Математиканың бастауыш
курсының мазмұны мен құрылысы
I-ІV кластарда оқылатын
математиканың бастауыш курсы
математиканың мектептік курсының
табиғи бөлігі болып табылады.
Демек, V-XІ кластарда өтілетін
математика курсы бастауыш курстың
жалғасы, ал бастауыш курс оның
бастапқы негізі болып табылады.
Осыған сәйкес математиканың
бастауыш курсына теріс емес
бүтін сандардың және негізгі
шамалардың арифметикасы, алгебра
мен геометрия элементтері енеді.
Математиканың бастауыш
курсы құрылысының өзіндік ерекшеліктері
бар.
Бірінші ерекшелігі. Курстың
негізгі мазмұны арифметикалық
материал болып табылады. «Натурал
сандар мен негізгі шамалар арифметикасы
бастауыш курстың негізі болады. Сонымен
бірге оған геометрия мен алгебралық
пропедевтика элементтері енеді, бұлар
мүмкіндігінше сан арифметикалық
амалдар мен математикалық қатынастар
жөніндегі ұғымдардың барынша жоғарғы
дәрежеде игерілуіне көмектесе отырып,
мүмкіндігінше арифметикалык білімдер
жүйесіне енеді, яғни алгебра мен
геометрия элементтері математика
курсының ерекше жеке тарауы бола алмайды,
арифметикалық материалмен табиғи
байланыста болады. Осындай байланыс,
бір жағынан, балаларды алгебра
және геометрия идеяларымен ертерек
таныстыруға, екінші жағынан, төменгі
класс оқушыларының арифметикалық
білімді неғұрлым жоғары дәрежеде игеруіне
мүмкіндік береді.
Екінші ерекшелігі. Бастауыш
курс материалы шоғырланған түрде
беріледі. Ең алдымен ондық бөлшектеуге
келмейтін алғашкы он санның нумерациясы
оқылады, осы сандарды жазу үшін цифрлар
енгізіледі, қосу және азайту амалдары
үйреніледі. Сонан сон екінші ондық
және 100 көлеміндегі сандардың нумерациясы
қарастырылады, разряд ұғымы, ондық
бөлшектеуге келетін сандарды жазудың
позициялық принципі айқындалады, екі
таңбалы сандарды қосу және азайту
оқылады, жаңадан арифметикалық
екі амал; бөлу және көбейту енгізіледі.
Бұдан кейін 1000 көлеміндегі сандар
нумерациясы үйреніледі. Мұнда көп таңбалы
сандар нумерациясының негізін құрайтын
үш разряд (бірліктер, ондықтар, жүздіктер)
қарастырылады, арифметикалық амалдар
жөніндегі білім жинақталып қорытылады,
жазбаша қосу мен азайту әдістері енгізіледі.
Ақырында, көп таңбалы сандар нумерациясы
үйреніледі, класс ұғымы қарастырылады,
цифрлардың 1-сурет орындық мәнінін принципі
жөніндегі білетіндері жинақталып қорытылады,
жазбаша есептеулер алгоритмі енгізіледі.
Сонымен, курста бес концентр бөлініп
алынған: ондық, екінші ондық жүздік, мың,
көп таңбалы сандар. Нумерацияны және
арифметикалық амалдарды қарастырумен
бір мезгілде және тығыз байланыста басқа
да мынадай мәселелер қарастырылады: шамалар,
бөлшектер, алгебралық және геометриялық
материал. Материалдың концентрлі орналасуы
1-суретте схема түрінде берілген.
Осындай концентрді
айырып бөлудін өзі санаудың
ондық системасының және есептеу
әдістерінің мынадай ерекшеліктерімен
түсіндіріледі: әрбір концентрде
есептеу системасымен және арифметикалық
амалдармен байланысты жаңа мәселелер
айқындалады. Тәжірибе көрсеткендей,
материалдың концентрлі орналасуы,
сызықтық орналасуына қарағанда
төменгі класс оқушыларына көбірек
лайықтырақ: математиканы оқыту
балалардың шама-шарқына лайықты
және оларға мектепке дейін
белгілі сандардың шағын көлемінен
басталады, сандардың бұл аймағы
бірте-бірте кеңейтіле беріледі,
біртіндеп жаңа ұғымдар енгізіледі.
Курстын мұндай құрылысы жүйелі
қайталап отыруды және сонымен
бірге оқып білгенді тереңдете
түсуді қамтамасыз етеді, өйткені
бұрын үйренген білім мен білік,
дағды сандардың жаңа көлемінде
қолданылады. Осының бәрі курсты
жақсырақ игеруге көмектеседі.
Үшінші ерекшелігі. Теория
мәселелері мен практикалық сипатты
мәселелер бірімен-бірі табиғи байланыста
болады. Теорияның көптеген мәселелері
индуктивті түрде енгізіледі ал практикалық
сипатты мәселелер соларға негізделіп
айқындалады. Мысалы, көбейтудің үлестірімділік
қасиеті дербес фактілерді жинақтап
қорытындылау негізінде енгізіледі
де осы қасиет пайдаланылып көбейту
әдісі ашып көрсетіледі.
17*3= (10 + 7) 3=10*3+7*3 = 51.
Осындай өзара байланыс
кезінде теориялық мәселелер
жақсы игеріледі және саналы
түрде практикалық іскерлік қалыптасады.
Төртінші ерекшелігі. Математикалық
ұғымдар, қасиеттер, зандылықтар курста
бір-бірімен өзара байланыстырыла
айқындалады. Бұл тек арифметикалык,
алгебралық және геометриялық материалдар
арасындағы байланыс қана емес, курстағы
әр түрлі ұғымдар, қасиеттер, заңдылықтар
арасындағы, ішкі байланыс деп аталатын,
байланыстар. Мысалы, арифметикалық
амалдарды оқып үйренуде олардың
қасиеттері, олардың компонеттері мен
нәтижелердің арасындағы тәуелділіктер
айқындалады. Мұның өзі белгілі
бір заңдылықтарға сүйенетін
арифметикалық амалдар ұғымын тереңірек
ашуға, балалардың функционалдық түсініктерін
байыта түсуге мүмкіндік береді. Курс
кұрылысының мұндай болуы оны тереңірек
игеруді қамтамасыз етеді, өйткені оқушылар
курстың жеке мәселелерін ғана емес, сондай-ақ
олардың арасындағы байланыстарды да
игеретін болады.
Бесінші ерекшелігі. Математика
курсын оқып үйрену процесінде ондағы
әрбір ұғым өзінше дамитындай болып
құрылады. Мысалы арифметикалық амалдарды
өткенде ең алдымен олардың нақтылы
мағынасы айқындалады, сонан соң
амалдардың қасиеттері амалдардың компонеттері
мен нәтижелері арасындағы сондай-ақ
амалдардың өздерінін арасындағы байланыстар
мен тәуелділіктер айқындалып ашылады.
Ұғымдарды енгізудің осы тәсілі
төменгі класс оқушыларының жас
ерекшеліктерінің мүмкіндігіне лайық
болады, математикалық материалдың
түсінікті болуын қамтамасыз етеді.
Алтыншы ерекшелігі. Ұқсас
немесе өзара байланысты мәселелерді
салыстыра отырып қарастырған орынды
екенін тәжірибе көрсетіп отыр. Бұл
жағдайда елеулі ұқсастығын және айырмашылығын
бірден бөліп көрсетуге болады, мұның
өзі оқушылардың ұқсас мәселелерді
бір-бірімен шатастырып қателесуінен
сақтандырады. Сондықтан программа
курстын кейбір мәселелерін (мысалы
қосу мен азайту амалдары бір мезгілде
енгізіледі), сондай-ақ жаңа мәселелерді
бұрын өтілген мәселелермен салыстыра
отырып енгізу жағын қарастырады.
Бастауыш курстың құрылыс
ерекшеліктері, міне осындай.
Енді оның мазмұнын және ең
басты ұғымдард ы айқындау
ерекшеліктерін қарастырайық.
Арифметикалық материалға
мыналар жатады: теріс емес бүтін
сандар нумерациясы, сол сандарға
қолданылатын арифметикалық амалдар
және шамалар, оларды өлшеу
жөнінде, бөлшектер жөнінде, атаулы
сандар мен оларға қолданылатын
амалдар жөнінде мағлұматтар.
Осы материалды оқып үйрену
оқушылардың математикалық ұғымдар
жүйесін игеруіне, сондай-ақ берікте
саналы дағдылар мен біліктерді
меңгеруіне және білім алуына
көмектесетін болуы тиіс.
Бастауыш кластардағы
өзекті ұғымдардың бірі натурал
сан ұғымы болып табылады. Бұл
ұғымға эквиваленттік жиындар
класының сандық сипаттамасы
ретінде анықтама беріледі. Бұл
ұғым жиындарға операция қолдану
және шамаларды өлшеу (кесіндінің
ұзындығы, масса, аудан т. б.) нәтижесінде
нақтылы негізге сүйеніп айқындалады.
Тәжірибе көрсеткендей, натурал
сан ұғымын нәрселерді санау
процесінде ғана емес, сондай-ақ
шамаларды өлшеу процесінде қалыптастыру
сол ұғымның мазмұнын байыта
түседі, басынан бастап, балалардың
практикалық іс-әрекетімен байланыстырып,
олардың сан жөнінде алған
түсініктеріне сүйенуіне мүмкіндік
береді. Бірінші ондық сандары
нумерациясын оқып үйренуден
бастап, кесіндімен, ұзындық бірліктерімен
және кесінділерді өлшеумен танысу
осыған байланысты. Нумерацияны
оқып үйрену кезінде натурал
сан әрі қарай дамытыла түседі:
ол реттелген жиын элементі
ретінде немесе натурал тізбек
мүшесі ретінде көрініс береді.
Натурал тізбек қасиеттерін қарастырумен
байланысты натурал санның сандық
мәні мен реттік мәні айқындала
түседі. Арифметикалық амалдарды
оқып үйренген кезде натурал сан
жаңа сипатта - арифметикалық амалдар
қолданылатын объектілер ретінде кездеседі.
Сөйтіп, математика курсында натурал сан
ұғымы бірте-бірте дамытылып отырылатын
болады.
Бастауыш курста ноль
санына бос жиындар класының
сандық сипаты ретінде түсініктеме
беріледі. Математиканың бастауыш
курсына ноль санын және цифрын
енгізу сан облысын кеңейтіп
оқушылардың теріс емес бүтін
сандар облысын игеру үшін
қажетті мүмкіндік туғызады. Ноль
сан ретінде де әрі цифр
ретінде де I класта енгізіледі. Ең
алдымен ноль сызғыш бетінде
өлшеудің басын анықтайтын цифр
ретінде қарастырылады, сонан
сон ноль саны 2-2, 3-3 түріндегі
азайтуда енгізіледі мұнымыз
осы жаңа санның мәнісін бос
жиындар класының сандық сипаттамасы
ретінде дұрыс талқылауымызға
сәйкес. Бұдан кейін ноль бірінші
басқыш амалдарының компоненті
ретінде: 5+0. 0+9. 8-0. 0+0. 0-0 ал, көбейту және
бөлу амалдарын қарастырғанда
(II класта) сол амалдардың компоненті
ретінде алынады: 0*4, 3*0, 0*0, 0:4. Нольге
бөлуге болмайтындығы да осы
жерде қарастырылады. Ноль цифры
санды жазып көрсеткенде қандай
да бір разрядтың немесе кластың
бірліктерінін жоқ екендігін
белгілеу үшін қолданылады (70,
30 000, 204).
Математиканың жүйелі
курсын оқып үйренуге дайындау
мақсатымен бастауыш курста бөлшек
жөнінде көрнекі түсінік беріледі.
II класта бүтіннің (дөнгелектін,
жіп үзігінің т. с. с.) тең
бірлікке бөлгендегі бөліктерінің
бір бөлігі ретінде үлес ұғымы
енгізіледі, үлестер жазып көрсетіледі.
Үлес ұғымының мәнісі санның
үлесін табуға және оның үлесі
бойынша санды табуға берілген
есептерді шығарған кезде өте
анық айқындалады. Сондықтан бұл
есептер II класта өтілетін курска
енгізілген. III класта үлестер жинағы
ретінде бөлшек енгізіледі.
Бөлшектің жазылуы,
бөлшектерді түрлендіру, көрнекілікке
сүйене отырып, оларды түрлендіру
және салыстыру (1/2=2/4; 3/5<4/5), санның
бөлшегін табуға арналған есептер
енгізіледі.
Санау системасы жөніндегі
ұғымкурстын құрылысы концентрлі болғанда
натурал сандар нумерациясы мен
оларға қолданылатын арифметикалық
амалдарды оқып үйрену процесінде біртіндеп
айқындалады. Мұнда разряд, класс, разрядтық
және кластар бірліктері, разрядтық
сан ұғымы, бұрын айтылғандай-ақ,
концентрден концентрге қарай дами
береді, яғнибірте-бірте жаңа разрядтар
мен кластар, олардың атауы енгізіледі
және соған байланысты сандардың
атауы, жазылуы, оқылуы, олардың ондық
құрамы қарастырылады.
Арифметикалық амалдар, математиканың
бастауыш курсында өзекті орын алады.
Мұның өзі күрделі де сан қырлы
мәселе. Оған арифметикалық амалдардың,
зандардың және амалдар қасиеттерінің,
амалдардың компоненттері мен нәтижелерінің
арасындағы және амалдардың өздерінің
арасындағы байланыстар мен тәуелділіктердің
нақтылы мағынасын ашып көрсету,
сондай-ақ есептеу дағдыларын, арифметикалық
есептерді шығара алу шеберліктерін
қалыптастыру мәселесі енеді. Әрбір
арифметикалық амал, басқа да математикалық
ұғымдар сияқты, жиындарға қолданылатын
операцияларды орындау процесінде
нақтылы негізге сүйеніп айқындалады:
қосу амалы-ортақ элементтері жоқ жиындарды
біріктіру операциясына, азайту амалы
- жиынның бір бөлігін (ішкі жиынды) айырып
алу операциясына, көбейту амалы - саны
бірден жиындарды біріктіру операциясына
сүйеніп және бөлу амалы - жиынды саны
бірдей қиылыспайтын жиындарға айыру
операциясына сүйеніп айқындалады. Мұндай
жол балалардың тәжірибесі негізінде
қалыптасқан білімнің көрнекі негізін
салуға мүмкіндік береді. Әрбір арифметикалық
амалдың нақтылы мағынасын айқындаумен
бірге мынадай тиісті символика (амалдар
таңбасы) мен терминология енгізіледі:
амалдар, атауы, амалдар компоненттері
мен нәтижелерінің атаулары. Осы жерде
математикалық өрнек ұғымымен жұмыс басталады,
алдымен 7+3 түріндегі ең қарапайым өрнектер,
сонан кейін 9-(2+3) түріндегі күрделірек
өрнектері қарастырылады.
Математиканың бастауыш
курсына арифметикалық амалдардың
бірқатар қасиеттері енеді. Онымыз-қосу
мен көбейтудің ауыстырымдылық
қасиеті, көбейту мен бөлудің
үлестірімділік қасиеті, сондай-ақ
мынадай қасиеттері санды қосындыға
қосу, санды қосындыдан азайту, қосындыны
санға қосу, қосындыны саннан
азайту, қосындыны қосындыға қосу,
қосындыны қосындыдан азайту, санды
қосындыға және қосындыны санға
көбейту, қосындыны санға бөлу,
санды көбейтіндіге көбейту, санды
көбейтіндіге бөлу. Осы аталған
қасиеттердің әрбіреуі жиындарға
немесе сандарға қолданылатын
практикалық операциялар негізінде
айқындалады, соның нәтижесінде
оқушылар, жалпы қорытындыға келуі
тиіс. Қасиеттерді игеру үшін
курста арнайы жаттығулар жүйесі
ескеріліп отыр, ал қасиеттердің
негізгі қолданылу сферасы - оларға
негізделіп есептеу әдістерін
айқындау. Мысалы, 1 кластын өзінде-ақ
қосудың ауыстырымдылық қасиетін
оқып үйренгеннен кейін мына 2
+ 6 жағдайы үшін қосылғыштардың
орнын ауыстыру әдісі енгізіледі;
ал 54-20 жағдайын қарастырудан бұрын
санды қосындыдан азайтудың әр
түрлі тәсілдері қарастырылады,
соның негізінде есептеу әдісі
айқындадады:
54-20= (50+4)-20= (50-20)+4=34.
Арифметикалық амалдардың
қасиеттеріне, амалдардың компоненттері
мен нәтижелерінің арасындағы
байланысқа және сандардың ондық
құрамына сүйеніп бастауыш курста
қарастырылатын барлық жағдайлар
үшін дерлік есептеу әдістері
айқындалады. Есептеу әдістерін
оқып үйренудің мұндай жолы, бір
жағынан дағдылардың саналы түрде
қалыптасуын қамтамасыз етеді,
өйткені оқушылар кез келген
есептеу әдісін негіздей алатын
болады, ал екінші жағынан, мұндай
жүйемен оқытқанда амалдардың
қасиеттері және курстын басқса
мәселелері жақсы игеріледі.
Математиканың бастауыш
курсында оқушылардын есептеу
дағдыларын қалыптастыруға бағытталған
жаттығулар жүйесі қарастырылады.
Онымыз - әр түрлі сипатты машықтандыру
жаттығулары: жеке мысалдарды
шығару, таблицаларды толтыру, әріптерді
сан мәндерін қойып, өрнектердің
мәндерін табу т. с. с. Дағдыларды
қалыптастыруда оларды автоматтандырудың
(шапшаңдатудың) мынадай түрлі
дәрежесі ескеріледі: таблицалық
жағдайларды қосу мен көбейту
және оларға қатысты азайту
мен бөлудің кері жағдайлары
толық автоматты түрде орындай
алатын дәрежеге жеткізілуі тиіс
( мысалы, 3 + 8= 11, 7*6 = 42, 12- 5 = 7, 56:8=7 екенін
тез де дұрыс орындай білулері
тиіс). Кейбір операциялар да, автоматты
түрде орындалатын болады, мысалы, 18 бен
7 сандарын қосқанда мынадай операциялар
тез орындалады: 8+7= 15, 10+15=25 немесе 7 = 2+5,
18+2=20, 20 + 5=25