
(
)
,
(
Y
X
P
Z
X
P
≥
, значит, точка
)
,
( Z
X
также есть решение задачи производителя.
Для случая двух видов затрат задачу (1) можно решить графически (рис.1).
Для этого надо "двигать" прямую линию, перпендикулярную вектору Р, в направ-
лении, куда он показывает; тогда последняя точка. когда эта прямая линия еще

---

Page 11

пересекает производственное множество, и будет решением (на рис.1 это точка
Т).
Как легко видеть, строгая выпуклость нужной части производственного
множества во 2-м квадранте гарантирует единственность решения.
Примерно такие же рассуждения действуют и в общем случае, для больше-
го числа видов затрат и выпуска.
Однако мы не пойдем по этому пути, а используем аппарат теории произ-
водственных функций и производителя назовем фирмой.
Итак, выпуск фирмы можно охарактеризовать одной величиной – либо объ-
емом выпуска, если выпускается один товар, либо суммарной стоимостью всего
выпуска. Пространство затрат m-мерно, вектор затрат
)
,...,
(
1
m
x
x
X =
. Затраты
однозначно определяют выпуск Y, а эта связь и есть производственная функция
)
(X
f
Y =
.
В данной ситуации обозначим через Р вектор цен на товары – затраты и
пусть v – цена единицы выпускаемого товара. Следовательно, прибыль W, яв-
ляющаяся в итоге функцией Х (и цен, но они считаются постоянными), есть
PX
X
f
PX
Y
X
W
−
=
−
=
)
(
)
(
ν
ν
.
Приходим
к
задаче
фирмы:
0
max,
)
(
)
(
≥
→
−
=
X
PX
X
f
X
W
ν
.
Приравнивая частные производные функции W, получим:
j
j
p
x
f
=
∂
∂
)
/
(ν
для
m
j
,...,
1
=
или
P
X
f
=
∂
∂
)
/
(ν
.
Будем предполагать, что все затраты строго положительны (нулевые можно
просто исключить из рассмотрения). Тогда точка, даваемая соотношением (2),
оказывается внутренней, т.е. точкой экстремума. И поскольку еще предполагается
отрицательная определенность матрицы Гессе функции f (см. требования к про-
y
x
T
Рисунок
P

---

Page 12

изводственным функциям в п.3 лекции 2.1), то это точка максимума.
Итак, при естественных предположениях на Производственную функцию
(эти предположения выполняются для производителя со здравым смыслом и в ра-
зумной экономике) соотношение (2) дает решение задачи фирмы, т.е. определяет
объем
∗
X перерабатываемых ресурсов, в результате чего получается выпуск
)
(
∗
∗
=
X
f
Y
.Точку
∗
X , или
))
(
,
(
∗
∗
X
f
X
, назовем оптимальным решением фир-
мы. Остановимся на экономическом смысле соотношения (2).
Как говорилось в п.3 лекции 2.1,
)
/
,...,
/
(
/
1
m
x
f
x
f
X
f
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
называется
предельным вектором-продуктом, или вектором предельных продуктов, а
i
x
f ∂
∂ /
,
называется
i
-м предельным продуктом, или откликом выпуска на изменение i -го
товара затрат. Следовательно,
i
i
dx
x
f
)
/
(
∂
∂
ν
– это стоимость
i
-го предельного
продукта, дополнительно полученного из
i
dx единиц
i
-го ресурса. Однако стои-
мость
i
dx единиц i -го ресурса равна
i
i
dx
p
, т.е, получилось равновесие: можно
вовлечь в производство дополнительно
i
dx единиц i -го ресурса, потратив на его
закупку
i
i
dx
p
, но выигрыша не будет, так как получим после переработки про-
дукции ровно на такую же сумму, сколько затратили. Итак, оптимальная точка,
даваемая соотношением (2), является точкой равновесия  уже невозможно вы-
жать из товаров-ресурсов больше, чем затрачено на их покупку.
Очевидно, наращивание выпуска фирмы происходило постепенно: сначала
стоимость предельных продуктов была меньше покупной цены потребных для их
производства товаров-ресурсов. Наращивание объемов производства идет до тех
пор, пока не начнет выполняться соотношение (2): равенство стоимости предель-
ных продуктов и покупной цены потребных для их производства товаров-
ресурсов.
Пример 1. Объем добычи щебня Y (т/ч) зависит от количества вложенного
трудам (чел.
×
ч) так:
x
Y 6
=
. Цена щебня
40
=
ν
руб./т, зарплата работника р =
30 руб./ч. Кроме зарплаты, другие издержки не учитываются. Найти оптимальное
количество х вложенного труда-
Решение. Прибыль
x
x
px
Y
W
30
240
−
=
−
=ν
. Для максимизации прибыли
найдем ее производную и приравняем нулю. Получим
0
30
)
2
/(
240
'
=
−
=
x
W
,
откуда
16
=
∗
x
.
Для решения можно использовать и соотношение (2). В данном случае оно
таково:
30
)
2
/(
6
40
=
⋅
x
, что опять же дает
16
=
∗
x
.
Уместно также построить график (рис. 2). На графике производственной

---

Page 13

функции
x
Y 6
=
надо найти точку А, в которой касательная имеет угол наклона
с тангенсом
4/
3
40
/
30
/
=
=
ν
p
.
3.2.2 Функция спроса на ресурсы
При определенных условиях, наложенных на производственную функцию
(см. аксиомы 1, 2 в п.3 лекции 2.1), решение задачи фирмы, даваемое соотноше-
нием (2), единственно для всех
0
, >
P
ν
.
Итак, предполагаем, что в задаче фирмы
max
)
(
)
(
→
−
⋅
=
PX
X
f
X
W
ν
,
0
≥
X
решение
∗
X единственно для
0
>
ν
и
0
>
P
. Таким образом, получается
вектор-функция
)
,(P
X
X
ν
∗
∗
=
,или функции
)
,...,
,(
1
m
i
i
p
p
x
x
ν
∗
∗
=
для
m
i
,...,
1
=
.
Эти
m
функций называются функциями спроса на ресурсы при данных ценах на
продукцию и ресурсы. Что содержательно означают эти функции?
Если сложились цены Р на ресурсы и цена v на выпускаемый товар, то дан-
ный производитель (характеризующийся данной производственной функцией
f
)
определяет объем перерабатываемых ресурсов по функциям
)
,...,
,(
1
m
i
i
p
p
x
x
ν
∗
∗
=
и спрашивает эти объемы на рынке. А уже зная объемы перерабатываемых ресур-
сов и подставляя их в производственную функцию, получим выпуск как функцию
цен; обозначим эту функцию через
∗
∗
∗
=
=
Y
P
X
f
P
q
q
))
,(
(
)
,
(
:
*
ν
ν
. Эта функция
называется функцией предложения продукции.
Пример 2. Найдите функцию спроса на ресурс и функцию предложения
продукции для фирмы с производственной функцией
)1
ln( +
=
x
y
, где ν – цена
единицы продукции,
p
– цена единицы ресурса и
p
>
ν
.
Решение. Находим оптимальный размер фирмы, используя соотношение
Рис.2
Y
x
A
16

---

Page 14

(2):
1
/
)1
/(
/
−
=
→
=
+
→
=
∂
∂⋅
∗
p
x
p
x
p
x
y
ν
ν
ν
v – это функция спроса на ресурс.
Функция предложения продукции есть
)
/
ln(
)1
ln(
p
x
y
ν
=
+
=
∗
.
Найденная функция спроса полностью описывает поведение производителя.
Охарактеризовав его посредством производственной функции и подчинив его по-
ведение задаче максимизации прибыли (см. аксиому индивида-производителя в
начале темы 2), получили то, что хотели; производителя как живого человека нет,
есть робот, носящий производственную функцию и действующий в вопросах
производства в соответствии с функцией спроса на ресурсы.
3.2.3 Функция предложения продукции
Функция
∗
q
называется предложением выпуска продукции в зависимости
от цены ν на продукцию и цен Р на ресурсы.
Изучим эту функцию, посмотрев, например, как она откликается на измене-
ние цен ν и Р.
Путем довольно сложных математических рассуждении, используя свойст-
ва производственной функции, можно доказать, что
0
/
>
∂
∂
∗
ν
q
. Таким образом,
возрастание цены на продукцию всегда приводит к увеличению оптимального
уровня выпуска продукции. Компонента
ν∂
∂
∗
/
i
x
вектора
ν∂
∂
∗
/
X
показывает,
как изменяется спрос на i - й ресурс при изменении цены ν на продукцию. Мож-
но доказать, что некоторые компоненты вектора
ν∂
∂
∗
/
X
должны быть положи-
тельны; тем самым возрастание цены на продукцию приводит к повышению
спроса на отдельные ресурсы.
По определению, ресурс i -го вида называется малоценным, если и только
если
0
/
<
∂
∂
∗
ν
i
x
т.е. при повышении цены на продукцию спрос на малоценный
ресурс уменьшается. В предыдущем абзаце было указано, что все ресурсы не мо-
гут быть малоценными.
Удается
доказать
важное
соотношение:
ν∂
−∂
=
∂
∂
∗
∗
/
/
X
P
q
или
ν∂
−∂
=
∂
∂
∗
∗
/
/
i
i
x
p
q
для
m
i
,...,
1
=
. Следовательно, возрастание цены продукции
приводит к повышению (понижению) спроса на определенный вид ресурсов, если
и только если увеличение платы за этот ресурс приводит к сокращению (возрас-
танию) оптимального выпуска.
Отсюда видно основное свойство малоценных ресурсов: увеличение платы
за них ведет к увеличению выпуска продукции! Однако можно строго доказать
наличие таких ресурсов, возрастание платы за которые приводит к уменьшению
выпуска продукции (т.е. все ресурсы не могут быть малоценными – впрочем, это

---

Page 15

уже отмечалось выше).
Удается доказать также, что
0
/
<
∂
∂
∗
ν
i
x
для
m
i
,...,
1
=
, т.е. повышение пла-
ты за ресурс, всегда приводит к сокращению спроса на этот ресурс. Напомним,
что для потребителя могут существовать товары Гиффина, повышение цены на
которые приводит к увеличению спроса. В отличие от этого для фирмы не могут
существовать "ресурсы Гиффина", потому что фирма, в отличие от потребителя,
не должна удовлетворять ограничению типа бюджетного. Поэтому кривые спроса
на ресурсы-затраты всегда убывающие.
Доказывается также, что
i
j
j
i
p
x
p
x
∂
∂
=
∂
∂
∗
∗
/
/
, для любых
m
j
i
,...,
1
, =
, так
что влияние изменения платы за
j
-й ресурс на спрос на
i
-й ресурс точно такое,
как и влияние изменения платы за
i
-й ресурс на спрос на
j
-й ресурс. По опреде-
лению, i -й и j -й ресурсы называются взаимодополняемыми, если
0
/
<
∂
∂
∗
j
i
p
x
, и
взаимозаменяемыми, если
0
/
>
∂
∂
∗
j
i
p
x
.
Итак, для взаимодополняемых ресурсов повышение цены на один из них
приводит к падению спроса на другой, а для взаимозаменяемых ресурсов повы-
шение цены на один из них приводит к увеличению спроса на другой. Примеры
взаимодополняемых ресурсов: компьютеры и принтеры к ним, шифер и шифер-
ные гвозди. Примеры взаимозаменяемых ресурсов: шифер и рубероид, арбузы и
дыни.
Напомним, что в теории потребления при изучении спроса установлено, что
для любого товара существует хотя бы один заменяющий его (при компенсации
дохода).
Пример 3. Пусть производственная функция фирмы есть функция Кобба–
Дугласа
β
α
L
AK
L
K
F
Y
=
=
)
,
(
. Докажем, что в оптимальном размере фирмы объе-
мы фондов и трудовых ресурсов связаны соотношением
)
/(
)
(
/
1
2
p
p
L
K
β
α
=
, где
2
1
, p
p
– цены ресурсов К и L.
Решение. Имеем систему двух уравнений.



=
∂
∂⋅
=
∂
∂⋅
2
1
/
/
p
L
F
p
K
F
ν
ν





=
=
−
−
ν
β
ν
α
β
α
β
α
/
/
2
1
1
1
p
L
K
A
p
L
K
A
Поделив
второе
на
первое, получим
требуемое
соотношение
1
2
/
)
/
)(
/
(
p
p
L
K
=
α
β
,
)
/(
)
(
/
1
2
p
p
L
K
β
α
=
.
Задачи
1. В небольшой теплице ежедневно снимаемый урожай огурцов y зависит
от числа работников x :
x
x
y
ln
4
4
+
=
. Найдите оптимальное число работников,

---

Page 16

если дневная зарплата работника равна доходу от продажи 2 кг огурцов.
2. Группа "челноков" в количестве Е решила объединиться с N продавцами.
Прибыль от дня работы (выручка минус расходы, но не зарплата) выражается
формулой
3
1
)
(
600 EN
Y =
. Зарплата "челнока" 120 руб. в день, продавца 80 руб. в
день. Найдите оптимальный состав группы из "челноков" и продавцов, т.е. сколь-
ко должно быть "челноков" и сколько продавцов.
3. Бизнесмен решил основать небольшое автотранспортное предприятие по
оказанию услуг населению. Ознакомившись со статистикой, он увидел, что при-
мерная зависимость ежедневной выручки от числа автомашин А и числа рабочих
N выражается формулой
4
1
2
1
900
N
A
Y =
. Амортизационные и другие ежедневные
расходы на одну машину равны 400 руб., ежедневная зарплата рабочего, слесаря и
т.п. 100 руб. Найдите оптимальную численность рабочих и автомашин.
4. Бизнесмен задумался об открытии пивного бара. Предположим, что зави-
симость выручки Y (за вычетом стоимости пива и закусок) от числа столиков М и
числа официантов F выражается формулой
4
1
3
2
200
F
M
Y =
. Расходы на один
столик составляют 50 руб., зарплата официанта 100 руб. (все в расчете на одну
смену). Найдите оптимальный размер бара, т.е. число официантов и число столи-
ков.
5. Дайте геометрическую трактовку соотношения (2).
Ответ. Оптимальный размер фирмы достигается в точке пространства ре-
сурсов-затрат, в которой градиент производственной функции равен вектору цен
на ресурсы, деленному на цену продукции.
6. Хотя нами принята аксиома производителя, она не является такой бес-
спорной, как аксиома потребителя. Рассмотрим, например, для производителя с
производственной функцией
)
(X
f
Y =
задачу определения минимальных затрат,
обеспечивающих выпуск не менее заданного:
min
→
PX
,
0
,
)
(
0
≥
≥
X
Y
X
f
.
При определенных предположениях на производственную функцию, при
любых
0
0
>
Y
и
0
>
P
, решение этой задачи единственно. Обозначим его через
∗
= PX
Y
X
c
)
,
(
0
. Полученная функция называется функцией (минимальных) из-
держек на обеспечение выпуска не менее
0
Y при ценах на ресурсы Р.
Поведение производителя вполне можно было задать аксиомой минимиза-
ции издержек. Такого производителя можно было бы назвать социалистическим,
а того, который максимизирует прибыль, – капиталистическим. Найдите функцию
минимальных издержек для производственной функции Кобба–Дугласа.

---

Page 17

3.3. Ф
ИРМА И ЕЕ ДЕЙСТВИЯ НА КОНКУРЕНТНОМ РЫНКЕ
В УСЛОВИЯХ МОНОПОЛИИ И ПРИ НАЛОГАХ
;
ДЕЙСТВИЯ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ ПРИ ВЗИМАНИИ НАЛОГОВ
3.3.1 Фирма на конкурентном рынке
На таком рынке фирма не может продавать свою продукцию по цене, от-
личной от рыночной, и не может покупать ресурсы, необходимые для производ-
ства, также по ценам, отличным от рыночных. Итак, цены неуправляемы. Опти-
мальный размер выпуска, объема производства находится из следующего прави-
ла; максимальная прибыль достигается, когда предельные доходы равны пре-
дельным издержкам.
Поясним, как выводится это соотношение. Напомним, что деятельность
фирмы описывается производственной функцией
)
(X
f
Y =
, где X – ресурсы, Y–
выпуск продукции. Если цены ресурсов Р, а цена единицы продукции
ν
, то опти-
мальный размер фирмы дается соотношением:
j
j
p
x
f
=
∂
∂
)
/
(ν
для
m
j
,...,
1
=
или
P
X
f
=
∂
∂
)
/
(ν
.
(1)
Величина
)
/
(
j
x
f ∂
∂
ν
называется
j
-м предельным доходом, так что соотно-
шение (1) говорит о равенстве предельных доходов и цен соответствующих ре-
сурсов. Величина же
ν/
j
p
называется приведенной ценой j -го ресурса, так что
соотношение (1) говорит также о равенстве предельных продуктов и приведенных
цен соответствующих ресурсов.
3.3.2 Фирма-монополист
В этом случае фирма может сама установить цену на продукцию, однако
сформулированное выше правило (см. 1-й абзац) нахождения оптимального раз-
мера фирмы – выпуска продукции остается без изменения-
Действительно, прибыль
)
(
)
(
)
(
Y
I
Y
R
Y
P
−
=
, где
)
(Y
R
– доход от реализа-
ции Y единиц продукции, a
)
(Y
I
– издержки при выпуске такого количества про-
дукции, Для объема продукции, максимизирующего прибыль, имеем
0
)
(' =
Y
P
,
т.е.
)
('
)
('
Y
I
Y
R
=
, но это и означает равенство предельного дохода
)
('Y
R
PR =
и
предельных издержек
)
('Y
I
PI =
.
Однако, если на конкурентном рынке предельный доход определялся через
цену продукции и объем производства, а предельные издержки – через цены и
объем закупаемых ресурсов, но цены не зависели от фирмы, то при монопольном
положении фирмы на рынке цену может назначать фирма, а затем определяется
объем производства, максимизирующий прибыль. Рассмотрим следующий кон-

---

Page 18

кретный пример.
Пример 1. Пусть функция издержек
2
50
)
(
y
y
I
+
=
, а цена проекции
y
y
−
= 40
)
(ν
, т.е. цена линейно уменьшается с ростом объема продукции, хотя
можно сказать и по-другому:
ν
ν
−
= 40
)
(y
, т.е. объем реализации зависит от на-
значаемой цены.
Итак, доход
2
40
)
40
(
)
(
)
(
y
y
y
y
y
y
y
R
−
=
⋅
−
=
⋅
=ν
и равенство предельного
дохода
y
y
R
2
40
)
('
−
=
и предельных издержек
y
y
I
2
)
(' =
достигаются при объе-
ме 10.
Для фирмы, действующей частично в условиях конкурентного, частично в
условиях монопольного рынка, можно вывести несложное правило установления
цены, максимизирующей прибыль. Это правило называется правилом "большого
пальца".
Предельный доход:
=
=
+
=
+
=
=
=
)
/
/)
/
(
)
/
)(
/
(
)
/
(
/)
(
)
('
Y
dY
d
dY
d
Y
dY
d
Y
dY
Y
d
Y
R
PR
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
))
/
/(
)
/
/((
ν
ν
ν
ν
d
Y
dY
+
=
.
Введем в рассмотрение эластичность сбыта или спроса по цене. Это не что
иное, как
)
/
/()
/
(
ν
ν
ν
d
Y
dY
E
Y
=
. С учетом этого понятия имеем
)
/1
1(
Y
E
PR
ν
ν +
=
.
Учитывая, что предельный доход PR должен быть равен предельным из-
держкам
PI
, получаем
PI
E
Y
=
+
)
/1
1(
ν
ν
, откуда
)
/1
1/(
Y
E
PI
ν
ν
+
=
.
Пример 2. Пусть предельные издержки равняются
9
, а
4−
=
Y
E
ν
(т.е. при
увеличении цены на
%
1
сбыт, продажа продукции уменьшится на
%
4
), тогда
12
)4
/1
1/(
9
=
−
=
ν
, т.е. цена должна быть 12.
Данное правило ценообразования
)
/1
1/(
Y
E
PI
ν
ν
+
=
представляет собой
универсальное правило ценообразования для любой фирмы, в том числе и с мо-
нопольной властью, если учитывать, что
Y
E
ν
есть эластичность спроса по цене
для продукции фирмы, а не всего рынка.
Отметим, что на конкурентном рынке
−∞
=
Y
E
ν
и
PI
=
ν
.
3.3.3 Налоги и действия потребителей при взимании налогов
Налог – это выплата членом общества, гражданином части своего дохода
государству (правительству). Какой должна быть величина налога и от чего дол-
жен зависеть налог?
Есть два полярных взгляда на принципы налогообложения.
1) Принцип полученных благ. Этот принцип утверждает, что домохозяйст-
ва (потребители) и предприниматели (производители) должны приобретать това-

---

Page 19

ры и услуги, предоставляемые государством, таким же образом, как и другие
(обычные) товары. Таким образом, те, кто получает большую выгоду от этих то-
варов, и должны платить налоги, идущие на финансирование производства этих
товаров и услуг. Реальное налогообложение частично учитывает этот принцип.
Например, в России есть транспортный налог, который взимается только с вла-
дельцев автомобилей. Этот налог идет на поддержание дорожной инфраструкту-
ры. Однако этот принцип очень трудно применять на практике, и если его приме-
нять последовательно, то придем к абсурдным ситуациям [15, с.124–127]. Главная
трудность в том, что надо знать весьма точно структуру потребления, расходов
членов общества.
2) Принцип, основанный на концепции платежеспособности. Гражданин
отчисляет государству часть своего дохода, обычно месячного или годового. Не-
которым теоретическим основанием для этого служит принцип "равенства
жертв". Для выяснения этого принципа рассмотрим потребителей с примерно
одинаковой функцией полезности
)
(X
u
. Пусть цены Р фиксированы, а доход Q у
индивидов данной группы может быть различным. Напомним, что при естествен-
ных предположениях на функций u (см. п.З лекции 1.3), которые считаем выпол-
ненными, возникает функция спроса
( )
Q
P
X ,
. При фиксированных ценах функ-
ция спроса есть функция только Q и в итоге максимальное значение полезности
( )
( )
Q
u
X
u
u
*
*
*
=
=
тоже есть функция Q. Таким образом, принцип "равенства
жертв" требует, чтобы налог
( )
Q
T
, уплачиваемый с дохода Q, удовлетворял урав-
нению
( )
( )
(
)
const
Q
T
Q
u
Q
u
=
−
−
*
*
, где const — некоторая постоянная величина,
не зависящая от Q и характерная для данной социальной группы (каждый член
этой социальной группы должен "жертвовать" государству одно и то же относи-
тельно функции полезности, присущей данной социальной группе). Покажем, что
( )
Q
T
возрастает с увеличением Q, что представляется весьма естественным.
Продифференцируем
приведенное
выше
равенство
по
Q:
(
) (
)
( )
( )
[
]
0
1
/
/
'
*
*
=
−
⋅
−
−
Q
T
dQ
du
dQ
du
Q
T
Q
Q
(первая производная взята в точке Q, а
вторая — в точке
( )
(
)
Q
T
Q −
. Но производная
dQ
du /
*
в точке Q равна множите-
лю Лагранжа
*
λ в этой точке (см. конец п.3 лекции 1-3). Однако известно, что с
ростом
*
λ
Q
убывает (как и всякая предельная полезность, а ведь это предельная
полезность денег, см, там же). Следовательно,
(
) (
)
( )
Q
T
Q
Q
dQ
du
dQ
du
−
<
/
/
*
*
и
( )
[
]
1
1
'
<
−
Q
T
, т.е.
( )
0
'
<
Q
T
.

---

Page 20

Итак, доказано, что принцип "равенства жертв" влечет увеличение налога
при увеличении дохода.
Для иллюстрации рассмотрим конкретный пример.
Пример 3. Пусть
(
)
2
1
2
1
ln
ln
,
x
x
x
x
u
+
=
. Найдем функцию спроса
( )
( )



=
∂
∂
=
∂
∂
2
2
1
1
2
/1
/
2
/1
/
x
x
u
x
x
u
( )
[
]
( )
[
]



=
+
=
Q
x
p
x
p
p
p
x
x
2
2
1
1
2
1
2
1
/
2
/1
/
2
/1
т.е.



=
+
=
Q
x
p
x
p
x
p
x
p
2
2
1
1
2
2
1
1
( )
( )



=
=
2
*
2
1
*
1
2
/
2
/
p
Q
x
p
Q
x
( )
2
1
*
2
ln
ln
,
p
p
Q
Q
P
u
−
=
Итак,
( )
(
)
(
)
,0
2
ln
ln
2
ln
ln
2
1
2
1
>
=
−
−
−
−
const
p
p
Q
T
Q
p
p
Q
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
µ
µ
−
=
−
>
=
=
−
Q
Q
T
Q
const
Q
T
Q
Q
/
ln
,0
/
ln
,
( )
( )
(
)
µ
µ
−
−
−
=
=
−
e
Q
Q
T
e
Q
Q
T
1
,
/
1
.
Таким образом, для данного слоя общества налог составляет
(
)
µ
−
−e
1
-ю
часть дохода.
В какой-то мере данный принцип налогообложения реализуется путем взи-
мания подоходного налога. Величина такого налога за год рассчитывается с по-
мощью налоговой ставки
N
от годового дохода Q
*
. В 1997 г. налоговая ставка
была такой:
* Для некоторых категорий граждан действует несколько другая схема на-
числения подоходного налога.
если
12
≤
Q
млн, то N = 0,12, т.е. взимается 12%;
если
24
≤
Q
млн, то с разности Q – 12 млн взимается дополнительно 20%;
далее с разности Q-24 млн взимается уже 25% и т.д,
Пример 4. Найти величину подоходного налога с годового дохода 30 млн.
Решение.
5,
1
4,
2
44
,1
6
25
,0
12
2,
0
12
12
,0
+
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
млн = 5,34 млн.
3.3.4 Налоги и действия производителей при взимании налогов
Напомним основные соглашения для данного случая. Производитель харак-
теризуется производственной функцией
( )
X
f
Y =
, отражающей связь "затраты
X —выпуск Y " и удовлетворяющей сформулированным ранее предположениям о
производственных функциях.
Налоги могут быть разными. Рассмотрим два их вида.
При налоге с прибыли при ставке t производитель отчисляет государству t -
ю часть прибыли. Получаем задачу:
( )
[
]
( )
0
max,
1
≥
→
−
−
⋅
X
t
PX
X
f
ν
. По край-

---

Page 21

ней мере в теоретическом плане этот налог не влияет на положение точки макси-
мума и тем самым на оптимальный размер производства.
Акцизный налог – налог с продаж – характеризуется ставкой t – суммой,
которую правительство (государство) получает за каждую проданную единицу
продукции. Поэтому, желая максимизировать прибыль, производитель решает за-
дачу
(
) ( )
[
]
0
max,
≥
→
−
−
X
PX
X
f
t
ν
. Для упрощения никаких других ограниче-
ний нет. Но тогда точка максимума характеризуется соотношением
(
)
i
i
p
x
f
t
=
∂
∂⋅
−
/
ν
. Так как предполагается, что
i
x
f ∂
∂⋅ /
ν
, вначале больше
i
p , то
в рассматриваемом случае точка максимума будет при меньших значениях Х и
при меньшем объеме производства.
Рассмотрим конкретный пример, связанный с акцизным налогом.
Пример 5. Пусть цена на продукцию
( )
by
a
y
u
−
=
, т.е. линейно падает с
увеличением объема предъявления готовой продукции на рынке. Пусть также за-
траты I зависят от объема продукции у следующим образом:
( )
e
dy
cy
y
I
+
+
=
2
,
где
e
d
c
b
a
,
,
,
,
– положительные константы. Пусть налог является акцизным со
ставкой t , т.е. налог есть
ty
G = .
Итак, предприниматель получает прибыль
( ) (
)
ty
e
dy
cy
y
by
a
y
P
−
−
−
−
−
=
2
,
откуда
( )
0
2
2
'
=
−
−
−
−
=
t
d
cy
by
a
y
P
, значит,
(
) (
)
[
]
c
b
t
d
a
y
+
−
−
=
2/
*
;при этом
( )
0
2
2
"
<
−
−
=
c
b
y
P
т.е.
*
y
действительно точка максимума. Поскольку
0
>
t
, то
видно, что такая налоговая система приводит к снижению оптимального выпуска
продукции.
Для прогнозирования действий правительства по установлению налоговой
ставки
(вычислим
налоговый
доход
правительства
(государства):
)]
(2
/[
)
(
c
b
t
d
a
t
G
+
−
−
=
, т.е. в рассматриваемом случае кривая доходов прави-
тельства представляет собой параболу (рис. 3), ветви которой направлены вниз.
Максимум достигается при
2/
)
(
d
a
t
−
=
∗
и равен
)]
(8
/[
)
(
2
c
b
d
a
G
+
−
=
, опти-
мальный выпуск продукции при этом значении
t
равен
)]
(4
/[
)
(
2
c
b
d
a
y
+
−
=
∗
, а
прибыль предпринимателя
e
c
b
d
a
y
P
−
+
−
=
∗
)]
(
16
/[
)
(
)
(
2
.
Вообще же при налоговой ставке
t
прибыль предпринимателя
e
c
b
t
d
a
t
y
P
−
+
−
−
=
∗
)]
(4
/[
)
(
))
(
(
2
, откуда следует, что с ростом
t
прибыль
уменьшается (если
d
a
t
−
≤
≤
0
), и видно, что существует область значений нало-
говой ставки, а именно при
)
(
4
c
b
e
d
a
t
t
+
−
−
=
>
, при которой прибыль фир-
мы отрицательна, хотя доходы правительства положительны.

---

Page 22

Это случилось потому, что в качестве критерия выбора объема выпуска был
принят максимум прибыли, но не было оговорено, что этот максимум положите-
лен. Если принять, что при
t
t
> выпуск продукции на самом деле станет равным
нулю, то доход правительства при
t
t
> также станет равным нулю. Понятно по-
этому, что уже вблизи t происходит резкое сокращение деловой активности.
3адачи
1. Цена
ν
на продукцию фирмы связана с объемом y продаж зависимостью
y
y
−
= 28
)
(ν
, а издержки
15
37
6
)3
/1(
)
(
2
3
+
+
−
=
y
y
y
y
I
. Найдите объем продаж,
цену, доход, издержки при максимальной прибыли.
2. Уличный продавец газет берет их в издательстве по 0,5 руб. за экземпляр.
Объем продажи
y
связан с назначаемой им ценой
ν
формулой
ν
1000
1000 −
=
y
,
издержки по продаже равны
y1,
0
. Какое оптимальное количество газет должен
брать продавец в издательстве и какова оптимальная цена продажи газеты?
3. Предположим, что налоговая ставка





>
≤
<
≤
=
.
150
%,
35
.
150
60
%,
20
.
60
%,
12
тыс
Q
если
тыс
Q
если
тыс
Q
если
N
Найдите величину подоходного налога при годовом доходе 50, 80, 120, 200
тыс.
4. Цена ν на продукцию фирмы связана с ее объемом
y
зависимостью
y3
40 −
=
ν
, издержки по производству продукции
2
2
)
(
2
+
+
=
y
y
y
I
. С каждой
единицы реализованной продукции берется акциз размером t . Найдите зависи-
Рисунок. 3
t
G
t
a-d
(a-d)/2

---

Page 23

мость оптимального объема у и максимальной прибыли от акциза t . Как изменя-
ются объем сбыта у и прибыль с ростом t . Найдите точку замирания t деловой
активности. При каком акцизе налоговый доход государства будет максималь-
ным, каков при этом акцизе размер дохода, оптимальные объем продаж и при-
быль фирмы?
5. Акцизный налог на водку от магазинной цены, не включающей в себя
торговую надбавку, составляет 80%, себестоимость пол-литровой бутылки водки
0,5 грн. Эластичность сбыта водки по цене примерно −2, Какова цена бутылки
водки, если торговая надбавка составляет 10%. Как в процентном отношении из-
менится цена водки, если акциз снизить до 70%.
Решение. По правилу "большого пальца" заводская цена равна
0,5/(1+1/(-2))=1,0. Магазинную цену S, не включающую в себя торговую
надбавку, найдем из уравнения (1-0,8)S=1,0. Получим S=5 грн. С учетом торговой
надбавки цена водки равна 5,5 грн. При акцизе 70% цена составляет 3,63 руб.
(уменьшение 34%).
Отметим, что реально цена на водку в России определяется не совсем так,
как описано, ибо водка в России – товар политический.
4 МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
НА ПРОСТЕЙШИХ РЫНКАХ
Введение. Потребители, желающие купить товары или услуги, и продавцы
(поставщики) этих товаров и услуг встречаются на рынке. Рынок – это механизм,
сводящий их вместе. Здесь, на рынке, покупатели ищут необходимый им товар и
желают купить его подешевле, нужного качества и т.д.; они реализуют свою
функцию спроса. Продавцы же озабочены сбытом своей продукции и получением
прибыли. В части I потребители и производители рассматривались отдельно друг
от друга. В части П внимание будет уделено преимущественно их взаимодейст-
вию, сотрудничеству и конкуренции. В процессе этого взаимодействия потреби-
тели и продавцы-производители реализуют свои цели. Важно подчеркнуть, что
они не могут достичь своих целей другим образом.
4.1. С
ПРОС И ПРЕДЛОЖЕНИЕ НА РЫНКЕ ОДНОГО ТОВАРА
4.1.1 Спрос
Экономистами спрос изображается в виде графика, показывающего количе-
ство продукта, которое потребители готовы и в состоянии купить по некоторой
цене из возможных в течение определенного периода времени цен.

---

Page 24

Речь, таким образом, идет о функции, зависимости количества покупаемого
товара от цены. Важно отметить, что речь идет не о какой-то одноразовой покуп-
ке, а о потоке товара, уносимого с рынка покупателями. Допустим, на этой неделе
цена товара
p
и ежедневно покупатели покупают D единиц товара, на следую-
щей неделе цена станет 'p и ежедневно покупатели будут уносить с рынка
'D
единиц товара.
Обозначим
)
(p
D
количество товара, покупаемого на данном рынке за еди-
ницу времени при цене
p
за единицу товара (по английски "demand" – спрос).
Функция
)
(p
D
называется функцией спроса или просто спросом. Согласно этой
функции, величина спроса разная при разных ценах. Цены товаров всегда считаем
положительными. Фундаментальное свойство функции спроса выражает следую-
щая аксиома.
Аксиома спроса. Функция спроса является убывающей: при увеличении
цены величина спроса на товар уменьшается к нулю, при уменьшении цены вели-
чина спроса увеличивается.
Экономисты предлагают разные объяснения этой аксиоме, для нас же дос-
таточно ее самой.
В дальнейшем будем использовать в качестве примеров для иллюстраций
следующие
функции
спроса:
а)
линейно
убывающая
0
,
,
/
0,
)
(
>
<
<
−
=
b
a
b
a
p
bp
a
p
D
; б) обратная
p
p
p
D
<
=
0,
/1
)
(
; в) логарифмиче-
ская
p
p
p
p
D
<
+
=
0
),
/)
1
ln((
)
(
. Их графики приведены на рис. 1.
При изменении условий на рынке или вне его функция спроса может изме-
ниться, тогда говорят об изменении спроса. Изменение спроса надо отличать от
изменения величины спроса при передвижении по графику данной функции спро-
са. Например, при повышении цен на бензин вполне может повыситься спрос на
велосипеды. Это означает, что вся кривая спроса (ее график) передвинется впра-
во.
Рассмотрим математические характеристики кривой спроса и их экономи-
P
P
P
D
D
D
Рисунок
а
б
в

---

Page 25

ческие иллюстрации.
Производная функции спроса по цене
dp
dD
p
D
/
)
(' =
показывает (прибли-
зительно), на сколько изменится величина спроса при изменении цены товара р на
1 единицу. Так как функция спроса предполагается убывающей, то
0
)
(' <
p
D
.
Эластичность спроса по цене показывает, на сколько процентов изменится
величина спроса при изменении цены товара
p
на 1%. Обозначается эластич-
ность
d
p
E , она равна
)
/)
(
/(
)
('
p
p
D
p
D
.
Пример 1. Найдем эластичность спроса по цене для каждой из функций,
приведенных выше:
а)
b
p
D
−
=
)
('
,так что
)
/(
)
/)
/((
bp
a
bp
p
bp
a
b
E
D
p
−
−
=
−
−
=
;
б)
2
/1
)
('
p
p
D
−
=
, так что
1
)
/)
/1
/((
)
/1
(
2
−
=
−
=
p
p
p
E
D
p
;
в)
))
1(
/(
1
/1
)
1/(
1
)
('
p
p
p
p
p
D
+
−
=
−
+
=
, так что
(
)
)]
/)
1
ln((
)
1
/[(
1
)
/)
/)
1
/(ln((
)
1(
/1
(
p
p
p
p
p
p
p
p
E
D
p
+
+
−
=
+
+
−
=
4.1.2 Предложение
Как и в случае спроса, под предложением товара понимается функция – за-
висимость количества поставляемого на рынок товара от цены, сложившейся на
рынке. Важно отметить, что речь идет не о какой-то одноразовой поставке, а о по-
токе товара, поставляемого на рынок продавцами. На этой неделе цена товара
p
,
и ежедневно продавцы поставляют
S
единиц товара. На следующей неделе цена
станет 'p и ежедневно продавцы будут поставлять на рынок
'S
единиц товара,
Обозначим
)
(p
S
количество товара, поставляемого на данный рынок за
единицу времени при цене
p
за единицу товара (по-английски "supply" – предло-
жение). Функция
)
(p
S
называется функцией предложения, или просто предложе-
нием. Согласно этой функции величина предложения разная при разных ценах.
Фундаментальное свойство функции предложения выражает следующая ак-
сиома.
Аксиома предложения. Функция предложения является возрастающей; при
увеличении цены величина предложения товара неограниченно увеличивается,
при уменьшении цены величина предложения уменьшается, приближаясь к нулю.
Так же, как и в случае спроса, существуют объяснения этой аксиомы, для
нас же достаточно ее самой.
В дальнейшем будем использовать следующие функции предложения: а)
линейно
возрастающая
0
,
,
/
,
)
(
>
<
+
−
=
d
c
p
d
c
dp
c
p
S
;
б)
степенная

---

Page 26

α
p
p
S
=)
(
,
p
<
> 0,
0
α
; в) логарифмическая
)
1
ln(
)
(
p
p
S
+
=
. Их графики приве-
дены на рис. 2.
При изменении условий на рынке или вне него функция предложения мо-
жет измениться, тогда говорят об изменении предложения. Например, при откры-
тии поблизости месторождения алмазов может увеличиться предложение необра-
ботанных алмазов, а, возможно, через некоторое время, ювелирных украшений.
Рассмотрим математические характеристики кривой предложения и их эко-
номические иллюстрации.
Производная функции предложения по цене
dp
dS
p
S
/
)
(' =
показывает
приблизительно, насколько изменится величина предложения при изменении це-
ны товара p на 1 единицу. Так как функция предложения товара предполагается
возрастающей, то
0
)
(' >
p
S
.
Эластичность предложения по цене показывает, на сколько процентов из-
менится величина предложения при изменении цены товара на 1%, Обозначается
эластичность
S
p
E , и равна
)
/)
(
/(
)
('
p
p
S
p
S
.
Пример 2. Найдем эластичность предложения
p
p
S
=
)
(
по цене в точке
4
=
p
. Имеем
2/
1
)
/
/(
))
2
/(
1(
=
=
p
p
p
E
S
p
. Для этой функции предложения эла-
стичность оказалась постоянной величиной.
4.1.3 Равновесие на рынке одного товара
Состояние рынка, при котором спрос равен предложению, называется рав-
новесным, а цена, при которой достигается равенство спроса и предложения, на-
зывается равновесной ценой.
Теорема. Пусть функции спроса и предложения непрерывны и
)
(
)
(
0
0
p
S
p
D
>
при некоторой цене
0
p ; тогда существует состояние равновесия.
Доказательство. Так как при
)
(p
D
p
∞
→
убывает к нулю, a
)
(p
S
неог-
P
P
P
S
S
S
Рисунок

---

Page 27

раниченно возрастает, то
)'
(
)'
(
p
S
p
D
<
при некотором
0
' p
p >
Величина неудов-
летворенного спроса
)
(
)
(
)
(
p
S
p
D
p
Z
−
=
принимает на концах отрезка
]'
,
[
0
p
p
значения разного знака, а так как она непрерывна, то по теореме Больцано – Коши
найдется точка
∗
p
отрезка
]'
,
[
0
p
p
в которой она равна нулю, т.е.
)
(
)
(
∗
∗
= p
S
p
D
.
Параметры равновесия снабжают знаком "
∗
":
∗
∗
∗
∗
=
=
=
S
p
S
p
D
D
p
)
(
)
(
,
*
.
Обычно саму тройку
)
,
,
(
∗
∗
∗
S
p
D
также называют равновесием.
Пример 3. Найти состояние равновесия для линейных функций спроса
bp
a
p
D
−
=
)
(
и предложения
dp
c
p
S
+
−
=
)
(
.
Решение. Приравнивая функции, получим
∗
∗
∗
=
+
−
=
+
+
=
+
−
=
−
S
d
b
bc
ad
D
d
b
c
a
p
dp
c
bp
a
)
/()
(
),
/()
(
,
.
Графическое решение показано на рис. 3
4.1.4 Паутинообразная модель рынка
В реальности нахождение равновесной цены происходит опытным путем,
посредством последовательных приближений. Эта процедура называется паути-
нообразной моделью рынка.
Считаем, что функции спроса и предложения удовлетворяют предположе-
ниям о них (см. выше пп. 1, 2). В силу условий, наложенных на функции, уравне-
ние
)
(
)
(
p
S
p
D
=
имеет единственное решение
p
и тройка
)
,
,
(
*
∗
∗
S
p
D
, где
P
D, S
P
*
D*, S*
Рисунок

---

Page 28

)
(
)
(
∗
∗
∗
∗
=
=
=
p
S
S
p
D
D
, есть единственное состояние равновесия.
Процесс отыскания этого равновесия называют "нащупыванием" (рис. 4).
Пусть в начальный момент цена на товар была назначена
0
p . Так как спрос
больше предложения, т.е.
0
0
S
D >
, то цена увеличивается до
1
p , так чтобы
0
1
S
D =
, т.е. чтобы спрос в следующем периоде понизился до величины предло-
жения в предыдущем. Если спрос меньше предложения, т.е.
1
1
S
D < , то цена
уменьшается до
2
p , и т. д.
Замечание l. Для сходимости этого процесса к состоянию равновесия необ-
ходимо соблюдение некоторых условий. Пусть, например, функции спроса и
предложения линейны:
dp
c
p
S
bp
a
p
D
+
−
=
−
=
)
(
,
)
(
. Тогда для сходимости не-
обходимо и достаточно выполнения условия
b
d <
, т.е. линия спроса должна быть
более наклонной, чем линия предложения. Исходя из этого в общем случае, т.е.
для нелинейных функций спроса и предложения, хотя бы вблизи равновесной це-
ны
∗
p
должно быть выполнено аналогичное условие
)
('
)
('
∗
∗
<
p
D
p
S
. Если в не-
которой окрестности равновесной цены процесс итераций сходится к состоянию
равновесия при любом начальном значении цены из этой окрестности, то состоя-
ние равновесия называется устойчивым. Если же, наоборот, существует окрест-
ность равновесной цены такая, что при любом начальном значении цены из этой
окрестности, отличном от равновесного, процесс итераций не сходится к состоя-
нию равновесия, то такое состояние равновесия называется неустойчивым. При
линейных функциях спроса и предложения состояние равновесия устойчивое, ес-
ли
b
d <
, и неустойчивое, если
d
b ≤
.
Замечание 2. Аксиому спроса (см. выше в п.1) на первый взгляд, портит
P
D, S
P
1
Рисунок 4
S
D
P
2
P
0

---

Page 29

существование товаров Гиффина (см. п.4 лекции 1.3). Ведь спрос на товар Гиф-
фина увеличивается при увеличении цены на него! (в определенном диапазоне
цен). Однако это касается отдельного потребителя, действующего в рамках своего
бюджета. Экономисты считают, что этот эффект перекрывается уменьшением
числа индивидов, которым данный товар становится менее доступным при увели-
чении цены на него. К тому же многие экономисты считают товары Гиффина чис-
то теоретическим феноменом. В нашем дальнейшем изложении аксиома спроса
принимается.
Задачи
1. Спрос задан таблицей:
P
1
5
9
13
D
20 8
4
2
Аппроксимируя спрос линейно между соседними значениями, найдите спрос при
10
,7,
6,
4
=
p
.
2. Предложение задано таблицей:
P
1
5
9
13
S
2
5
7
8
Аппроксимируя предложение линейно между соседними значениями, найдите
предложение при
10
,7,
6,
4
=
p
.
2. Найдите эластичность предложения по цене для каждой из функций:
а)
0
,,
/
,
)
(
>
<
+
−
=
d
c
p
d
c
dp
c
p
S
;
б)
p
p
p
S
<
>
=
0,
0
,
)
(
α
α
, 0 <р;
в)
)
ln(
)
(
p
p
S
+
=
.
4. Докажите утверждение, сформулированное в замечании 1, для линейных
функций спроса и предложения.
5. Проследите несколько итераций приближения к состоянию равновесия
для функций спроса
p
p
D
2
20
)
(
−
=
и предложения
p
p
S
+
−
= 4
)
(
в паутинообраз-
ной модели.
6. Убедитесь в том, что состояние равновесия для функций
p
p
D
−
=10
)
(
и
p
p
S
2
5
)
(
+
−
=
неустойчивое.
7. Для функций спроса из задачи 1 и предложения из задачи 2 найдите при-
близительно состояние равновесия. Устойчивое оно или нет?
8.
Даны
зависимости
спроса
p
p
D
10
100
)
(
−
=
и
предложения
p
p
S
20
10
)
(
+
=
от цены
p
. Найдите равновесную цену, выручку при равновесной

---

Page 30

цене. Найдите цену, при которой выручка максимальна и саму эту максимальную
выручку.
Решение. Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предло-
жения, т.е.
p
p
20
10
10
100
+
=
−
и
3
*
=
p
. Выручка при равновесной цене
210
)
(
*
*
=
=
p
D
p
W
. В
общем
же
случае
при
цене
p
выручка
)))
(
),
(
(min(
)
(
p
S
p
D
p
p
W
=
. На рис. 5 показан график выручки в зависимости от
цены.
Видно, что максимум
W
достигается при
5
=
p
и равен 250. Таким образом,
максимальная выручка достигается не при равновесной цене.
9. В задаче 8 состояние равновесия неустойчивое (см. Замечание 1 или за-
дачу 4). Проанализировав задачу 8 для произвольных линейных функций спроса и
предложения, докажите, что если состояние равновесия устойчивое, то эта мак-
симальная выручка достигается обязательно при равновесной цене.
10. Для каждой из функций спроса из примера 1 найдите обратную функ-
цию. Какой экономический смысл имеет функция, обратная функции спроса?
11. Для каждой из функций предложения из примера 3 найдите обратную
функцию. Какой экономический смысл имеет функция, обратная функции пред-
ложения?
12. Как найти равновесное состояние, зная функции, обратные функциям
спроса и предложения?
13. Как использовать функции, обратные функциям спроса и предложения,
в расчетах итераций в паутинообразной модели?
14. Иногда по некоторым причинам общество переживает "бум рождаемо-
сти", т.е. в этот период увеличивается рождаемость. Как следствие, увеличивается
спрос на детскую одежду, детскую обувь и другие детские вещи, Сделайте на од-
10
3
5
p
250
p•S(p)
p•D(p)
Рисунок 5
W

---

Page 31

ном рисунке примерные графики спроса до бума рождаемости и в сам бум, если
спрос увеличился, например, на 10%.
15. Экономисты обычно направляют ось цены вверх, а другую величину от-
кладывают горизонтально вправо. Начертите в такой системе координат графики
функций спроса и предложения из примера 1 и задачи 3.
4.2. С
ОТРУДНИЧЕСТВО И КОНКУРЕНЦИЯ ДВУХ ФИРМ НА РЫНКЕ ОДНОГО ТОВАРА
4.2.1 Условия работы двух фирм на рынке одного товара
Рассмотрим две фирмы
)2
,1
( =
i
, выпускающие один и тот же товар. Пусть
затраты i-й фирмы при выпуске
i
x , равны
i
i
x
α , (таким образом,
i
α есть себе-
стоимость выпуска одной единицы товара). Произведенный обеими фирмами то-
вар поступает на общий рынок. Цена на товар линейно падает в зависимости от
поступающего
на
рынок
общего
его
количества
2
1
x
x
x
+
=
,
т.е.
0
,,
)
(
>
−
=
b
c
bx
c
x
p
.
Следовательно, прибыль i-й фирмы
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
2
1
x
x
d
bx
x
bx
c
x
x
x
W
i
i
i
i
i
i
+
−
=
−
−
=
α
,
где
)
/
(
b
c
d
i
i
α
−
=
.
Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать
свою прибыль.
Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е. объем ее выпус-
ка
2
x . Тогда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации прибыли:
(
)
(
)
0
/
1
2
1
1
1
1
=
−
+
−
=
∂
∂
bx
x
x
d
b
x
W
, т.е.
(
)
2/
2
1
*
1
x
d
x
−
=
.
Аналогично бы действовала вторая фирма, т.е. выбрала бы свой выпуск в
объеме
(
)
2/
1
1
*
1
x
d
x
−
=
.
4.2.2 Стратегия Курно
Будем предполагать, что производственные циклы фирм совпадают. Путь
фирмы выбирают свои оптимальные выпуски, зная объем производства своего
конкурента за прошлый или настоящий периоды:
( )
( )
(
)
2/
1
2
1
1
−
−
=
t
t
x
d
x
,
( )
( )
(
)
2/
1
1
1
2
−
−
=
t
t
x
d
x
.
На рис. 1 изображены прямые – множества стратегий фирм в ответ на из-
вестную стратегию другой фирмы.

---

Page 32

Предположим, что
2
1
2
2
2/
d
d
d
≤
≤
, тогда эти прямые пересекаются в точке
K с координатами
(
)
3/
2
2
1
1
d
d
x
K
−
=
,
(
)
3/
2
1
2
2
d
d
x
K
−
=
. Эта точка называется точ-
кой Курно. Как видно из рис. 1, последовательность стратегий фирм сходится к
этой точке. Для упрощения будем далее полагать, что
d
d
d
=
=
2
1
, что значитель-
но упрощает выкладки, не меняя сути дела.
Итак, в этом случае: точка Курно
;3
/
,3/
),3
/
,3/
(
2
1
d
x
d
x
d
d
K
K
K
=
=
прибыли
фирм
;9
/
2
2
1
bd
W
W
=
=
суммарная прибыль
;9
/
2
2
bd
W
K
=
цена на товар
.3
/
2bd
c
p
k
−
=
4.2.3 Стратегия Стакельберга
Что будет, если одна из фирм сознательно раскроет свою стратегию? Пусть, на-
пример, первая фирма даст возможность второй узнать свой ход
1
x , тогда вторая
фирма ответит оптимальным для нее образом:
.2
/)
(
1
2
x
d
x
−
=
∗
Первая фирма бу-
дет теперь действовать, исходя именно из такого поведения второй фирмы. Но,
конечно, прежде чем довести до сведения второй фирмы свой ход. Первая про-
считает этот свой ход, исходя из максимизации прибыли:
.2
/)
(
2/
)
(
(
)
(
1
1
1
1
1
1
1
x
d
bx
x
d
x
d
bx
x
W
−
=
−
−
−
=
Тогда
2/
0
2/
)
2
(
/
1
1
1
1
d
x
x
d
b
x
W
s
=
→
=
−
=
∂
∂
, откуда и получаем так называе-
мую точку Стакельберга:
.4
/
,2
/
2
1
d
x
d
x
s
s
=
=
Прибыли фирм при этом
K
s
W
bd
W
1
2
1
8/ >
=
,
K
S
W
bd
W
2
2
2
16
/ <
=
, суммар-
ная прибыль
.
9/
2
16
/
3
2
2
K
S
W
bd
bd
W
=
<
=
т.е. прибыль первой фирмы больше,
а прибыль второй и суммарная прибыль меньше, чем в точке Курно; цена товара
x
2
d
1
)
(
x
2
2
)
(
x
1
2
)
(
x
0
2
K
)
(
x
2
1
)
(
x
1
1
)
(
x
0
1
d
2
X
Рисунок 1

---

Page 33

равна
4/
3bd
c
p
S
−
=
, и она меньше, чем в точке Курно.
4.2.4 Объединение двух фирм
Пусть теперь фирмы объединятся (тем самым они образуют монополию
своего товара на рынке). Тогда суммарная прибыль
),
(
)
(
x
d
bx
x
W
−
=
максимум
прибыли достигается при выпуске
4/
3
3/
2
2/
d
x
d
x
d
x
S
K
=
<
=
<
=
∗
, при этом
.
2/
,9
/
2
4/
2
2
S
K
K
p
p
bd
c
p
bd
W
bd
W
>
>
−
=
=
>
=
∗
∗
4.2.5 Образование картеля
Как известно, картель – это тайный сговор нескольких фирм с целью под-
держания заданной цены. Предположим, что антимонопольное законодательство
запрещает слияние двух фирм – образование монополии. Но в чем проблема? Раз-
ве специалисты фирм не могут рассчитать наиболее выгодную для них цену и по-
том поддерживать ее, тайно согласовав свои выпуски? Если посмотреть на табли-
цу немного далее, то увидим, что две фирмы должны вместе выпускать
2/
d
еди-
ниц товара, тогда их совместная прибыль будет максимально возможной при лю-
бых их выпусках. Поэтому фирмы образуют картель – они негласно договарива-
ются выпускать каждая по
4/
d
, получать прибыль по
8/
2
bd
, цена при
этом
2/
bd
a
p
c
−
=
. Результаты исследования сведены в таблицу.
Ситуация
x
1
x
2
x
W
1
W
2
W
p
Точка Курно
d/3
d/3
2d/3
bd
2
/9
bd
2
/9
2bd
2
/9
c-2bd/3
Точка Стакельберга
d/2
d/4
3d/4
bd
2
/8 bd
2
/16 3bd
2
/16
c-3bd/4
Монополия
d/2
bd
2
/4
c-bd/2
Картель
d/4
d/4
d/2
bd
2
/8
bd
2
/8
bd
2
/4
c-bd/2
Для потребителя наиболее предпочтительна точка Стакельберга, в которой
цена товара наинизшая, а объем выпуска наибольший, и менее всего благоприят-
на ситуация монополии или картеля, в которой цена товара наивысшая, выпуск
самый малый, зато суммарная прибыль фирм самая большая.
4.2.6 Стратегия Бертрана
Рассмотрим теперь немного другую модель взаимодействия двух фирм на
рынке одного товара. Каждая фирма назначает свою цену
2,
1
, =
i
p
i
. Покупатели
покупают товар по низшей цене в соответствии с функцией спроса
)))
,
(min(
2
1
p
p
d
и совсем не покупают товар по более высокой цене (при этом
фирма, назначившая низшую цену, удовлетворяет этот спрос). Если обе цены
совпадают
),
(
2
1
p
p
p
=
=
то товар обеих фирм продается поровну в совместном

---

Page 34

количестве
( )
p
d
. Пусть себестоимость товара одинакова у обеих фирм и равна с,
следовательно, фирмы не могут назначать цену ниже с. Производство работает
циклами, и эти циклы у обеих фирм совпадают.
Ситуация равновесия есть
c
p
p
=
=
2
1
, и эта ситуация, как легко видеть, ус-
тойчивая по Нэшу – обе фирмы имеют нулевую прибыль, но не имеют убытков; в
то же время ни одна фирма не захочет поднять цену, если другая не будет подни-
мать, так как тогда первая ничего не продаст.
Здесь мы впервые встретились с понятием устойчивости по Нэшу. Для двух
совместно работающих фирм это означает такую ситуацию, когда обе фирмы мо-
гут работать, придерживаясь данной ситуации, и ни одной из фирм невыгодно от-
ходить от данной ситуации, если другая продолжает ее придерживаться.
При любой равной цене
c
p >
ситуация равновесная – обе фирмы имеют
половину рынка: продажа товара каждой фирмы составляет
2/
)
(p
d
; но эта си-
туация неустойчивая по Нэшу: каждая фирма испытывает соблазн чуть опустить
цену и захватить весь рынок, но то же самое попытается сделать и другая. В ре-
зультате ряда удачных для одной и неудачных для другой фирмы итераций цены
скатятся до себестоимости
c
.
4.2.7 Устойчивость точек взаимодействия по Нэшу
Точка, или стратегия, взаимодействия называется устойчивой по Нэшу, ес-
ли ни одной из фирм невыгодно отходить от нее при условии, что другая фирма
продолжает придерживаться прежней стратегии. Посмотрим, являются ли устой-
чивыми по Нэшу найденные ранее ситуации Курно, Стакельберга и т.д. Пусть
выпуски фирм равны
2
1
,x
x
. Несколько общих соображений.
Суммарная прибыль фирм
(
)
=
2
1
, x
x
W
)
(
))
(
(
))
(
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
x
d
bx
x
x
d
bx
x
x
d
bx
x
x
W
x
x
W
−
=
+
−
+
+
−
=
+
,
а максимальное значение ее равно
4/
2
bd
при
2/
d
x =
.
Так как
0
/
1
2
1
<
−
=
∂
∂
bx
x
W
,
0
/
2
1
2
<
−
=
∂
∂
bx
x
W
, то при увеличении выпуска
одной фирмы прибыль другой уменьшается, а при уменьшении выпуска одной
фирмы прибыль другой увеличивается.
Ясно, что
для
устойчивости
по
Нэшу
необходимо, чтобы
0
)
,
(
/
2
1
=
∂
∂
x
x
x
W
i
i
для
2,
1
=i
и достаточно, чтобы еще дополнительно к этому
было
0
/
2
2
<
∂
∂
i
i
x
W
.
Напомним,
что
)
2
(
/
1
2
1
1
x
x
d
b
x
W
−
−
=
∂
∂
,
)
2
(
/
2
1
2
2
x
x
d
b
x
W
−
−
=
∂
∂
,
0
2
/
2
1
1
2
<
−
=
∂
∂
b
x
W
,
0
2
/
2
2
2
2
<
−
=
∂
∂
b
x
W
. Видно, что обе первые частные произ-
водные убывают и экстремум у функций прибыли может быть только максимум.

---

Page 35

Точка Курно. Ситуация симметрична относительно обеих фирм, так что
достаточно проанализировать попытку первой увеличить свой выпуск.
Имеем
( )
))
3/
(
(
1
1
1
1
d
x
d
bx
x
W
+
−
=
,
0
)
2
3/
2(
)
(
1
1
'
1
=
−
=
x
d
b
x
W
при
3/
1
d
x =
,
т.е. в точке Курно, и так как
0
2
)
(
1
"
<
−
= b
x
W
, то
)
(
1
1
x
W
имеет максимум в точке
Курно, поэтому при отходе от этой точки прибыль уменьшается для первой фир-
мы. Итак, точка Курно устойчива по Нэшу.
А если каждая фирма увеличит на немного (на t) свой выпуск?
Имеем, скажем, для
первой
фирмы
)
2
3/
)(
3/
(
)(
1
t
d
t
d
b
t
W
−
+
=
,
3/
)0
(
'
1
bd
W
−
=
. Итак, точка Курно невыгодна обеим фирмам, но отходить от этой
точки им надо вместе – вместе уменьшать свои выпуски.
Точка Стакельберга. Рассмотрим сначала действия первой фирмы. Имеем
))
4/
(
(
)
(
1
1
1
1
d
x
d
bx
x
W
+
−
=
,
0
)
2
4/
3(
)
(
1
1
'
1
<
−
=
x
d
b
x
W
при
2/
1
d
x =
, т.е. первой
фирме выгодно уменьшить свой выпуск при условии, что вторая фирма будет
продолжать выпускать
4/
d
.
Теперь
рассмотрим
действия
второй
фирмы.
Имеем
))
2/
(
(
)
(
2
2
2
2
x
d
d
bx
x
W
+
−
=
,
0
)
2
2/
(
)
(
2
2
'
2
=
−
=
x
d
b
x
W
при
4/
2
d
x =
, и так как
b
x
W
2
)
(
2
"
1
−
=
имеет максимум при
4/
2
d
x =
, т.е. второй фирме невыгодно изме-
нять свой выпуск при условии, что первая фирма будет продолжать выпускать
2/
d
. Тем не менее из-за возможных действий первой фирмы точка Стакельберга
неустойчива по Нэшу.
Монополию по понятным причинам не нужно анализировать.
Картель. Предположим, первая фирма тайно от второй захочет увеличить
свой выпуск. Тогда
))
4/
(
(
(
1
1
1
1
d
x
d
bx
x
W
+
−
=
. Так как
( )
0
)
2
4/
3(
1
1
'
1
>
−
=
x
d
b
x
W
при
4/
1
d
x =
, то прибыль увеличится (а прибыль второй при этом уменьшится,
так что даже ничего не зная о действиях первой фирмы и о складывающейся цене
на рынке, вторая фирма поймет, что первая нарушила соглашение!). Итак, состоя-
ние картеля неустойчиво по Нэшу – каждой фирме выгодно нарушить тайное со-
глашение в надежде увеличить свою прибыль.
Но что получится, если каждая фирма увеличит свой выпуск хотя бы на не-
много,
на
t
?
Имеем,
например,
для
первой
фирмы
)]
2
2/
(
)[
4/
(
)(
1
t
d
d
t
d
b
t
W
+
−
+
=
,
0
4
)(
'
1
=
−
= bt
t
W
при
0
=
t
,
b
t
W
4
)(
"
1
−
=
, то при-
быль каждой фирмы уменьшится. Сведем результаты в таблицу.
Точка Курно
Точка Стакельберга
Картель
Стратегия Бертрана
Устойчива
Неустойчива
Неустойчива
p=c – устойчива,
p>c – нет

---

Page 36

8. Угрозы и торги при взаимодействии двух фирн. Остановимся еще на не-
которых моментах.
А. В стратегии Стакельберга первая фирма находится явно в более выгод-
ной ситуации – ее прибыль в два раза больше. Возможно, вторая фирма не захо-
чет с этим согласиться. Но все, что она сможет сделать, – это изменить как-
нибудь свой выпуск. Однако при этом ее прибыль только лишь уменьшится. Од-
нако уменьшится прибыль и первой фирмы. Если первая фирма забеспокоится, то
возможен разумный торг. Однако, если первая фирма более мощная, то она может
сознательно пойти на уменьшение своей прибыли, продолжая выпускать
2/
d
, в
надежде, что уменьшение прибыли второй фирмы "образумит" ее, т.е. заставит
вернуться к выпуску
4/
d
.
Б. Из таблицы видно, что первая фирма во всех ситуациях – в точке Курно,
при стратегии Стакельберга, в картеле – получает прибыль не более
8/
2
bd
. Есть
ли возможность получить большую прибыль? Если первая фирма более мощная,
чем вторая, то она может навязать второй стратегию Стакельберга, а затем пред-
ложить перейти к выпускам по
4/
d
. При этом ее прибыль останется прежней –
8/
2
bd
, но прибыль второй фирмы увеличится с
16
/
2
bd
до
8/
2
bd
. Поэтому яв-
ляется разумным предложить второй фирме разделить этот излишек
)
16
/
(
2
bd
между обеими фирмами, тем самым прибыль первой фирмы превысит
8/
2
bd
.
Задачи
1. Что произойдет, если отказаться от условия
2
1
2
2
2/
d
d
d
≤
≤
(см. п. 2)?
2. Поясните на примере стратегии Стакельберга, почему иной раз не следу-
ет идти на переговоры с конкурентом?
3. Какой фирме выгодно образование картеля: слабой или сильной?
4. Докажите, что если для какой-то пары прибылей
)
,
(
2
1
W
W
существует
обеспечивающая их пара выпусков
)
,
(
2
1
x
x
, то для любой пары не больших при-
былей также существует обеспечивающая их пара выпусков.
Примечание. Пара выпусков
)
,
(
2
1
x
x
называется допустимой, если
d
x
x
≤
+
2
1
. И до сих пор и далее рассматриваются только допустимые пары вы-
пусков,
Решение. Изобразим множество
DX
пар допустимых выпусков (рис. 2, а).
Это треугольник
OAB
. Заметим, что
)
(
)
,
(
2
1
x
d
bx
x
x
W
i
i
−
=
2,
1
=i
, где
2
1
x
x
x
+
=
.
Поэтому отрезок
x
U , из множества DX переходит в отрезок
)
(x
w
U
, из множества
DW
пар прибылей (рис 2, в), где
)
(
)
(
x
d
bx
x
w
−
=
. При изменении х от 0 до
)
(x
dw

---

Page 37

изменяется как показано на рис. 2, б, так что каждый отрезок
w
U получается при
двух значениях
x
, кроме отрезка
MN
. Итак, множество
DW
есть треугольник
OMN, в котором отрезок MN есть
)2
/
(d
w
U
. Теперь уже ясно, как продолжить реше-
ние задачи далее.
5. Пара выпусков называется оптимальной по Парето, если не существует
выпусков
)
,
(
2
1
x
x
таких, что прибыли обеих фирм не уменьшились и прибыль хо-
тя бы одной увеличилась. Найдите множество пар выпусков, оптимальных по Па-
рето.
Ответ. Это отрезок
2/
d
U
из множества DX (см. задачу 4).
6. Найдите на плоскости множество пар прибылей, которые могут полу-
чить фирмы при всевозможных режимах работы. Решение уже получено в задаче
4.
7. Как будут действовать фирмы в модели Бертрана, если они решат соз-
дать монополию?
3 ПРОИЗВОДИТЕЛЬ И ЕГО ПОВЕДЕНИЕ............................................................................................................. 1
3.1. П
РОИЗВОДСТВЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
.................................................................... 1
3.1.1 Производственные множества и их свойства............................................................................................. 1
3.1.2 "Кривая" производственных возможностей и вмененные издержки.......................................................... 3
3.1.3 Производственные функции и их свойства .................................................................................................. 5
3.1.4 Производственная функция Кобба–Дугласа................................................................................................. 6
3.2. Т
ЕОРИЯ ФИРМЫ
.................................................................................................................................................... 10
3.2.1 Постановка задачи фирмы......................................................................................................................... 10
3.2.2 Функция спроса на ресурсы......................................................................................................................... 13
3.2.3 Функция предложения продукции............................................................................................................... 14
3.3. Ф
ИРМА И ЕЕ ДЕЙСТВИЯ НА КОНКУРЕНТНОМ РЫНКЕ В УСЛОВИЯХ МОНОПОЛИИ И ПРИ НАЛОГАХ
;
ДЕЙСТВИЯ
ПОТРЕБИТЕЛЕЙ ПРИ ВЗИМАНИИ НАЛОГОВ
................................................................................................................... 17
3.3.1 Фирма на конкурентном рынке................................................................................................................... 17
3.3.2 Фирма-монополист..................................................................................................................................... 17
3.3.3 Налоги и действия потребителей при взимании налогов........................................................................... 18
d
d/2
Δ
d
x
d
B
A
U
x
0
a
б
в
Δ
N
M
W
Δ
U
x
Рисунок

---

Page 38

3.3.4 Налоги и действия производителей при взимании налогов........................................................................ 20
4 МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НА ПРОСТЕЙШИХ РЫНКАХ........................... 23
4.1. С
ПРОС И ПРЕДЛОЖЕНИЕ НА РЫНКЕ ОДНОГО ТОВАРА
.............................................................................................23
4.1.1 Спрос ............................................................................................................................................................ 23
4.1.2 Предложение............................................................................................................................................... 25
4.1.3 Равновесие на рынке одного товара........................................................................................................... 26
4.1.4 Паутинообразная модель рынка................................................................................................................. 27
4.2. С
ОТРУДНИЧЕСТВО И КОНКУРЕНЦИЯ ДВУХ ФИРМ НА РЫНКЕ ОДНОГО ТОВАРА
........................................................31
4.2.1 Условия работы двух фирм на рынке одного товара................................................................................. 31
4.2.2 Стратегия Курно........................................................................................................................................ 31
4.2.3 Стратегия Стакельберга........................................................................................................................... 32
4.2.4 Объединение двух фирм............................................................................................................................... 33
4.2.5 Образование картеля .................................................................................................................................. 33
4.2.6 Стратегия Бертрана.................................................................................................................................. 33
4.2.7 Устойчивость точек взаимодействия по Нэшу ........................................................................................ 34