Построение графика функции

Page 1

1
Кафедра"Экономической кибернетикииинформационныхтехнологий"
Конспект лекций
по дисциплине "Моделирование экономики"
(для студентов специальности "Экономическая кибернетика")
Рекомендовано
на заседании кафедры ЭКиИТ
Протокол № 2 от 09.11.07
Утверждено
на заседании методсовета ДонГТУ
Протокол № 2 от 7.12.07
Алчевск
ДонГТУ
2008

---

Page 2

2
ББК У.в6
Конспект лекций по дисциплине " Моделирование экономики " (для студентов
специальности "Экономическая кибернетика") / Сост.: Зайцев С. И. – Алчевск:
ДонГТУ, 2008. – 400с.
Изложенные теоретические вопросы моделирования экономики. Рассмотрены
основные понятия и приведены примеры.
Составитель
Зайцев С. И., проф.
Ответственный редактор
Зайцев С. И., проф.
Ответственный за выпуск
Мотченко Л. А., инж.
ББК У.в6
Конспект лекцій з дисципліни "Моделювання економіки" (для студентів спеціа-
льності "Економічна кібернетика") / Укл.: Зайцев С. І., – Алчевськ.: ДондТУ, 2008. –
400с.
Викладені теоретичні питання моделювання економіки. Розглянуто основні
поняття і надані приклади.
Укладачі:
Зайцев С. І., проф.
Відповідальний редактор
Зайцев С. І., проф.
Відповідальний за випуск
Мотченко Л. А., інж.

---

Page 3

3
1 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
1.1 М
ОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИКИ И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
В РАЗВИТИИ И ФОРМАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
В курсе лекций рассмотрены основные математические модели экономики:
индивида-потребителя (на основе функции полезности), фирмы-производителя (на
основе производственной функции), сотрудничества и конкуренции (с использова-
нием теории игр), глобальные модели производства (Леонтьева, Неймана, Эванса,
Солоу), начала денежного обращения и некоторые модели социально-
экономической структуры общества.
Современная экономическая теория, как на микро –, так и на макроуровне,
включает как естественный, необходимый элемент математические модели и мето-
ды. Использование математики в экономике позволяет:
1. выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи эко-
номических переменных и объектов: изучение столь сложного объекта предполагает
высокую степень абстракции;
2. из четко сформулированных исходных данных и соотношений методами
дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере,
что и сделанные предпосылки;
3. методы математики и статистики позволяют индуктивным путем получать
новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его перемен-
ных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям;
4. использование языка математики позволяет точно и компактно излагать
положения экономической теории, формулировать ее понятия и выводы.
1.1.1 Понятие экономической модели.
Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их
упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. При-
мерами экономических моделей являются модели потребительского выбора, модели
фирмы, модели экономического роста, модели равновесия на товарных, факторных
и финансовых рынках и многие другие. Строя модели, экономисты выявляют суще-
ственные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасывают детали, не-
существенные для решения поставленной проблемы. Формализация основных осо-
бенностей функционирования экономических объектов позволяет оценить возмож-
ные последствия воздействия на них и использовать такие оценки в управлении.

---

Page 4

4
1.1.2 Этапы построения экономической модели
1. Формулируются предмет и цели исследования.
2. В рассматриваемой экономической системе выделяются структурные или
функциональные элементы, соответствующие данной цели, выявляются наиболее
важные качественные характеристики этих элементов.
3. Словесно, качественно описываются взаимосвязи между элементами моде-
ли.
4. Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик эко-
номического объекта и формализуются, насколько возможно, взаимосвязи между
ними. Тем самым, формулируется математическая модель.
5. Проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного ре-
шения.
1.1.3 Математическая структура модели
и ее содержательная интерпретация
Следует различать математическую структуру модели и ее содержательную
интерпретацию. Рассмотрим следующие два простых примера.
Пример 1.1. Пусть требуется определить, какую сумму следует положить в
банк при заданной ставке процента (20% годовых), чтобы через год получить
$12000?
Вводя формальные обозначения для величин, фигурирующих в задаче:
начальная сумма денег -
0
M
конечная сумма денег -
1
M
ставка процента - R
и записывая соотношение между ними






+
⋅
=
100
1
0
1
R
M
M
найдем требуемую величину из решения основного уравнения модели
.
$
,
$
R
M
M
10000
2
1
12000
100
1
1
0
=
=
+
=
Пример 1.2. Пусть требуется определить, каков был объем выпуска продук-
ции завода, если в результате технического перевооружения средняя производи-
тельность труда увеличилась на 20%, и завод стал выпускать 12000 единиц продук-
ции.
Вводя формальные обозначения для величин, фигурирующих в задаче:
начальный выпуск -
0
Q ,

---

Page 5

5
конечный выпуск -
1
Q ,
процент прироста производительности - R,
и записывая соотношение между ними
,
R
Q
Q






+
=
100
1
0
1
найдем искомую величину из решения основного уравнения модели
.
$
,
$
R
Q
Q
10000
2
1
12000
100
1
1
0
=
=
+
=
Сравнивая полученные модели и результаты, мы можем заметить, что матема-
тическая форма модели






+
⋅
=
100
1
0
1
R
X
X
и даже числовые значения входящих в нее величин в обоих случаях одинаковы, од-
нако экономическая ситуация, описываемая моделью, экономическая интерпретация
модели и результатов расчета различны. Таким образом, одни и те же математиче-
ские модели и методы могут быть использованы для решения различных экономи-
ческих задач.
1.2 Р
ОЛЬ МОДЕЛЕЙ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ И ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ
Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования
экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объек-
та при изменении каких-либо параметров. Предсказание будущих изменений, на-
пример, повышение обменного курса, ухудшение экономической конъюнктуры, па-
дение прибыли может опираться лишь на интуицию. Однако при этом могут быть
упущены, неправильно определены или неверно оценены важные взаимосвязи эко-
номических показателей, влияющие на рассматриваемую ситуацию. В модели все
взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет полу-
чить более качественный и надежный прогноз.
Для любого экономического субъекта возможность прогнозирования ситуа-
ции означает, прежде всего, получение лучших результатов или избежание потерь, в
том числе и в государственной политике.
1.2.1 Неполнота экономической модели
По своему определению любая экономическая модель абстрактна и, следова-
тельно, неполна, поскольку, выделяя наиболее существенные факторы, определяю-
щие закономерности функционирования рассматриваемого экономического объекта,

---

Page 6

6
она абстрагируется от других факторов, которые, несмотря на свою относительную
малость, все же в совокупности могут определять не только отклонения в поведении
объекта, но и само его поведение. Так, в простейшей модели спроса считается, что
величина спроса на какой-либо товар определяется его ценой и доходом потребите-
ля. На самом же деле на величину спроса оказывает также влияние ряд других фак-
торов: вкусы и ожидания потребителей, цены на другие товары, воздействие рекла-
мы, моды и так далее. Обычно предполагают, что все факторы, не учтенные явно в
экономической модели, оказывают на объект относительно малое результирующее
воздействие. Состав учтенных в модели факторов и ее структура могут быть уточ-
нены в ходе совершенствования модели.
1.2.2 Математическая модель и ее основные элементы.
Математическая модель экономического объекта - это его гомоморфное ото-
бражение в виде совокупности уравнений, неравенств, логических отношений, гра-
фиков. Гомоморфное отображение объединяет группы отношений элементов изу-
чаемого объекта в аналогичные отношения элементов модели. Иными словами, мо-
дель – это условный образ объекта, построенный для упрощения его исследования.
Предполагается, что изучение модели дает новые знания об объекте, либо позволяет
определить наилучшие решения в той или иной ситуации.
Для описания основных видов элементов экономической модели рассмотрим
конкретную ситуацию и построим соответствующую ей модель.
Пусть имеется фирма, выпускающая несколько видов продукции. В процессе
производства используются три вида ресурсов: оборудование, рабочая сила и сырье;
эти ресурсы однородны, количества их известны и в данном производственном цик-
ле увеличены быть не могут. Задан расход каждого из ресурсов на производство
единицы продукции каждого вида. Заданы цены продуктов. Нужно определить объ-
емы производства с целью максимизации стоимости произведенной продукции
(или, в предположении, что вся она найдет сбыт на рынке – общей выручки от реа-
лизации).
Для решения поставленной задачи нужно построить математическую модель,
наполнить ее информацией, а затем провести по ней необходимые расчеты. Вначале
при построении модели нужно определить индексы, экзогенные и эндогенные пере-
менные и параметры. В нашей задаче свой индекс должен иметь каждый вид про-
дукции (пусть это индекс i, меняющийся от 1 до п), а также вид ресурсов (если мы
обозначаем их одной переменной; пусть в нашей задаче ресурсы обозначены раз-
ными переменными). Далее опишем экзогенные переменные – те, которые задаются
вне модели, т.е. известны заранее, и параметры - это коэффициенты уравнений мо-
дели. Часто экзогенные переменные и параметры в моделях не разделяют. В рас-

---

Page 7

7
сматриваемой задаче заданы экзогенные переменные - имеющиеся количества обо-
рудования К, рабочей силы L и сырья R; заданы параметры - коэффициенты их рас-
хода на единицу i-й продукции
i
k ,
i
l и
i
r соответственно. Цены продуктов
i
p также
известны.
Далее вводятся обозначения для эндогенных переменных - тех, которые опре-
деляются в ходе расчетов по модели и не задаются в ней извне. В нашем случае - это
неизвестные объемы производства продукции каждого i-го вида; обозначим их
i
x .
Закончив описание переменных и параметров, переходят к формализации ус-
ловий задачи, к описанию ее допустимого множества и целевой функции (если та-
ковая имеется). В нашей задаче допустимое множество - это совокупность всех ва-
риантов производства, обеспеченных имеющимися ресурсами. Оно описывается с
помощью системы неравенств:
∑
∑
∑
≤
≤
+
+
+
≤
≤
+
+
+
≤
≤
+
+
+
i
i
i
n
n
i
i
i
n
n
i
i
i
n
n
R
xr
R
x
r
x
r
xr
L
xl
или
L
x
l
x
l
xl
K
x
k
K
x
k
x
k
x
k
.
,
...
,
,
...
,
,
...
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
К этим ограничениям по ресурсам добавляются требования неотрицательно-
сти переменных
0
≥
i
x
. Если бы какой-то ресурс нужно было израсходовать полно-
стью (например, полностью занять всю рабочую силу), соответствующее неравенст-
во превратилось бы в уравнение. Это сузило бы допустимое множество и, возможно,
исключило бы из него первоначально наилучшее решение.
Если модель является оптимизационной (а данная модель такова), то наряду с
ограничениями должна быть выписана целевая функция, т.е. максимизируемая или
минимизируемая величина, отражающая интересы принимающего решение субъек-
та. Для данной задачи максимизируется величина
∑
→
+
+
+
i
i
i
n
n
x
p
или
x
p
x
p
x
p
.
max
,
...
2
2
1
1
Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответ-
ствует задачам лица, принимающего решение (ЛПР). В действительности, по край-
ней мере:
1) ресурсы до некоторой степени взаимозаменяемы;
2) затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску (есть постоянные за-
траты, не связанные с объемом выпуска; предельные затраты меняются);
3) объемы ресурсов не строго фиксированы, они могут покупаться и прода-
ваться, браться или сдаваться в аренду;

---

Page 8

8
4) внутри каждого вида ресурсов можно выделить составляющие, функцио-
нально или качественно различные, в той или иной мере заменяющие или допол-
няющие друг друга и по-разному влияющие на объем выпуска;
5) цена продукта может зависеть от объема его реализации, то же касается це-
ны ресурса;
6) фирма может использовать одну из конечного набора технологий (или со-
четание нескольких таких технологий), характеризующихся определенными сочета-
ниями используемых ресурсов;
7) различные единицы получаемой прибыли могут иметь разную ценность для
лица, принимающего решение (что обусловлено, например, особенностями налого-
вой системы);
8) интересы и предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объ-
ема прибыли, поэтому целевая функция должна учитывать и другие количественные
и качественные показатели;
9) для субъекта реально решаемая задача не ограничивается одним моментом
или периодом времени, важны динамические взаимосвязи;
10) на ситуацию могут воздействовать случайные факторы, которые необхо-
димо принять во внимание.
Многие разделы экономической теории посвящены изучению, описанию и
моделированию перечисленных аспектов на различных уровнях хозяйственной дея-
тельности, с той или иной степенью детализации и в различных сочетаниях.
1.2.3 Основные типы моделей
Математические модели, используемые в экономике, можно подразделять на
классы по ряду признаков: модели макро- и микроэкономические, теоретические и
прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динамические.
Макроэкономические модели описывают экономику как единое целое, связы-
вая между собой укрупненные материальные и финансовые показатели: ВНП, по-
требление, инвестиции, занятость, процентную ставку, количество денег и другие.
Микроэкономические модели описывают взаимодействие структурных и
функциональных составляющих экономики, либо поведение отдельной такой со-
ставляющей в рыночной среде. Вследствие разнообразия типов экономических эле-
ментов и форм их взаимодействия на рынке, микроэкономическое моделирование
занимает основную часть экономико-математической теории. Наиболее серьезные
теоретические результаты в микроэкономическом моделировании в последние годы
получены в исследовании стратегического поведения фирм в условиях олигополии с
использованием аппарата теории игр.

---

Page 9

9
Теоретические модели позволяют изучать общие свойства экономики и ее
характерных элементов дедукцией выводов из формальных предпосылок.
Прикладные модели дают возможность оценить параметры функционирова-
ния конкретного экономического объекта и сформулировать рекомендации для при-
нятия практических решений. К прикладным относятся, прежде всего, эконометри-
ческие модели, оперирующие числовыми значениями экономических переменных и
позволяющие статистически значимо оценивать их на основе имеющихся наблюде-
ний.
Равновесные модели описывают такие состояния экономики, когда результи-
рующая всех сил, стремящихся вывести ее из данного состояния, равна нулю. В не-
рыночной экономике неравновесие по одним параметрам (например, дефицит) ком-
пенсируется другими факторами (черный рынок, очереди и т.п.). Равновесные моде-
ли дескриптивны, описательны. В нашей стране долгое время преобладал норма-
тивный подход в моделировании, основанный на оптимизации. Оптимизация в
теории рыночной экономики присутствует в основном на микроуровне (максимиза-
ция полезности потребителем или прибыли фирмой); на макроуровне результатом
рационального выбора поведения экономическими субъектами оказывается некото-
рое состояние равновесия.
Статические модели описывают состояние экономического объекта в кон-
кретный момент или период времени. В статических моделях обычно зафиксирова-
ны значения ряда величин, являющихся переменными в динамике, - например, ка-
питальных ресурсов, цен и т.п.
Динамические модели включают взаимосвязи переменных во времени. Дина-
мическая модель описывает силы и взаимодействия в экономике, определяющие ход
процессов в ней. Динамические модели обычно используют аппарат дифференци-
альных и разностных уравнений, вариационного исчисления.
Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи
между переменными модели.
Стохастические модели допускают наличие случайных воздействий на ис-
следуемые показатели и используют инструментарий теории вероятностей и мате-
матической статистики для их описания.
1.3 Математическая экономика
Математическая экономика - раздел экономической науки, занимающийся
анализом свойств и решений математических моделей экономических процессов. В
некоторых случаях эти модели могут рассматриваться как часть математической
теории на стыке с экономической наукой. Математическая экономика отделяется
обычно от эконометрики, занимающейся статистической оценкой и анализом эко-

---

Page 10

10
номических зависимостей и моделей на основе изучения эмпирических данных. В
математической экономике исследуются теоретические модели, основанные на оп-
ределенных формальных предпосылках (линейность, выпуклость, монотонность и
т.п. зависимости, конкретные формулы взаимосвязи величин). Задачей математиче-
ской экономики является изучение вопроса о существовании решения модели, усло-
виях его неотрицательности, стационарности, наличия других свойств. Это обычно
осуществляется, как и в математике, путем дедуктивного получения следствий (тео-
рем) из априорно сделанных предпосылок (аксиом).
Предметная область, методология и инструментарий экономической науки не
исчерпываются подходами математической экономики и эконометрики - обычно в
экономических исследованиях используются также методы качественного анализа,
индуктивные, эвристические подходы, перемежающиеся с элементами математиче-
ской экономики и эконометрики. Таким образом, математическая экономика высту-
пает и как самостоятельный раздел экономической науки, и как один из ее инстру-
ментов.
Математические модели использовались с иллюстративными и исследова-
тельскими целями еще Франсуа Кенэ (1758 г., "Экономическая таблица"), Адамом
Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д. Рикардо (модель междуна-
родной торговли). В XIX веке большой вклад в моделирование рыночной экономи-
ки внесла математическая школа (Леон Вальрас, О. Курно, Вильфредо Парето, Ф.
Эджворт и др.). В XX веке математические методы моделирования применялись
очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные
Нобелевской премии по экономике (Д. Хикс, Р. Солоу, Василий Леонтьев, П. Саму-
эльсон и др.). Развитие микроэкономики, макроэкономики, прикладных дисциплин
связано со все более высоким уровнем их формализации. Основу для этого заложил
прогресс в области прикладной математики - теории игр, математического програм-
мирования, математической статистики. В России в начале XX века большой вклад
в математическое моделирование экономики внесли В.К. Дмитриев и Е.Е. Слуцкий.
В 1930-е - 50-е годы в этой области не наблюдалось прогресса вследствие идеологи-
ческих ограничений тоталитарного режима. В 1960-е - 80-е годы экономико-
математическое направление возродилось (В.С. Немчинов, В.В. Новожилов, Леонид
Канторович), но было связано в основном с попытками формально описать "систему
оптимального функционирования социалистической экономики". Строились много-
уровневые системы моделей народнохозяйственного планирования, оптимизацион-
ные модели отраслей и предприятий.
Рассмотрим только три направления экономической теории.

---

Page 11

11
Каждый из этих ученых-исследователей создал свою экономическую теорию,
свою модель экономики, исходя из некоторых принципов, которые он считал вер-
ными. Совокупность этих частных экономических законов, правил называется эко-
номической политикой. Вот основные принципы Смита, Маркса, Кейнса.
Адам Смит (1723–1790), основной труд "Исследование о природе и причинах
богатства народов": отдельные участники экономики действуют независимо друг
от друга, тем не менее, некая "невидимая рука" координирует их действия; роль го-
сударства минимальна.
Карл Маркс (1818–1883), основной труд "Капитал": производство, его уро-
вень играет во всем обществе определяющую роль, в своем развитии общество и
экономика проходят через моменты взрывного характера – революции; "революции
– это локомотивы истории".
Джон Кейнс (1883–1946), основной труд "Общая теория занятости, про-
цента и денег": денежное обращение имеет огромное самостоятельное значение, а
не есть лишь отражение соответствующего обращения товаров и услуг; в опреде-
ленные моменты роль государства может быть определяющей, а не только регули-
рующей, второстепенной.
В экономике последователей Смита часто называют классиками, последова-
телей Маркса – марксистами, Кейнса – кейнсианцами. Направление, которое ныне
более или менее принимает идеи Смита, называется неоклассическим. В нашем кур-
се мы в основном придерживаемся этого направления.
Сейчас важной задачей является моделирование процессов переходного пе-
риода.
1.4 Ф
УНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И
ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
1.4.1 Функции двух переменных и их множества (линии) уровня
В функции двух переменных независимых переменных две, а не одна как в
случае функции одной переменной:
(
)
2
1
, x
x
f
y =
- функция двух переменных
1
x и
2
x .
Переменные x
1
и х
2
изменяются независимо друг от друга.
Если “независимых” переменных несколько
n
x
x
,
,
1
K
, имеем функцию n пе-
ременных.
Пример 2.1. Функции
n
n
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
a
y
...
,
1
1
0
2
2
1
1
0
+
+
=
+
+
=
-линейные
функции двух и n переменных.
Функции

---

Page 12

12
n
n
n
n
x
x
x
a
y
x
x
y
x
x
y
x
x
y
α
α
α
...
,
,
...
,
2
1
2
1
0
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
=
−
=
+
+
=
+
=






=
n
n
b
x
b
x
b
x
y
,
,
,
min
2
2
1
1
K
являются нелинейными.
Графиком функции f двух переменных
1
x и
2
x называется множество точек
(
)
2
1
, x
x
трехмерного пространства таких, что
(
)
2
1
, x
x
f
y =
, т.е. множество точек
(
)
2
1
2
1
,
,
,
x
x
f
x
x
. Обычно в экономических приложениях
0
1
>
x
,
0
2
>
x
. График Г
функции двух переменных можно наглядно представить в виде двумерной поверх-
ности в трехмерном пространстве. Для функции трех и более переменных понятие
графика определяется аналогично как множество точек (n+1) -мерного пространства
(
)
n
n
x
x
f
x
x
,....,
,
....
,
1
1
.
Пример 1.2. Построим график Г функции
0
,0
2
1
2/
1
2
2/
1
1
≥
≥
=
x
x
при
x
x
y
(эта
функция представляет собой конкретный пример производственной функции Кобба-
Дугласа (ПФ КД) , когда
2
1
2
1
=
= a
a
,
1
0
=
a
) (рис. 1.1).
Очевидно, при
0
1
≥
x
,
0
2
≥
x
график Г есть коническая поверхность, обра-
зующие которой - лучи, выходящие из точки O, а направляющая есть линия H (рис.
5). В вертикальной плоскости
1
2
1
=
+ x
x
линия H имеет уравнение
(
)
2
1
1
2
1
1
1 x
x
y
−
=
.
Пример 1.3. Построить график
Г
функции
4/
1
2
4/
1
1
x
x
y =
при
0
,0
2
1
≥
≥ x
x
(здесь
4
1
2
1
=
= a
a
,
1
0
=
a
) (рис. 1.2). В вертикальной плоскости
1
2
1
=
+ x
x
линия H
имеет уравнение
(
)
4
1
1
4
1
1
1 x
x
y
−
=
.
2
x
1
x
H
1
1
2
1
=
+ x
x
1
2
x
x =
2
1
x
x
y
=
=
Рисунок – 1.1
y

---

Page 13

13
В экономических приложениях широко используются понятия выпуклого
множества и выпуклой функции двух и нескольких переменных. Сначала приведём
определение для случая, когда
2
=
n
.
Определение1.1.
Множество называется выпуклым, если оно вместе с двумя любыми своими
точками содержит отрезок, их соединяющий (рис. 1.3).
Множество, которое не является выпуклым, называется невыпуклым (рис. 1.4).
Приведённое определение выглядит одинаково для случая двух переменных и для слу-
чая
n
(нескольких) переменных.
Наглядно понятие выпуклого множества можно пояснить так: выпуклое мно-
жество - это множество, которое не имеет вмятин и дыр. На рис. 1.3 изображено вы-
2
x
1
x
1
1
1
2
1
=
+ x
x
1
2
x
x =
2
1
x
x
y
=
=
Рисунок 1.2 –
y
H
1
x
2
x
M
0
x
1
x
1
x
2
x
0
x
1
x
2
x
M
Рисунок 1.3
Рисунок 1.4

---

Page 14

14
пуклое множество, на рис. 1.4 представлено невыпуклое множество M , которое
имеет одну вмятину и одну дыру.
Определение 1.2.
Функция
( )
x
f
, определённая на выпуклом множестве M , называется выпук-
лой вниз (вогнутой вверх), если для любых двух точек
0
x и
1
x из множества M и
для любого числа
λ
,
1
0
≤
≤ λ
справедливо неравенство
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
1
0
1
0
1
1
x
f
x
f
x
x
f
λ
λ
λ
λ
+
−
≤
+
−
Например, функции
( )
,
3
2
2
1
1
a
x
a
x
a
x
f
+
+
=
( )
2
2
1
2
x
x
x
f
+
=
выпуклы вниз на
всём пространстве
2
E .
График
f
Г
выпуклой вниз функции
( )
x
f
расположен ниже (точнее не выше)
любой своей хорды (рис. 1.5).
Определение 1.3.
Функция
( )
x
g
, определённая на выпуклом множестве M , называется выпуклой
вверх (вогнутой вниз), если функция
( )
( )
x
f
x
g
−
=
, где функция
( )
x
f
выпукла вниз.
Например, функции
3
2
2
1
1
a
x
a
x
a
y
+
+
=
,
(
)
1
0
2
1
2
0
2
1
<
+
<
=
α
α
α
α
x
x
a
y
l
выпуклывверх.
Термины "выпуклый вниз" ("вогнутый вверх"), "выпуклый вверх" ("вогнутый
вниз") применяются также к графикам соответствующих функций.
Для случая
2
>
n
приведённые определения функции выпуклой вниз и выпук-
лой вверх переписываются с незначительными корректировками.
Множеством (чаще говорят - линией) уровня
q
(
q
- число, в экономических
1
x
2
x
y
1
x
λ
x
0
x
H
( )
(
)
0
0
,
x
f
x
(
)
( ) ( )
1
0
1
x
λf
x
f
λ
+
−
( )
1
1
, x
f
x
( )
λ
x
f
f
Γ
Рисунок 1.5

---

Page 15

15
приложениях
q
≥0) функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
называется множество (совокупность) всех
пар
(
)
2
1
,x
x
такое, что
(
)
q
x
x
f
=
2
1
,
, т.е. во всех точках
(
)
2
1
,x
x
, принадлежащих
множеству уровня
q
, частное значение функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
одно и то же и равно
q
. Множество уровня q функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
обозначается символом
q
l
. На рис. 1.6
наглядно иллюстрируется это важное математическое понятие. Горизонтальная плос-
кость P пересекается с графиком Г по плоской горизонтальной линии
q
L
, которая вся
"зависает" над плоскостью
2
1
x
Ox
на высоте
q
. Проектируя
q
L
на плоскость
2
1
x
Ox
,
получаем линию
q
l
, которая и есть множество уровня
q
функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
.
Специально отметим, что все точки линии
q
L
принадлежат графику Г .
Множество всех множеств (линий) уровня функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
называется
картой линий уровня функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
. По карте можно получить довольно точ-
ное представление о характере графика Г функции
(
)
2
1
,x
x
f
. Фрагмент карты линий
уровня
(
)
2
1
, x
x
f
y =
функции, график Г которой представлен на рис. 1.6, изображен
на рис. 1.7.
График Г имеет вид "горки" (рис. 1.6), поэтому линия
2q
l
соответствует
уровню
2
q который больше уровня
q
, т.е.
q
q >
2
. Аналогично,
q
q >
1
. Таким обра-
зом, если график Г имеет вид "горки", то линии уровня
2q
l
, расположенной северо-
восточнее линии уровня
q
l
(или
1q
l
,), соответствует и больший уровень
2
q т.е.
q
q >
2
(
1
2
q
q > ). Верно иобратное (рис. 1.6).
Если линия
1q
l
(или линия
q
l
или линия
2q
l
,) выглядит так, как на рис.1.7, то
говорят, что эта линия выпукла к точке О.
1
x
2
x
y
1
q
q
2
q
1
q
L
q
L
2
q
L
Г
1
p
p
2
p
2
q
l
q
l
1
q
l
Рисунок 1.6 –

---

Page 16

16
1.4.2 Частные производные, градиент и дифференциал
Определение 1.4.
Пусть
(
)
2
1
, x
x
f
y =
- функция двух переменных. (Первая) производная функции
(
)
2
1
,x
x
f
по переменной х
1
при фиксированной второй переменной х
2
называется (пер-
вой) частной производной функции
(
)
2
1
,x
x
f
по переменной х
1
что символически за-
писывается так:
(
)
1
2
1
,
x
x
x
f
∂
∂
, или
(
)
1
2
1
,
x
x
x
y
∂
∂
или просто
1
x
y
∂
∂
Аналогично определяется (первая) частная производная функции
(
)
2
1
,x
x
f
по пе-
ременной х
2
:
(
)
2
2
1
,
x
x
x
f
∂
∂
, или
(
)
2
2
1
,
x
x
x
y
∂
∂
или просто
2
x
y
∂
∂
Обратим внимание, что в символике частных производных используются круглые
∂
, а не прямые
d
. В случае (первой) частной производной
(
)
i
n
i
x
x
x
x
f
∂
∂
K
K ,
,
,
1
по пере-
менной
i
x функции
(
)
n
x
x
x
f
n
i
K
K ,
,
1
переменных роль постоянных играют все пере-
менные, кроме переменной
i
x .
Первая частная производная по переменной
1
x , представляет собой, вообще
говоря, новую функцию двух (нескольких) переменных. Если нет специальной ого-
ворки, мы будем полагать, что частные производные принимают только конечные
значения, т.е. речь идёт только о конечных частных производных.
Если в точке
( )
0
2
0
1
, x
x
значение (первой) частной производной функции
1
q
l
q
l
2
q
l
1
x
2
x
Рисунок 1.7 –
0

---

Page 17

17
(
)
2
1
, x
x
f
по переменной
( )
2
1
x
x
положительно, т.е. если
( )
0
,
1
0
2
0
1
>
∂
∂
x
x
x
f
,
( )








>
∂
∂
0
,
2
0
2
0
1
x
x
x
f
, при малом росте переменной
( )
2
1
x
x
относительно
( )
0
2
0
1
x
x
при фик-
сированной переменной
( )
0
2
0
1
x
x
значение у функции
(
)
2
1
, x
x
f
растет, т.е. из того, что
(первая) частная производная по переменной
( )
2
1
x
x
положительная, следует свойст-
во (локальной) монотонности функции
(
)
2
1
, x
x
f
по переменной
( )
2
1
x
x
.
Пример 1.4. Имеем
2
2
1
1
0
x
a
x
a
a
y
+
+
=
, тогда
1
1
a
x
y
=
∂
∂
,
2
2
a
x
y
=
∂
∂
.
При нахождении частной производной
1
x
y
∂
∂
– слагаемое
2
2
x
a
фиксировано,
т.е. играет роль постоянной, как и слагаемое
0
a , поэтому производная по
1
x , суммы
("хвоста") (
2
2
0
x
a
a +
) равна нулю. Аналогично поясняется ответ
2
2
a
x
y
=
∂
∂
. Также по
аналогии, в случае
n
n
i
i
x
a
x
a
x
a
a
y
+
+
+
+
+
=
K
K
1
1
0
имеем n штук (первых) част-
ных производных
i
i
a
x
y
=
∂
∂
,
n
i
,
,1K
=
.
Пример 1.5. Производная степенной функции
1
0
a
x
b
y =
одной переменной x
равна
1
1
0
1
−
=
∂
∂
a
x
a
b
x
y
. (Первая) частная производная функции
2
1
2
1
0
α
α
x
x
a
по перемен-
ной
1
x , равна
2
1
2
1
1
1
0
1
a
a
x
x
a
a
x
y
−
=
∂
∂
.
Аналогично
1
2
1
2
0
2
2
1
−
=
∂
∂
a
a
x
x
a
a
x
y
.
Определение 1.5.
Упорядоченная пара (первых) частных производных
(
) (
)








∂
∂
∂
∂
2
2
1
1
2
1
,
,
,
x
x
x
f
x
x
x
f
или
(
) (
)








∂
∂
∂
∂
2
2
1
1
2
1
,
,
,
x
x
x
y
x
x
x
y
функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
двух переменных
1
x и
2
x обозначается
символом
(
)
2
1
,x
x
f
grad
(или
(
)
2
1
,x
x
f ′
или
(
)
2
1
, x
x
y
grad
) и называется градиентом
функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
двух переменных. Градиент функции двух переменных есть

---

Page 18

18
двумерный вектор, функции
(
)
n
x
x
f
n
K
,
1
переменных –
n
-мерный вектор
(
)
(
)
(
)








∂
∂
∂
∂
=
n
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
f
grad
K
K
K
K
,
,
,
,
,
1
1
1
1
.
Градиент
( )
0
0
2
1
, x
x
f
grad
функции
(
)
2
1
,x
x
f
в точке
(
)
0
0
2
1
,x
x
показывает направле-
ние самого быстрого роста функции
(
)
2
1
, x
x
f
в точке
( )
0
0
2
1
, x
x
.
Задача 1.1. Для функции
2/
1
2
2/
1
1
x
x
y =
двух переменных
1
x и
2
x
а) построить линию уровня
0q
l
проходящую через точку
( )
( )
1,
4
,
0
0
2
1
=
x
x
;
б) найти градиент
( ) ( )








∂
∂
∂
∂
2
0
0
1
0
0
2
1
2
1
,
,
,
x
x
x
y
x
x
x
y
этой точке (4, 1);
в) построить этот градиент.
Решение задачи 1.1
а) Сначала найдем уровень
0
q
, который равен частному значению функции
2/
1
2
2/
1
1
x
x
y =
в точке (4, 1). Имеем:
( ) ( )
2
1
4
2/
1
2/
1
2/
1
0
2
2/
1
0
1
0
=
=
=
x
x
q
. Построим на
плоскости
2
1
x
Ox
линию
2
0
q
q
l
l =
, уравнение которой имеет вид:
2/
1
2
2/
1
1
0
x
x
q =
, или
2/
1
2
2/
1
1
2
x
x
=
или
2
1
4
x
x
=
, или, наконец
1
2
4
x
x =
(рис. 1.8).
б) Имеем:
(
)
2/
1
2
2/
1
1
1
2
1
2/
1
,
x
x
x
x
x
y
−
=
∂
∂
,
(
)
2/
1
2
2/
1
1
2
2
1
2/
1
,
−
−
=
∂
∂
x
x
x
x
x
y
,
( )
( )
4
1
2
1
2
1
1
4
2
1
4,
1
,
2
1
2
1
1
1
0
0
2
1
=
=
=
∂
∂
=
∂
∂
−
x
y
x
x
x
y
,
( )
( )
1
2
2
1
4
2
1
4,
1
,
2
1
2
1
2
2
0
0
2
1
=
=
=
∂
∂
=
∂
∂
−
x
y
x
x
x
y
в) Строим градиент
( )
( )
1,
4
1
,
0
0
2
1
=
x
x
y
grad
на плоскости
2
1
x
Ox
, сначала выхо-
дящим из точки (0, 0), а затем из точки
( )
1,
4
(рис. 1.8). Следует обратить внимание,
что на рис. 1.8
( )
( )
1,
4
,
0
0
2
1
=
x
x
y
grad
перпендикулярен (ортогонален) касательной K
к линии (гиперболе)
0
2
q
l
l =
в точке
( )
1,
4 , т.е. ортогонален линии
2
l , проходящей
через точку
( )
1,
4 . Этот частный факт есть иллюстрация общего случая: градиент
( )
0
0
2
1
, x
x
y
grad
в точке
( )
0
0
2
1
, x
x
всегда ортогонален линии
0q
l
уровня
0
q , проходящей
через точку
( )
0
0
2
1
, x
x
.

---

Page 19

19
Задача 1.2. Для функции
2/
1
2
2/
1
1
x
x
y =
двух переменных
1
x и
2
x :
а) построить (дополнив рис.1.8) линию уровня
1q
l
, проходящую через точку
( )
( )
2,
4
,
1
1
2
1
=
x
x
;
б) найти градиент
( ) ( )








∂
∂
∂
∂
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
,
,
,
x
x
x
y
x
x
x
y
в точке (4,2);
в) построить этот градиент (дополнив рис. 1.8);
г) убедиться, что
2
0
1
=
> q
q
и что линия
1q
l
расположена "северо-восточнее"
линии
0q
l
;
д) убедиться, что действительно,
( )
1,
4
y
grad
показывает направление, в кото-
ром функция
2/
1
2
2/
1
1
x
x
y =
растет.
Эту задачу предлагается решить самостоятельно.
Говорят, что уравнение
(
)
2
1
, x
x
f
q =
задает неявную функцию
( )
1
2
x
h
x =
как
функцию переменной
1
x , ибо в уравнении
(
)
2
1
, x
x
f
q =
еще не выделена переменная
2
x , как это имеет место в случае уравнения
( )
1
2
x
h
x =
. Аналогично можно говорить
о неявной функции
( )
2
1
x
g
x =
как функции переменной
2
x .
Отметим, что если (первые) частные производные функции
(
)
2
1
, x
x
f
непре-
рывны в точке
( )
0
0
2
1
, x
x
и в близких к ней точках и если для определенности
( )
0
,
2
0
0
2
1
≠
∂
∂
x
x
x
f
, то неявная функция
( )
1
2
x
h
x =
существует при всех
1
x , близких к
0
1
x .
Однако далеко не всегда на основании аналитического выражения
(
)
2
1
, x
x
f
можно
выписать аналитическое выражение для функции
( )
1
2
x
h
x =
.
2
4
2
(2,2)
(4,25;2)
(4;1)
1
(0,25;1)
( )
(
)
1
25
0
1
4
;
,
,
y
grad
=
( )
(
)
1
25
0
1
4
;
,
,
y
grad
=
1
x
2
x
Рисунок 1.8 –
K
l
2

---

Page 20

20
Если линии уровня функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
являются нисходящими, т.е. линия-
ми типа тех, что изображены на рис. 1.7 или на рис. 1.8, то для уравнения
(
)
2
1
, x
x
f
q =
неявная функция
( )
1
2
x
h
x =
(или
( )
2
1
x
g
x =
) существует. Таким обра-
зом одна и та же нисходящая линия l (рис. 1.9) описывается уравнением
(
)
2
1
, x
x
f
q =
, еще не разрешенным относительно переменной
2
x , (или переменной
1
x ), и уравнением
( )
1
2
x
h
x =
(или уравнением
( )
2
1
x
g
x =
), уже разрешенным отно-
сительно переменной
2
x , (переменной
1
x ).
Пример 1.3. Уравнение
2/
1
2
2/
1
1
2
x
x
=
можно переписать, выделив явно пере-
менную
2
x (переменную
1
x ):
1
2
4
x
x =








=
2
1
4
x
x
Если (первые) частные производные
(
)
1
2
1
,
x
x
x
f
∂
∂
и
(
)
2
2
1
,
x
x
x
f
∂
∂
непрерывны в точ-
ке
(
)
0
0
2
1
,x
x
(см. рис. 1.9) и в близких к ней точках, то производную
( )
0
1
'
x
h
можно вы-
писать, не используя явной формулы
( )
1
2
x
h
x =
, следующим образом:
( )
( )
(
)
(
)








∂
∂








∂
∂
−
=
=
2
0
2
0
1
1
0
2
0
1
1
0
1
0
1
'
,
/
,
x
x
x
f
x
x
x
f
dx
x
dh
x
h
Таким образом,
α
tg
(и, следовательно, наклон касательной К ), равный
( )
0
1
'
x
h
может быть найден как отношение (первых) частных производных функции
(
)
2
1
, x
x
f
в точке
( )
0
0
2
1
, x
x
, взятое со знаком минус, т.е. без использования явного вы-
ражения
( )
1
x
h
. Выписанная формула называется производной неявной функции
1
x
2
x
0
1
x
0
2
x
0
l
K
α
(
)
( )
( )










=
=
=
2
1
1
2
2
1
x
g
x
x
h
x
q
,x
x
f
Рисунок 1.9

---

Page 21

21
Производная неявной функции
( )
2
1
x
g
x =
выписывается аналогично (числи-
тель и знаменатель меняются местами).
Пример 1.4. Пусть
2
2
1
2
2
1
1
=
x
x
и
(
)
( )
1,
4
,
0
0
2
1
=
x
x
. Имеем
(
)
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
1
,
x
x
x
x
x
f
−
=
∂
∂
,
(
)
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
,
−
=
∂
∂
x
x
x
x
x
f
,
( )
( ) ( )
( ) ( )
4
1
5,
0
5,
0
4
0
1
0
2
2
1
0
2
2
1
0
1
2
1
0
2
2
1
0
1
'
=
−
=
−
=
−
−
x
x
x
x
x
x
h
.
Определение 1.6.
По аналогии с (первым), дифференциалом
( ) ( )
dx
x
f
x
df
=
(или
( )
( )
dx
x
y
x
dy
,
=
или
dx
y
dy
,
=
функции
( )
x
f
y =
одной переменной
x
выражение
(
)
(
)
1
1
2
1
2
1
1
,
,
dx
x
x
x
f
x
x
f
d
∂
∂
=
(или
(
)
(
)
1
1
2
1
2
1
1
,
,
dx
x
x
x
y
x
x
y
d
∂
∂
=
, или
1
1
1
dx
x
y
y
d
∂
∂
=
)
называется (первым) частным дифференциалом функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, соответст-
вующим переменной
1
x .
(Первый) частный дифференциал функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, соответствующий
переменной
2
x , имеет вид
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
,
,
dx
x
x
x
f
x
x
f
d
∂
∂
=
(или
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
,
,
dx
x
x
x
y
x
x
y
d
∂
∂
=
, или
2
2
2
dx
x
y
y
d
∂
∂
=
)
Определение 1.7.
Сумма двух (первых) частных дифференциалов называется (первым) полным
дифференциалом (символика:
(
)
2
1
,x
x
df
,
(
)
2
1
, x
x
dy
, dy) функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
двух
переменных
1
x и
2
x :
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
1
,
,
,
dx
x
x
x
f
dx
x
x
x
f
x
x
f
d
∂
∂
+
∂
∂
=
По аналогии для функции
(
)
n
x
x
f
y
n
,
,
1
K
=
переменных имеем следующее
выражение для (первого) полного дифференциала:
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
,
,
,
,
,
,
dx
x
x
x
f
dx
x
x
x
f
x
x
df
n
n
n
∂
∂
+
+
∂
∂
=
K
K
K
K
Пример 1.5. Для функции
2
1
2
2
1
1
x
x
y
⋅
=
имеем
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
,
,
,
dx
x
x
x
y
dx
x
x
x
y
x
x
dy
∂
∂
+
∂
∂
=

---

Page 22

22
или
(
)
2
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
,
dx
x
x
dx
x
x
x
x
dy






⋅
+






⋅
=
−
−
В точке
( )
( )
1,
4
,
0
0
2
1
=
x
x
(первый) полный дифференциал имеет вид
( )
( )
( )
2
2
0
0
1
1
0
0
0
0
2
1
2
1
2
1
,
,
,
dx
x
x
x
y
dx
x
x
x
y
x
x
dy
∂
∂
+
∂
∂
=
или
( )
2
1
4
1
1,
4
dx
dx
dy
+
=
.
1.4.3 Однородные функции
Определение 1.8.
Функция
(
)
2
1
, x
x
f
y =
определенная при
0
1
≥
x
,
0
2
≥
x
называется однород-
ной функцией степени
p
, если для любого числа
0
>
t
и любых
0
1
≥
x
и
0
2
≥
x
вы-
полняется равенство
(
)
(
)
2
1
2
1
,
,
x
x
f
t
tx
tx
f
p
=
Для функции
(
)
n
x
x
f
y
n
,
,
1
K
=
переменных определение аналогично
(
)
(
)
n
p
n
x
x
f
t
tx
tx
f
,
,
,
,
1
1
K
K
=
Для однородных функций степени
p
(двух переменных) справедлива форму-
ла
(
)
(
)
(
)
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
,
,
,
x
x
pf
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
=
∂
∂
+
∂
∂
Аналогичная формула имеет место и для однородной функции степени
n
p
переменных
(
)
(
)
(
)
n
n
n
x
x
pf
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
,
,
,
,
,
,
1
2
2
1
1
1
1
K
K
K
K
=
∂
∂
+
+
∂
∂
Приведенные для однородных функций степени
p
двух и
n
переменных
формулы имеют место, если (первые) частные производные существуют и непре-
рывны (эти условия для многих производственных функций и функции полезности
выполняются). Эти формулы называются формулами Эйлера, и утверждение об их
справедливости - теоремой Эйлера. Формулы Эйлера существенно используются в
микроэкономическом анализе.
Пример 1.6. Линейная функция вида
2
2
1
1
x
a
x
a
y
+
=
(она называется линейной
формой) однородна первой степени, ибо
( )
( ) (
)
2
2
1
1
2
2
1
1
x
a
x
a
t
tx
a
tx
a
+
=
+
.
Пример 1.7. Квадратичная форма, т.е. функция вида
2
2
22
2
1
12
2
1
11
2
x
a
x
x
a
x
a
y
+
+
=
,
однородна второй степени, ибо

---

Page 23

23
( )
( )( )
( )
(
)
2
22
22
2
1
12
2
11
2
2
2
22
2
1
12
2
1
11
2
2
1
x
a
x
x
a
x
a
t
tx
a
tx
tx
a
tx
a
+
+
=
+
+
.
1.4.4 Элементы теории экстремума
Определение 1.9.
Двумерной
δ
-окрестностью точки
( )
0
2
0
1
,x
x
(символика:
(
)
0
2
0
1
2
,
,
x
x
U δ
) называ-
ется множество точек
( )
0
2
0
1
,x
x
, принадлежащих открытому кругу радиуса
0
>
δ
с
центром в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
, т.е.
(рис. 1.10).
Аналогично,
Если при фиксированном числе
0
>
δ
точка
(
)
(
)
0
2
0
1
2
2
1
,
,
,
x
x
U
x
x
δ
∈
, то говорят,
что точка
(
)
2
1
,x
x
близка к точке
( )
0
2
0
1
,x
x
. Если точка
(
)
(
)
0
2
0
1
2
2
1
,
,
,
x
x
U
x
x
δ
∉
, то гово-
рят, что точка
(
)
2
1
,x
x
далека от точки
( )
0
2
0
1
,x
x
. Если точка
( )
0
2
0
1
,x
x
принадлежит
множеству M вместе со своей некоторой
δ
-окрестностью
(
)
2
0
1
2
,
,
x
x
U δ
, т.е. со все-
ми своими близкими точками
(
)
2
1
,x
x
, она (точка
( )
0
2
0
1
,x
x
называется внутренней для
множества M .
Определение 1.10.
Точка
( )
0
2
0
1
,x
x
называется точкой локального максимума (минимума) функции
(
)
2
1
,x
x
f
двух переменных
1
x и
2
x , если для всех точек
(
)
2
1
,x
x
из области опреде-
(
)
( )
(
)
(
) (
)
U
2
2
2
0
2
2
2
0
1
1
2
1
0
2
0
1






<
−
+
−
δ
x
x
x
x
,x
x
,x
δ,x
fe
d
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
{
}
.
,
,
,
,
,
,
2
2
0
2
0
1
1
2
1
0
0
1
U
K
K
K
n
n
n
n
fe
d
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
δ
δ
<
−
+
+
−
( )
0
2
0
1
,x
x
(
)
2
1
,x
x
δ
1
x
2
x
0
Рисунок 1.10

---

Page 24

24
ления функции
f
близких к точке
( )
0
2
0
1
,x
x
, справедливо неравенство
( )
(
)
( )
(
)
(
)
2
1
0
2
0
1
2
1
0
2
0
1
,
,
,
,
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
≤
≥
.
Само частное значение
( )
0
0
2
1
,x
x
f
называется локальным максимумом (локаль-
ным минимумом) функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
.
Если
( )
0
2
0
1
,x
x
- точка локального максимума (минимума) функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, то около точки
( )
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,
,
,
x
x
f
x
x
трехмерного пространства график Г
функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
имеет вид "шапочки" (перевернутой "шапочки") (рис. 1.11 и
рис. 1.12).
Отметим, что вместо двух терминов (максимума и минимума) используют
один термин экстремум.
Определение 1.11.
Точка
( )
0
2
0
1
,x
x
называется точкой глобального максимума (глобального минимума)
функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
двух переменных
1
x и
2
x , если для всех точек
(
)
2
1
,x
x
, для кото-
рых функция
(
)
2
1
,x
x
f
определена, справедливонеравенство
( )
(
)
( )
(
)
(
)
2
1
0
2
0
1
2
1
0
2
0
1
,
,
,
,
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
x
f
≤
≥
.
Само частное значение
( )
0
0
2
1
,x
x
f
называется глобальным максимумом (глобальным
минимумом)функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
.
Если функция
(
)
2
1
,x
x
f
выпукла вниз и имеет локальный минимум, то он является
глобальным минимумом. Если функция
(
)
2
1
,x
x
f
выпукла вверх и имеет локальный мак-
симум, то он является глобальным максимумом.
Необходимоеусловиелокальногоэкстремумаформулируетсяследующим образом.
( )
0
2
0
1
,x
x
( )
0
2
0
1
,x
x
(
)
2
1
,x
x
(
)
2
1
,x
x
(
)
(
)
2
1
2
1
,x
x
,f
,x
x
( )
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,x
x
,f
,x
x
( )
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,x
x
,f
,x
x
(
)
(
)
2
1
2
1
,x
x
,f
,x
x
2
x
2
x
1
x
1
x
y
y
Рисунок 1.11
Рисунок 1.12

---

Page 25

25
Пусть функция
(
)
2
1
,x
x
f
y =
в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
имеет локальный экстремум (точка
( )
0
2
0
1
,x
x
- внутренняя для области определения функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, тогда
(
)
(
)
0
,
,0
,
2
0
2
0
1
1
0
2
0
1
=
∂
∂
=
∂
∂
x
x
x
f
x
x
x
f
(предполагаетсясуществование (первых) частных производных в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
).
Определение1.12.
Точка
(
)
0
2
0
1
,x
x
называется критической для функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, если координа-
ты
0
1
x
и
0
2
x
этой точки удовлетворяют системе уравнении
(
)
0
,
1
2
1
=
∂
∂
x
x
x
f
,
(
)
0
,
2
2
1
=
∂
∂
x
x
x
f
.
Поэтому точки локального экстремума функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
, лежащие внутри
её областиопределения, следует искать только среди критических точек этой функции.
Критическая точка не обязана быть точкой (локального) экстремума, как показывает
следующий пример.
Пример 1.8. Для функции
2
2
2
1
x
x
y
−
=
имеем
0
2
1
1
=
=
∂
∂
x
x
y
,
0
2
2
2
=
−
=
∂
∂
x
x
y
, откуда
получаем критическую точку
( )
0,
0
( )
(
)
0
0,
0 =
y
. Однако точка
( )
0,
0
не есть ни точка
максимума, ни минимума, ибо при
( )
0
0,
2
1
1
>
= x
y
x
, при
( )
0
,0
2
2
2
<
−
= x
y
x
, а при
( )
0
0,
0
=
y
. График функции
2
2
2
1
x
x
y
−
=
называется седловой поверхностью (на рис. 1.13
хорошо видно, что около трехмерной точки
(
)
0.
0,
0
поверхность сильно отличается по
своему виду от "шапочки" и перевернутой"шапочки").
1
x
2
x
2
2
x
y =
2
1
x
y =
(
)
0,
1
x
(
)
2
,0 x
0
y
Рисунок 1.13

---

Page 26

26
Определение1.13.
Второй частной производной функции
(
)
2
1
,x
x
f
y =
двух переменных называется
(первая) частная производная от (первой) частной производной.
Таким образом имеем четыре вторых частных производных
(
)
2
1
2
1
2
,
x
x
x
f
∂
∂
,
(
)
2
1
2
1
2
,
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
,
(
)
1
2
2
1
2
,
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
,
(
)
2
2
2
1
2
,
x
x
x
f
∂
∂
Если смешанные вторые частные производные
(
)
2
1
2
1
2
,
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
и
(
)
1
2
2
1
2
,
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
непре-
рывны, то они обязательно равны. В отличие от смешанных вторые частные производ-
ные
(
)
2
1
2
1
2
,
x
x
x
f
∂
∂
,
(
)
2
2
2
1
2
,
x
x
x
f
∂
∂
принято называть чистыми.
В случае функции
(
)
n
x
x
f
n
,
,
1
K
переменных имеем
2
n штук вторых частных
производных:
(
)
(
)
2
1
2
2
1
1
2
,
,
,
,
,
,
n
n
n
x
x
x
f
x
x
x
f
∂
∂
∂
∂
K
K
K
,
(
)
(
)
,
,
,
,
,
,
,
,
1
1
2
2
1
1
2
K
K
K
K
n
n
n
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(
)
(
)
1
1
2
1
1
2
,
,
,
,
,
,
−
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
K
K
K
Если смешанные вторые частные производные
(
)
j
i
n
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
,
,
1
2
K
и
(
)
i
j
n
x
x
x
x
f
∂
∂
∂
,
,
1
2
K
(
)
n
j
ij
i
,
,1
,;
K
=
≠
непрерывны, то они равны.
Пример 1.9. Пустьфункция
(
)
2
1
, x
x
f
есть квадратичная форма
2
2
2
1
2
1
4
x
x
x
x
y
+
−
=
.
Здесь
(
)
2,
1
=
∞
+
<
∞
−
i
x
i
. Тогда
2
1
1
4
2
x
x
x
y
−
=
∂
∂
,
2
1
2
2
4
x
x
x
y
+
−
=
∂
∂
.
(
)
2
4
2
1
2
1
1
1
2
1
2
=
∂
−
∂
=








∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
x
x
x
y
x
x
y
,
(
)
4
2
4
1
2
1
2
1
2
1
2
−
=
∂
+
−
∂
=








∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
x
x
x
x
y
x
x
x
y
,
(
)
4
4
2
2
2
1
1
2
1
2
2
−
=
∂
−
∂
=








∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
x
x
x
x
y
x
x
x
y
,

---

Page 27

27
(
)
2
2
4
2
2
1
2
2
2
2
2
=
∂
+
−
∂
=








∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
x
x
x
y
x
x
y
.
Достаточное условиелокальногоэкстремума формулируетсяследующимобразом.
Пусть функция
(
)
2
1
, x
x
f
y =
имеет критическую точку
( )
0
2
0
1
,x
x
(т.е.
( ) ( )
0
,
,
2
0
2
0
1
1
0
2
0
1
=
∂
∂
=
∂
∂
x
x
x
f
x
x
x
f
)
1) Пусть
( )
0
,
2
1
0
0
2
2
1
>
∂
∂
x
x
x
f
(или
( )
0
,
2
2
0
0
2
2
1
>
∂
∂
x
x
x
f
),
( )
( )
( )
0
,
,
,
2
2
1
0
0
2
2
2
0
0
2
2
1
0
0
2
2
1
2
1
2
1
>








∂
∂
∂
−








∂
∂








∂
∂
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
, тогда
( )
0
2
0
1
,x
x
- точка локаль-
ного минимума функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
.
2) Пусть
(
)
0
,
2
1
0
0
2
2
1
<
∂
∂
x
x
x
f
(или
( )
0
,
2
2
0
0
2
2
1
<
∂
∂
x
x
x
f
),
( )
( )
( )
0
,
,
,
2
2
1
0
0
2
2
2
0
0
2
2
1
0
0
2
2
1
2
1
2
1
>








∂
∂
∂
−








∂
∂








∂
∂
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
, тогда
( )
0
2
0
1
,x
x
- точка локаль-
ного максимума функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
,
3) Пусть
( )
( )
( )
0
,
,
,
2
2
1
0
0
2
2
2
0
0
2
2
1
0
0
2
2
1
2
1
2
1
<








∂
∂
∂
−








∂
∂








∂
∂
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
, тогда в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
y
функции
(
)
2
1
, x
x
f
y =
локального и, следовательно, глобального экстремума
нет.
В приведённом достаточном условии предполагается, что точка
( )
0
2
0
1
,x
x
- внутрен-
няя для области определения функции
(
)
2
1
,x
x
f
и что вторые частные производные функ-
ции
(
)
2
1
,x
x
f
определены в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
и во всех близких к ней точках
(
)
2
1
,x
x
и не-
прерывны в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
.
Пример 1.10. Продолжим пример 1.9. Имеем
0
4
2
2
1
1
=
−
=
∂
∂
x
x
x
y
,
0
2
4
2
1
2
=
+
−
=
∂
∂
x
x
x
y
, откуда получаем единственную критическую
точку
( )
0,
0 . Для этой точки (и любой другой точки
(
)
2
1
,x
x
имеем

---

Page 28

28
0
12
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
<
−
=








∂
∂
∂
−








∂
∂








∂
∂
x
x
y
x
y
x
y
, т.е. в точке
( )
0,
0
локального и глобального экс-
тремума нет.
Задача 1.3. Исследовать на экстремум следующую квадратичную функцию двух
переменных:
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
y
−
−
+
−
=
. Эту задачу предлагается решить самостоя-
тельно.
Определения локального и глобального экстремума и необходимое условие ло-
кального экстремума функции
(
)
n
x
x
f
y
n
,
,
1
K
=
переменных
n
x
x
,
,
1
K
повторяются
почти дословно.
В заключение этого раздела отметим, что более точными являются термины: безус-
ловный локальный максимум (минимум), точка безусловного локального максимума (ми-
нимума), безусловный глобальный максимум (минимум), точка безусловного глобального
максимума (минимума). Вместо термина безусловный используется менее удачный (недос-
таточно выразительный) термин абсолютный.
Пример 1.11. Прибыль
(
)
2
1
, x
x
PR
вычисляется по следующей формуле
(
)
(
)
)
(
,
,
2
2
1
1
2
1
0
2
1
x
p
x
p
x
x
f
p
x
x
PR
+
−
=
, где
(
)
2
1
,x
x
f
- производственная функция фирмы,
0
p - рыночная цена продукции, выпускаемой фирмой,
1
p и
2
p – соответственно рыноч-
ные цены первого и второго ресурсов {факторов производства). Выражение
(
)
2
1
0
,x
x
f
p
называется выручкой фирмы,
2
2
1
1
x
p
x
p
+
- издержками производства фирмы, если для
выпуска продукции фирма затрачивает первый и второй ресурсы в количествах
1
x и
2
x
единиц. Задача ставится так. Определить комбинацию
( )
0
2
0
1
,x
x
ресурсов, при которой фир-
ма получит наибольшую прибыль. Для решения этой задачи следует найти критические
точки функции
(
)
2
1
, x
x
PR
, т.е. следует решить систему уравнений
(
)
(
)
0
,
,
1
1
2
1
0
1
2
1
=
−
∂
∂
=
∂
∂
p
x
x
x
f
p
x
x
x
PR
,
(
)
(
)
0
,
,
2
2
2
1
0
2
2
1
=
−
∂
∂
=
∂
∂
p
x
x
x
f
p
x
x
x
PR
.
Поскольку производственная функция
(
)
2
1
, x
x
f
y =
обладает рядом специфических
условий (в частности, если ее график напоминает горку - см. раздел 1), постольку часто
критическая точка
( )
0
2
0
1
,x
x
является единственной и обязательно точкой (глобального)
максимума прибыли
(
)
2
1
,x
x
PR
y =
.
1.4.5 Задачи на условный экстремум
В теории безусловного локального экстремума сравнивают частное значение

---

Page 29

29
)
,x
f(x
0
2
0
1
функции
)
,
(
2
1
x
x
f
y =
в точке
)
,
(
0
2
0
1
x
x
с частными значениями
)
,
(
2
1
x
x
f
этой функции во всех точках
)
,
(
2
1
x
x
, близких к точке. Другими словами, в теории
локального безусловного экстремума на независимые переменные
1
x и
2
x не накла-
дываются никакие дополнительные условия, т.е. не требуется, чтобы переменные
1
x
и
2
x удовлетворяли некоторым дополнительным ограничениям.
Рассмотрим теперь другую задачу.
Найти локальный максимум (или локальный минимум) функции
)
,
(
2
1
x
x
f
y =
при условии, что независимые переменные
1
x и
2
x удовлетворяют ограничению
0
)
,
(
2
1
=
x
x
g
в виде равенства, т.е.
max
)
,
(
2
1
→
x
x
f
(min)
при условии:
0
)
,
(
2
1
=
x
x
g
.
Задача (1), (2) называется задачей на условный локальный максимум (мини-
мум). Термин условный здесь появляется в связи с тем, что независимые переменные
1
x и
2
x удовлетворяют условию (ограничению) (2). Вместо двух терминов (макси-
мум и минимум) используется обобщенный термин экстремум. В задаче (1), (2) на
условный экстремум функцию
)
,
(
2
1
x
x
f
принято называть целевой, ибо ее максими-
зация (или минимизация) часто есть формальное выражение какой-то цели (напри-
мер, максимизации объема производства при фиксированных затратах). Функцию
g
называют функцией, задающей ограничение, или функцией связи.
Уравнение (2) есть уравнение нулевой линии (точнее множества) уровня
функции
)
,
(
2
1
x
x
g
, ибо,
=
)
,
(
2
1
x
x
g
τ , где τ
0
=
. Поэтому задачу на условный ло-
кальный максимум (минимум) можно еще сформулировать так: среди точек нулевой
линии уровня функции
)
,
(
2
1
x
x
g
y =
найти точку
)
,
(
0
2
0
1
x
x
, в которой частное значе-
ние
)
,
(
0
2
0
1
x
x
f
функции
)
,
(
2
1
x
x
f
y =
больше (или меньше) ее частных значений
)
,
(
2
1
x
x
f
в остальных точках
)
,
(
2
1
x
x
этой линии, близких к точке. Точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
называется точкой условного локального максимума (минимума) функции
)
,
(
2
1
x
x
f
,
само частное значение
)
,
(
0
2
0
1
x
x
f
- условным локальным максимумом (минимумом)
функции
)
,
(
2
1
x
x
f
при наличии ограничения
0
)
,
(
2
1
=
x
x
g
.
Проиллюстрируем задачу на условный максимум в трехмерном пространстве
(рис. 1.14).
(1.1)
(1.2)

---

Page 30

30
Точка
)
,
(
2
1
∗
∗
x
x
точка абсолютного локального максимума функции
)
,
(
2
1
x
x
f
,
ибо точка
))
,
(
,
,
(
2
1
2
1
∗
∗
∗
∗
x
x
f
x
x
- локальная (т.е. местная) "макушка" графика
f
Γ
этой
функции
).
,
(
2
1
x
x
f
Точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
- точка условного локального максимума функции
),
,
(
2
1
x
x
f
ибо точка
,
(
0
1
x
(
)
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,
,
,
x
x
f
x
x
- самая высокая точка "тропинки" L, ко-
торая проходит через "перевал" графика Г
f
.
На рис. 1.14 четко видно, что точка
(
)
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,
,
,
x
x
f
x
x
"макушкой" не является,
т.е. точка
(
)
0
2
0
1
,x
x
условного локального максимума может не быть точкой безус-
ловного локального максимума. Линия
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g
есть проекция "тропинки" L на
координатную плоскость
2
1
x
Ox .
Отметим, что если известен график Г
f
функции
(
)
2
1
, x
x
f
двух переменных
1
x
и
2
x то, глядя на него, можно сразу понять, есть ли точки абсолютного и условного
локального экстремума или какие-то из них (а, возможно, все) отсутствуют.
Если значение
(
)
0
...,
,
1
1
=
n
x
x
g
функции
(
)
2
1
, x
x
f
больше (меньше) значений
(
)
2
1
, x
x
f
этой функции во всех точках
(
)
2
1
, x
x
линии
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g
, то значение
(
)
0
2
0
1
,x
x
f
называется условным глобальным максимумом (минимумом) функции
(
)
2
1
, x
x
f
при наличии ограничения
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g
, а точка
(
)
0
2
0
1
,x
x
- точкой условного
глобального максимума (минимума) функции
(
)
2
1
, x
x
f
.
Точка условного глобального максимума (минимума) функции
(
)
2
1
, x
x
f
явля-
ется точкой условного локального максимума (минимума) этой функции. Обратное,
вообще говоря, неверно. На рис. 1.14 точка
(
)
0
2
0
1
,x
x
является точкой не только ло-
( )
(
)
0
2
0
1
0
2
0
1
,x
x
f,
,x
x
( )
(
)
*
2
*
1
*
2
*
1
,x
x
f,
,x
x
( )
0
2
0
1
,x
x
( )
*
2
*
1
,x
x
(
)
2
1
,x
x
(
)
(
)
2
1
2
1
,x
x
f,
,x
x
(
)
0
2
1
=
,x
x
g
1
x
2
x
y
Рисунок 1.14 –
Г
f

---

Page 31

31
кального, но и глобального условного максимума функции
(
)
2
1
,x
x
f
при наличии ог-
раничения ,
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g
.
В случае функции
(
)
n
x
x
f
...,
,
1
п независимых переменных
n
x
x ...,
,
1
задача на
условный максимум (минимум) формулируется так:
(
)
( )
min
max
...,
,
1
→
n
x
x
f
при условиях
(
)
(
)





=
=
0
...,
,
......
..........
,0
...,
,
1
1
1
n
m
n
x
x
g
x
x
g
(обычно т<п).
Если частное значение
(
)
0
0
1
...,
,
n
x
x
f
сравниваются со значениями
(
)
n
x
x
f
...,
,
1
в
точках
(
)
n
x
x ...,
,
1
, удовлетворяющих уравнениям (1.4) и близких к точке
(
)
0
0
1
...,
,
n
x
x
,
то имеем задачу на условный локальный экстремум (максимум или минимум) функ-
ции
(
)
n
x
x
f
...,
,
1
.
Если значение
(
)
0
0
1
...,
,
n
x
x
f
сравнивается с значениями во всех точках
(
)
n
x
x ...,
,
1
, удовлетворяющих уравнениям (4), то имеем задачу на условный глобаль-
ный экстремум (максимум или минимум) функции
(
)
n
x
x
f
...,
,
1
.
Теория условного экстремума часто используется в микро- и макроэкономи-
ческой теории. В задачах этой теории обычно локальный условный экстремум явля-
ется также и глобальным условным экстремумом. Разберем конкретный пример.
Пример 1. 12. Найти экстремум функции
2
2
2
1
x
x
y
+
=
при условии, что
,0
1
2
1
=
−
+ x
x
т.е. решить задачу на условный экстремум.
Решение примера 1.12. Отметим прежде всего, что экстремум (экстремумы)
функции (1.5) отыскиваются не на всей плоскости
2
1
x
Ox , а только на прямой (1.6).
Естественным является следующий способ решения задачи (1.5), (1.6) на ус-
ловный экстремум. Выразить из уравнения (1.6) переменную
2
x через переменную
1
x , и подставить полученное выражение
1
2
1 x
x
−
=
в функцию (1.5). Тогда задача на
условный экстремум функции (1.5) двух переменных сведется к задаче на безуслов-
ный экстремум функции
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
одной переменной
1
x .
Для решения задачи на безусловный экстремум найдем первую производную
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)

---

Page 32

32
2
4
1
−
=′ x
y
функции
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
и приравняем первую производную к нулю:
0
2
4
1
=
−
x
, откуда получим, что
2/
1
0
1
=
x
. При переходе (слева направо) перемен-
ной
1
x , через точку
0
1
x
первая производная у' меняет знак с минуса на плюс, поэто-
му критическая точка
0
1
x
есть точка локального минимума функции
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
. Очевидно, этот локальный минимум
( )
2/
1
1
2
2
0
1
2
0
1
0
=
+
−
=
x
x
y
является также глобальным (на рис. 1.15 линия Н, которая есть график функции
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
).
Других локальных и глобальных экстремумов функция
1
2
2
1
2
1
+
−
=
x
x
y
не
имеет, ибо не существует точек, отличных от точки
0
1
x
, в которых бы производная
2
4
1
−
= x
y
обращалась в нуль.
Из полученного следует, что
)
2
1
,2
1
(
)
,
(
0
2
0
1
=
x
x
- точка условного глобального
минимума функции (1.5), сам условный минимум равен
2
1
)
(
)
(
2
0
1
2
0
1
0
=
+
=
x
x
y
.
На рис. 1.16 дана геометрическая иллюстрация решения задачи (1.5), (1.6). На
линии L, по которой пересекаются вертикальная плоскость Q и график
f
Γ
функции
(1.5), самой низкой точкой является точка
).
2
1
,
2
1
,
2
1
(
)
,
,
(
0
0
2
0
1
0
=
=
y
x
x
P
На поверх-
ности
f
Γ
самой низкой является точка 0 = (0,0,0). Таким образом, на рис. 1.16 вид-
но, что условный глобальный минимум функции (1.5), который равен
2
1
не совпа-
дает с ее абсолютным (безусловным) минимумом, равным нулю. На рис. 1.16 также
хорошо видно, что ни на линии L, ни на графике
f
Γ
нет самых высоких точек, т.е.
функция (1.5) не имеет условного глобального максимума и абсолютного глобаль-
ного максимума.
x
1
1/2
1/2
1
H
1
y
Рис. 1.15

---

Page 33

33
Решение примера 1.12 подсказывает следующий естественный на первый
взгляд способ решения задачи (1.1), (1.2). С помощью уравнения (1.2) сначала выра-
зить переменную
2
x через переменную
1
x (или переменную
1
x через перемен-
ную
2
x ). Затем полученное выражение
)
(
1
2
x
h
x =
подставить в функцию (1.1), кото-
рая после этого станет функцией
))
(
,
(
1
1
x
h
x
f
одной переменной
1
x , и эту функцию
исследовать на (безусловный) экстремум. Из отсутствия точки (точек) экстремума у
функции
))
(
,
(
1
1
x
h
x
f
следует отсутствие точки (точек) условного экстремума у
функции (1.1). Если
0
1
x
– точка экстремума функции
)),
(
,
(
1
1
x
h
x
f
y =
то точка
))
(
,
(
)
,
(
0
1
0
1
0
2
0
1
x
h
x
x
x
=
– точка условного экстремума функции (1.1) при наличии огра-
ничения (1.2).
Однако, к сожалению, выразить аналитически переменную
2
x через перемен-
ную
1
x (или переменную
1
x через переменную
)
2
x
часто бывает сложно, а то и не-
возможно. По этой причине только что описанная простая идея сведения задачи на
условный экстремум для функции (1.1) двух переменных к задаче на безусловный
экстремум для функции
))
(
,
(
1
1
x
h
x
f
одной переменной не может быть использована
в качестве основы универсального метода решения задачи (1.1), (1.2) на условный
экстремум.
1.4.6 Метод Лагранжа для решения задач
оптимизации на условный экстремум
Суть метода Лагранжа состоит в построении функции вида
L
P
Q
0
M
M
1
1
1
1
x
2
x
y
0
P
0
1
2
1
=
+ x
x
Рисунок 1.16 –

---

Page 34

34
(
) (
)
(
)
2
1
2
1
2
1
,
,
,
,
x
x
g
x
x
f
x
x
L
λ
λ
+
=
от трех переменных
,
,
,
2
1
λ
x
x
называемой
функцией Лагранжа, и в сведении задачи на условный экстремум в случае двух не-
зависимых переменных к задаче на абсолютный экстремум функции L
(
)
λ,
,
2
1
x
x
трех
независимых переменных
λ,
,
2
1
x
x
.
Функция Лагранжа L
(
)
λ,
,
2
1
x
x
представляет собой сумму целевой функции
(1.1) и функции ограничения (1.2), умножений на новую независимую перемен-
ную
λ
, называемую множителем Лагранжа, входящую обязательно в первой сте-
пени:
Необходимое условие локального условного экстремума функции (1.1) при
наличии ограничения (1.2) в аналитической форме имеет следующий вид: пусть
функции
(
) (
)
2
1
2
1
,
,
,
x
x
g
x
x
f
непрерывны и имеют непрерывные частные производные
первого порядка по переменным x
1
и x
2
; пусть
(
)
0
2
0
1
,x
x
- точка условного локального
экстремума функции (1.7) при наличии ограничения (1.8) и пусть grad
(
)
0
,
0
2
0
1
=
x
x
g
.
Тогда существует единственное число
0
λ , такое, что (трехмерная) точка
(
)
0
0
2
0
1
,
,
λ
x
x
удовлетворяет следующей системе трех уравнений с тремя неизвестными
λ,
,
2
1
x
x
:





=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
0
/)
,
,
(
;0
/)
,
,
(
;0
/)
,
,
(
2
1
2
2
1
1
2
1
λ
λ
λ
λ
x
x
L
x
x
x
L
x
x
x
L
(отметим, что всегда
(
)
(
)
2
1
2
1
,
/
,
,
x
x
g
x
x
L
=
∂
∂
λ
λ
).
Иначе говоря, если двумерная точка
( )
0
2
0
1
,x
x
есть точка локального экстремума
функции (1.1) при наличии ограничения (1.2), то трехмерная точка
(
)
0
0
2
0
1
,
,
λ
x
x
- кри-
тическая точка функции Лагранжа. Отсюда следует, что для нахождения точек (ус-
ловного) локального экстремума функции (1.1) при наличии ограничения (1.2) пре-
жде всего следует найти критические точки функции Лагранжа, т. е. найти все ре-
шения системы уравнений (1.7). Далее критические точки функции Лагранжа следу-
ет укоротить, удалив из них последние координаты
0
λ . Затем каждую укороченную
критическую точку необходимо проанализировать, является ли она в действитель-
ности точкой (условного) локального экстремума функции (1.1) при наличии огра-
ничения (1.2) или не является. При этом используют геометрические или содержа-
тельные экономические соображения.
В некоторых новых задачах на условный экстремум, появляющихся в эконо-
мике, обычно укороченная критическая точка функции Лагранжа действительно яв-
ляется точкой условного локального (и глобального) экстремума функции (1.1).
(1.7)

---

Page 35

35
Пример 1.12. (продолжение) Решить задачу (1.5), (1.6) на условный экстремум
методом Лагранжа.
Решение. Имеем
(
)
(
)
1
,
,
2
1
2
2
2
1
2
1
−
+
+
+
=
x
x
x
x
x
x
L
λ
λ
, откуда следует, что
(
)
(
)
(
)





=
−
+
=
∂
∂
=
+
=
∂
∂
=
+
=
∂
∂
.0
1
/
,
,
;0
2
/
,
,
;0
2
/
,
,
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
x
x
x
x
L
x
x
x
x
L
x
x
x
x
L
λ
λ
λ
λ
λ
λ
Из первых двух уравнений получаем, что
2
1
x
x = , откуда, используя третье
уравнение, получаем, что
2/
1
0
2
0
1
=
= x
x
Таким образом, система уравнений (1.10) имеет единственное решение, т. е.
дает единственную критическую точку функции Лагранжа (1/2, 1/2, –1)
(
0
λ =
0
1
2x
−
=
1
2/
1
2
−
=
⋅
−
). Укороченная критическая точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
= (1/2; 1/2) есть
точка условного локального (также и глобального) минимума заданной функции
при ее заданном ограничении, так как непосредственно проверяется, что при
)
,
(
2
1
x
x
)
,
(
0
2
0
1
x
x
справедливо неравенство
(
)
( )
2/
1
,
,
0
2
0
1
2
1
=
>
x
x
f
x
x
f
.
Если задана общая задача с ограничениями на определение условного экстре-
мума:
(
)
( )
min
max
,...,
1
→
n
x
x
f
при условиях
(
)
(
)





=
=
0
,...,
........
,0
,...
1
1
1
n
n
n
x
x
g
x
x
g
(обычно m<n), то функция Лагранжа имеет вид:
(
) (
)
(
)
(
)
.
,...,
...
,...,
,...,
,...,
,
,...,
1
1
1
1
1
1
n
m
m
n
n
m
n
x
x
g
x
x
g
x
x
f
x
x
L
λ
λ
λ
λ
+
+
+
=
При этом система (1.8) переписывается в виде системы п+m уравнений с п+m
неизвестными
m
n
x
x
λ
λ ,..,
,
,...,
1
1
.
Критическая
(
)
m
n +
-мерная точка
(
)
0
0
1
0
0
1
,...,
,
,...,
m
n
x
x
λ
λ
функции Лагранжа по-
сле операции укорачивания приобретает вид n-мерной точки.
Если использовать понятие градиента, то условия локального экстремума для
функции
(
)
2
1
, x
x
f
можно представить в компактной векторной форме:
0
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
=
+
x
x
g
grad
x
x
f
grad
λ
.
Для критической точки
(
)
0
0
2
0
1
,
,
λ
x
x
функции Лагранжа имеем:
grad
( )
0
0
2
0
1
,
λ−
=
x
x
f
grad
( )
,
,
0
2
0
1
x
x
(1.8)
(1.9)
(1.10)

---

Page 36

36
что эквивалентно тому, что в точке
)
,
(
0
2
0
1
x
x
линии уровней
( )
0
2
0
1
,x
x
f
и 0 функ-
ций
(
)
2
1
, x
x
f
и
(
)
2
1
,x
x
g
соответственно касаются.
Теперь приведем необходимое условие локального условного экстремума
функции (1.1) при наличии ограничения (1.2) в геометрической форме.
Пусть функции
(
)
,
,
2
1
x
x
f
(
)
2
1
, x
x
g
непрерывны и имеют непрерывные частные
производные первого порядка по переменным x
1
и x
2
; пусть
)
,
(
0
2
0
1
x
x
— точка услов-
ного локального экстремума функции (1.1) при наличии ограничения (1.2) и пусть
0
)
,
(
0
2
0
1
=
x
x
f
grad
и
0
)
,
(
0
2
0
1
=
x
x
g
grad
.
Тогда
)
,
(
0
2
0
1
x
x
f
grad
и
)
,
(
0
2
0
1
x
x
g
grad
, выходящие из точки
)
,
(
0
2
0
1
x
x
, обяза-
тельно расположены на одной прямой с противоположными направлениями, что эк-
вивалентно тому, что линии уровней функций
)
,
(
2
1
x
x
f
и
)
,
(
2
1
x
x
g
, содержащие
точку
)
,
(
0
2
0
1
x
x
, касаются в этой точке (рис. 1.17), являющейся точкой условного ло-
кального максимума.
Фрагмент карты линий уровня целевой функции
)
,
(
2
1
x
x
f
типичен для эконо-
мической теории. Однако необходимое условие (в том числе и геометрическое) ло-
кального экстремума функции (1.1) при наличии ограничения (1.2), вообще говоря,
не является достаточным.
В случае касания в точке
)
,
(
0
2
0
1
x
x
линий уровня функций
)
,
(
2
1
x
x
f
и
)
,
(
2
1
x
x
g
(это эквивалентно расположению на одной прямой градиентов
)
,
(
0
2
0
1
x
x
f
grad
и
)
,
(
0
2
0
1
x
x
g
grad
исходящих из точки
)
,
(
0
2
0
1
x
x
), точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
может и не являться точ-
кой условного локального экстремума функции (1.1) при наличии ограничения (1.2).
Иллюстрацией этому может служить точка
)
,
(
0
2
0
1
x
x
на рис. 1.18 – укороченная кри-
0
τ
l
2
τ
l
1
τ
l
(
)
0
2
0
1
;x
x
A
(
)
0
2
0
1
;x
x
f
grad
(
)
0
2
0
1
;x
x
g
grad
)
,
(
2
1
x
x
2
x
1
x
Рисунок 1.17 – Градиент функции
)
;
(
0
2
0
1
x
x
f
y =
и
)
;
(
0
2
0
1
x
x
g
;
(
)
0
,
2
1
=
x
x
g

---

Page 37

37
тическая точка функции Лагранжа, которая не является точкой локального экстре-
мума функции (1.1) при наличии ограничения (1.2).
Это очевидно из наглядных геометрических построений, так как в точках
)
,
(
2
1
x
x
, расположенных на линии
)
,
(
2
1
x
x
g
=0 строго выше точки
)
,
(
0
2
0
1
x
x
, справед-
ливо неравенство
)
)(
,
(
)
,
(
0
1
0
2
0
1
2
1
t
t
x
x
f
x
x
f
<
<
, а в точках
)
,
(
2
1
x
x
расположенных на
линии
)
,
(
2
1
x
x
g
=0 строго ниже точки
)
,
(
0
2
0
1
x
x
справедливо неравенство
)
)(
,
(
)
,
(
0
1
0
2
0
1
2
1
t
t
x
x
f
x
x
f
>
>
(заметим, что фрагмент на рис. 1.18 нетипичен для эко-
номической теории).
Пример 1.12 (продолжение). Приведем аналог рис. 1.17 для задачи (1.5), (1.6)
на условный экстремум (рис. 1.20).
0
τ
l
2
τ
l
1
τ
l
(
)
0
2
0
1
;x
x
(
)
0
2
0
1
;x
x
f
grad
)
,
(
2
1
x
x
2
x
1
x
Рисунок 1.18 – «Укороченная» критическая точка;
(
)
0
2
0
1
;x
x
g
grad
( )
0
,
2
1
=
x
x
g
)
,
(
2
1
x
x
2
0
1
τ
τ
τ
>
>
0
( ) ( )
(
)
1
0
2
0
1
2
0
2
2
0
1
−
+
=






+
x
x
grad
x
x
grad
2
x
1
x
Рисунок 1.19 – поиск условного экстремума
1,5
1
0,5
1,5
1
0,5
0

---

Page 38

38
В случае рис. 1.19:
( )) ( )) (
)
(
)
( )
(
) ( )
,1
,1
1
,1
,1
2
1
2,
2
1
2
2,
2
0
0
0
0
0
0
2
1
2
1
2
2
2
1
=
−
+
=
⋅
⋅
=
=
+
x
x
grad
x
x
x
x
grad
1
0
−
=
λ
1.4.7 Понятие о задаче математического программирования
Если в задаче (1.1), (1.2) на условный экстремум ограничение (1.2) в виде ра-
венства заменяется на ограничение
0
)
,
(
2
1
≤
x
x
g
в виде неравенства, то мы получа-
ем частный случай задачи математического программирования:
max
)
,
(
2
1
→
x
x
f
(min)
при условии
0
)
,
(
2
1
≤
x
x
g
В случае функции двух переменных задача математического программирова-
ния (для определенности - задача на максимум) имеет вид:
max
)
,
(
2
1
→
x
x
f
при условиях
.
,0
)
,
(
....
..........
,0
)
,
(
2
1
2
1
1





≤
≤
x
x
g
x
x
g
m
0
,0
2
1
≥
≥ x
x
.
Функцию
)
,
(
2
1
x
x
f
принято называть целевой, неравенства (1.14) – специаль-
ными ограничениями задачи математического программирования, неравенства (1.15)
– общими ограничениями задачи математического программирования.
Точка
)
,
(
2
1
x
x
, удовлетворяющая специальным и общим ограничениям, назы-
вается допустимым решением задачи математического программирования.
Множество всех допустимых решений задачи математического программиро-
вания (далее, для краткости, ЗМП) называется допустимым множеством этой зада-
чи.
Если ЗМП имеет хотя бы одно допустимое решение (т.е. ее допустимое мно-
жество не пусто), она называется допустимой, если ЗМП не имеет ни одного допус-
тимого решения (т.е. ее допустимое множество пусто), она называется недопусти-
мой.
1.13
1.14
1.15
1.11
1.12

---

Page 39

39
Точка
)
,
(
0
0
2
1
x
x
называется оптимальным решением ЗМП, если, во-первых, она
есть допустимое решение этой ЗМП и если, во-вторых, на этой точке целевая функ-
ция достигает глобального максимума (в случае задачи максимизации) или глобаль-
ного минимума (в случае задачи минимизации) среди всех точек, удовлетворяющих
ограничениям, т.е. для всех
)
,
(
2
1
x
x
, удовлетворяющих неравенствам (1.14)-(l.15),
справедливо неравенство
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
0
0
x
x
f
x
x
f
≥
(в случае задачи максимизации),
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
0
0
x
x
f
x
x
f
≤
(в случае задачи минимизации).
На первый взгляд, ЗМП может рассматриваться как задача более общая по
сравнению с задачами на абсолютный (если убрать все специальные и общие огра-
ничения) и условный (если убрать все общие ограничения, а из специальных оста-
вить одно в виде равенства) экстремумы. Однако в действительности полное обоб-
щение места не имеет, ибо в случае ЗМП речь идет только о глобальном экстремуме,
в то время как в случае задачи на абсолютный и условный экстремум речь идет как
о глобальном, так и о локальном экстремуме.
2 ПОТРЕБИТЕЛЬ И ЕГО ПОВЕДЕНИЕ
Под отдельным потребителем или производителем понимается не обязательно
физическое лицо, а любой участник экономики, действующий единым образом, с
единой позиции, имеющий единую цель (в контексте нашего рассмотрения). Так что
это может быть фермерское или домашнее хозяйство, магазин, фирма и т.п.
Будем считать, что поведение потребителя полностью описывается следую-
щей аксиомой индивида-потребителя.
Аксиома 1. Каждый индивид-потребитель принимает решения о потреблении,
покупках и т.п. исключительно исходя из своей системы предпочтений.
2.1 М
ОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДОХОДОВ
Рыночный спрос определяется на базе решений, которые принимаются мно-
жеством отдельных лиц исходя из их потребностей и располагаемых доходов. Но
чтобы распределить средства между разнообразными потребностями, необходимо
их как-то сопоставить. В качестве основы для сопоставления различных потребно-
стей в конце XIX века экономисты приняли полезность. Категория полезности легла
в основу теории потребительского поведения, которая в свою очередь базируется на
гипотезе о сопоставимости полезностей самых разнообразных благ.
Экономистами во второй половине XIX века было выдвинуто два подхода к
сравнению и соизмерению полезности различных благ – количественный и поряд-

---

Page 40

40
ковый. Порядковая теория полезности, которая в настоящее время является наибо-
лее распространенной.
В основе моделей потребительского поведения и спроса находятся модели
распределения доходов и теория полезности.
Рассмотрим вначале модели распределения доходов.
В основе построения моделей личного потребления лежит принцип распреде-
ления потребителей по группам, для формирования которых используются как дан-
ные о социальном положении семей, так и сведения об их доходах. При этом счита-
ется, что каждая такая группа обладает некоторой общностью в выборе и предпоч-
тении тех или иных потребительских благ.
Для характеристики равномерности распределения доходов в обществе часто
используется так называемая кривая Лоренца. Она строится следующим образом:
все множество потребителей данной страны или региона разбивается на некоторое
количество групп, обычно равных по численности, но различных по доходам. Затем
подсчитывается, какую долю национального дохода получает каждая такая группа,
причем счет ведется начиная с группы с наименьшим доходом в сторону его увели-
чения. Далее на диаграмме (рис. 2.1) наносятся точки, соответствующие вычислен-
ным долям в процентах. Очевидно, что совершенно равномерному распределению
дохода отвечает прямая линия (биссектриса угла на диаграмме), если же распреде-
ление неравномерное, то возникает кривая линия, причем ее кривизна и отклонение
от биссектрисы будет тем более, чем менее равномерным оказывается распределе-
ние доходов.
На рис. 2.1 представлены три случая распределения доходов в случае, когда
население разделено на 5 равных по численности (по 20% каждая) групп.
0
20
40
60
80
100
A
B
C
Рисунок 2.1 – Кривые Лоренца
20
40
60 80
100
I
N

---

Page 41

41
Прямая А соответствует равномерному распределению. Кривая В иллюстри-
рует следующее распределение доходов: 1-я группа имеет 15% дохода, 2-я группа –
18%, 3-я группа – 20%, 4-я группа – 22% и 5-я группа – 25%.
Кривая С отвечает еще более неравномерному распределению доходов: 1-я
группа получает 10%, 2-я группа – 15%, 3-я группа – 18%, 4-я группа – 20%, 5-я
группа – 37%.
Модель распределения доходов, принадлежащая В. Парето, также предназна-
чена для анализа характера неравномерности доходов в обществе. Она строится
следующим образом: обозначим через 1
т
– наименьший доход, который может по-
лучать семья в данном обществе. Тогда для характеристики относительного числа
семей (в процентах) N(I), получающих доход не менее I, может быть использовано
соотношение:
Указанное соотношение вполне применимо и в том случае, когда речь идет о
доходах от недвижимости и капитальных вложений. При этом показатель а обычно
находится в интервале от 1,2 до 2. Очевидно, что меньшие значения а соответствуют
более равномерному распределению доходов в обществе, а высокое значение а сви-
детельствует о резкой дифференциации доходов. При а = 1,5 имеет место сравни-
тельно справедливое распределение доходов (рис. 2.2).
Здесь линия АВ соответствует распределению дохода с α = 1,5, линии АС и AD
– значениям α = 2 и α = 1,2.
Разбиение на доходные группы в случае α = 1,5 может быть выполнено сле-
дующим образом:
( )
(
)
,
0
,
100
>
⋅






=
α
α
m
I
I
I
N
Рисунок 2.2 – . Модель распределения доходов В. Парето
N
A
D
B
C
0
1 I
m
2 I
m
3 I
m
4 I
m
5 I
m
I
(2.1)

---

Page 42

42
1-я группа имеет доход от 1 I
m
до 2 I
т
, состоит из 65% потребителей;
2-я группа имеет доход от 2 I
т
до 3 I
т
включает 17% потребителей;
3-я группа имеет доход от 3 I
т
до 4 I
т
, в нее входят 7% потребителей и т.д.
Результаты исследований, проведенных в обществах, где основным источни-
ком доходов является заработная плата, показывают, что эти доходы распределяют-
ся скорее по нормальной кривой, впрочем, не совсем симметричной и с урезанными
концами
Разбиение на доходные группы в этом случае имеет вид, представленный на
рис. 2.3.
Выбор конкретной модели распределения доходов, а следовательно, и способ
формирования доходных групп определяются в результате анализа данных о дохо-
дах потребителей в рассматриваемом обществе или регионе.
В дальнейшем изложении основ теории потребления мы будем исходить из
того, что указанное формирование групп произведено и множество потребителей
представлено как совокупность т групп с номерами i = 1,..., т.
При этом, как уже отмечалось выше, предполагается, что члены группы дос-
таточно схожи в определении своих предпочтений, и, следовательно, вся группа
может рассматриваться как единый потребитель в вопросах формирования спроса
на товары и услуги, выступающие на потребительском рынке.
2.2 К
ОЛИЧЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ ПОЛЕЗНОСТИ
Количественный подход к анализу полезности основан на представлении о
возможности измерения полезности различных благ в гипотетических единицах –
ютилах (utility – полезность). Это означает, что конкретный потребитель может
сказать, что потребление одной чашки кофе приносит ему удовлетворение в 30 юти-
1 I
m
2 I
m
3 I
m
4 I
m
5 I
m
25
50
N
Рисунок 2.3 – Квазинормальное распределение
I

---

Page 43

43
лов, двух чашек кофе – 56 ютилов, двух чашек кофе и одной сигареты – в 70 ютилов
и т.д.
Следует иметь в виду, что количественные оценки полезности того или иного
товара имеют исключительно индивидуальный, субъективный характер. Один и тот
же товар может представлять большую ценность для одного потребителя и никакой
ценности для другого. Для некурящего и непьющего кофе человека, их потребление
не имеет никакой полезности, скорее наоборот приносит вред. Следовательно, ко-
личественный подход не имеет возможности объективно измерить полезность того
или иного товара в ютилах. Невозможно также сравнить размеры удовлетворения,
получаемые различными потребителями. Предполагается, что только конкретный
потребитель может дать количественную оценку в ютилах полезности любого по-
требляемого им товарного набора.
Количественная функция общей полезности (TU), вначале возрастающая, име-
ет точку максимума (S), после которой она становится убывающей (рис. 2.4).
Для конкретных потребителей очень важно почувствовать точку максимума
полезности и прекратить избыточное потребление благ. Поэтому и говорят, что са-
мое ценное чувство – это чувство меры.
Предельная полезность (MU) – это прирост общей полезности товарного на-
бора при увеличении объема потребления данного товара на единицу:
TU
U
A
MU
U
A
Рисунок 2.4 – График функции общей и предельной полезности
( )
( )
( )
.
Q
d
TU
d
Q
MU
A
A
=
(2.2)

---

Page 44

44
Чаще всего, как видно на нижнем графике (рис. 2.4), предельная полезность
падает и в точке максимума становится равной нулю, а далее – отрицательной.
Однако возможности человека оценивать полезность того или иного товарно-
го набора в определенном количестве единиц полезности подвергнуты сомнению.
Более распространенной считается точка зрения, что человеку присущи отношения
предпочтения при оценке или полезности тех или иных товаров.
2.3 C
ИСТЕМА ПРЕДПОЧТЕНИЙ ПОТРЕБИТЕЛЯ
2.3.1 Пространство товаров, цены
Под товаром понимается некоторое благо или услуга, поступившие в продажу
в определенное время и в определенном месте.
Будем считать, что имеется n различных товаров, количество i-го товара обо-
значается
i
x , тогда некоторый набор товаров обозначается
(
)
n
x
x
X
,
,
1
K
=
. Как из-
вестно, упорядоченный набор n чисел называется n-мерным вектором, так что Х есть
n-мерный вектор. Вообще-то набор товаров надо считать вектором-столбцом, но по
соображениям экономии места будем изображать его вектором-строкой. Будем рас-
сматривать, как правило, только неотрицательные количества товаров, так что
0
≥
i
x
для любого і = 1,..., n или
0
≥
X
. Множество всех наборов товаров называет-
ся пространством товаров С. Это множество называется пространством потому, что
в нем можно сложить любые два набора и умножить любой набор товаров на любое
неотрицательное число. Возможность умножения набора товаров на любое неотри-
цательное число отражает предположение о безграничной делимости и умножении
товаров (т.е. товары устроены наподобие сахарного песка, а не авианосцев). Набор
товаров можно трактовать, как корзину, в которой лежат эти товары в соответст-
вующем количестве. Аналогично интерпретируются и операции с наборами това-
ров.
Предполагается, что каждый товар имеет цену. Все цены строго положитель-
ны. Пусть цена единицы і-го товара есть
i
p , тогда
(
)
n
i
p
p
P
,
,K
=
есть вектор-строка
цен.
Для набора товаров Х и вектора цен Р их скалярное произведение
n
n
i
i
x
p
x
p
PX
+
+
=
K
, есть число, называемое ценой набора Х или его стоимостью, и
будет обозначаться С(Х).
Пример 2.1. Отношение равной стоимости разбивает все пространство това-
ров на непересекающиеся классы (для случая двух товаров см. рис. 2.5).
Пусть вектор цен есть P=(2, 3), тогда класс наборов стоимости 30 есть отрезок
АВ, а стоимости 60 есть отрезок MN. Стрелка показывает направление увеличения

---

Page 45

45
стоимости наборов. В качестве этой стрелки можно взять вектор цен.
С обыденной точки зрения каждый товар должен быть желателен для участ-
ников экономики и должен обладать определенной потребительской полезностью.
Это свойство товаров выражается в некоторой мере через цены на них
Пусть вектор цен есть Р. Зафиксируем какую-нибудь денежную сумму Q и на-
зовем ее доходом.
Определение 2.1.
Множество наборов товаров стоимости не более Q при данных ценах Р назы-
вается бюджетным множеством В; множество наборов товаров стоимости ровно Q
называется границей G этого бюджетного множества.
2.3.2 Бюджетное множество
Бюджетное множество и его граница зависят от цен и дохода, так что точнее
их было бы обозначать В(Р, Q) и G(P, Q).
Бюджетное множество и его границу можно определить так:
с помощью обычных неравенств и равенств:
( ) (
)
{
}
Q
x
p
x
p
x
x
x
x
Q
P
B
n
n
n
n
≤
+
+
≥
=
K
K
K
1
1
1
1
,0
,
,
,
,
,
( ) (
)
{
}
;
,0
,
,
,
,
,
1
1
1
1
Q
x
p
x
p
x
x
x
x
Q
P
G
n
n
n
n
=
+
+
≥
=
K
K
K
с помощью векторных неравенств и равенств:
( )
{
}
( )
{
}
.
,0
,
,
,0
,
Q
PX
X
X
Q
P
G
Q
PX
X
X
Q
P
B
=
≥
=
≤
≥
=
Для случая двух товаров см. рис. 2.5.
При Р = (2, 3) и Q = 30 бюджетное множество В(Р, Q) есть треугольник ОАВ,
точка А имеет координату
1
/ p
Q
= 15, точка
2
/p
Q
B−
=30. Отрезок АВ есть граница
бюджетного множества, отрезок АВ перпендикулярен вектору цен. При увеличении
(2.3)
(2.4)
x
1
x
2
N(20)
M(30)
A(15)
B(10)
P
Рисунок 2.5 – Пространство для двух классов наборов товаров
2
3

---

Page 46

46
Q граница бюджетного множества движется в направлении вектора цен. При изме-
нении цен об изменении бюджетного множества можно судить по движению точек
( )
( )
.
/
,
/
2
2
1
1
p
Q
p
B
p
Q
p
A
=
=
Определение2.2.
Бюджетное множество и его граница выпуклы, ограничены и замкнуты.
2.3.3 Система предпочтений
Одним из основных элементов – участников экономики – является домашнее
хозяйство, определяемое как некоторая группа индивидуумов, выступающая как
единое целое, распределяющая свой доход на покупку и потребление товаров и ус-
луг. В общем, участник экономики, рассматриваемый с этой точки зрения, называ-
ется потребителем. Проблема рационального поведения потребителя заключается в
решении вопроса о том, какие количества товаров или услуг он хочет и может при-
обрести при заданных ценах и его доходе.
Специально отметим, что существуют разные точки зрения на роль индиви-
дов-потребителей. В неоклассической экономической теории эта роль является ос-
новной, определяющей. Вся остальная экономика вырастает из желаний и потребно-
стей такого индивида.
Выше была сформулирована аксиома потребителя, полностью описывающая
его поведение в вопросах потребления. Эта аксиома чрезвычайно упрощает анализ
поведения потребителя.
Выбор потребителем некоторого набора товаров во многом зависит от его
вкусов, желаний. Потребитель различает наборы товаров, предпочитая один набор
товаров другому. Запись
Y
Xf
означает, что потребитель предпочитает набор X на-
бору Y либо не делает между ними различий. Из-за последнего обстоятельства от-
ношение "f" называется слабым предпочтением. Оно формирует еще два отноше-
ния: отношение равноценности (или безразличия) – XY, если и только если
Y
Xf
и
X
Y f , и отношение предпочтения (или строгого предпочтения) –
Y
X f
, если и
только если
Y
X f
и неверно, что XY. Какими же свойствами обладают эти три от-
ношения?
Математики называют отношение рефлексивным, если
X
X f
для всякого X;
симметричным, если
Y
Xf
влечет, что и
X
Yf ; транзитивным, если
Y
Xf
и
Z
Yf
влечет
Z
Xf ; совершенным (или полным), если для любых двух наборов X, Y
либо
Y
Xf , либо
X
Yf .
Аксиома 2.
1) Отношение слабого предпочтения рефлексивно, транзитивно и совершен-

---

Page 47

47
но;
2) Отношение равноценности рефлексивно, симметрично и транзитивно;
3) Отношение предпочтения транзитивно;
4) Для любого
C
X ∈
множество предпочтительности
x
P
выпукло;
5) Каждый товар желателен для индивида: если
Y
Xf , а если к тому же
Y
X ≠
(т.е.
i
i
y
x < , для некоторого і), то
Y
X f .
Подчеркнем, что это именно аксиома, выражающая фундаментальные свойст-
ва системы предпочтений индивида.
Рефлексивность означает, что любой набор товаров равноценен сам себе.
Совершенность означает, что индивид в состоянии сравнить по привлекатель-
ности любые два набора товаров.
Выпуклость означает, что лучше иметь комбинацию товаров, пусть в меньших
количествах, чем просто только какой-то один из этих товаров (лучше иметь не-
множко соли, сахара, кофе, хлеба, чем одну только соль, один сахар, кофе, хлеб, хо-
тя бы и в большем количестве).
Пятое свойство также понятно и в разъяснениях не нуждается.
Свойство транзитивности, которым обладают отношения предпочтения и сла-
бого предпочтения, не совсем очевидно, не очень наглядно и не сразу осознается
потребителем. Рассмотрим его на примере.
Пример2.2. Джонс собирается купить дачу. При рассмотрении трех дач выяс-
няется, что любая из них лучше другой по двум из трех важных свойств (Таблица
2.1).
Таблица 2.1 – Свойства дач
Свойство
Дача
цена
размеры
удобства
A
Лучшая
Худшая
Средняя
B
Средняя
Лучшая
Худшая
C
Худшая
Средняя
Лучшая
Поэтому, поразмыслив о том, к какому бы решению он пришел если бы ему
предложили любую пару вариантов, Джонс решает, что он бы В предпочел
А(
B
Af ), А предпочел С (
A
Cf )и С предпочел В(
C
Bf ). Все это кажется ему ра-
зумным, поскольку, размышляет он, в каждом сравнении предпочитаемая альтерна-
тива является лучшей с точки зрения двух из трех интересующих его свойств. На-
пример, А лучше В по стоимости и удобствам. Итак, налицо нарушение транзитив-
ности, т.е. если
B
Af
и
C
Bf , то
C
Af , а не
A
Cf . Можно ли переубедить Джон-

---

Page 48

48
са?
Представим разговор с Джонсом. Джонс только что приобрел права на дачу В,
а агент (по торговле недвижимостью) предлагает ему А с небольшой наценкой. Если
предпочтения Джонса что-нибудь значат, то, конечно, он согласится доплатить не-
большую сумму за то, чтобы В сменить на А. Теперь у него есть А. Предположим
далее, что агент предлагает теперь С за такое же несущественное вознаграждение,
Конечно, Джонс соглашается и теперь у него вместо А есть уже С . Но зачем ему С
если за скромную сумму он может обменять С на В – в конце концов не он ли гово-
рил, что В лучше чем С? и т.д.
Джонс на профессиональном языке называется "денежным насосом".
Отношение равноценности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Любое
отношение, обладающее этими тремя свойствами, называется эквивалентностью.
Любая эквивалентность на множестве разбивает это множество на непересекающие-
ся подмножества, называемые классами эквивалентности. Итак, отношение равно-
ценности является эквивалентностью и разбивает пространство товаров на непере-
секающиеся подмножества, называемые классами равноценности (или безразличия),
а в случае двух или трех товаров эти классы называются линиями, или поверхно-
стями равноценности (или безразличия).
Каждый отдельный класс равноценности состоит из наборов товаров, одина-
ково привлекательных для потребителя, – он не отдает предпочтения ни одному из
этих наборов. При этом каждый набор из пространства товаров попадает в какой-
нибудь из классов равноценности, именно в тот, где собраны наборы, одинаково
ценные с ним (для данного индивида).
Рассмотрим два примера отношений предпочтения и соответствующих мно-
жеств безразличия:
1) пусть п = 2 и количество каждого продукта в наборе х=(х
1
,x
2
) выражено в
весовых единицах (кг), а потребитель строит свою сравнительную оценку следую-
щим образом: «набор х предпочтительнее набора у или равноценен ему, если его
суммарный вес больше или равен весу второго набора», т.е.
y
xf если x
1
+x
2
≥ y
1
+y
2
.
Нетрудно видеть, что это отношение удовлетворяет аксиоме 2.1 и каждый класс
безразличия будет состоять из наборов одинакового веса;
2) лексикографическое предпочтение: количество продуктов в наборе х = (х
1
,
x
2
) выражено в любых единицах, потребитель считает первый продукт чрезвычайно
ценным и сравнивает наборы по правилу «набор х предпочтительнее набора у, если
количество первого продукта в этом наборе больше его количества в наборе у, а ес-
ли эти величины в обоих наборах равны, то предпочтение определяется по количе-
ству второго продукта».

---

Page 49

49
Этот способ сравнительной оценки определяется формулой:
y
xf
, если x
1
> у
1
или, если x
1
= у
1
и x
2
> y
2
.
Это отношение также удовлетворяет аксиоме 2.1, и каждый набор образует
свой собственный класс безразличия.
Типичная картина для двух видов товаров показана на рис. 2.6, где
y
x
,K
K
–
классы равноценности наборов X, Y соответственно; стрелка – указатель направле-
ния предпочтения, заштрихованное поле – множество предпочтительности
y
P
.
2.4. Ф
УНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ И ЕЕ СВОЙСТВА
2.4.1 Определение функции полезности
Система предпочтений индивида указывает, какой из двух наборов предпоч-
тительнее для него. Во многих случаях, однако, весьма желательно и удобно оцени-
вать привлекательность набора товаров количественно, т.е. приписать каждому на-
бору Х из пространства товаров С какое-то число u(Х). Главное требование к функ-
ции u(Х), чтобы она отражала отношение (слабого) предпочтения на С, т.е. удовле-
творяла условиям:
( ) ( )
Y
u
X
u
≥
, если и только если
Y
Xf ;
( ) ( )
Y
u
X
u
=
, если и только если XY, значит и
( ) ( )
Y
u
X
u
>
, если и только если
Y
X f .
Такая функция называется функцией полезности. Видно, что функция полез-
ности постоянна на каждом классе равноценности, так что ее наглядно и вполне
правильно представлять себе как функцию, "пересчитывающую" классы равноцен-
ности в сторону все большего предпочтения наборов товаров.
Скажем, что система предпочтений непрерывна, если для всякого
C
X ∈
мно-
жество предпочтительности
{
}
X
Y
C
Y
P
x
f
∈
=
и множество непредпочтитель-
Рисунок 2.6 – Классы равноценности наборов товаров Х и Y
P
Y
K
Y
K
X
X
Y
x
1
x
2

---

Page 50

50
ности
{
}
Z
Y
C
Z
N
x
f
∈
=
замкнуты (рис. 2.7). Кстати, как легко видеть, пересече-
ние этих двух множеств есть класс равноценности.
Теперь можно сформулировать условия, при которых существует функция
полезности.
Теорема Дебре. Если система предпочтений непрерывна то существует не-
прерывная функция полезности.
Надо отметить, что функция полезности, если она существует, не определяет-
ся единственным образом. Главное требование к функции полезности – она должна
отражать систему предпочтений.
Нетрудно видеть, что любое монотонное преобразование функции полезно-
сти, например функции ln(u), е
u
или аи + b (где а > 0), может играть роль функции
полезности, поскольку оно обладает указанным характеристическим свойством. Та-
ким образом, функция полезности не является измерителем какой-то конкретной
«полезности», но лишь дает представление о ранжировании (порядке) различных
наборов, почему она и называется часто функцией порядковой, или ординальной,
полезности.
Рассмотрим с точки зрения построения функций полезности приведенные
выше примеры:
1) «весовое» предпочтение удовлетворяет обеим аксиомам теории потребле-
ния, а в качестве функции полезности можно использовать сам вес набора, т.е.
и(х) = и(х
1
, х
2
) = х
1
+ х
2
;
2) лексикографическое упорядочение не является непрерывным, поскольку
предпочтительное множество (
x
P
) и непредпочтительное множество (
x
N
) не пере-
секаются между собой. В связи с этим функция полезности здесь не существует.
Рисунок 2.7 – Множества предпочтительности P
X
и непредпочтительности N
X
товаров
x
1
x
2
P
x
N
x
Y
Z
X

---

Page 51

51
Порядковый подход к анализу полезности является наиболее распространен-
ным. От потребителя не требуется, чтобы он умел соизмерять блага в каких-то ис-
кусственных единицах измерения. Достаточно, чтобы потребитель был способен
упорядочить возможные товарные наборы по их «предпочтительности». В порядко-
вой теории полезности понятие «полезность» означает не что иное, как порядок
предпочтения. Утверждение: «Набор А предпочтительнее для данного потребителя,
чем набор В», – то же самое, что и утверждение: «Набор А полезнее для данного по-
требителя, чем набор В». Вопрос, на сколько единиц полезнее набор А, чем набор В,
не ставится. Потребитель выбирает предпочтительный набор товаров из всех дос-
тупных для него.
Итак, функция полезности не является какой-то уникальной, таких функций
множество.
Рассмотрим наборы только из двух товаров х и у. (Товары х и у можно рас-
сматривать как комбинированные товары.)
Отношения предпочтения, характерные для каждого индивида, отражают по-
средством кривой безразличия (рис. 2.8).
Линия, соединяющая потребительские наборы
(
)
2
1
,x
x
, имеющие один и тот
же уровень удовлетворения потребностей индивидуума, называется линией безраз-
личия. Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности.
Множество линий безразличия называется картой линий безразличия. На рис. 9.1
показан фрагмент карты линий безразличия. Линии безразличия, соответствующие
разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются. Ес-
ли линия безразличия
3
τ
l расположена выше и правее ("северо-восточнее") линии
безразличия
2
τ
l то
2
3
τ
τ > . Верно и обратное. Иными словами чем "северо-
2
x
1
x
1
τ
l
2
τ
l
3
τ
l
3
2
1
τ
τ
τ
<
<
Линии безразличия
Рисунок 1 –

---

Page 52

52
восточнее" расположена линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения
потребности она соответствует.
В зависимости от функций полезности различают следующие типы кривых
безразличия:
1. Функция полезности с полным взаимозамещением благ (чай и кофе) имеет
вид: и = ах + by, где а, Ь – параметры; и – полезность; х, у – товары. Из функции по-
лезности можно найти у:
и построить кривые безразличия линейного типа (рис. 2.9).
2. Неоклассическая функция полезности имеет вид
,
y
x
u
b
a
=
где
.1
,0
,
<
+
>
b
a
b
a
Чтобы построить кривые безразличия (рис. 2.10), необходимо найти у:
b
ax
u
y
−
=
y
x
Рисунок 2.10 – Кривые безразличия неоклассического типа
.
x
u
y
b
a
1






=
y
x
Рисунок 2.9 – Кривые безразличия линейного типа

---

Page 53

53
3. Функции с полным взаимодополнением благ (при увеличении спроса на од-
но из двух благ растет спрос и на второе благо, например, сахар и чай, бензин и мо-
торное масло) имеют кривые безразличия в виде точки на пересечении двух прямых
(рис. 2.11).
Избыток одного блага не имеет значения. Полезность достигается лишь при
определенной комбинации обоих благ:
Приведем несколько видов функций полезности, соответствующих принятым
допущениям:
квадратическая
( )
∑
∑ ∑
=
= =
+
=
n
i
n
i
n
j
j
i
ij
i
i
x
x
b
x
a
X
u
1
1 1
, где матрица
( )
ij
b
B =
отрицатель-
но определена и
∑
=
>
+
n
i
i
ij
j
x
b
a
1
0 для
n
j
,
,1K
=
;
логарифмическая
( )
(
)
∑
=
−
=
n
i
i
i
i
b
x
a
X
u
1
log
, где
0
>j
a
и
0
≥
>
j
j
b
x
для
n
j
,
,1K
=
(основание логарифма должно быть больше 1).
2.4.2 Свойства функции полезности
Основные свойства функции полезности вытекают из ее связи и подчиненно-
сти системе предпочтений.
Ранее было сформулировано свойство желательности каждого товара:
X
Y ≥
влечет
X
Yf ;
y
x
Рисунок 2.11 – Кривые безразличия с полным взаимодополнением благ
.
b
y
;
a
x
u






= min

---

Page 54

54
X
Y ≥ ,
Y
X ≠
влечет
X
Y f .
Для функции полезности отсюда следует, что она неубывающая, т.е.
X
Y ≥
влечет
( ) ( )
X
u
Y
u
≥
, а если к тому же
Y
X ≠ , то
( ) ( )
X
u
Y
u
>
.
Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам:
1) Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении
другого продукта ведет к росту потребительской оценки, т.е.
если
1
1
2
1
x
x >
, то
(
) ( )
2
1
1
2
2
1
,
,
x
x
u
x
x
u
>
;
если
1
2
2
2
x
x >
, то
( ) ( )
1
1
2
1
2
2
,
,
x
x
u
x
x
u
>
.
1') Пусть
(
)
(
)
0
,
,0
,
'
2
2
2
1
'
1
1
2
1
>
=
∂
∂
>
=
∂
∂
u
x
x
x
u
u
x
x
x
u
Из свойства 1' следует свойство 1.
Первые частные производные называются предельными полезностями про-
дуктов:
'
1
u
называется предельной полезностью первого продукта,
'
2
u
- предельная
полезность второго продукта. Для предельных полезностей первого и второго про-
дуктов используется также символика
(
)
2
1
1
,x
x
u
M
,
(
)
2
1
2
,x
x
u
M
.
2) Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объем его по-
требления растет (это утверждение называется первым законом Госсена.
2') Пусть
0
,0
"
22
2
2
2
"
11
2
1
2
<
=
∂
∂
<
=
∂
∂
u
x
u
u
x
u
.
Из свойства 2') следует свойство 2).
3) Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растет коли-
чество другого продукта. В этом случае продукт, количество которого фиксировано,
оказывается относительно дефицитным. Поэтому дополнительная его единица при-
обретает большую ценность и может быть потреблена более эффективно. Данное
свойство не столь очевидно, как 1)-2), и справедливо не для всех благ: если блага
могут полностью замещать друг друга в потреблении, свойство 3) не выполняется.
Предположение 3) вводится не всегда, но оно гарантирует выпуклость вниз линий
безразличия.
3') Пусть
0
"
21
1
2
2
"
12
2
1
2
>
=
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
∂
u
x
x
u
u
x
x
u
.
Из свойства 3') следует свойство 3).
Обобщая все свойства можно сказать, что от функции полезности требуется,
чтобы она была дважды дифференцируема, и матрица Гессе, состоящая из вторых
частных производных, была отрицательно определена в любой точке.

---

Page 55

55














∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
n
n
n
n
n
x
u
x
x
u
x
x
u
x
x
u
x
u
x
x
u
x
x
u
x
x
u
x
u
X
u
K
M
M
K
K
Из отрицательной определенности матрицы Гессе вытекает также, что
0
/
2
2
<
∂
∂
i
x
u
для любого
n
i
,
,1K
=
.
Пример 2.3. Проверим, что неоклассическая функция полезности удовлетво-
ряет требованиям, предъявляемым к этим функциям.
Положительность предельных полезностей:
0
/
2
1
1
1
>
=
∂
∂
−
x
x
x
u
α
α
,
аналогично
0
/
1
2
1
1
2
>
=
∂
∂
−
− β
α
β
x
x
x
u
.
Убывание предельных полезностей:
(
)
(
)
;0
1
/
,0
1
/
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
<
−
=
∂
∂
<
−
=
∂
∂
−
−
β
α
β
α
β
β
α
α
x
x
x
u
x
x
x
u
выпишем матрицу Гессе:
(
)
(
)








−
−
=
∂
∂
−
−
−
−
−
−
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
/
β
α
β
α
β
α
β
α
β
β
αβ
αβ
α
α
x
x
x
x
x
x
x
x
X
u
В предположении
1
<
+ β
α
эта матрица отрицательно определена.
В учебной и монографической литературе понятие предельной полезности
толкуется неоднозначно. Помимо приведенного выше определения предельной по-
лезности первого (второго) продукта в виде частной производной
( )
'
2
'
1
u
u
первого
порядка, под предельной полезностью первого (второго) продукта понимают отно-
шение приращения функции полезности к приращению вызвавшего его количества
этого продукта:
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)








∆
−
∆
+
=
∆
−
∆
+
=
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
,
,
,
,
,
,
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
M
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
u
M
Наконец, предельной полезностью первого (второго) продукта называют разность:
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
)
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
,
1
,
,
,
,1
,
x
x
u
x
x
x
x
u
M
x
x
u
x
x
u
x
x
u
M
-
-
+
=
+
=
или
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
)
1
,
,
,
,1
,
,
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
-
-
-
-
x
x
x
x
u
x
x
u
M
x
x
u
x
x
u
x
x
u
M
=
=
Из контекста обычно бывает ясно, о каком конкретно толковании предельной
полезности идет речь.
(2.5)

---

Page 56

56
Пример 2.4.
Примером функции полезности может служить функция:
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
1
1
2
1
log
log
,
x
x
a
x
x
a
x
x
u
−
+
−
=
где
0
,0
,0
,0
2
2
1
1
2
1
≥
>
≥
>
>
>
x
x
x
x
a
a
.
Действительно, имеем
0
1
1
1
'
1
>
−
=
x
x
a
u
,
0
2
2
2
'
2
>
−
=
x
x
a
u
,
(
)
0
2
1
1
1
2
1
2
<
−
−
=
∂
∂
x
x
a
x
u
,
(
)
0
2
2
2
2
2
2
2
<
−
−
=
∂
∂
x
x
a
x
u
,
т.е. выполнены свойства 1’) и 2') функции полезности. Свойство 3') не выполнено,
так как смешанные вторые частные производные функции
(
)
2
1
,x
x
u
равны нулю.
2.4.3 Товары-заменители, предельные нормы замещения
Линия безразличия убывает (является нисходящей) и строго выпукла к началу
координат (к точке 0). Рассмотрим дифференциал (главную линейную часть прира-
щения) функции
(
)
2
1
, x
x
u
. Если двигаться вдоль линии уровня, то приращение
функции
(
)
2
1
, x
x
u
равно нулю, и, следовательно, можно считать равной нулю и его
главную линейную часть. Дифференциал функции полезности записывается сле-
дующим образом:
(
)
0
0
,
'
2
'
1
1
2
2
'
2
1
'
1
2
1
<
−
=
⇒
=
+
=
u
u
dx
dx
dx
u
dx
u
x
x
du
Итак, функция
( )
1
2
x
x
, то есть зависимость
2
x от
1
x вдоль кривой безразличия,
является убывающей, поскольку производная ее отрицательна. Вторая производная
функции
( )
1
2
x
x
выглядит следующим образом:
( )
2
'
2
"
21
'
1
'
2
"
11
1
1
2
/
u
u
u
u
u
dx
dx
dx
d
⋅
−
⋅
−
=








(2)
Ее положительность вытекает из свойств 1)-3); следовательно, кривые безраз-
личия выпуклы вниз.
Рассмотрим фиксированную линию безразличия
r
l . Пусть потребительский
набор
(
)
τ
l
x
x
∈
2
1
,
. При выполнении ряда естественных предположений (непрерыв-
ность первых частных производных
'
'
u,
u
2
1
и
0
'
2
≠
u
) справедлива, как уже было по-
казано, следующая формула:
'
2
'
1
1
2
u
u
dx
dx
−
=
Имеем приближенное равенство (рис. 2.12.).
(2.6)
(2.7)

---

Page 57

57
tg
dx
dx
−
=
1
2
Ø
1
2
x
x
tg
∆
∆
=
−
≈
α
Из (3) и (4) следует важное приближенное равенство
'
2
'
1
1
2
u
u
x
x
≈
∆
∆
−
.
Отношение –
1
2
x
x
∆
∆
показывает, на сколько должен индивидуум увеличить
(уменьшить) потребление второго продукта, если он уменьшил (увеличил) потреб-
ление первого продукта на одну единицу без изменения уровня удовлетворения сво-
их потребностей (Это обстоятельство геометрически интерпретируется так: точки
(
) (
)
2
2
1
1
2
1
,
,
,
x
x
x
x
x
x
∆
+
∆
+
принадлежат одной и той же линии безразличия
(рис.9.2).) Поэтому дробь –
1
2
x
x
∆
∆
принято называть нормой замещения первого про-
дукта вторым на потребительском наборе
(
)
2
1
,x
x
, а производную –
1
2
dx
dx
(которая
равна предельному значению дроби –
1
2
x
x
∆
∆
при
0
1
→
∆x
) – предельной нормой за-
мещения первого продукта вторым.
В общем виде
(
)
j
k
x
x
x
j
∆
∆
−
→
∆
/
lim
0
называется предельной нормой замещения j-
го товара k-м и обозначается
k
j
M ,
α
β
1
x
2
x
2
2
x
x
∆
+
1
1
x
x
∆
+
2
x
1
x
Рисунок 2.12 –
τ
l
(2.8)
(2.9)

---

Page 58

58
следовательно,
(
)
(
)
'
'
/
/
/
/
k
j
k
j
j
k
k
j
u
u
x
u
x
u
dx
dx
M
=
∂
∂
∂
∂
=
−
=
.
Итак, предельная норма замещения j-го товара k-м равна отношению предель-
ных полезностей этих товаров.
Конечно, вывод этот очень понятный и естественный: если предельная полез-
ность 1-го товара равна, скажем, 6, а 2-го товара только 2, то при уменьшении 1-го
товара на единицу для компенсации надо, конечно, увеличить 2-го товара на 3 еди-
ницы.
Наличие для данного товара х других товаров-заменителей у, т.е. по которым
норма замещения
y
x
M
не столь уж пренебрежительно мала, очень существенно: ес-
ли у товара х есть товары-заменители, то при повышении цены на него потребитель
уменьшит его потребление и увеличит потребление товаров-заменителей. Напри-
мер, для чая хорошим заменителем являются кофе или какао, соки, лимонад и т.п.,
так что при повышении цены на чай произойдет уменьшение его потребления и уве-
личится потребление его заменителей. В то же время для бензина хороших замени-
телей нет, поэтому при повышении на него цен просто происходит уменьшение его
потребления. Без увеличения потребления какого-нибудь его заменителя (в действи-
тельности происходят более сложные процессы – при повышении цены на бензин,
люди начинают меньше пользоваться автомобилями и другими транспортными
средствами, использующими бензин, начинают больше ходить пешком, ездить на
велосипеде и т.п.).
Обратите внимание, как меняется норма замещения первого товара вторым
при движении по кривой равноценности слева-сверху вниз-направо – эта норма (по
абсолютной величине) от очень большой величины уменьшается до очень малой.
Доказать это несложно, используя первый закон Госсена: при увеличении потребле-
ния предельная полезность уменьшается. При указанном движении x
1
увеличивает-
ся, значит
'
1
u
уменьшается;
2
x уменьшается, значит
'
2
u
увеличивается; в итоге
'
2
'
1
2
1
/u
u
M =
уменьшается.
В экономике, однако, редко удобно иметь дело с абсолютными величинами,
удобнее чаще оценивать изменения, приращения величия относительно, например в
процентах. Такой подход приводит к понятию эластичности (или коэффициента)
замещения товара х товаром y
((
) (
))
x
x
y
y
E
x
y
x
/
/
/
lim
0
∆
∆
−
=
→
∆
. Смысл эластичности та-
ков: один процент уменьшения товара х компенсируется увеличением на
y
x
E
про-
центов товара y. Ясно, что
( )
x
y
M
E
y
x
y
x
/
/
=
.

---

Page 59

59
Пример
2.5.
Рассмотрим
неоклассическую
функцию
полезности
(
)
b
a
x
x
x
x
u
2
1
2
1
,
=
и найдем:
• предельные нормы замещения одного товара другим:
(
) (
)
(
) (
)
( ) ( )
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
/
/
/
/
/
bx
x
x
bx
x
x
x
u
x
u
M
b
a
b
a
α
α
=
=
∂
∂
∂
∂
=
−
−
;
( ) ( )
2
1
1
2
/ ax
bx
M =
;
• эластичности замещения одного товара другим:
(
)
(
)
a
b
x
x
M
E
b
a
x
x
M
E
/
/
/
;
/
/
/
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
=
=
=
=
.
Пример 2.6. В нормальной экономике (где все товары можно купить и про-
дать) в роли функции полезности вполне может выступить функция стоимости на-
бора товаров
( )
n
n
x
p
x
p
PX
X
u
+
+
=
=
K
1
1
. Проверим, удовлетворяет ли эта функция
требованиям, предъявляемым к функциям полезности. Чему равны нормы замеще-
ния товаров?
Решение. Предельные полезности:
0
/
>
=
∂
∂
P
X
u
; но они не убывают. Вычис-
лим нормы замещения
(
)
(
)
k
j
k
j
k
j
p
p
x
u
x
u
M
/
/
/
/
=
∂
∂
∂
∂
=
, т.е. взаимозаменяемы ко-
личества товаров одинаковой стоимости.
Понятия, связанные с замещением одного товара другим, являются весьма
важными, хотя их и не легко использовать на практике.
2.5 Т
ЕОРИЯ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО СПРОСА
2.5.1 Постановка задачи оптимизации выбора потребителя
Задача потребительского выбора (задача рационального поведения потреби-
теля на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора
(
)
0
2
0
1
,x
x
, кото-
рый максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограниче-
нии.
Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не мо-
гут превышать денежного дохода, т.е.
Q
x
p
x
p
≤
+
2
2
1
1
, где
1
p , и
2
p - рыночные це-
ны одной единицы первого и второго продуктов соответственно, а Q - доход инди-
видуума, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов.
Величины
1
p ,
2
p и Q заданы.
Формально задача потребительского выбора имеет вид:
(
) (
)
max
,
2
1
→
x
x
u
при условиях:
,
2
2
1
1
Q
x
p
x
p
≤
+
.0
,0
2
1
≥
≥
x
x
(2.10)
(2.11)

---

Page 60

60
Допустимое множество (то есть множество наборов благ, доступных для по-
требителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюд-
жетной прямой (рис. 2.13).
На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразли-
чия с максимальным уровнем полезности. Поиск этой точки можно интерпретиро-
вать графически как последовательный переход на линии все более высокого уровня
полезности (вправо-вверх) до тех пор, пока эти линии еще имеют общие точки с до-
пустимым множеством.
2.5.2 Решение задачи потребительского выбора и его свойства
Набор
( )
0
2
0
1
,x
x
, который является решением задачи потребительского выбора,
принято называть оптимальным для потребителя, или локальным рыночным равно-
весием потребителя.
Вначале остановимся на некоторых важных свойствах задачи потребительско-
го выбора. Во-первых, решение задачи
( )
0
2
0
1
,x
x
сохраняется при любом монотонном
(то есть сохраняющем порядок значений) преобразовании функции полезности
(
)
2
1
, x
x
u
. Поскольку значение
( )
0
2
0
1
,x
x
u
было максимальным на всем допустимом
множестве, оно остается таковым и после монотонного преобразования функции
полезности (допустимое множество, определяемое бюджетным ограничением, оста-
ется неизменным). Таким монотонным преобразованием может быть умножение
функции полезности на некоторое положительное число, возведение ее в положи-
тельную степень, логарифмирование по основанию, большему единицы. Отметим,
что свойство 1 должно присутствовать у любой функции полезности; свойства 2 и 3
x
2
x
1
Рисунок 2.13 –
Кривые без-
различия
Бюджетное
множество
Граница
бюджетного
множества
Направление
предпочтения
1
p
Q
2
p
Q
)
,x
(x
0
2
0
1

---

Page 61

61
могут при ее монотонных преобразованиях теряться или приобретаться (рассмотри-
те это самостоятельно на примере функции
(
)
2/
1
2
2/
1
1
2
1
,
x
x
x
x
u
=
. Последнее важно для
иллюстрации того факта, что если функция полезности в задаче потребительского
выбора не обладает свойствами 2 или 3, это вовсе не означает, что данная задача не
может описывать реальное поведение потребителя.
Во-вторых, решение задачи потребительского выбора не изменится, если все
цены и доход увеличиваются (уменьшаются) в одно и то же число раз
λ
.
Это равнозначно умножению на положительное число
λ
обеих частей бюд-
жетного ограничения
,
2
2
1
1
Q
x
p
x
p
≤
+
что дает неравенство, эквивалентное исход-
ному. Поскольку ни цены, ни доход Q не входят в функцию полезности, задача ос-
тается той же, что и первоначально.
В приведенной постановке задача потребительского выбора является задачей
нелинейного программирования. Однако если на каком-то потребительском наборе
(
)
2
1
,x
x
бюджетное ограничение
Q
x
p
x
p
≤
+
2
2
1
1
будет выполняться в виде строгого
неравенства, то мы можем увеличить потребление какого-либо из продуктов и тем
самым увеличить функцию полезности. Следовательно, набор
( )
0
2
0
1
,x
x
, максимизи-
рующий функцию полезности, должен обращать бюджетное ограничение в равенст-
во, т.е.
Q
x
p
x
p
=
+
0
2
2
0
1
1
. Графически это означает, что решение
( )
0
2
0
1
,x
x
задачи по-
требительского выбора должно лежать на бюджетной прямой (рис. 2.13), которую
удобнее всего провести через точки пересечения с осями координат, где весь доход
тратится на один продукт:








2
;0
p
Q
и








0;
1
p
Q
Мы также будем считать, что в оптимальной точке
( )
0
2
0
1
,x
x
условия
{
}
0
,0
2
1
≥
≥ x
x
выполняются автоматически, вытекая из свойств функции
(
)
2
1
, x
x
u
.
Как правило, это действительно так. В то же время, если условия неотрицательности
переменных не включать в явном виде в условие задачи, то она становится сущест-
венно проще с математической точки зрения.
Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный
экстремум задачи (2.10), (2.11).
Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа.
Выписываем функцию Лагранжа
(
) (
) (
)
Q
x
p
x
p
x
x
u
x
x
L
−
+
+
=
2
2
1
1
2
1
2
1
,
,
,
λ
λ
находим ее первые частные производные по переменным
2
1
, x
x
и
λ
приравниваем
эти частные производные к нулю:
(2.12)

---

Page 62

62









=
−
+
=
∂
∂
=
⋅
−
=
∂
∂
=
⋅
−
=
∂
∂
.0
,0
,0
2
2
1
1
2
'
2
1
'
1
1
Q
x
p
x
p
L
p
u
y
L
p
u
x
L
λ
λ
λ
Исключив из полученной системы трех уравнений с тремя неизвестными не-
известную
λ
, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными
1
x и
2
x
2
1
'
2
'
1
p
p
u
u
=
.
2
2
1
1
Q
x
p
x
p
=
+
Решение
( )
0
2
0
1
,x
x
этой системы есть "укороченная" критическая точка функ-
ции Лагранжа. Можно строго доказать, что "укороченная" критическая точка
( )
0
2
0
1
,x
x
функции Лагранжа обязательно есть решение задачи потребительского вы-
бора (за исключением так называемых угловых решений, которые здесь не рассмат-
риваются). Подставив решение
( )
0
2
0
1
,x
x
в левую часть равенства
(
)
(
)
2
1
2
1
'
2
2
1
'
1
,
,
p
p
x
x
u
x
x
u
=
получим, что в точке
( )
0
2
0
1
,x
x
локального рыночного равновесия индивидуума от-
ношение
(
)
(
)
2
1
'
2
2
1
'
1
,
,
x
x
u
x
x
u
предельных полезностей
( )
0
2
0
1
'
1
,x
x
u
и
( )
0
2
0
1
'
2
,x
x
u
продуктов равно
отношению рыночных цен
1
p и
2
p на эти продукты:
( )
( )
2
1
0
2
0
1
'
2
0
2
0
1
'
1
,
,
p
p
x
x
u
x
x
u
=
В связи с тем, что отношение
( )
( )
0
2
0
1
'
2
0
2
0
1
'
1
,
,
x
x
u
x
x
u
равно предельной норме замены пер-
вого продукта вторым в точке локального рыночного равновесия
( )
0
2
0
1
,x
x
, из (2.13)
следует, что эта предельная норма равна отношению рыночных цен
2
1
p
p
на продук-
ты. Приведенный результат играет важную роль в экономической теории.
Геометрически решение
( )
0
2
0
1
,x
x
можно интерпретировать как точку касания
линии безразличия функции полезности
(
)
2
1
, x
x
u
с бюджетной прямой
(2.13)

---

Page 63

63
Q
x
p
x
p
=
+
2
2
1
1
(рис. 2.13).
Это определяется тем, что отношение
'
2
'
1
1
2
u
u
dx
dx
−
=
показывает тангенс угла на-
клона линии уровня функции полезности, а отношение –
2
1
p
p
представляет тангенс
угла наклона бюджетной прямой. Поскольку в точке потребительского выбора (или
локального рыночного равновесия) они равны, в этой точке происходит касание
данных двух линий. Из(5) и (2.13) следует, что
2
1
0
1
0
2
p
p
x
x
≈
∆
∆
−
,
т. е. отношение (со знаком минус) конечных (относительно небольших) изменений
0
2
x∆
и
0
1
x∆
объемов продуктов в локальном рыночном равновесии
( )
0
2
0
1
,x
x
прибли-
женно равно отношению рыночных цен
1
p и
2
p на продукты.
Равенство (2.14) позволяет давать приближенные оценки отношению рыноч-
ных цен, если известны конечные изменения объемов продуктов относительно по-
требительского набора, приобретенного потребителем, т. е. набора, который естест-
венно следует толковать в качестве оптимального для потребителя.
2.5.3 Функция спроса
Итак, если функция полезности строго вогнута и удовлетворяет некоторым
условиям дифференцируемости, все цены Р строго положительны, то при любом
данном доходе Q задача определения набора товаров, который можно купить при
этом доходе и имеющий наибольшую полезность, имеет единственное решение.
Это решение
0
X называется точкой спроса. Как легко видеть, точка спроса
0
X зависит от цен Р и дохода Q (поскольку здесь рассматривается данный, кон-
кретный потребитель, то его функция полезности считается неизменной). Итак, точ-
ка спроса есть функция цен и дохода. Эта функция называется функцией спроса.
Координаты
0
1
x
и
0
2
x
решения задачи потребительского выбора есть функции
параметров
1
p
,
2
p
и Q:
(
)
Q
p
p
x
x
,
,
2
1
0
1
0
1
=
,
(
)
Q
p
p
x
x
,
,
2
1
0
2
0
2
=
.
Полученные функции называются функциями спроса на первый и второй про-
дукты. Важным свойством функций спроса является их однородность нулевой сте-
пени относительно цен и дохода, т.е. значения функций спроса инвариантны по от-
ношению к пропорциональным изменениям цен и дохода.
(2.14)

---

Page 64

64
(
)
(
)
Q
p
p
x
Q
p
p
x
,
,
,
,
2
1
0
1
2
1
0
1
=
α
α
α
(
)
(
)
Q
p
p
x
Q
p
p
x
,
,
,
,
2
1
0
2
2
1
0
2
=
α
α
α
для любого числа
0
>
α
. Это означает, что если все цены и доход изменятся в одно и
то же число раз, величина спроса на продукт (первый или второй - безразлично) ос-
танется неизменной.
В случае n товаров функция спроса – это вектор-функция своих п + 1 аргумен-
тов: n цен
n
p
p
,
,
1
K
и дохода Q. Рассматривая компоненты вектора
0
X , т.е. количе-
ства товаров
0
i
x
, можно сказать, что функция спроса – это набор n функций
(
)
(
)
Q
p
p
x
x
Q
p
p
x
x
n
n
n
n
,
,
,
,
,
,
1
0
0
1
0
1
0
1
K
M
K
=
=
Функции
(
)
Q
p
p
x
x
n
i
i
,
,
,
1
0
0
K
=
– это уже обычные функции от n +1 перемен-
ных: n цен
n
p
p
,
,
1
K
и дохода Q. Они называются функциями спроса соответст-
вующих товаров.
При некоторых исходных предположениях (частично о них уже говорилось
выше) функции спроса непрерывно зависят от своих аргументов и даже дифферен-
цируемы по ним. Будем считать, что функции спроса имеют все производные, о ко-
торых пойдет речь.
Под производной функции спроса (вектор-функции
0
X ) понимается вектор –
набор соответствующих производных от функций спроса на отдельные товары, на-
пример,
(
)
Q
x
Q
x
Q
X
n
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
/
,
,
/
/
0
0
1
0
K
.
Найденная функция спроса полностью описывает поведение потребителя.
Охарактеризовав его посредством функции полезности и подчинив его поведение
задаче максимизации полезности в пределах его дохода (см. аксиому индивида-
потребителя в начале темы 1), получили то, что хотели: потребителя как живого че-
ловека нет, есть робот носящий функцию полезности и действующий в вопросах по-
требления в соответствии с функцией спроса.
Пример 2.7.
Решим одну простую задачу потребительского выбора с двумя благами. Пусть
неизвестные количества этих благ равны
1
x и
2
x , а их рыночные цены
1
p и
2
p :
(
)
( )
.0
,0
,
,
max
,
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
≥
≥
≤
+
→
⋅
=
x
x
Q
x
p
x
p
x
x
x
x
U
Как мы выяснили, бюджетное ограничение в оптимальной точке должно вы-
(2.15)

---

Page 65

65
полняться как равенство, и, поскольку оба блага жизненно необходимы (полезность
равна нулю, если одно из них отсутствует), требования неотрицательности перемен-
ных будут выполнены автоматически. Следовательно, решаемая задача математиче-
ского программирования превращается в классическую задачу на условный экстре-
мум. Записав необходимые условия экстремума (согласно которым, отношения пре-
дельных полезностей благ должны равняться отношениям их рыночных цен, а бюд-
жетное ограничение выполняется как равенство), получаем систему уравнений:
.
,
2
2
1
1
2
1
1
2
Q
x
p
x
p
p
p
x
x
=
+
=
Первое условие означает, что в рассматриваемой задаче количества денег, за-
трачиваемые на оба блага, должны быть одинаковыми, то есть
1
1
2
2
p
x
p
x
⋅
=
⋅
. Это
вытекает из равенства "весов", или показателей степени у переменных
1
x и
2
x в
функции полезности. Итак,
2
1
1
2
2
Q
p
x
p
x
=
⋅
+
⋅
и функции спроса приобретают вид
2
2
1
1
2
;
2
p
Q
x
p
Q
x
⋅
=
⋅
=
Итак, расход на каждое благо составляет половину общего дохода потребите-
ля, и чтобы найти необходимое количество каждого блага, следует разделить расхо-
дуемую на него сумму на его цену.
Для этой простой модели мы могли бы найти решение без использования ме-
тода множителей Лагранжа, выражая
2
x через
1
x из бюджетного ограничения, под-
ставляя это выражение в функцию полезности (которая становится полиномом вто-
рой степени от одной переменной) и находя максимум полученной квадратичной
функции. Проделайте это как самостоятельное упражнение, получив те же самые
функции спроса.
2.5.4 Общая модель потребительского выбора
В предыдущем разделе рассмотрена типовая модель потребительского выбора
с двумя товарами и ее решение с помощью метода множителей Лагранжа. Сейчас
мы рассмотрим свойства задачи потребительского выбора с произвольным числом
товаров и целевой функцией общего вида, а затем перейдем к некоторым конкрет-
ным задачам, включая анализ компенсированного изменения цен.
Пусть задана целевая функция предпочтения потребителя
(
)
n
x
x
x
u
,
,
,
2
1
K
, где
i
x – количество i-го блага, вектор цен
{ } (
)
n
i
p
p
p
p
K
,
,
2
1
=
и доход Q. Записав бюд-
жетное ограничение и ограничения на неотрицательность, получаем задачу
( )
max
→
x
u
(14)
(2.16)
(2.17)

---

Page 66

66
при условиях
0
,
≥
≤
x
Q
px
(здесь
(
)
n
x
x
x
,
,
1
K
=
,
(
)
n
p
p
p
,
,
1
K
=
,
n
n
x
p
x
p
px
+
+
=
L
1
1
).
Будем, как и ранее, считать, что неотрицательность переменных обеспечива-
ется свойствами целевой функции и бюджетного ограничения. В этом случае можно
записать функцию Лагранжа и исследовать ее на безусловный экстремум.
Функция Лагранжа
( ) ( ) (
)
Q
px
x
u
x
L
−
+
=
λ
λ,
.
Необходимые условия экстремума - равенство нулю частных производных:
0
'
'
=
+
=
i
i
i
p
u
L
λ
для всех i от единицы до п и
0
'
=
−
=
Q
px
L
λ
.
Отсюда вытекает, что для всех i, j в точке
0
x локального рыночного равнове-
сия выполняется равенство
j
i
j
i
p
p
u
u
=
'
'
которое получается после перенесения вторых слагаемых необходимых условий в
правую часть и делением i-го равенства на j-ое. Итак, в точке оптимума отношение
предельных полезностей любых двух благ равно отношению их рыночных цен, т.е.
если, скажем, j-й товар в три раза дороже i-го товара, то уменьшение j-го товара на
единицу компенсируется увеличением i-го товара на три единицы. Это можно выра-
зить так: взаимозаменяемы такие количества товаров, которые стоят одинаково.
Иными словами, индивиду невыгодно потреблять одно благо вместо другого. стоя-
щего столько же, и вообще как-то изменять структуру потребления, поскольку вся-
кое такое изменение только ухудшит его благосостояние. В этом заключается смысл
2-го закона Госсена,
Равенство (15) можно переписать и в другой форме:
j
j
i
i
p
u
p
u
'
'
=
Последнее означает, что дополнительная полезность, приходящаяся на допол-
нительную единицу денежных затрат, в точке оптимума одинакова по всем видам
благ. Если бы это было не так, то по крайней мере одну денежную единицу можно
было бы перераспределить так, чтобы выросло благосостояние (значение функции
полезности) потребителя. Если для некоторых
j
j
i
i
p
u
p
u
j
i
'
'
,
>
, то некоторое количе-
ство денег можно было бы перераспределить от i-го блага к j-му, увеличив уровень
благосостояния.
(2.19)

---

Page 67

67
Пример 2.8. Найдем точку спроса потребителя с функцией полезности
(
)
2
1
2
1
,
x
x
x
x
u
⋅
=
. Имеем:
( )
( )



=
∂
∂
=
∂
∂
2
1
2
1
2
1
2
/
/
2
/
/
x
x
x
u
x
x
x
u
(
) (
)



=
+
=
∂
∂
∂
∂
.
,
/
/
/
/
2
1
1
1
1
2
1
2
Q
x
p
x
p
p
p
x
u
x
u
Далее получаем:



=
+
=
,
,
/
/
2
1
1
1
1
2
2
1
Q
x
p
x
p
p
p
x
x
и окончательно
( )
( )



=
=
2
0
2
1
0
1
2
/
2
/
p
Q
x
p
Q
x
2.5.5 Модель Р. Стоуна
Выведем теперь функцию спроса для конкретной функции потребительского
предпочтения, называемой функцией Р. Стоуна. Эта функция имеет вид:
( )
(
)
∏
=
→
−
=
n
i
i
i
i
a
x
x
u
1
max
α
Здесь
i
a – минимально необходимое количество i-го блага, которое приобре-
тается в любом случае и не является предметом выбора. Для того чтобы набор
{ }
i
a
мог быть полностью приобретен, необходимо, чтобы доход Q был больше
∑
i
i
i
a
p
–
количества денег, необходимого для покупки этого набора. Коэффициенты степени
а >0 характеризуют относительную "ценность" благ для потребителя. Добавив к це-
левой функции (2.20) бюджетные ограничения
0
,
,0
,
1
≥
≥
≤
∑
n
i
i
i
x
x
Q
a
p
K
, получим
задачу, называемую моделью Р. Стоуна. Приравняв нулю частные производные
функции Лагранжа по переменным
i
x получаем для всех i от 1 до п:
( )
0
=
+
−
i
i
i
i
p
a
x
x
u
λ
α
откуда:
( )
i
i
i
i
p
x
u
a
x
λ
α
−
=
К этим условиям добавляется равенство
∑
=
−
i
i
i
Q
x
p
0, выполнение которого
эквивалентно равенству нулю частной производной функции Лагранжа по перемен-
(2.20)
(2.21)

---

Page 68

68
ной
λ
. Умножив каждое i-е условие на
i
pλ и просуммировав их по i, имеем:
( )
∑
∑
∑
=
−
+
i
i
i
i
i
i
i
i
i
a
p
x
p
x
u
0
λ
λ
α
Поскольку в точке оптимума бюджетное ограничение выполняется как равен-
ство, заменим
∑
i
i
i
x
p
на Q. Получим
( )
∑
∑
−
−
=
i
i
i
a
p
Q
x
u
α
λ
. Отсюда имеем функцию
спроса:
∑
∑








−
⋅
+
=
j
i
i
j
i
i
i
i
i
p
a
p
Q
a
x
α
α
Эту функцию легко проинтерпретировать и запомнить следующим образом.
Вначале приобретается минимально необходимое количество каждого блага
i
a . За-
тем рассчитывается сумма денег, остающаяся после этого, которая распределяется
пропорционально "весам" важности
i
α . Разделив количество денег на цену p
i
, полу-
чаем дополнительно приобретаемое, сверх минимума, количество i-го блага и до-
бавляем его к
i
a .
Модель Стоуна имеет различные частные случаи: например, когда все о = 0, а
все
0
=
i
a
, равны между собой, получаем
i
i
np
Q
x =
(то есть доход делится на п рав-
ных частей и спрос на i-и товар рассчитывается как частное от деления полученной
суммы денег на его цену).
В данном случае мы видим, что спрос растет при росте дохода с эластично-
стью, равной единице, и уменьшается с ростом цены с эластичностью, равной минус
единице. Тем самым каждый товар в этой модели является нормальным и ценным.
Кроме того, спрос растет до бесконечности при бесконечном росте дохода - в этом
смысле каждый товар является "предметом роскоши".
Для того чтобы описать более разнообразные формы поведения спроса на раз-
личные товары, модель должна включать другие, более сложные виды целевой
функции предпочтения. Например, при функции предпочтения
(
)
(
)
b
a
b
a
a
b
x
x
x
x
x
u
−
−
−
+
=
1
2
1
2
1
,
где а, b – параметры функция спроса имеет вид:
1
1
bp
Q
aQ
x
+
=
(типичная функция спроса для предметов первой необходимости)
и
(
)
(
)
1
1
2
bp
Q
a
b
p
Q
Q
x
+
−
+
=
(типичная функция спроса для предметов роскоши).
(2.22)
(2.23)

---

Page 69

69
2.5.6 Взаимозаменяемость благ. Эффекты компенсации
Если функция спроса имеет вид
i
i
np
Q
x =
(или, при не равных между собой
i
α ,
∑
=
j
j
i
i
i
p
Q
x
α
α
), то спрос на i-й товар не зависит от цены на любой j-й товар. Вообще
говоря, перекрестные функции спроса от цен характеризуют такие свойства товаров,
как взаимозаменяемость и взаимодополняемость. Если при росте цены на товар i,
при снижении спроса на i-й товар, растет спрос на товар j - эти товары взаимозаме-
няемы. Наоборот, если спрос на j-й товар также падает, - они взаимодополняемы.
Заметим, что реальная взаимозаменяемость может искажаться общим снижением
благосостояния при росте цены i-го блага: j-е благо может заменять i-е в потребле-
нии, но спрос на него может не расти, поскольку снизилось общее благосостояние
потребителя. Для снятия этого искажения используют понятие компенсированного
изменения цены, то есть такого, которое сопровождается увеличением дохода по-
требителя, позволяющим ему поддерживать прежний уровень благосостояния.
Практически компенсированное изменение цены изображается следующим образом
(рис. 2.14).
Пусть цена первого блага повысилась с
1
1
p
до
2
1
p
, тогда бюджетная прямая из
положения 1 перейдет в положение 2. Точка А на линии безразличия
1τ
l , касающей-
A
C
B
1
τ
l
2
τ
l
1
1
p
Q
2
1
p
Q
1
2
x
0
2
3
1
2
p
Q
1
x
2
x
Кривые
безразличия
Компенсированная
бюджетная линия
Старая бюджетная
линия
Новая бюджетная
линия
эффект
общий
AB
дохода
влияние
CB
замены
влияние
AC
−
−
−
Рис. 2.14

---

Page 70

70
ся первоначального бюджетного ограничения, будет заменена новой точкой опти-
мума В, где новая линия безразличия
2
τ
l касается новой бюджетной прямой. Если
мы хотим компенсировать потребителю потерю благосостояния, то увеличим его
доход так, чтобы новая бюджетная прямая 3 (параллельная линии 2) коснулась в не-
которой точке С прежней линии безразличия
1τ
l . Направленный отрезок AС показы-
вает "эффект замены" при росте цены, то есть изменение структуры спроса при ус-
ловии поддержания прежнего уровня благосостояния. Направленный отрезок СВ
отражает "эффект дохода", то есть изменение потребительского спроса при сохра-
нении соотношения цен благ и изменении уровня дохода. Общий результат роста
цены (при отсутствии компенсации) выражается направленным отрезком АВ.
Для формального анализа компенсационных эффектов рассмотрим вначале
две задачи.
Пример 2.9.
Пусть целевая функция потребителя (ЦФП) зависит от двух благ,
1
x и
2
x ,
следующим образом:
(
)
max
,
2
1
2
1
→
⋅
=
x
x
x
x
u
. Пусть цены благ равны, соответст-
венно, 10 и 2, а доход потребителя - 60. Тогда, согласно полученной формуле функ-
ции спроса,
3
10
2
60
1
=
⋅
=
x
;
15
2
2
60
1
=
⋅
=
x
;
45
*
=
u
. Пусть теперь
2
p меняется с 2 до
7. Каков необходимый размер компенсации? Чтобы приобрести прежний оптималь-
ный набор, потребителю необходимо дополнительно
(
)
75
15
2
7
=
⋅
−
денежных еди-
ниц. Однако прежняя структура потребления не будет оптимальной при новых це-
нах, и минимальная необходимая компенсация будет меньше, чем 75. Пусть потре-
битель получает дополнительно количество денег М. Тогда при новых ценах его
спрос на первое и второе блага будет равен:
2
10
60
1
⋅
+
=
M
x
;
2
7
60
1
⋅
+
=
M
x
. Целевая
функция
2
1
x
x ⋅
будет равна
(
)
4
7
10
60
2
⋅
⋅
+ M
, и это выражение должно равняться началь-
ному
45
*
=
u
. Отсюда
25
,
52
≈
M
, что существенно меньше, чем 75.
Пример 2.10.
Решим задачу в более общем виде. Пусть по-прежнему
(
)
2
1
2
1
,
x
x
x
x
u
⋅
=
цены
благ равны
1
p и
2
p а доход Q. Очевидно,
0
;
2
1
;
2
;
2
2
2
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
=
j
i
i
i
i
i
i
i
i
p
x
p
Q
x
p
Q
p
x
p
Q
x
Пусть теперь цена
1
p выросла в z раз (z > 1), и при этом потребитель получает
необходимую компенсацию. Новый размер дохода обозначим через Q , спрос -
1
x и

---

Page 71

71
2
x . Очевидно, .
2
2
1
1
2
;
2
p
Q
x
zp
Q
x
=
=
и условие компенсации
2
1
2
2
1
2
4
4
p
p
Q
p
zp
Q
=
, откуда
z
x
x
z
x
x
Q
z
Q
2
2
1
1
;
;
=
=
⋅
=
.
Итак, спрос на первый товар в случае с компенсацией сократится в z раз (а
не в z раз, как без нее), а спрос на второй товар в z раз вырастет. В случае роста
цены второго товара ситуация будет полностью симметричной. Таким образом,
0
>








∂
∂
comp
j
i
p
x
при i=1, j=2 или j = 1, i = 2. Индекс сотр означает, что перекрестная
частная производная спроса рассчитывается при необходимой для поддержания
прежнего уровня благосостояния компенсации дохода. Условие компенсации сни-
мает "эффект дохода", оставляя лишь "эффект замены", что позволяет более точно
определить понятие взаимозаменяемости и взаимодополняемости благ и оценивать
эти характеристики. Блага / и у называются взаимозаменяемыми, если
0
>








∂
∂
comp
j
i
p
x
и
0
>








∂
∂
comp
i
j
p
x
(эти два условия равносильны), и взаимодополняе-
мыми, если
0
<








∂
∂
comp
j
i
p
x
и
0
<








∂
∂
comp
i
j
p
x
.
Рассчитаем теперь эти частные производные для рассматриваемой задачи, ко-
гда
1
p , растет в z раз. В этом случае приращение
;
;
2
2
2
1
1
1
x
xz
x
x
z
x
x
−
=
∆
−
=
∆
1
1
1
p
zp
p
−
=
∆
. Отсюда
(
)
( )
(
)
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
2
1
lim
1
1
lim
p
Q
p
x
z
z
p
x
z
z
p
z
x
p
x
z
z
comp
−
=
−
=








+
−
=
−
⋅
−
=








∂
∂
→
→
(
)
( )
(
)
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
1
1
4
2
1
lim
1
1
lim
p
p
Q
p
x
z
z
p
x
z
z
p
z
x
p
x
z
z
comp
−
=
=
+
=
−
⋅
−
=








∂
∂
→
→
Последняя величина положительна, что свидетельствует о взаимозаменяемо-
сти благ в рассматриваемой задаче.
2.5.7 Уравнение Слуцкого
Одним из основных в теории потребительского выбора является уравнение
Слуцкого, опубликованное российским математиком Е.Е. Слуцким в 1915 году. Это

---

Page 72

72
уравнение позволяет увязать действие эффекта замены и эффекта дохода с резуль-
тирующим изменением спроса. Мы не будем выводить уравнение Слуцкого, лишь
приведем его в используемых здесь обозначениях, сделав некоторые комментарии:
j
i
comp
j
i
j
i
x
Q
x
p
x
p
x






∂
∂
−








∂
∂
=
∂
∂
Первое слагаемое в правой части описывает действие эффекта замены, второе
– действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах измерения (множитель
j
x
приводит их к одной размерности). Слева записано результирующее воздействие
на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса и общего его изменения
при изменении уровня реального дохода.
Назовем п-й товар ценным, если
0
>
∂
∂
Q
x
i
, т.е. если при увеличении дохода
спрос на этот товар также увеличивается, и малоценным в противном случае.
Ценными товарами являются высококачественные продукты питания, предме-
ты роскоши, драгоценности. Малоценным товаром является, например, маргарин
(при увеличении дохода его покупают меньше).
Для ценных товаров величина
0
>
∂
∂
Q
x
i
, т.е. спрос растет при росте дохода. В
этом случае, согласно уравнению Слуцкого,
comp
j
i
j
i
p
x
p
x








∂
∂
<
∂
∂
если спрос растет, то
он растет больше при наличии компенсации, если падает – то в меньшей степени.
Может оказаться и так, что
0
<








∂
∂
j
i
p
x
, но
0
>








∂
∂
comp
j
i
p
x
, то есть товары i и j взаимо-
заменяемы, но представляются взаимодополняемыми без учета компенсации. Урав-
нение Слуцкого может рассматриваться как при разных, так и при совпадающих i и j
(запишите его для последнего случая самостоятельно). Из обычно постулируемых
свойств функции полезности потребителя 1'-2' вытекает, что
0
<








∂
∂
comp
i
i
p
x
(на гра-
фике это обусловлено выпуклостью линий уровня функции полезности). Если, в та-
ком случае, вдруг оказывается, что
0
>
∂
∂
j
i
p
x
(спрос на товар растет при росте цены –
такие товары называются товарами Гиффина), то отсюда вытекает, что
0
<
∂
∂
Q
x
i
- то
есть это обязательно малоценный (худший) товар.

---

Page 73

73
Обычно приводимый в качестве примера товара Гиффина картофель удовле-
творяет этому условию, в то же время золото, например, не может ему удовлетво-
рять. Таким образом, рост спроса на золото при росте его цены, наблюдавшийся од-
но время в СССР, нужно объяснить другими причинами, – главным образом, скры-
той инфляцией и узостью сферы вложения свободных средств населения в тот пери-
од.
Выпишем и проверим уравнение Слуцкого для задачи потребительского вы-
бора (пример 2.9) с функцией полезности
(
)
2
1
2
1
,
x
x
x
x
u
⋅
=
. Как было получено,
2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
4
;
4
;0
;
2
1
;
2
1
p
p
Q
p
x
p
Q
p
x
p
x
p
I
x
p
p
x
comp
comp
i
i
−
=








∂
∂
−
=








∂
∂
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
Отсюда
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
p
Q
p
Q
p
p
Q
p
Q
−
=








⋅








−
−
=
−
и
0
2
2
1
4
0
1
2
2
1
=








⋅








−
=
p
Q
p
p
p
Q
Итак, в обоих случаях уравнения Слуцкого (при i =j и при
j
i ≠ ) здесь выпол-
нены. Уравнение Слуцкого может быть использовано для нахождения
comp
j
i
p
x








∂
∂
, то
есть для расчета эффекта замены и оценки взаимозаменяемости или взаимодопол-
няемости благ, поскольку частные производные без компенсации рассчитываются
значительно легче (как это было показано выше).
Рассмотрим теперь более подробно эластичности функции спроса. Эластич-
ность спроса по цене равна
Q
x
Q
x
e
i
i
ij
:
∂
∂
=
, эластичность спроса по доходу
Q
x
Q
x
e
i
i
iI
:
∂
∂
=
. Для функции
∑
=
j
i
j
i
i
p
Q
x
α
α
эластичность e
ij
=-1; e
ij
=0 (
j
i ≠ ); e
iI
=1
(как это было показано выше).
Как "уже говорилось, если в функции спроса
(
)
Q
p
p
p
x
x
n
i
i
,
,
,
,
2
1
K
=
все цены
и доход увеличить в одно и то же количество раз
λ
, то спрос х
i
не изменится. Таким
образом,
(
)
( )
( )
Q
p
x
Q
p
x
Q
p
x
i
i
i
,
,
,
0
=
= λ
λ
λ
, то есть, функция спроса является одно-
родной нулевой степени. Отсюда, согласно уравнению Эйлера должно выполняться
равенство
0
=






∂
∂
+








∂
∂
∑
Q
I
x
p
p
x
i
j
j
j
i
(22)
разделив которое на х
i
, получим равенство
∑
=
+
j
iI
ij
e
e
0, то есть нулю должна рав-

---

Page 74

74
няться сумма всех эластичностей спроса по ценам и доходу.
В качестве иллюстрации покажем, что если в задаче потребительского выбора
всего два товара, то они обязательно являются взаимозаменяемыми. Для этого вос-
пользуемся тем, что
0
<








∂
∂
comp
i
i
p
x
, и положительностью частных производных
функции полезности. Предположим, что выросла цена 1-го товара
p
. Поскольку
0
1
1
<








∂
∂
comp
p
x
, спрос на этот товар при условии компенсации падает.
Если бы при этом упал спрос и на второй товар, то мы получили бы точку, в
которой обоих товаров меньше, чем в начальной. Следовательно, в этой точке зна-
чение функции полезности
(
)
2
1
, x
x
u
должно быть также меньше (а мы знаем, что в
условиях компенсации оно равно начальному). Следовательно, спрос на второй то-
вар при условии компенсации должен вырасти (т.е.
0
1
2
>








∂
∂
comp
p
x
), и он является
взаимозаменяемым с первым товаром.
Пример 2.11. Проверим, что уравнение Слуцкого действительно верно для
функции полезности
(
)
2
1
2
1
,
x
x
x
x
u
⋅
=
.
В примере 1 была найдена функция спроса;
( )
( )
2
*
2
1
*
1
2
/
,
2
/
p
Q
x
p
Q
x
=
=
.
Как только что говорилось, при изменении цены
2
p , происходит компенсация
дохода
2
*
2
2
*
2
1
*
1
dp
x
dp
x
dp
x
dQ
=
+
=
поскольку
0
1
=
dp
. Следовательно, новая точка
спроса есть
(
) ( )
(
) (
)
[
]
2
2
'
2
1
'
1
2/
,
2
/
dp
p
dQ
Q
x
p
dQ
Q
x
+
+
=
+
=
.
Далее будем искать
'
2
x
и
2
dx .
(
) (
)
[
]
2
2
'
2
2/
dp
p
dQ
Q
x
+
+
=
, поэтому
(
) (
)
[
]
( ) (
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
/
2
2
2
/
2/
dp
p
p
Qdp
dQ
p
p
Q
dp
p
dQ
Q
dx
+
−
=
−
+
+
=
.
Подставляя
( )
2
2
2
/ p
Qdp
dQ =
, получаем
( )
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
/
4
/
2
2
/
2
dp
p
p
Qdp
dp
p
p
Qdp
dp
p
Q
p
+
−
=
+
−
.
Следовательно,
(
)
( )
2
2
2
*
2
4
/
/
p
Q
p
x
comp
−
=
∂
∂
.
Далее,
( )
2
2
2
*
2
2
/
p
Q
p
x
−
=
∂
∂
,
( )
2
*
2
2
/1
/
p
Q
x
=
∂
∂
.
Выпишем уравнение Слуцкого
(
)
(
)
*
2
*
2
2
*
2
2
*
2
/
/
/
x
Q
x
p
x
p
x
comp
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
.
Оно в самом деле удовлетворяется после подстановки найденных производ-
ных:
( )
( )
( )
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2/
2
/1
4/
2
p
Q
p
p
Q
p
Q
−
−
=
−
,

---

Page 75

75
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
4/
4/
2
p
Q
p
Q
p
Q
−
−
=
−
.
1 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ...................................................................................................... 1
1.1 М
ОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИКИ И ЕГО ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В РАЗВИТИИ И ФОРМАЛИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
..... 3
1.1.1 Понятие экономической модели......................................................................................................................... 3
1.1.2 Этапы построения экономической модели........................................................................................................ 4
1.1.3 Математическая структура модели и ее содержательная интерпретация.................................................. 4
1.2 Р
ОЛЬ МОДЕЛЕЙ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ И ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ
............................................................................ 5
1.2.1 Неполнота экономической модели..................................................................................................................... 5
1.2.2 Математическая модель и ее основные элементы. .......................................................................................... 6
1.2.3 Основные типы моделей..................................................................................................................................... 8
1.3 Математическая экономика................................................................................................................................. 9
1.4 Ф
УНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ
....................................... 11
1.4.1 Функции двух переменных и их множества (линии) уровня............................................................................. 11
1.4.2 Частные производные, градиент и дифференциал.......................................................................................... 16
1.4.3 Однородные функции........................................................................................................................................ 22
1.4.4 Элементы теории экстремума........................................................................................................................ 23
1.4.5 Задачи на условный экстремум....................................................................................................................... 28
1.4.6 Метод Лагранжа для решения задач оптимизации на условный экстремум................................................. 33
1.4.7 Понятие о задаче математического программирования................................................................................ 38
2 ПОТРЕБИТЕЛЬ И ЕГО ПОВЕДЕНИЕ..................................................................................................................... 39
2.1 М
ОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДОХОДОВ
......................................................................................................................... 39
2.2 К
ОЛИЧЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ ПОЛЕЗНОСТИ
............................................................................................... 42
2.3 C
ИСТЕМА ПРЕДПОЧТЕНИЙ ПОТРЕБИТЕЛЯ
.................................................................................................................. 44
2.3.1 Пространство товаров, цены.......................................................................................................................... 44
2.3.2 Бюджетное множество .................................................................................................................................. 45
2.3.3 Система предпочтений.................................................................................................................................... 46
2.4. Ф
УНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ И ЕЕ СВОЙСТВА
.................................................................................................................... 49
2.4.1 Определение функции полезности..................................................................................................................... 49
2.4.2 Свойства функции полезности......................................................................................................................... 53
2.4.3 Товары-заменители, предельные нормы замещения........................................................................................ 56
2.5 Т
ЕОРИЯ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО СПРОСА
........................................................................................................................ 59
2.5.1 Постановка задачи оптимизации выбора потребителя................................................................................. 59
2.5.2 Решение задачи потребительского выбора и его свойства............................................................................ 60
2.5.3 Функция спроса................................................................................................................................................. 63
2.5.4 Общая модель потребительского выбора ....................................................................................................... 65
2.5.5 Модель Р. Стоуна............................................................................................................................................. 67
2.5.6 Взаимозаменяемость благ. Эффекты компенсации........................................................................................ 69
2.5.7 Уравнение Слуцкого.......................................................................................................................................... 71